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第 14 讲 圆周运动
——划重点之精细讲义系列
考点一 圆周运动的运动学问题
一．描述圆周运动的物理量
1．线速度：描述物体圆周运动快慢．
v＝＝.
2．角速度：描述物体转动快慢．
ω＝＝.
3．周期和频率：描述物体转动快慢．
T＝，T＝.
4．向心加速度：描述线速度方向变化快慢的物理量．
a＝rω2＝＝ωv＝r.
n
1．圆周运动各物理量间的关系
2．对公式v＝ωr和a＝＝ω2r的理解
(1)由v＝ωr知，r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω
与r成反比．
(2)由a＝＝ω2r知，在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【典例1】(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为 4 m/s，转动周期为2
s，则( )
A．角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m
D．加速度大小为4π m/s2
解析：选BCD.角速度为ω＝＝π rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5 r/s，B正确；半
径r＝＝ m，C正确；向心加速度大小为a＝＝4π m/s2，D正确．
【典例2】如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，
板上A、B两点( )
A．角速度之比ω ∶ω ＝∶1
A B
B．角速度之比ω ∶ω ＝1∶
A B
C．线速度之比v ∶v ＝∶1
A B
D．线速度之比v ∶v ＝1∶
A B
解析：选D.板上A、B两点的角速度相等，角速度之比ω ∶ω ＝1∶1，选项A、B
A B
错误；线速度v＝ωr，线速度之比v ∶v ＝1∶，选项C错误，D正确．
A B
【典例3】(多选)如图所示为一链条传动装置的示意图．已知主动轮是逆时针转动
的，转速为n，主动轮和从动轮的齿数比为k，以下说法中正确的是( )
A．从动轮是顺时针转动的
B．主动轮和从动轮边缘的线速度大小相等
C．从动轮的转速为nk
D．从动轮的转速为
解析：选BC.主动轮逆时针转动，带动从动轮也逆时针转动，用链条传动，两轮
边缘线速度大小相等，A错误，B正确；由r ：r ＝k,2πn·r ＝2πn ·r 可得n ＝
主 从 主 从 从 从
nk，C正确，D错误．
【典例4】如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动
轴上，其半径之比为R ∶R ＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一
B C
起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的( )
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
解析：选D.A、B轮摩擦传动，故v＝v ，ωR ＝ωR ，ω∶ω ＝3∶2；B、C同轴，
a b a A b B a b
故ω ＝ω，＝，v∶v＝3∶2，因此v∶v∶v＝3∶3∶2，ω∶ω∶ω＝3∶2∶2，故A、
b c b c a b c a b c
B错误．转速之比等于角速度之比，故C错误．由a＝ωv得：a∶a∶a＝9∶6∶4，D
a b c
正确．
常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图1甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速
度大小相等，即v ＝v .
A B
(2)摩擦传动：如图2甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线
速度大小相等，即v ＝v .
A B
(3)同轴传动：如图2乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速
度大小相等，即ω ＝ω .
A B
考点二 圆周运动的动力学问题
1.向心力
（1）作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
（2）大小：F＝m＝ m ω 2 r ＝m＝mωv＝4π2mf2r
（3）方向：总是沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
（4）来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】个力的分力提供．
2.圆周运动、向心运动和离心运动
（1）匀速圆周运动与非匀速圆周运动
两种运动具体比较见下表：
项目 匀速圆周运动 非匀速圆周运动
线速度的大小不变的 线速度的大小不断变化的圆周
定义
圆周运动 运动
运动 F
向
、a
向
、v均大小不 F
向
、a
向
、v大小和方向均发生
特点 变，方向变化，ω不变 变化，ω发生变化
向心
F ＝F 由F 沿半径方向的分力提供
向 合 合
力
（2）离心运动
本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾
向．
受力特点(如图所示)
①当F＝ mr ω 2 时，物体做匀速圆周运动；
②当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
③当F＜ mr ω 2 时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．
④当F＞mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动．
3.解题方法
（1）向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以
是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
（2）向心力的确定
①先确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
②再分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
（3）解决动力学问题要注意三个方面的分析
①几何关系的分析，目的是确定圆周运动的圆心、半径等．
②运动分析，目的是表示出物体做圆周运动所需要的向心力．
③受力分析，目的是利用力的合成与分解知识，表示出物体做圆周运动时，外界
所提供的向心力．
【典例1】在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段
汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些，汽车的运动可看做是做半径为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重
力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转
弯时的车速应等于( )
A. B．
C. D.
解析：选B.汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提
供，且向心力的方向水平，向心力大小F ＝mgtan θ.根据牛顿第二定律：F ＝m，tan
向 向
θ＝，解得汽车转弯时的车速v＝ ，B对．
【典例2】有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图
所示的大型圆筒底部做速度较小，半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动的
半径逐步增大，最后能以较大的速度在竖直筒壁上做匀速圆周运动，这时使车和人整
体做匀速圆周运动的向心力是( )
A．圆筒壁对车的静摩擦力
B．筒壁对车的弹力
C．摩托车本身的动力
D．重力和摩擦力的合力
解析：选B.在竖直筒壁上的摩托车只受三个力作用，其中竖直方向上重力与摩擦
力是一对平衡力，水平方向上筒壁对车的弹力提供了车和人整体做匀速圆周运动的向
心力，B正确．
【典例3】 (多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在
金属块Q上，Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆
周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中P′位
置)，两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下面的判
断中正确的是( )
A．细线所受的拉力变小
B．小球P运动的角速度变大
C．Q受到桌面的静摩擦力变大
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．Q受到桌面的支持力变大
解析：选BC. 金属块Q在桌面上保持静止，根据平衡条件知，Q受到桌面的支持
力等于其重力，保持不变，故D错误．设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大
小为F ，细线的长度为L，P球做匀速圆周运动时，由重力和细线拉力的合力提供向
T
心力，如图，则有F ＝，F ＝mgtan θ＝mω2Lsin θ，得角速度ω＝ ，使小球改到一个
T n
更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cos θ减小，则得到细线拉力F 增大，
T
角速度增大，A错误、B正确．对Q，由平衡条件知，Q受到桌面的静摩擦力变大，故
C正确．
【典例4】 如图所示，一个圆形框架以竖直的直径为转轴匀速转动．在框架上套
着两个质量相等的小球A、B，小球A、B到竖直转轴的距离相等，它们与圆形框架保
持相对静止．下列说法正确的是( )
A．小球A的合力小于小球B的合力
B．小球A与框架间可能没有摩擦力
C．小球B与框架间可能没有摩擦力
D．圆形框架以更大的角速度转动，小球B受到的摩擦力一定增大
解析：选C.由于合力提供向心力，依据向心力表达式F＝mrω2，已知两球质量、
运动半径和角速度都相同，可知向心力相同，即合力相同，故A错误；小球A受到重
力和弹力的合力不可能垂直指向OO′轴，故一定存在摩擦力，而B球的重力和弹力的
合力可能垂直指向OO′轴，故B球摩擦力可能为零，故B错误，C正确；由于不知道
B球是否受到摩擦力，故而无法判定圆形框架以更大的角速度转动，小球B受到的摩
擦力的变化情况，故D错误．
几种常见的向心力来源
(1)飞机在水平面内的圆周运动，如图1所示；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)火车转弯，如图2所示；
(3)圆锥摆，如图3所示；
(4)飞车走壁，如图4所示；
(5)水平路面汽车转弯，如图5所示；
(6)水平转台，如图6所示．
考点三 竖直面内的圆周运动
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两
类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”；
二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．轻绳和轻杆模型涉及的临界问题
轻绳模型 轻杆模型
均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
常见
类型
过最高
点的临 由mg＝m得v临 ＝ v临 ＝0
界条件
讨论 (1)过最高点时，v≥ ，F ＋mg＝ (1)当 v＝0 时，F ＝mg，F 为支持
N N N
分析
m，绳、轨道对球产生弹力F 力，沿半径背离圆心
N
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)当0＜v＜时，mg－F ＝m，F
N N
背离圆心，随v的增大而减小
(2)当v＜时，不能过最高点，在到
(3)当v＝时，F ＝0
N
达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(4)当v＞时，F ＋mg＝m，F 指向
N N
圆心并随v的增大而增大
题组一 “轻绳”模型
【典例1】(多选)如图所示，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直面内做圆周运动，
圆周半径为R，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，绳子张力可以为零
B．小球过最高点时的最小速度为零
C．小球刚好过最高点时的速度是
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
解析：选AC.轻绳模型中小球能过最高点的临界速度为v＝，此时绳中张力为零．
小球过最高点时绳子中的张力可能为零，也可能向下，故选项A、C正确，B、D错误．
【典例2】如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球(可视
为质点)．当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力
F 、轻绳与竖直线OP的夹角θ满足关系式F ＝a＋bcos θ，式中a、b为常数．若不计
T T
空气阻力，则当地的重力加速度为( )
A. B．
C. D.
解析：选D.当小球运动到最低点时，θ＝0，拉力最大，F ＝a＋b，F ＝mg＋；
T1 T1
当小球运动到最高点时，θ＝180°，拉力最小，F ＝a－b，F ＝－mg＋；由动能定理
T2 T2
有mg·2L＝mv－mv，联立解得g＝，选项D正确．
【典例3】 如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地
面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】小球C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧
做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球
与环之间的摩擦阻力)，则瞬时速度v必须满足( )
A．最小值 B．最大值
C．最小值 D．最大值
解析：选D.要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝m，对小
球从最低点运动到最高点的过程应用机械能守恒得 mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低
点瞬时速度的最小值为，A、C错误；为了不会使环在竖直方向上跳起，则在最高点球
有最大速度时，对环的压力为2mg，满足3mg＝m，从最低点到最高点由机械能守恒得
mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为，B错误，D正确．
题组二 “轻杆”模型
【典例4】(多选)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴
上，使小球在竖直平面内做圆周运动．关于小球在最高点的速度 v，下列说法中正确
的是( )
A．当v的值为时，杆对小球的弹力为零
B．当v由逐渐增大时，杆对小球的拉力逐渐增大
C．当v由逐渐减小时，杆对小球的支持力逐渐减小
D．当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
解析：选ABD.在最高点，若速度v＝，则轻杆对小球的作用力为零，当v＞，轻
杆表现为拉力，速度增大，向心力增大，则轻杆对小球的拉力增大，A、B正确；当v
＜时，轻杆表现为支持力，速度减小，向心力减小，则杆对小球的支持力增大，C错
误；在最高点，根据F ＝m得，速度增大，向心力逐渐增大，D正确．
向
【典例5】(多选) 如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内
侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度v ＝
min
B．小球通过最高点时的最小速度v ＝0
min
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析：选BC.在光滑圆形管道的最高点，小球的速度可以等于零，A错误，B正确；
在ab线以下时，外侧管壁对小球的弹力要提供向心力，而在ab线以上，当速度较小
时，小球要挤压内侧管壁，故C正确，D错误．
【典例6】(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小
球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速
度大小为v，其Fv2图象如乙图所示，则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向下
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
解析：选AD.由图乙可知：当v2＝b时，杆对球的弹力恰好为零，此时只受重力，
重力提供向心力，mg＝m＝m，即重力加速度g＝，故B错误；当v2＝0时，向心力为
零，杆对球的弹力恰好与球的重力等大反向，F ＝mg＝a，即小球的质量m＝＝，故
弹
A正确；
根据圆周运动的规律，当v2＝b时杆对球的弹力为零，当v2＜b时，mg－F ＝
弹
m，杆对球的弹力方向向上，当v2＞b时，mg＋F ＝m，杆对球的弹力方向向下，v2＝
弹
c＞b，杆对小球的弹力方向向下，根据牛顿第三定律，小球对杆的弹力方向向上，故
C错误；当v2＝2b时，mg＋F ＝m＝m，又g＝，F ＝m－mg＝mg，故D正确．
弹 弹
竖直面内圆周运动的求解思路
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不
同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体．
(2)确定临界点：v ＝对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型
临
来说是F 表现为支持力还是拉力的临界点．
N
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情
况．
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出
方程：F ＝F
合 向．
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点四 圆周运动中的临界问题
临界问题广泛地存在于中学物理中，解答临界问题的关键是准确判断临界状态，
再选择相应的规律灵活求解，其解题步骤为：
1．判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题
述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，
表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有
“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值
点也往往是临界状态．
2．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态
出现的条件，并以数学形式表达出来．
3．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动
过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
【典例1】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速
度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与
盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为
30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是( )
A. rad/s B． rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
解析：选C.小物块恰好滑动时，应在A点，对滑块受力分析．由牛顿第二定律得
μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r，解得ω＝1.0 rad/s，C正确．
【典例2】(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r
＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v ，则
0
要使小球不脱离圆轨道运动，v 应当满足(取g＝10 m/s2)( )
0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．v≥0 B．v≥4 m/s
0 0
C．v≥2 m/s D．v≤2 m/s
0 0
解析：选CD.当v 较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足
0
的条件是mg≤，又根据机械能守恒定律有mv2＋2mgr＝mv，得v≥2 m/s，C正确．
0
当v 较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位
0
置处时速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr＝mv，得v≤2 m/s，D正确．
0
分析圆周运动问题的基本思路
1．如图所示，由于地球的自转，地球表面上P、Q两物体均绕地球自转轴做匀速
圆周运动，对于P、Q两物体的运动，下列说法正确的是( )
A．P、Q两点的角速度大小相等
B．P、Q两点的线速度大小相等
C．P点的线速度比Q点的线速度大
D．P、Q两物体均受重力和支持力两个力作用
解析：选A.P、Q两点都是绕地轴做匀速圆周运动，角速度相等，即ω ＝ω ，选
P Q
项A对．根据圆周运动线速度v＝ωR，P、Q两点到地轴的距离不等，即P、Q两点圆
周运动线速度大小不等，选项B错．Q点到地轴的距离远，圆周运动半径大，线速度
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】大，选项C错．P、Q两物体均受到万有引力和支持力作用，二者的合力是圆周运动的
向心力，我们把与支持力等大反向的平衡力即万有引力的一个分力称为重力，选项 D
错．
2. 如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运
动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是( )
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc运动
解析：选A.若拉力突然消失，小球将沿切线Pa做离心运动，A正确；若拉力突然
变小，小球将沿Pb做离心运动，而拉力变大时，小球应沿Pc做近心运动，故B、C、
D均错误．
3. 如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6 400 km，地面上
行驶的汽车重力G＝3×104 N，在汽车的速度可以达到需要的任意值，且汽车不离开
地面的前提下，下列分析中正确的是( )
A．汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大
B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于3×104N
C．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都小于他自身的重力
D．如果某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感
觉
解析：选C.汽车的速度越大，则汽车对地面的压力越小，不论汽车的行驶速度如
何，驾驶员对座椅压力大小都小于他自身的重力，选项 C正确A、B错误；如果某时
刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员会有完全失重的感觉，选项D错
误．
4．风速仪结构如图(a)所示．光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋
转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被遮挡．已知
风轮叶片转动半径为r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈．若某段时间Δt内探测器
接收到的光强随时间变化关系如图(b)所示，则该时间段内风轮叶片( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．转速逐渐减小，平均速率为
B．转速逐渐减小，平均速率为
C．转速逐渐增大，平均速率为
D．转速逐渐增大，平均速率为
解析：选B.从图中可看出，挡光时间越来越长，所以转速减小，Δt时间内有4个
挡光时间，所以Δt时间内风轮转过的弧长为2πrn×4，平均速率v＝，B正确．
5．某机器内有两个围绕各自固定轴匀速转动的铝盘 A、B，A盘固定一个信号发
射装置P，能持续沿半径向外发射红外线，P到圆心的距离为28 cm.B盘上固定一个带
窗口的红外线信号接收装置Q，Q到圆心的距离为16 cm.P、Q转动的线速度均为4π
m/s.当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，如图所示，则Q每隔一
定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值为( )
A．0.42 s B．0.56 s
C．0.70 s D．0.84 s
解析：选B.由线速度和周期关系T＝可得T ＝ s＝0.14 s，T ＝ s＝0.08 s，设该时
P Q
间的最小值为t，则该t是两个周期数值的最小公倍数，即t＝0.56 s，选项B正确．
6. 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为
质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平
面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F .(g取10 m/s2，结果
T
可用根式表示)求：
(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω 至少为多大？
0
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解析：(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如
图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】牛顿第二定律及向心力公式得：
mgtan θ＝mωlsin θ
解得ω＝
即ω＝ ＝ rad/s.
0
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：
mgtan α＝mω′2lsin α
解得：ω′2＝，即ω′＝ ＝2 rad/s.
答案：(1) rad/s (2)2 rad/s
7. (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一
圆弧，当汽车行驶的速率为v 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．在该弯
c
道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于v，车辆便会向内侧滑动
c
C．车速虽然高于v，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
c
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v 的值变小
c
解析：选AC.类比火车转弯时的运动和受力情况．当汽车的速率为 v 时，汽车恰
c
好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明此时汽车只受重力和支持力，这两个力的合
力提供向心力，故路面一定是外高内低，构成一个斜面，A正确．当车速在低于v 的
c
一定范围内时，车所需向心力减小，具有向内侧滑动的趋势，但不一定滑动，故 B错
误．同理，当车速在高于v 的一定范围内，车辆有向外侧滑动的趋势，当车速高于某
c
个速度值时，汽车受到的摩擦力达到最大静摩擦力，汽车便会向外侧滑动，故 C正确．
路面结冰时，最大静摩擦力减小，v 值不变，D错误．
c
8. (多选)如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速
转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都
为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，下列说法正确的是( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
解析：选BD.对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力
提供向心力，有f＝(3m)ω2r≤μ(3m)g，故选项A错误，B正确；由于A、AB整体、C受
到的静摩擦力均提供向心力，故对A有(3m)ω2r≤μ(3m)g，解得ω≤ ；
对AB整体有(3m＋2m)ω2r≤μ(3m＋2m)g，解得
ω≤ ；
对C有mω2(1.5r)≤μmg，解得ω≤ .
选项C错误，D正确．
9．未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，
有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴
线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相
同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
解析：选B.旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝
mω2r，解得ω＝，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选
项B正确．
10．(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图
所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω
匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．a绳的张力不可能为零
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω＞ ，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
解析：选AC.对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重
力，解得T＝，为定值，A正确，B错误；当Tcos θ＝mω2l⇒ω＝ 时，b绳的弹力为零，
a a
若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确；由于绳b可能没有弹力，故绳b突然
被剪断，则a绳的弹力可能不变，D错误．
11．(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝
90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L
＝100 m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25
倍．假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打
滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g取10 m/s2，π＝3.14)，则
赛车( )
A．在绕过小圆弧弯道后加速
B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
解析：选AB.要使赛车绕赛道一圈时间最短，则通过弯道的速度都应最大，由f＝
2.25mg＝m可知，通过小弯道的速度v ＝30 m/s，通过大弯道的速度v ＝45 m/s，故绕
1 2
过小圆弧弯道后要加速，选项A、B正确；如图所示，由几何关系可得AB长x＝＝50
m，故在直道上的加速度a＝＝ m/s2≈6.5 m/s2，选项C错误；由sin＝＝可知，小圆弧
对应的圆心角θ＝，故通过小圆弧弯道的时间t＝＝＝ s＝2.79 s，选项D错误．
12．如图所示，甲、乙两个质量相同的小球（视为质点）用等长轻质细线1、2连
接，悬挂在天花板上的O点，两球在各自的水平面内做匀速圆周运动，并处于相对静
止状态，细线与竖直方向的夹角分别为 、 （ 、 非常小，可以取 ，
）。则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．
B．甲、乙两球的动量之比为
C．甲、乙两球的向心力之比为
D．细线1、2拉力的竖直分力之比为
【答案】D
【详解】A．甲、乙相对静止做稳定的匀速圆周运动，每转一圈需要的时间相同，角速
度相等设为 ，设细线1、2的长度均为L，拉力分别 、 ，设甲、乙的质量均为
m，对乙进行受力分析，把 分别沿竖直方向和水平方向分解，则有
对甲、乙组成的整体进行受力分析，把 分别沿竖直方向和水平方向分解，则有
联立以上式子解得
故A项错误；
B．根据
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】结合之前的分析可得
故B项错误；
C．对甲球受力分析有
对乙球同理有
结合之前的分析解得
故C项错误；
D．由之前的分析可知，两细线竖直方向分力分别为
解得
故D项正确。
故选D。
13．如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、 和 为半径的同
心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速
度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇
水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用 、 、 和 、 、 表示。
花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长
度和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若 ，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
【答案】D
【详解】AB．根据平抛运动的规律
解得
可知若h1=h2，则
v1:v2 =R1:R2
若v1=v2，则
选项AB错误；
C．若 ，则喷水嘴各转动一周的时间相同，因v1=v2，出水口的截面积相同，可
知单位时间喷出水的质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆
总数量较小，可知得到的水量较多，选项C错误；
D．设出水口横截面积为S0，喷水速度为v，在圆周上单位时间内单位长度的水量为
若 ，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】选项D正确。
故选D。
14．如图所示，物体A、B用细线连接，在同一高度做匀速圆周运动，圆心均为点
O。在某时刻，细线同时断裂，两物体做平抛运动，同时落在水平面上的同一点。连
接A、B的细线长度分别为10l、5l，A、B圆周运动的半径分别为6l、4l，则O点到水
平面的高度为（忽略物体的大小和细线质量）（ ）
A．6l B．10l C．12l D．15l
【答案】C
【详解】两球落地时水平方向的位移关系如图
由几何关系可得
由平抛规律可知水平方向
下落的高度
小球做圆周运动时受力情况如图
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由相似关系可得
联立可得
故选C。
15．（多选）如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，质量为0.6kg的
小球C（小球可视为质点）用细绳拴在铁钉B上，A、B、C在同一直线上， 时，给
小球一垂直于绳、大小为2m/s的速度，使小球在水平面上做圆周运动。在 时
间内，细绳的拉力大小随时间变化的规律如图（b）所示，若细绳能承受的最大拉力为
6.4N。则下列说法正确的是（ ）
A． B．两钉子间的距离为0.2m
C．当 时，细绳承受的拉力大小为3ND．小球从开始运动到绳被拉断历时
2.0πs
【答案】BCD
【详解】AB．在 内绳子的拉力不变，根据牛顿第二定律
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得
在 内绳子的拉力不变，根据牛顿第二定律
解得
小球从如图位置到绳第一次与A相碰，所用的时间为
绳与A碰后到第一次与B相碰，所用时间为
则
，
故A错误，B正确；
C．当 时，细绳承受的拉力大小为
故C正确；
D．当绳子的拉力变成6.4N时，根据牛顿第二定律有
解得
两钉子间的距离为0.2m，所以绳子第一次与A碰撞后，绳子再次与钉子碰撞绳子的长
度一次为0.8m、0.6m、0.4m、0.2m，所以当绳子拉断时，绳子的长度应为 0.2m，可
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】知绳子与A碰撞3次，与B碰撞2次，第三次到第五次的时间为
小球从开始运动到绳被拉断时间为
故D正确。
故选BCD。
16．（多选）如图所示，水平转盘上沿半径方向放着用细线相连的物体A和B，细线
刚好拉直，A和B质量都为m，它们位于圆心两侧，与圆心距离分别为r、2r，A、B与
盘间的动摩擦因数 相同。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘从静止开始缓慢
加速到两物体恰要与圆盘发生相对滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绳子的最大张力为
B．A与转盘的摩擦力先增大后减小
C．B与转盘的摩擦力先达到最大静摩擦力且之后保持不变
D．开始转动时两物块均由指向圆心的静摩擦力提供向心力，绳子无拉力
【答案】CD
【详解】D．开始转动时两物块均由指向圆心的静摩擦力提供向心力，绳子无拉力，只
有当B的摩擦力达到最大时绳子上才会出现拉力，故D正确；
BC．第一阶段，两物块在随转盘一起转动的过程中，仅由摩擦力提供向心力，方向指
向各自做圆周运动的圆心。由题可知物块B做圆周运动的半径更大，由 知物
块B的摩擦力先达到最大静摩擦 ，此时A受到的静摩擦力为 。
第二阶段，物块B在摩擦力达到最大的瞬间将要开始滑动，但与A用绳子连接，故此
时绳子上产生张力，随着转盘角速度的增大，所需向心力也逐渐增大，而物块B所受
摩擦力在达到最大后不变，绳子上的张力开始增大，B需要的向心力始终是A的2倍，
由于 ，所以这个过程中A受到的摩擦力逐渐减小，直至为零。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第三阶段，当A受到的摩擦力减为零，而转速继续增大时，A受到的摩擦力方向将发
生变化，背离圆心，且摩擦力逐渐增大，直至增大到最大静摩擦，之后继续增加转速，
AB将发生滑动。
可知A与转盘的摩擦力先增大后减小再增大；B与转盘的摩擦力先达到最大静摩擦力
之后保持不变，故B错误，C正确；
A．当两物块恰好要与圆盘发生相对滑动时，绳子张力最大。分别对两物块有
根据牛顿第三定律始终有
解得
故A错误。
故选CD。
17．如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀
速转动，规定经过圆心O点且水平向右为x轴正方向．在O点正上方距盘面高为h＝5
m处有一个可间断滴水的容器，从t＝0时刻开始，容器沿水平轨道向x轴正方向做初
速度为零的匀加速直线运动．已知t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落
到盘面时再滴下一滴水．(取g＝10 m/s2)
(1)每一滴水离开容器后经过多长时间滴落到盘面上？
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度ω应为多大？
(3)当圆盘的角速度为1.5 π时，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离为2
m，求容器的加速度a.
解析：(1)离开容器后，每一滴水在竖直方向上做自由落体运动，则每一滴水滴落
到盘面上所用时间t＝＝1 s.
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，则圆盘在1 s内转过的弧度
为kπ，k为不为零的正整数．
由ωt＝kπ得ω＝kπ＝kπ，其中k＝1,2,3，….
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)第二滴水离O点的距离为x＝at2＋(at)t＝a
1
第三滴水离O点的距离为x＝a(2t)2＋(a·2t)t＝4a
2
又Δθ＝ωt＝1.5π
即第二滴水和第三滴水分别滴落在圆盘上x轴方向及垂直x轴的方向上，所以x＋
x＝x2
即2＋(4a)2＝22，解得a＝ m/s2.
答案：(1)1 s (2)kπ，其中k＝1,2,3，…
(3) m/s2
18．如图1所示，水平圆盘上质量 与 的A、B两个物块，用一根不
可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过圆盘圆心。AB一起随圆盘绕竖直中心轴 转动，
转动角速度 从零开始缓慢增大，直到有物块相对圆盘运动为止。A、B两物块转动半
径 ， 。两物块与圆盘间的动摩擦因数均为 ，取最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，重力加速度为 。
（1）若先将轻绳去掉，将A、B两物块先后单独放到如图所示位置，分别求出A、B相
对圆盘静止时圆盘转动的最大角速度？若将A、B两物块同时放到图所示位置（无轻
绳），逐渐增大圆盘转动角速度，哪个物块先滑动？
（2）在A、B两物块间加上轻绳，如1所示，随着圆盘转动角速度逐渐增大，绳上的
力从无到有，使得物块相对圆盘保持静止的时间延长。求当角速度 为多大时，A受
到的静摩擦力达到最大值？
（3）求当角速度继续增大至 时，B受到的静摩擦力的大小？
（4）当角速度继续增大至 时，AB物块组成的系统相对圆盘开始滑动，求 的大小？
并将物块B受到的摩擦力 与 的分段函数关系图像画在图2中（取指向转轴的方向
为摩擦力的正方向，图像中要有重要点的横纵坐标值）。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1） ； ，B 最先滑动；（2） ；（3）
；（4） ；
【详解】（1）对物块A：当
即
A开始滑动。
对物块B：当
即
B开始滑动。
因为 ，所以当两物块同时随圆盘转动时物块B最先滑动。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）当B的角速度 时绳上有拉力，且在该角速度范围内B受到的静摩擦
力始终为最大静摩擦力。即
当 时，对A有
对B有
联立解得
（3）当AB所受的静摩擦力均达到最大值后，若 再增大，因A所需向心力大于B所
需向心力，但绳上的拉力T相同，则B的静摩擦力将减小。
对A有
对B有
解得
（4）当角速度大于 时，B受到的静摩擦力反向，即背离圆心，设当反向后的静摩擦
力达到最大值时圆盘的角速度为
故对A有
对B有
联立解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】19．如图所示，AB为竖直光滑圆弧的直径，其半径 ，A端沿水平方向。
水平轨道BC与半径 的光滑圆弧轨道CDE相接于C，D为圆轨道的最低点，
圆弧轨道CD，DE对应的圆心角 。圆弧和倾斜传送带EF相切于E点，EF的长
度为 。一质量为 的物块（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲
上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E点，随
后物块滑上传送带EF。已知物块经过E点时速度大小与经过C点时速度大小相等，已
知传送带以v=12m/s的速度向上转动，且物块与传送带EF间的动摩擦因数 ，g
取 10m/s2， ， 。求：
（1）物块从A点飞出的速度大小 和在A点受到的支持力大小 （结果保留两位有
效数字）；
（2）物块到达C点时的速度大小 及对C点的压力大小 ；
（3）试通过计算判定物块能否被送到F端。
【答案】（1）8m/s；61N；（2）10m/s；208N；（3）见解析
【详解】（1）小球从A点到C点做平抛运动，竖直方向有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得
在C点，有
解得
在A点，对物块根据牛顿第二定律得
解得
（2）物块到达C点时速度大小
在C点对物块，根据牛顿第二定律可得
代入数据解得
由牛顿第三定律知，物块对C点的压力大小 ；
（3）因物块的速度小于传送带速度，故物块受沿传送带向上的摩擦力，又
所以物块匀减速运动
当速度减为0时，由
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得发生的位移为
大于传送带的长度24m，故能到达F端。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
