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第 1 讲 机械振动
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分。其中1～6题为单选，7～10
题为多选)
1．一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
答案 D
解析 弹簧振子做简谐运动时，加速度方向与位移方向总是相反，若位移为负
值，加速度一定为正值，而速度可能为正值，也可能为负值，故A错误。振子每次
通过平衡位置时，加速度为零，由于速度有两种方向，所以速度大小相同，方向可
能不同，故B、C错误。振子每次通过同一位置时，位移相同，回复力相同，加速度
一定相同，速度大小相同，方向可能不同，故D正确。
2．(2020·北京市东城区一模)如图甲所示，弹簧的一端固定在竖直墙壁上，另一
端与一个带孔小球连接，小球穿在水平固定的光滑杆上。O点为小球的平衡位置，
并以其为坐标原点建立x轴。小球可在a、b两点之间做简谐运动。图乙为小球的振
动图像。下列说法正确的是( )
A．t 时刻小球运动到b点
1
B．t 时刻小球的速度为零
2
C．从t 到t 时间内小球的回复力变大
1 2
D．从t 到t 时间内小球的加速度变小
3 4答案 D
解析 由图乙可知，t 时刻小球运动到x轴负向最大位移处即a点，故A错误
1
由图乙可知，t 时刻小球在平衡位置，则速度最大，故B错误；由图乙可知，从t 到
2 1
t 时间内小球从a→O，则小球的回复力变小，故C错误；由图乙可知，从t 到t 时
2 3 4
间内小球从b→O，则小球距离平衡位置的位移变小，由－kx＝ma，可知小球的加
速度变小，故D正确。
3．(2020·山东省潍坊市期末)某质点做简谐运动的振幅为A，周期为T，则质点
在时间内的最大路程是( )
A．1.5A B.A
C.0.5A D.0.2A
答案 B
解析 质点振动速度越大，在相同时间内的振动路程越大，已知质点在平衡位
置处速度最大，所以质点在平衡位置上下方各振动时间的路程为时间内的最大路
程，且s ＝2Asin＝A，B正确，A、C、D错误。
m
4．(2020·山东省德州市一模)用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运
动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆
平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左匀加速运动时，让单摆小幅度前后摆
动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，
径迹与中央虚线的交点分别为A、B、C、D，用刻度尺测出A、B间的距离为x ；C、D
1
间的距离为x 。已知单摆的摆长为L，重力加速度为g，则此次实验中测得的物体
2
的加速度为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意可知，AB段、BC段、CD段的时间相等且都等于单摆的半周期，
2
由匀变速直线运动规律得x －x ＝2a ，其中T为单摆的周期，则T＝2π ，联立解得
2 1a＝，故A、C、D错误，B正确。
5.(2020·北京市高三下高考临门一脚全真模拟)如图所示，一轻质弹簧上端固
定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D两点
之间做周期为T的简谐运动。已知在t
1
时刻物块的速度大小为v，方向向下，动能
为E 。下列说法错误的是( )
k
A．如果在t
2
时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t
2
－t
1
的最小值小于
B．如果在t 时刻物块的动能也为E ，则t －t 的最小值为T
2 k 2 1
C．物块通过O点时动能最大
D．当物块通过O点时，其加速度最小
答案 B
解析 物块做简谐运动，物块同向经过关于平衡位置对称的两点时动量相等，
所以如果在t
2
时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t
2
－t
1
的最小值小于，A正
确；物块经过同一位置或关于平衡位置对称的位置时动能相等，如果在 t 时刻物
2
块的动能也为E ，则t －t 的最小值可以小于T，B错误；图中O点是平衡位置，物
k 2 1
块经过O点时速度最大，动能最大，加速度最小，C、D正确。本题选说法错误的，
故选B。
6.(2020·山东省青岛市西海岸新区 4月模拟)两单摆在不同的驱动力作用下其
振幅A随驱动力频率f变化的图像如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是( )
A．单摆振动时的频率与固有频率有关，振幅与固有频率无关
B．若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1
C．若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速
度之比为4∶1D．周期为2 s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长约为2 m
答案 B
解析 做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，由驱动力的频率决定，与
物体的固有频率无关，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，发生共振，物体的
振幅最大，A错误；由图像可知，甲、乙两个单摆的固有频率之比为1∶2，由T＝＝
2π 可知，l＝，若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1，若两单
摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为1∶4，
B正确，C错误；周期为2 s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长l＝≈1 m，D
错误。
7．(2020·江苏省常州市期末)关于某物体受迫振动的共振曲线，下列判断正确
的是( )
A．物体的固有频率等于f
0
B．物体做受迫振动时的频率等于f
0
C．物体做受迫振动时振幅相同，则频率必相同
D．为避免共振发生，应该让驱动力的频率远离f
0
答案 AD
解析 当驱动力的频率等于物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大，由图可
知，物体的固有频率等于f ，A正确；物体做受迫振动时，只有当发生共振时频率
0
才是f ，即物体做受迫振动的频率不一定等于f ，B错误；由题图可知，物体做受迫
0 0
振动时振幅相同，频率不一定相同，C错误；根据产生共振的条件可知，为避免共
振发生，应该让驱动力的频率远离f ，D正确。
0
8.如图所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，下列说法正确的是(
)A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲摆的振幅比乙摆的大
C．甲摆的机械能比乙摆的大
D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
答案 ABD
解析 由题图可知，两单摆的周期相同，同一地点重力加速度g相同，由单摆
的周期公式T＝2π得知，甲、乙两单摆的摆长相等，A正确；甲摆的振幅为10 cm，
乙摆的振幅为7 cm，则甲摆的振幅比乙摆大，B正确；尽管甲摆的振幅比乙摆大，
两摆的摆长相等，但由于两摆的摆球质量未知，故无法比较机械能的大小，C错误
在t＝0.5 s时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负的最大，
则乙摆具有正向最大加速度，D正确。
9.(2020·天津市南开翔宇学校高三第八次统练)如图，轻弹簧上端固定，下端连
接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动，以竖直向上为正方向，物块简谐运动的
表达式为y＝0.1sin(2.5πt) m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s
时，小球恰好与物块处于同一高度，取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判断正
确的是( )
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
答案 AB解析 由简谐运动表达式可得， t＝0.6 s 时，物块的位移为 y＝
0.1sin(2.5π×0.6) m＝－0.1 m；则对小球有：h－y＝gt2，计算得出h＝1.7 m，所以A
正确；由物块简谐运动的表达式可以知道，物块简谐运动的周期T＝＝ s＝0.8 s，
故B正确；振幅为0.1 m，则0.6 s＝T内物块运动的路程为3A＝0.3 m，故C错误；t
＝0.4 s＝时，y＝0，物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，
故D错误。
10. 如图所示，甲、乙两木块叠放在光滑水平面上，质量分别为m和M，甲木块
与乙木块之间的最大静摩擦力为f ，乙木块与劲度系数为k的轻质弹簧连接构成
m
弹簧振子，为使甲木块和乙木块在振动过程中不发生相对滑动，则( )
A．它们的振幅不能大于A＝
B．它们的振幅不能大于A＝
C．它们的最大加速度不能大于
D．它们的最大加速度不能大于
答案 BD
解析 当甲木块和乙木块在振动过程中恰好不发生相对滑动时，甲、乙两木块
间静摩擦力在最大位移处达到最大。根据牛顿第二定律，以甲木块为研究对象，最
大加速度a ＝，C错误，D正确；以甲、乙两木块整体为研究对象，kA ＝(M＋
m max
m)a ，代入a ＝得，A ＝，A错误，B正确。
m m max
二、非选择题(本题共3小题，共40分)
11．(2021·北京市朝阳区高三(上)期末节选)(12分)如图1所示，绝缘细线的一
端系一带正电小球，另一端固定在O点，整个装置处于光滑绝缘水平面上，空间存
在一水平向右的匀强电场，电场强度大小为E，小球静止时处于A点，图2为俯视
图。已知细线长度为L，小球质量为m，带电荷量大小为q，重力加速度为g，不计空
气阻力，细线的长度不变。
保持细线伸直，将小球在水平面上拉离A点一个很小的距离，由静止释放，小球将做简谐运动，类比单摆的周期公式求出小球做简谐运动的周期。
答案 2π
解析 单摆的周期公式为T＝2π
由牛顿第二定律得qE＝ma
解得a＝
将g＝a代入单摆的周期公式得，小球做简谐运动的周期T′＝2π 。
12.(2020·河南省三市第二次质量检测)(12分)如图所示，一质量为m ＝2 kg的
B
物体B放在水平地面上，一劲度系数为k＝500 N/m的轻质弹簧，下端与物体B相
连，上端与一质量为m ＝1.5 kg的物体C相连，在C的上方放一物体D。弹簧呈竖
C
直状态且整体静止不动。现在突然去掉物体D后，物体C就沿竖直方向上下做简
谐运动，且当物体C竖直向上运动到最高点时，物体B对地面压力刚好为零。g＝
10 m/s2。试求：
(1)C沿竖直方向上下做简谐运动的振幅；
(2)物体D的质量。
答案 (1)0.07 m (2)3.5 kg
解析 (1)由题意可知，弹簧被压缩到弹力等于物体C重力的位置即为物体C
沿竖直方向做简谐运动的平衡位置。设物体D放在物体C上之前，物体C静止在
弹簧上端时弹簧的压缩量为x ，则有m g＝kx
1 C 1
代入数据解得x ＝0.03 m
1
设去掉物体D后，物体C运动到最高点时弹簧的伸长量为x ，则有m g＝kx
3 B 3
代入数据解得x ＝0.04 m
3
设物体C在竖直方向做简谐运动的振幅为A，由简谐运动规律知
A＝x ＋x ＝0.03 m＋0.04 m＝0.07 m。
1 3
(2)设物体D放在物体C上静止时，弹簧的压缩量为x ，则有(m ＋m )g＝kx
2 C D 2
分析物体C做简谐运动的过程可知，x －x ＝A＝0.07 m
2 3
则代入数据可得m ＝3.5 kg。
D
13．(16分)地心隧道是根据凡尔纳的《地心游记》所设想出的一条假想隧道，它
是一条穿过地心的笔直隧道，如图所示。假设地球的半径为R，质量分布均匀，地
球表面的重力加速度为g。已知均匀球壳对壳内物体引力为零。
(1)不计阻力，若将物体从隧道口静止释放，试证明物体在地心隧道中的运动
为简谐运动；
(2)理论表明：做简谐运动的物体的周期T＝2π ，其中，m为振子的质量，物体
的回复力为F＝－kx，求物体从隧道一端静止释放后到达另一端需要的时间 t(地
球半径R＝6400 km，地球表面的重力加速度为g＝10 m/s2)。
答案 (1)证明见解析 (2)41.9 min
解析 (1)物体在地表时重力近似等于万有引力，有：＝mg
M＝ρπR3
以地心为位移起点，设某时刻物体的位移为x，
则半径为|x|的球的质量M′＝ρ·π·|x|3，
由于均匀球壳对壳内物体引力为零，则此时物体所受引力大小F＝G
考虑到F与x方向相反，联立可得：F＝－x，为常数，即该物体的运动为简谐运
动。
(2)由F＝－kx，F＝－x，得k＝，
代入T＝2π 得，该物体做简谐运动的周期为：
T＝2π
物体从隧道口一端静止释放后到达另一端所用的时间为半个周期，则有：t＝
＝π
地球半径R＝6400 km＝6.4×106 m，地表重力加速度为g＝10 m/s2，π＝3.14，
代入数据可得：t＝2512 s≈41.9 min。
