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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第9 章 机械振动和机械波
第9.4 讲 机械波的多解问题
【知识点精讲】
造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确。
②空间周期性：波传播的距离Δx 与波长λ 的关系不明确。
两质点间关系不确定形成多解，在波的传播方向上，如果两质点距离不确定或相位之间关系不确
定，会开成多解，若不会联想所有的可能性，就会出现漏解。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
波总是由波源发生并由近及远地向前传播，波在介质中传播时，介质各质点的振动情况根据波的
传播方向是可以确定的，反之亦然，因此，根据题中的已知条件不能确定波的传播方向或者不能
确定质点的振动方向，就会出现多解。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
沿着波的传播方向，相隔一个波长的连续两个相邻的质点振动的步调是完全相同的；在时间上相
隔一定周期的前后两个相邻时刻的波形图形是完全相同的，所以，当题中已知条件没有给定传播
的时间(波传播的时间△t 与周期T 之间的大小关系不确定)或是没有给定波的传播距离(波的传播
距离△x 与波长λ 之间的大小关系不确定)，就会出现多解现象。
【方法归纳】
求解波的多解问题一般思路
(1) 一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt 或Δx，若此关
系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，
2，…)。。
(2)根据题设条件判断是唯一解还是多解。
(3)根据波速公式v＝或v＝＝λf 求波速。
1
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【最新高考题精练】
1. （2022 山东物理）一列简谐横波沿x 轴传播，平衡位置位于坐标原点O 的质点振动图像如右图所示。当
时，简谐波的波动图像可能正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】AC
【命题意图】本题考查对振动图像的理解和机械波及其相关知识点。
【名师解析】
由O 点的振动图像可知，周期为T=12s，设原点处的质点的振动方程为
则
，解得
在t=7s 时刻
因
2
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则在t=7s 时刻质点在y 轴负向向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形为图C 所示；若波
向左传播，则波形如图A 所示。故选AC。
2. （2021 新高考辽宁卷）一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，t=2s 时的波形如图（a）所示，
x=2m 处质点的振动图像如图（b）所示，则波速可能是
A．
m/s B．
m/s C．
m/s D．
m/s
【参考答案】A
【解题思路】由振动图像可知周期T=4s，由波形图和x=2m 处质点的振动图像可知，半波长可
能为2m，波长可能为λ1=4m；1.5 个波长可能为2m，波长可能为λ2=4/3m；2.5 个波长可能
为2m，波长可能为λ3=4/5m；···。由波长与波速关系式λ=vT，可知波速可能为
v1=λ1/T=1m/s；可能为v2=λ2/T=1/3m/s；可能为v3=λ3/T=1/5m/s；选项A 正确。
3．（2021 高考新课程I 卷山东卷）一列简谐横波沿x 轴传播，如图所示，实线为t1=2s 时的波形图，虚线
为t2=5s 时的波形图。以下关于平衡位置在O 处质点的振动图像，可能正确的是（ ）
3
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【参考答案】BC
【名师解析】若简谐横波沿x 轴正方向传播，波动周期为4s，平衡位置在O 处质点的振动图像，可能正确
的是B；若简谐横波沿x 轴负方向传播，波动周期为12s，平衡位置在O 处质点的振动图像，可能正确的
是C。
4. （2019 高考理综天津卷）一列简谐横波沿x 轴传播，已知x 轴上x1＝1 m 和x2＝7 m 处质点的振动图象
分别如图1、图2 所示，则此列波的传播速率可能是( )
图1
图2
A．7 m/s
B．2 m/s
C．1.2 m/s
D．1 m/s
【参考答案】BC
【名师解析】 由题图可知周期T＝4 s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正的
最大位移处。①该列波若沿x 轴正方向传播，其波形如图甲所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或
A3……
4
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甲
则有x2－x1＝λ(n＝0,1,2，…)
得波速表达式v＝＝＝(n＝0,1,2，…)
当n＝0 时，v＝6 m/s；当n＝1 时，v＝1.2 m/s。C 正确。
②若该列波沿x 轴负方向传播，其波形如图乙所示。
乙
则有x2－x1＝λ(n＝0,1,2，…)
得v＝＝＝(n＝0,1,2，…)
当n＝0 时，v＝2 m/s；当n＝1 时，v≈0.86 m/s。B 正确。
5. （2016 高考四川理综物理）简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q 是传播方向上相距10 m 的两质点，
波先传到P，当波传到Q 开始计时，P、Q 两质点的振动图像如图所示。则
A.质点Q 开始振动的方向沿y 轴正方向
B.该波从P 传到Q 的时间可能为7 s
C.该波的传播速度可能为2 m/s
D.该波的波长可能为6 m
【参考答案】AD
【名师解析】由Q 点的振动图象可知，质点Q 开始振动的方向沿y 轴正方向，周期为T=6s，选项A 正确。
波从P 向Q 传播，画出PQ 之间的波形可知，2λ/3+nλ=10，解得λ=30/(2+3n)m。当n=0 时，波长为
15m；当n=1 时，波长为6m；选项D 正确。该波从P 传到Q 的时间可能为2T/3+nT，当n=0 时，时间为
4s；当n=1 时，时间为10s；···所以不可能为7 s，选项B 错误。该波的传播速度可能为v=λT=5/(2+3n)m
5
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/s，当n=0 时，速度为2 .5m/s；当n=1 时，速度为1. 0m/s；···不可能为2 m/s，选项C 错误。
考点：振动图像；机械波的传播
【最新模拟题精练】
1. （2023 江苏盐城重点高中质检）如图所示，一列简谐横波沿x 轴传播，在t1=0 时刻波形如图中的实线所
示，t2=0.5s 时刻的波形如图虚线所示，下列说法正确的是（ ）
A. 波的传播速率不可能为12m/s
B. 波的传播速率不可能为20m/s
C. 波的周期不可能为2s
D. 波的周期不可能为1s
【参考答案】D
【名师解析】
若波向右传播，则在0.5s 时间内，向右传播的距离为
则波速为
故当
时，
，故A 错误；
若波向左传播，则在0.5s 时间内，向左传播的距离为
则波速为
故当
时，
，故B 错误；
6
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由题图
，由
可知，当波向左传播时
，故当
时，
，故C 错误；
当波向右传播时
故波向右传播时周期不可能等于1s。当波向左传播时
若此时
，则
，n 不是整数，不符合题意，故波的周期不可能为1s，D 正确。
2. (5 分)(2022 甘肃酒泉三模)一根拉紧的水平弹性绳上的a、b 两质点间的距离为1.2 m,b 质点在a 质点的右
侧,一列简谐横波沿此弹性绳向右传播。t=0 时a 质点的位移达到正向最大,b 质点的位移恰好为零,且向下运
动;t=1 s 时a 质点第一次回到平衡位置。若该波的波长大于1.2 m,则下列说法正确的是 。
A.这列简谐横波的波长为1.6 m
B.这列简谐横波的周期为2 s
C.这列简谐横波的波速为0.4 m/s
D.t=1 s 时,b 质点在平衡位置
E.t=5 s 时,a 质点在平衡位置
【参考答案】ACE
【名师解析】简谐波沿绳向右传播时,若a 点的位移达到正向最大,b 质点的位移恰好为零,且向下运动,则有
Δx=(n+ 3
4)λ(n=0,1,2,3,…),得到波长λ= 4 Δ x
4 n+3 = 4×1.2
4 n+3 m(n=0,1,2,3,…),该波长大于1.2 m,则n=0,所以波
长为λ0=1.6 m,A 正确;由于t=0 时a 质点的位移达到正向最大,t=1 s 时a 质点第一次回到平衡位置,可得T=4
s,则波速v= λ0
T = 1.6
4
m/s=0.4 m/s,B 错误,C 正确;由于周期T=4 s,t=0 时,b 质点的位移恰好为零,且向下运动,
所以,t=1 s 时,b 质点刚好到达波谷,D 错误;t=5 s 时,经过5
4
T,a 质点刚好回到平衡位置,选项E 正确。
3、（2022 山西临汾模拟）一列简谐横波向右传播，
、
两质点的平衡位置相距
，
点在
点的
7
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右方。已知波速为
，波长大于
。
时刻
点位于平衡位置且向上运动，此时
点刚好到达
波峰，下列说法正确的有（ ）
A. 这列波的波长可能为
B. 这列波的周期可能
C.
点和
点振动方向总相反
D.
点和
点不可能同时在平衡位置
E.
时刻
点
振动速度一定等于波速
【参考答案】ABD
【名师解析】
因为
时刻
点位于平衡位置且向上振动，
质点刚好达到波峰，则
之间的距离满足
而且因为波长大于
，则
或
；
当
时，
，则
当
时，
，则
故AB 正确；
根据上下坡法可知，当
两质点同时处于上坡或下坡时，两质点的振动方向相同，故
错误；
因为
之间的距离满足
，则
不可能同时在平衡位置，故D 正确；
质点的振动速度和波速没有必然关系，故E 错误；
4. （2023 湖南郴州重点高中质检） 浅层水波可视作简谐横波，如图2 所示A、B 两点为沿波源向外的一
8
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条直线上相距
的两点，已知波源的振动周期为
，A 点在振动的最高点，B 点在平衡位置。
则下列选项判断正确的是（ ）
A. 水波的波长最大为
B. 若B 点向上振动，则水波传播的最大速度为
C. 若B 点向下振动，则水波传播的最小速度为
D. 质点B 刚振动时，速度向右
【参考答案】B
【名师解析】
由题意可知，A 点在振动的最高点，B 点在平衡位置，则
整理得
当n=1 时，波长最大，为
A 错误；
B．B 点在平衡位置向上振动。当水波传播方向由A 向B 时，有
得
最大波长为0.6m，最大波速为
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当水波传播方向由B 向A 时，有
得
同理，最大波速为
则B 点向上振动，则水波传播的最大速度为
，B 正确；
C．波长与波速可以无限趋近零，故C 错误；
D．质点B 刚振动时，速度方向与AB 直线垂直，D 错误。
5. （2022 河南名校联盟大联考） 如图所示，一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，实线是
时的部分
波形图，虚线是
时的部分波形图，其他数据图中已标出，下列说法正确的是（ ）
A. 这列波的波长是
B. 这列波的周期可能是
C. 在
时，
处的质点振动方向沿y 轴负方向
D. 这列波的波速可能是
E. 在
内，
处的质点走过的路程可能是
【参考答案】BCE
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【名师解析】
由图可知，波长为
，A 错误；
B．一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，实线是
时的部分波形图，虚线是
时的部分波形图，
即
得
，当
时，周期为0.8s，B 正确；
C．在
时，
处的质点振动方向由“上坡下行”知，方向沿y 轴负方向，C 正确；
D．波速为
，当波的波速是
，不成立，D 错误；
E．在
内，
处的质点走过的路程为
当
处的质点走过的路程为
时，
成立，E 正确。
6. （2023 福建龙岩武平仿真模拟）如图所示，一列简谐横波沿x 轴负方向传播，在t1=0 时刻波形如图中的
实线所示，t2=0.5s 时刻的波形如图虚线所示，若该列波的周期T>0.5s，试求；
①该列波的波长λ、周期T 和波速v；
②在x 轴上质点P 在t=0 时刻的运动方向和t=3.0s 内通过的路程．
【参考答案】（1）8m；2s；4m/s（2）质点p 向y 轴负方向运动，0.3m
【名师解析】
（1 ）由图可知，波长λ=8m ，由于该波沿x 轴负方向传播，从t1=0 到t2=0.5s 时间内，有：
11
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(k=0，1，2，3….)又知T>0.5s，联立上式解得：k=0，则波的周期T=4∆t=2s
由
可得
（2）由于波沿x 轴负向转播，故t=0 时刻质点p 向y 轴负方向运动，又知
，
则质点P 在t=3.0s 时间内通过
路程为
7.（2023 广东汕头重点高中期中）15. (13 分)一列简谐横波t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如
图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s。问：
(1)这列波的传播速度是多少？
(2)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速是多大？
(3)若波速等于68 m/s，则波向哪个方向传播？
【名师解析】．
(1)由图知波长为8 m，若波向右传播，传播距离为
① 2 分
又有
② 2 分
若波向左传播，传播距离为
③ 2 分
又有
④ 2 分
(2)因波向左传播，且3T<Δt<4T，则必有
，故n＝3， ⑤ 1 分
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⑥2 分
(3)因波速v＝68 m/s，所以
，故波向右传播。⑦2 分
8. (多选)一列简谐横波沿直线传播，该直线上平衡位置相距9 m 的a、b 两质点的振动图象如
图所示，下列描述该波的图象可能正确的是( )
【参考答案】AC
【名师解析】 由振动图象可知，在t＝0 时，质点a 处在波峰位置，质点b 处在平衡位置且
向下运动。若简谐横波沿直线由a 向b 传播，有λ＋nλ＝9 m，解得波长的表达式：λ＝ m(n＝
0，1，2，3，4，…)，其波长可能值为12 m，5.14 m，…，选项C 正确；若简谐横波沿直线
由b 向a 传播，有λ＋nλ＝9 m，解得波长的表达式：λ＝ m(n＝0，1，2，3，4，…)，其波长
可能值为36 m，7.2 m，4 m，…，选项A 正确。
9．(多选)如图所示，一列简谐波沿一直线向左传播，当直线上某质点a 向上运动到达最大位
移时，a 点右方相距0.15 m 的b 点刚好向下运动到最大位移处，则这列波的波长可能是( )
A．0.6 m B．0.3 m C．0.2 m D．0.1 m
【参考答案】 BD
【名师解析】由题意可知，a、b 两点的振动方向始终相反，a、b 间的距离为半波长的奇数倍，
即：xab＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，解得：λ＝＝ m(n＝0，1，2，…)，当n＝0 时，λ＝0.3
m，选项B 正确；当n＝1 时，λ＝0.1 m，选项D 正确；波长不可能等于0.6 m 和0.2 m，选项
A、C 错误。
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10．一列简谐横波在t＝0 时刻的波形如图中的实线所示，t＝0.02 s 时刻的波形如图中虚线所
示。若该波的周期T 大于0.02 s，则该波的传播速度可能是( )
A．2 m/s B．3 m/s C．4 m/s D．5 m/s
【参考答案】B
【名师解析】 这类问题通常要设出波的传播方向：
(1)设波向右传播，则在0 时刻x＝4 cm 处的质点向上振动，t＝0.02 s 时刻该质点运动到波峰
的位置，由题意知T>0.02 s，则t＝T，即T＝0.08 s，v＝＝ m/s＝1 m/s。
(2)设波向左传播，则在0 时刻x＝4 cm 处的质点向下振动，t＝0.02 s 时刻该质点运动到波峰
的位置，由于T>0.02 s，则t＝T，即T＝ s，v＝＝ m/s＝3 m/s。
综上所述，只有B 选项正确。
11. (10 分)(2022 四川成都一模)如图所示,一列简谐横波沿x 轴正方向传播,t=0 时刻刚好传到A 点,此时相距
Δx=0.8 m 的P、Q 两质点运动方向相反,偏离平衡位置的位移均为y0=10 cm,其中,P 点在Q 点左侧但位置未
标出;从t=0 时刻开始,Q 质点经历1.4 s 第二次位于波峰。求:
(ⅰ)此列简谐横波的周期及1.4 s 末A 质点偏离平衡位置的位移;
(ⅱ)此列简谐横波的波速。
【参考答案】(ⅰ)1.2 s 10√3 cm
(ⅱ)v=
2
1+3n
m/s(n=0,1,2,3,…)
【名师解析】(ⅰ)设Q 质点的振动方程为yQ=Asin (ωt+φ)(0<φ< π
2)
A=20 cm
当t=0 时,yQ=y0=10 cm,代入得φ=π
6
当t=1.4 s 时,将yQ=A=20 cm 代入解得ω=5 π
3
rad/s
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则T=2π
ω
=1.2 s
A 质点的振动方程为yA=Asin ωt
当t=1.4 s 时,代入数据解得yA=10√3 cm。
(ⅱ)t=0 时刻,P、Q 两质点运动方向相反,位移均为y0=10 cm
P 质点的振动方程为yP=Asin (ωt+φ')(φ'> π
2)
波动具有周期性,由题意得φ'=5 π
6
+2nπ(n=0,1,2,3,…)
P、Q 两质点的相位差为Δφ=φ'-φ=2π
3
+2nπ(n=0,1,2,3,…)
P、Q 两质点的起振时间差为Δt= Δφ
ω = T Δφ
2π
=0.4(1+3n) s(n=0,1,2,3,…)
12、2022 湖南名校3 月联考)一列简谐横波沿x 轴传播,在x=0.1m 和0.6m 处的两个质点MN 的振动图像如
图所示.
(i)若简谐横波沿x 轴正方向传播,且该波的波长大于0.5m,求这列波的波速;
(ii)若简谐横波沿x 轴负方向传播,且该波的波长大于0.5m,求这列波的波长.
【参考答案】（i）v = 1
6 m/ s （3 分，若写成小数形式，只要合理，也可给分）
（ii）λ=
2
4 n+1 m（n=1，2，3，…） （5 分）
【命题意图】本题考查波的传播与振动图像的结合，考查学生分析综合方法的运用和科学推理能力。
【名师解析】（i）从y -t图象可知，周期为 T = 4 s，由于M、N 的距离为0.5m，且该波的波长大于
0.5m，所以波从M 传到N 的传播时间小于质点的振动周期。（1 分）
由图象可知，波从M 传到N 的传播时间为△t =3 s （1 分）
波速为v = Δ x
Δt = 0.5m
3 s = 1
6 m/ s （1 分）
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（ii）从y -t图象可知，周期为T = 4 s （1 分）
由于M、N 的距离为0.5m，且该波的波长小于0.5m，所以波从M 传到N 的传播时间大于质点的振动周期。
由图象可知，波从N 传到M 的传播时间为△t =(4 n+1)s（n=1，2，3，…） （1 分）
波速为v = Δ x
Δt =
0.5m
（4 n+1）s =
1
8n+2 m/ s（n=1，2，3，…） （1 分）
波长为λ = vT =
1
8n+2 m/ s ×4 s=
2
4 n+1 m（n=1，2，3，…） （2 分）
13. (2)（2021 山西省阳泉市期末）(10 分)在一列沿水平直线传播的简谐横波上，有相距0.4m 的B、C 两质
点,t1=0 时，B、C 两质点的位移为正的最大值，而且B、C 间有一个波谷。当t2=0.1s 时，B、C 两质点的位
置刚好在各自的平衡位置，此时波谷对应平衡位置到B 点的距离为波长的四分之一，试求：
（i）该简谐横波的周期、波速各为多少？
（ii）若波速为27m/s，质点B、C 之间距离C 点0.1m 的D 点在t1=0 时的振动方向如何？
【名师解析】
（i）由题意可知，t1=0 时波形应为下图中的实线所示，而t2=0.1s 时图线为下图中的虚线所示。
若波由
B 向C 传播，则
t2-t1= (n1+ 3
4 )T 1
结合＝0.4m,t2-t1=0.1s, 由
v= λ
T
可得
T 1=
1
10n1+7.5 s
其中n1=0, 1, 2. . .
(2 分)
v1=(4n1+3)m/s 其中n1=0, 1, 2. . .
(2 分)
同理，若波C 向B 传播，则
t2-t1= (n2+ 1
4 )T 2, 可得
T 2=
1
10n2+2.5 s
其中n2=0, 1, 2. . .
(1 分)
v2=(4n2+1)m/s , 其中n2=0, 1, 2. . .
(1 分)
（ii）只要预知波的传播方向就能确定质点的振动方向，把v=27 m/s带入v1,v2的表达式，
在v1的表达式中得到n=6 ，n 有整数解，故波是从B 向C 传播的。
(2 分)
分析可知：t1=0 时D 质点经平衡位置向下振动。
(2 分)
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