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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第9 章 机械振动和机械波
第9.1 讲 机械振动
【知识点精讲】
1．简谐运动
(1)定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t 图象)是
一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
(2)特点：简谐运动是最简单、最基本的振动。弹簧振子的运动就是简谐振动。
(3)简谐运动的图象：是一条正弦曲线，表示做简谐运动的质点位移随时间变化的规律。
(4)图象的应用：医院里的心电图、地震仪中绘制地震曲线的装置。
2．描述简谐运动的物理量
物理量
定义
意义
振幅
振动质点离开平衡位置的最大距离
描述振动的强弱和能量
周期
振动物体完成一次全振动所需时间
描述振动的快慢，两者互为倒
数：T＝
频率
振动物体单位时间内完成全振动的
次数
相位
ωt＋φ
描述周期性运动在各个时刻所
处的不同状态
3.简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝－
kx
，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝A_sin_( ωt
＋
φ 0)，其中A 代表振幅，ω＝2πf 代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简
谐运动的相位，φ0叫做初相。
4．简谐运动的图象
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，图象如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图象如图乙所示。
5．简谐运动的两种模型
1
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模型
弹簧振子(水平)
单摆
示意图
简谐
运动
条件
①弹簧质量要忽略
②无摩擦等阻力
③在弹簧弹性限度内
①摆线为不可伸缩的轻细线
②无空气阻力
③最大摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切
向)的分力
平衡
位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π
能量
转化
弹性势能与动能相互转化，机械
能守恒
重力势能与动能相互转化，机械
能守恒
6．简谐运动的回复力和能量
(1)回复力
项目
内容
定义
振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力
方向
指向平衡位置
表达式
F＝－
kx
(2)简谐运动的动力学特征
如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运
动就是简谐运动。
(3)振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
①在最大位移处，势能最大，动能为零。
②在平衡位置处，动能最大，势能最小。
(4)简谐运动的能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简
谐运动是一种理想化的模型。【版权
7．简谐运动中路程(s)与振幅(A)的关系
(1)质点在一个周期内通过的路程是振幅的4 倍．
(2)质点在半个周期内通过的路程是振幅的2 倍．
2
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(3)质点在四分之一周期内通过的路程有以下三种情况：
①计时起点对应质点在三个特殊位置(两个最大位移处和一个平衡位置)时，s＝A；
②计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间且向平衡位置运动时，s＞A；
③计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间且向最大位移处运动时，s＜A.
【方法归纳】
一、简谐运动的特征
1．受力特征：
简谐运动的回复力满足F＝－kx，位移x 与回复力的方向相反。由牛顿第二定律知，加速度a
与位移的大小成正比，方向相反。
2．运动特征：
当v、a 同向(即v、F 同向，也就是v、x 反向)时，v 一定增大；当v、a 反向(即v、F 反向，
也就是v、x 同向)时，v 一定减小。当物体靠近平衡位置时，a、F、x 都减小，v 增大；当物
体远离平衡位置时，a、F、x 都增大，v 减小。
3．能量特征：
对弹簧振子和单摆来说，振幅越大，能量越大，在振动过程中，动能和势能相互转化，机械
能守恒。
4．周期性特征：
物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度等矢量都随时间做周期性的变化，它们
的周期就是简谐运动的周期T。物体的动能和势能也随时间做周期性的变化，其周期为。
5．对称性特征：
(1)速率的对称性：物体在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。
(2)时间的对称性：物体通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。在振动过程中，物体
通过任意两点A、B 的时间与逆向通过这两点的时间相等。
(3)加速度的对称性：物体在关于平衡位置对称的两位置具有等大、反向的加速度。
二、分析简谐运动的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的
回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢
量均在其值为零时改变方向。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。
三、简谐运动图象
1．根据简谐运动图象可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)．
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(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻
质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的
方向相同，在图象上总是指向t 轴。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2．振动图象的物理意义
图象描述的是振子相对平衡位置的位移随时间变化的情况，不是物体的运动轨迹。
3．利用简谐运动图象理解简谐运动的对称性
(1)相隔Δt＝(n+ 1
2)T(n＝0,1,2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位
移等大反向，速度也等大反向。
(2)相隔Δt＝nT(n＝0,1,2，…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
四、求解简谐运动问题的有效方法
就是紧紧抓住一个模型——水平方向振动的弹簧振子，熟练掌握振子的振动过程以及振子振
动过程中各物理量的变化规律，看到振动图象，头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的图景，
再把问题一一对应、分析求解。
【最新高考题精练】
1．（2022 年6 月浙江选考）如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，
两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v 向右运动，小球将做周期为T 的往复运动，则
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A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期为
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D．小球的初速度为v
2时，其运动周期为2T
【参考答案】B
【命题意图】本题考查简谐运动和机械能。
【解题思路】物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，且方向总是指向平衡位置，
可知小球在杆中点到接触弹簧过程，所受合力为零，此过程做匀速直线运动，故小球不是做简谐运动，A
错误；假设杆中点为
，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为
，小球向左压缩弹簧至最大压缩量
时的位置为
，可知小球做周期为
的往复运动过程为
。根据对称性可知小球从
与
，这两个过程的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，
故小球动能的变化周期为
，两根弹簧的总弹性势能的变化周期为
，B 正确，C 错误；小球的初速度为
时，可知小球在匀速阶段的时间变为原来的
倍，接触弹簧过程，根据弹簧振子周期公式
，
可知接触弹簧过程所用时间与速度无关，即接触弹簧过程时间保持不变，故小球的初速度为
时，其运动
周期应小于
，D 错误。
【一题多解】由于小球受力不符合与位移成正比，方向相反，所以小球做的不是简谐运动，A 错误；小球
动能的变化周期为
．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T/2，B 正确C 错误。小球的初速度为
v
2时，
其运动周期小于T，D 错误。
2. （2022 高考湖北物理）如图所示，质量分别为m 和2m 的小物块Р 和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地
面上，Р 通过一根水平轻绳连接到墙上。P 的下表面光滑，Q 与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等
于滑动摩擦力。用水平拉力将Q 向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q 恰好能保持静止。弹簧形变始终
在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g。若剪断轻绳，Р 在随后的运动过程中相对于其
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初始位置的最大位移大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】C
【命题意图】本题考查平衡条件、简谐运动。
【解题思路】撤去拉力后，Q 恰好能够保持静止，则弹簧中拉力F=μ·2mg。弹簧中弹力F=kx，解得弹簧伸
长量x=F/k=
。若剪断轻绳，P 在弹簧的拉力F 作用下向右做振幅为x 的简谐运动。P 在随后的运动
中相对于初始位置的最大位移为2 个振幅，即最大位移大小为2x=2×
=
，选项C 正确。
3. （2022 年1 月浙江选考）图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置O 拉到A 后释放，小球在O 点附
近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动。若将上述装置安装在太空中的
我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是（ ）
A. 甲图中的小球将保持静止
B. 甲图中的小球仍将来回振动
C. 乙图中的小球仍将来回摆动
D. 乙图中的小球将做匀速圆周运动
【参考答案】B
【名师解析】空间站中的物体处于完全失重状态，甲图中的小球所受的弹力不受失重的影响，则小球仍将
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来回振动，选项A 错误，B 正确；图乙中的小球在地面上由静止释放时，所受的回复力是重力的分量，而
在空间站中处于完全失重时，回复力为零，则小球由静止释放时，小球仍静止；若给小球一定的初速度，
则做匀速圆周运动，选项CD 错误。
4．（2021 高考江苏物理卷）如图所示，半径为R 的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A
和钉子B 在右侧墙壁上形成影子O 和P，以O 为原点在竖直方向上建立x 坐标系．
时从图示位置沿逆
时针方向匀速转动圆盘，角速度为
，则P 做简谐运动的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【参考答案】B
【命题意图】本题考查简谐运动及其相关知识点。
【解题思路】钉子在墙壁上投影点P 的x 值为Rsin（ωt+π/2），即x= Rsin（ωt+π/2），选项B 正确。
5.（2016 北京高考理综）如图所示，弹簧振子在M、N 之间做简谐运动。以平衡位置O 为原点，建立Ox
轴。向右为x 的轴的正方向。若振子位于N 点时开始计时，则其振动图像为
【参考答案】A
【名师解析】
根据题述，以平衡位置O 为原点，建立Ox 轴。向右为x 的轴的正方向。若振子位于N 点时开始计时，即
正的最大位移处，所以其振动图像为A。
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考点：考查了简谐振动图像
【最新模拟题精练】
1.. (2023 云南昆明一中第9 次质检)如图所示，一正方体木块漂浮在某液体中，将木块下压一小段距离后释
放，液面未浸没木块上表面，正方体做简谐运动，则木块振动的周期（ ）
A. 随下压距离的增大而减小
B. 随木块质量的增大而减小
C. 随液体密度
增大而减小
D. 随木块密度的增大而减小
【参考答案】C
【名师解析】
简谐振动的周期与振幅无关，故A 错误；因简谐振动的周期与振幅无关，故所有讨论均以相同振幅进行，
因木块的回复力等于浮力减去重力，故当质量增加时，回复力虽然也增加，但增速没有质量单独增加的快，
故加速度会减小，导致周期变大，故B 错误；液体密度增加，相同条件下浮力增大，故木块的加速度会增
大，周期变小，故C 正确；木块密度增加，相同条件下，质量增加，加速度必将减小，周期变大，故D 错
误。
2. （2023 广东实验中学三模）如图所示是某水平弹簧振子做简谐运动的
图像，M、P、N 是图像上
的3 个点，分别对应
、
、
时刻。下列说法正确的是（ ）
A. 该振子的周期是0.2s，振幅是8cm
B. 在
时刻振子的速度方向就是图像上P 点的切线方向
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C. 在
到
过程振子的速度先增大后减小
D. 在
到
过程振子的加速度逐渐减小
【参考答案】D
【名师解析】
由振动图像可知，该振子的周期是
，振幅是
，故A 错误；
振动图像不是弹簧振子的运动轨迹，所以在
时刻振子的速度方向不是图像上P 点的切线方向，在
时刻
振子的速度方向指向振子的平衡位置，故B 错误；
由振动图像可知，在
到
过程振子先向正向最大位移方向运动，达到正向最大位移处后接着又朝着平衡
位置运动，所以振子的速度先减小后增大，故C 错误；
在
到
过程振子朝着平衡位置方向运动，振子偏离平衡位置的位移
逐渐减小，根据
可知，振子
的加速度逐渐减小，故D 正确。
3. （2023 浙江台州部分重点高中联考）一弹簧振子做简谐运动，O 点为平衡位置，当它经过O 点时开始
计时，经过
，第一次到达M 点，再经过
第二次到达M 点，则弹簧振子的周期可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】：BD
【名师解析】：如图甲所示
设O 为平衡位置，OB（OC）代表振幅，振子从O→C 所需时间为
。因为简谐运动具有对称性，所以振
子从M→C 所用时间和从C→M 所用时间相等，故
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解得
如图乙所示
若振子一开始从平衡位置向点B 运动，设点
与点M 关于点O 对称，则振子从点
经过点B 到点
所用的时间与振子从点M 经过点C 到点M 所需时间相等，即0.2 s。振子从点O 到点
、从点
到点O
及从点O 到点M 所需时间相等，为
故周期为
故选BD。
4. （2023 浙江台州部分重点高中联考）光滑斜面上的小球连在弹簧上，如图所示，把原来静止的小球沿
斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简谐运动。对简谐运动中的小球受力分析，正确的是（ ）
A. 重力、支持力、弹力、摩擦力
B. 重力、支持力、弹力、回复力
C. 重力、支持力、回复力
D. 重力、支持力、弹力
【参考答案】：D
【名师解析】：对小球受力分析，小球受到重力、斜面对其的支持力和弹簧弹力。故选D。
5. （2023 浙江台州部分重点高中联考） 如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，
一带有铅笔的弹簧振子在A、B 两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为
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，振子的质量为
，白纸移动速度为
，弹簧弹性势能的表达式
，不计一
切摩擦。在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图线，则下列说法中正确的是（ ）
A. 该弹簧振子的振幅为
B. 该弹簧振子的周期为
C. 该弹簧振子的最大加速度为
D. 该弹簧振子的最大速度为
【参考答案】：C
【名师解析】．振幅为振子偏离平衡位置的最大距离，故该弹簧振子的振幅为
，A 错误；
一个周期内白纸移动距离
，白纸移动速度为
，该弹簧振子的周期为
，B
错误；．该弹簧振子的最大加速度为
，C 正确；
由能量关系可得
，可得弹簧振子的最大速度为
，D 错误。
6（2023 湖北新高考协作体高三起点考试）一单摆做简谐运动，在偏角减小的过程中，摆球的（ ）
A. 向心加速度减小
B. 速度减小
C. 回复力减小
D. 机械能减小
【参考答案】C
【名师解析】
当偏角减小时，球向平衡位置运动，所以速度越来越大，A 错误；
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当偏角减小时，速度越来越大，根据向心加速公式可知，向心加速度越来越大，B 错误；
根据回复力公式F = - kx 可知，位移减小，回复力减小，C 正确；
由于做简谐运动，所以摆球的机械能是守恒的，D 错误。
7. （2023 浙江杭州名校联考）在科幻电影《全面回忆》中有一种地心车，无需额外动力就可以让人在几
十分钟内到达地球的另一端，不考虑地球自转的影响、车与轨道及空气之间的摩擦，乘客和车的运动为简
谐运动，则（ ）
A. 乘客达到地心时的速度最大，加速度最大
B. 乘客只有在地心处才处于完全失重状态
C. 乘客在地心处所受的回复力最小
D. 乘客所受地球的万有引力大小不变
【参考答案】C
【名师解析】
乘客向地心运动时速度增大、加速度减小，通过地心时的速度达到最大值，加速度为零，则回复力为0，
故回复力最小，故A 错误，C 正确；乘客处于地心时，加速度为零，不是失重状态，故B 错误；
设地球质量为M，乘客和车的质量为m，地球密度为ρ，则
在距离地心为r 时：地球对乘客和车的万有引力充当回复力
又
联立得
，即万有引力与r 成正比，故D 错误。
8. （2023 湖北荆州高二期末）物体做简谐运动，振幅为0.8cm，周期为0.5s，计时开始时具有负向最大加
速度，它的位移公式是（ ）
A.
B.
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C.
D.
【参考答案】A
【名师解析】
由题意，t=0 时，振子具有负方向的最大加速度，说明此时振子的位移是正向最大，即
根据简谐振动的位移公式
所以
所以位移公式为
故选A。
9．（2023 江苏南通重点高中质检）两个简谐运动的表达式分别为：
，
，下列说法正确的是（ ）
A．振动A 的相位超前振动B 的相位
B．振动A 的相位滞后振动B 的相位
C．振动A 的相位滞后振动B 的相位
D．两个振动没有位移相等的时刻
【参考答案】．B
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【名师解析】A 的相位是
，B 的相位是
，相位差
所以B 的相位始终比A 的相位超前
，或者A 的相位比B 的相位滞后
，故AC 错误B 正确；做出这
两个振动图象，两个振动图象的交点即是位移相等的时刻，D 错误。
10. （2023 山东潍坊三校联考）如图所示，与地面夹角为
的光滑斜面顶端固定一垂直斜面的挡板，劲度
系数为k 的轻弹簧一端固定一个质量为m 的小物体，另一端固定在挡板上。物体在平行斜面方向上做简谐
运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在振动过程中（ ）
A. 物体在最低点时受的弹力大小为mgsin
B. 弹簧的最大弹性势能等于
C. 平衡位置处，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最大
D. 物体的最大动能应等于
【参考答案】B
【名师解析】
物体在最高点，有
物体在最低点时，受力分析可得
联立，可得
故A 错误；
B．设物体在最低点时，弹簧伸长量为x，根据胡克定律，可得
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物体从最高点运动到最低点，由动能定理，可得
又
联立，可得
故B 正确；
C．物体做简谐运动过程中，涉及弹簧的弹性势能、物体的重力势能和物体的动能，且总量保持不变。当
物体运动到平衡位置时，动能最大，即弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最小。故C 错误；
D．由于简谐运动的对称性，物体在平衡位置时，重力势能为
根据弹簧弹性势能的特点，物体在平衡位置时，弹簧的弹性势能为
选取物体最低点所在平面为零重力势能面，根据能量守恒，可得
解得
，故D 错误。
11. （2023 湖北宜昌重点高中质检） 如图所示，在水平地面上的物块B 用轻质弹簧与物块A 相连，
均处于静止状态，它们的质量 均为m，弹簧的劲度系数为k。现将另一个质量也为m 的物体C 从A
的正上方一定高度处由静止释放，C 和A 相碰后立即粘在一起，之后在竖直方向做简谐运动。在运动
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过程中，物体B 对地面的最小压力为mg
3 ，则以下说法正确的是( )
A. C 和A 相碰后立即向下减速运动
B. B 对地面的最大压力为17mg
3
C. 简谐运动的振幅为7mg
3k
D. 若C 物体从更高的位置释放，碰后一起向下运动过程速度最大的位置不变
【参考答案】.BD
【名师解析】A.C 和A 相碰前，对A 有F 弹=mg
C 和A 相碰后，由于F _ 弹<2mg，可知AC 继续向下加速运动，A 错误；
C.当弹力等于AC 的重力时，AC 处于平衡状态，有k x0=2mg
解得平衡位置时弹簧的压缩量x0= 2mg
k
当B 对地面压力最小时，对B 分析，则有mg = mg
3 +kx
故弹簧此时的伸长量为x = 2mg
3k
故简谐运动的振幅为A = x0+ x = 2mg
k
+ 2mg
3k = 8mg
3k
C 错误；
B.当AC 运动到最低点时，B 对地面的压力最大；由对称性可知，此时弹簧的压缩量为
Δx = A + x0= 8mg
3k + 2mg
k
= 14 mg
3k
此时弹力为
F =kΔx = 14 mg
3
B 对地面的最大压力为
N = F +mg= 17mg
3
B 正确；
D.AC 碰后粘在一起向下运动速度最大的位置即为AC 处于平衡状态的位置，此时弹力等于AC 的重力，即
k x0=2mg
因此若C 物体从更高的位置释放，碰后粘在一起向下运动速度最大的位置不变，D 正确。
12.（14 分）（2023 湖北宜昌市协作体高二期中）如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为
的小球，小球静止时弹簧伸长量为
.现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点
释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移
随时间变化的规律如图乙所示，重力加速度
取
.
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（1）写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；
（2）求出小球在
内运动的总路程和
时刻的位置；
（3）小球运动到最高点时，弹簧的伸长量为
，求此时小球加速度的大小.
【名师解析】（1）由振动图像读出周期
（1 分）
振幅
（1 分）
由
得到圆频率
（2 分）
则位移
随时间变化的关系式为
（2 分）
（2）因
（1 分）
所以小球在
内运动的总路程为
（2 分）
时刻的位置在平衡位置（1 分）
（3）小球静止时
（1 分）
解得
（1 分）
根据牛顿第二定律得
（1 分）
解得
，方向竖直向下（1 分）
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13. （2023 江苏盐城重点高中质检）如图所示，竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B 两物体，mA=0.1kg，
mB=0.5kg，弹簧的劲度系数为k=40N/m，剪断A、B 间的细绳后，A 做简谐运动，不计空气等阻力，弹簧
始终没有超过弹性限度，g 取10m/s2，求：
（1）剪断细绳瞬间的回复力大小。
（2）振幅是多少？
【参考答案】（1）5N；（2）0.125m
【名师解析】
（1）剪断绳子的瞬间，A 做简谐振动的回复力为
（2）由题意，可得剪断绳子瞬间弹簧的形变量为
A 处于平衡位置时，弹簧的形变量为
根据简谐振动的特点，则A 做简谐振动的振幅为A=L1-L2=0.125m
14. （2023 湖南怀化高二期末）如图甲所示，质量为m 的小球悬挂在一根劲度系数为k 的轻质弹簧下端，
静止后小球所在的位置为O 点。取O 点为坐标原点，竖直向下为x 轴正方向建立坐标系。现将小球从O 点
向下拉一小段距离A，然后释放。已知重力加速度为g，小球在运动过程中弹簧始终在弹性限度内，不计
空气阻力。
(1)请证明：小球做简谐运动。
(2)从小球在位移A 处释放开始计时，请在图乙坐标系中定性画出小球在一个周期内的位移-时间图像。
(3)求小球在做简谐运动过程中的加速度a 与位移x 的表达式，并在图丙中画出小球的a-x 图像。
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【参考答案】(1)证明过程见解析；(2)
(3)
【名师解析】
(1)取竖直向下为正方向．物体静止在O 点时
kx0=mg
将物体从O 点向下拉离的距离为x 时，弹簧的弹力大小 k（x0+x）
物体振动的回复力大小为 F=k（x0+x）-mg=kx
回复力方向竖直向下，与位移方向相反，则位移为x 时有F=-kx
符合简谐运动的特征，所以物体做简谐运动．
(2)从小球在位移A 处释放开始计时，小球的位移时间图像如图所示
(3)由牛顿第二定律可知
则做出a-x 图像如图
15.（20 分）（2023 北京名校联考）如图所示，一劲度系数为k 的轻弹簧的上端固定，下端与小球相连接，
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小球的质量为m，小球静止于O 点。现将小球拉到O 点下方距离为A 的位置，由静止释放，此后运动
过程中始终未超过弹簧的弹性限度。规定平衡位置处为重力势能和弹簧弹性势能的零点。以平衡位置O
为坐标原点建立如图所示的竖直向下的一维坐标系Ox．忽略空气阻力的影响。
（1）从运动与相互作用观点出发，解决以下问题：
a．求小球处于平衡状态时弹簧相对原长的伸长量s；
b．证明小球做简谐运动；
（2）从教科书中我们明白了由v
t
﹣图象求直线运动位移的思想和方法；从机械能的学习，我们理解了
重力做功的特点并进而引入重力势能，由此可以得到重力做功与重力势能变化量之间的关系。图象法和
比较法是研究物理问题的重要方法，请你借鉴此方法，从功与能量的观点出发，解决以下问题：
a．小球运动过程中，小球相对平衡位置的位移为x 时，证明系统具有的重力势能EpG和弹性势能Ep 弹的
总和Ep的表达式为Ep＝
；
b．求小球在振动过程中，运动到平衡位置O 点下方距离为
时的动能Ek．并根据小球运动过程中速度
v 与相对平衡位置的位移x 的关系式，画出小球运动的全过程中速度随振动位移变化的v
x
﹣图象。
【名师解析】
（1）a．对小球，由平衡条件mg＝ks。
b．设小球偏离平衡位置x 时的回复力为F 回＝mg
k
﹣（s+x）＝﹣kx，故小球做简谐运动。
（2）a．重力势能EpG＝﹣mgx
以平衡位置处弹性势能为0，从平衡位置（弹簧伸长量为s）到坐标为x 处（弹簧伸长量为s+x），根据
弹簧弹力特点做出F
x
﹣图线如图，弹簧弹力做功为
，
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设x 坐标处的弹性势能为Ep 弹，由弹力做功与弹性势能变化量的关系可知W 弹＝﹣△Ep 弹，即
W 弹＝﹣（Ep 弹﹣0）
得Ep 弹＝﹣W 弹＝
kx2+ksx＝
kx2+mgx
重力势能Ep 电和弹性势能Ep 弹的总和Ep＝EpG+Ep 弹＝
kx2。
b．小球在运动到平衡位置O 点下方距离为
时的势能
小球在振幅处的动能为零，依据能量守恒定律有
可得，
。
由能量守恒定律Ep+Ek＝Epmax+Ekmin，即
kx2+
mv2＝
kA2，也即kx2+mv2＝kA2
整理得：
。
故v
x
﹣图是椭圆。
故答案为：（1）a．
；b．见解析。
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（2）a．见解析。b．
；见解析。
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