文档内容
第 27 讲 机械振动
目录
考点一 简谐运动的规律...............................................................................................................1
考点二 简谐运动的图象...............................................................................................................1
考点三 单摆周期公式的应用.......................................................................................................3
考点四 受迫振动和共振的应用...................................................................................................5
练出高分.........................................................................................................................................10
考点一 简谐运动的规律
简谐运动的运动规律：x＝Asin (ωt＋φ)
(1)变化规律
位移增大时
(2)对称规律
①做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向
的关系，另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反．
②振动物体来回通过相同的两点间的时间相等，如 t ＝t ；振动物体经过关于平衡位置对
BC CB
称的等长的两线段的时间相等，如t ＝t ，如图所示．
BC B′C′
(3)运动的周期性特征
相隔T或nT的两个时刻振动物体处于同一位置且振动状态相同．
[例题1] 如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5cm，若
振子从B到C的运动时间是1s，则下列说法中正确的是（ ）
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1s，振幅是10cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20cm
D．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm
π
[例题2] （多选）某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin（
4
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】t），则质点（ ）
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．3 s末至5 s末的位移方向都相同
D．3 s末至5 s末的速度方向都相同
[例题3] （多选）（2022•天津模拟）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它
经过点O时开始计时，经过0.3s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则
弹簧振子的周期不可能为（ ）
A．0.53 s B．1.4 s C．1.6 s D．2 s
考点二 简谐运动的图象
1．简谐运动的图象
图象
横轴 表示振动时间
纵轴 表示某时刻质点的位移
物理意义 表示振动质点的位移随时间的变化规律
2.振动图象的信息
(1)由图象可以看出振幅、周期．
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．
(3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向．
①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是
指向t轴．
②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增大，
振动质点的速度方向就是远离t轴，若下一时刻位移减小，振动质点的速度方向就是指向t
轴．
[例题4] （2023•茂名一模）如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图象，
下列判断正确的是（ ）
A．t＝2×10﹣3s时刻纸盆中心的速度最大
B．t＝3×10﹣3s时刻纸盆中心的加速度最大
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】C．在0～1×10﹣3s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向相同
D．纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10﹣4cos50 t（m）
[例题5] （2023•绍兴二模）如图所示，树梢的摆动可视为周期12s、振幅1.2m的
π
简谐运动。某时刻开始计时，36s后树梢向右偏离平衡位置0.6m。下列说法正确的是
（ ）
A．开始计时的时刻树梢恰位于平衡位置
B．树梢做简谐运动的“圆频率”约为0.08Hz
C．树梢在开始计时后的36s内通过的路程为4.8m
D．再经过4s，树梢可能处于向左偏离平衡位置1.2m处
[例题6] 如图所示，固定着的钢条上端有一小球，在竖直平面内围绕虚线位置发
生振动，图中是小球振动到的最左侧，振动周期为 0.3s．在周期为0.1s的频闪光源照
射下见到图像可能是（ ）
A． B． C． D．
[例题7] （多选）（2023•海南二模）如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子
在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置。振子到达D点开始计时。以竖直向
上为正方向，在一个周期内的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．振子在O点受到的弹簧弹力等于零
π
B．振子做简谐运动的表达式为x=5sin(πt− )(cm)
2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】C．0.5s～1.0s的时间内，振子通过的路程为5cm
D．t＝0.25s和t＝0.75s时，振子的速度不同，但加速度大小相等
[例题8] （2022•青岛二模）一轻质弹簧一端固定在地面上，质量为 m的钢球从
弹簧正上方H处自由下落，弹簧的最大压缩量为x ，弹簧始终在弹性限度内。已知弹
0
√m
簧振子做简谐运动的周期T=2π ，k为弹簧劲度系数，重力加速度为g（可能用到
k
的数学知识：若sin ＝b，则 ＝arcsinb），则小球从开始接触弹簧到第一次脱离弹簧
所经历的时间为（ ）
α α
√m
A．2π
k
√m √2H
B．2π −2
k g
√m √m mg
C．π +2 arcsin
k k kx −mg
0
√m √m kx −mg
D．π +2 arcsin 0
k k mg
考点三 单摆周期公式的应用
1．受力特征：重力和细线的拉力
(1)回复力：摆球重力沿切线方向上的分力，F＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与
位移x的方向相反．
(2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F ＝F －mgcos θ.
向 T
特别提醒 ①当摆球在最高点时，F ＝＝0，F ＝mgcos θ.
向 T
②当摆球在最低点时，F ＝，F 最大，F ＝mg＋m.
向 向 T
2．周期公式：T＝2π，f＝
(1)只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以根据g＝，求出当地的重力加速度g.
(2)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球
摆动所在圆弧的圆心．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】(3)g为当地的重力加速度．
[例题9] 如图所示，500米口径的球面射电望远镜（FAST）位于贵州省，是我国
重大科技基础设施建设项目之一。某同学设计了一种测量该球面半径R的方法：假设
FAST内表面是光滑的球面，他猜想将小球自球面最低点附近由静止释放，用秒表测
出它完成n次全振动的时间t，如果当地重力加速度为g，将小球的运动视为简谐运动，
则FAST的球面半径R为（ ）
gt2 gt2
A． B．
4π2n2 2π2n2
gt2 4gt2
C． D．
π2n2 π2n2
[例题10]（2023•虹口区二模）摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能E 随时
k
间t的变化关系如图所示，则该单摆（ ）
gt2
A．摆长为 0
4π2
gt2
B．摆长为 0
π2
π2E
0
C．摆球向心加速度的最大值为
2mgt2
0
2π2E
0
D．摆球向心加速度的最大值为
mgt2
0
[例题11] （2023•佛山一模）将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘
与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于5°）自由摆动，此时秋千可看作一
个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的a﹣t关系图
如图乙所示。则以下说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】A．秋千从摆动到停下的过程可看作受迫振动
B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力小于手机所受的重力
C．秋千摆动的周期为t ﹣t
2 1
4π2L
D．该地的重力加速度g =
(t −t ) 2
3 1
[例题12]（多选）（2023•汕头一模）摆钟如图是一种较有年代的计时钟表。其基
本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。如图为其
内部的结构简图。设原先摆钟走时准确，则（ ）
A．摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力
B．摆钟在太空实验室内是无法正常使用的
C．该摆钟从北京带到汕头，为使走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移
动
D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆
盘沿摆杆向上移动
[例题13]如图，水平面上固定光滑圆弧面ABD，水平宽度为L，高为h且满足L
＞＞h。小球从顶端A处由静止释放，沿弧面滑到底端D经历的时间为t。若在圆弧面
上放一光滑平板 ACD，仍将小球从 A 点由静止释放，沿平板滑到 D 的时间为
（ ）
4 6 2√2
A．t B． t C． t D． t
π π π
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】[例题14]（2022•海淀区校级三模）在用单摆测量重力加速度的实验中，用多组实
验数据做出周期（T）的平方和摆长（L）的T2﹣L图线，可以求出重力加速度g。已
知两位同学做出的T2﹣L图线如图中的a、b所示，其中a和b平行，图线a对应的g
值很接近当地重力加速度的值。相对于图线a，关于图线b的分析正确的是（ ）
A．可能是误将绳长记为摆长L
B．可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
C．可能是误将49次全振动记为50次
D．根据图线b不能准确测出当地的重力加速度
[例题15]（2022•济宁一模）有两位同学利用假期分别去参观位于天津市的“南开
大学”和上海市的“复旦大学”，他们各自利用那里的实验室中 DIS系统探究了单摆
周期T和摆长L的关系。然后通过互联网交流实验数据，并用计算机绘制了如图甲所
示的T2﹣L图像。另外，去“复旦大学”做研究的同学还利用计算机绘制了他实验用
的a、b两个摆球的振动图像，如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．甲图中“南开大学”的同学所测得的实验结果对应的图线是A
B．甲图中图线的斜率表示对应所在位置的重力加速度的倒数
C．由乙图可知，a、b两摆球振动周期之比为3：2
D．由乙图可知，t＝1s时b球振动方向沿y轴负方向
考点四 受迫振动和共振的应用
1．受迫振动
(1)概念：振动系统在周期性外力作用下的振动．
(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分7 百】2．共振
(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大．
(2)条件：驱动力的频率等于系统的固有频率．
(3)特征：共振时振幅最大．
(4)共振曲线：如图所示．
3．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
振动
自由振动 受迫振动 共振
项目
受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
由系统本身性质决定，
由驱动力的周期或频率
振动周期或频率 即固有周期T 或固有频 T ＝T 或f ＝f
0 驱 0 驱 0
决定，即T＝T 或f＝f
驱 驱
率f
0
由产生驱动力的物体提 振动物体获得的能量最
振动能量 振动物体的机械能不变
供 大
机械工作时底座发生的
常见例子 弹簧振子或单摆 (θ≤5°) 共振筛、声音的共鸣等
振动
[例题16] 如图所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，振动达到稳定时，下列说
法中正确的是( )
A．只有A、C的振动周期相等
B．C的振幅比B的振幅小
C．C的振幅比B的振幅大
D．A、B、C的振动周期相等
[例题17] 个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图14
所示，则( )
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分8 百】A．此单摆的固有周期约为0.5 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
练出高分
一．选择题（共10小题）
1．（2023•辽宁模拟）图（a）中医生正在用“彩超”技术给病人检查身体；图（b）是某
地的公路上拍摄到的情景，在路面上均匀设置了41条减速带，从第1条至第41条减速
带之间的间距为100m。上述两种情况是机械振动与机械波在实际生活中的应用。下列
说法正确的是（ ）
A．图（a）“彩超”技术应用的是共振原理
B．图（b）中汽车在行驶中颠簸是多普勒效应
C．图（b）中汽车在行驶中颠簸是自由振动
D．如果图（b）中某汽车的固有频率为1.5Hz，当该汽车以3.75m/s的速度匀速通过减
速带时颠簸最厉害
2．（2023•新会区校级一模）轿车的“悬挂系统”是指由车身与轮胎间的弹簧及避震器组
成的整个支持系统。已知某型号轿车“悬挂系统”的固有频率是2Hz。如图所示，这辆
汽车正匀速通过某路口的条状减速带，已知相邻两条减速带间的距离为1.0m，该车经过
该减速带过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当该轿车通过减速带时，车身上下振动的频率均为2Hz，与车速无关
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分9 百】B．该轿车通过减速带的速度越大，车身上下颠簸得越剧烈
C．当该轿车以2m/s的速度通过减速带时，车身上下颠簸得最剧烈
D．当该轿车以不同速度通过减速带时，车身上下颠簸的剧烈程度一定不同
3．（2023•荔湾区校级模拟）如图所示是某水平弹簧振子做简谐运动的 x﹣t图像，M、
P、N是图像上的3个点，分别对应t 、t 、t 时刻。下列说法正确的是（ ）
1 2 3
A．该振子的周期是0.2s，振幅是8cm
B．在t 时刻振子的速度方向就是图像上P点的切线方向
2
C．在t 到t 过程振子的速度先增大后减小
1 2
D．在t 到t 过程振子的加速度逐渐减小
2 3
4．（2022•鼓楼区校级模拟）如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带
动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，
小球浸没在水中当小球振动稳定时（ ）
A．小球振动的频率与圆盘转速无关
B．小球振动的振幅与圆盘转速无关
C．圆盘的转速越大，小球振动的频率越大
D．圆盘的转速越大，小球振动的振幅越大
5．（2023•静安区二模）如图，甲、乙两个单摆悬挂在同一水平天花板上，两摆球间用一
根细线水平相连，两摆线与竖直方向的夹角 ＞ 。当细线突然断开后，两摆球都做简
1 2
谐运动，以水平地板为参考面，可知（ ）
θ θ
A．甲摆的周期等于乙摆的周期
B．甲摆球的最大重力势能等于乙摆球的最大重力势能
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分10百】C．甲摆球的最大速度小于乙摆球的最大速度
D．甲摆球的机械能小于乙摆球的机械能
6．（2022•嘉定区二模）如图所示，物体放在做简谐运动的振动平台上，并随平台上下振
动而不脱离平台台面。若以向上的位移为正，物体的振动图像如图所示，在图像上取
a、b、c、d四点，则（ ）
A．处于a状态时物体对振动平台的压力最小
B．处于b状态时物体对振动平台的压力最大
C．处于c状态时物体对振动平台的压力等于物体重力
D．处于d状态时物体对振动平台的压力最小
7．（2023•平谷区一模）如图，细绳一端固定于悬挂点P，另一端系一小球。在悬挂点正
下方Q点处钉一个钉子。小球从A点由静止释放，摆到最低点O的时间为t ，从O点
1
向右摆到最高点B（图中未画出）的时间为t 。摆动过程中，如果摆角始终小于5°，不
2
计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．t ＝t ，摆球经过O点前后瞬间，小球的速率不变
1 2
B．t ＞t ，摆球经过O点前后瞬间，小球的速率变大
1 2
C．t ＝t ，摆球经过O点前后瞬间，摆线上的拉力大小不变
1 2
D．t ＞t ，摆球经过O点前后瞬间，摆线上的拉力变大
1 2
8．（2023•广东模拟）甲、乙两星球表面的a、b两个单摆做简谐运动的x﹣t图像如图所示，
已知两单摆的摆长相等，由图可知（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分11百】3
A．甲、乙两星球表面的重力加速度之比为
2
B．减小a摆的摆球质量，a摆的周期有可能与b摆相等
C．a、b两单摆在最低点的速率有可能相等
D．a、b两单摆在最低点的动能有可能相等
9．（2021•顺义区二模）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，在此处将力传感器与摆线
相连（图甲中未画出）。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之
间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t
变化的图像，图乙中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，重力加速度g取10m/s2。下列
说法正确的是（ ）
A．单摆的摆长为2.5m
B．摆球的质量为0.0498kg
C．单摆的振动周期为0.8 s
24
D．摆球运动过程中的最大π速度为 √7m/s
5
10．（2021•江苏模拟）如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个
T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸
没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动的频率为4Hz。现使圆盘以
120r/min的转速匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，它振动的频率为（
）
A．0.5Hz B．2Hz C．4Hz D．120Hz
二．计算题（共2小题）
11．（2022•昌平区二模）类比是研究问题的常用方法
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分12百】（1）情境1：如图甲所示，将一弹簧振子放置在光滑的水平面上，以弹簧处于原长时物
块所处位置为坐标原点O、水平向右为正方向建立x轴。当振子偏离平衡位置的位移为
Δv Δx
x时，其回复力为F＝﹣kx；而F＝ma、a= 、v= ，可以得到振子位移x随时间t
Δt Δt
Δx
Δ( )
变化的方程为m Δt kx＝0（①式）。将物块从O点右侧某一位置由静止释放并开
+
Δt
始计时，在图乙所示的坐标系中定性画出弹簧振子的位移x随时间t变化的图像。
（2）情境2：如图甲所示，电源的电动势为E，内阻不计；电容器的电容为C，自感线
圈的自感系数为L，电阻不计，开关S先接1，给电容器充电；然后将开关接2，发现电
容器极板的电荷量q随时间t的变化规律与情境1中振子位移x随时间t的变化规律类似。
a.类比①式，写出电荷量q随时间t的变化方程；
b.从开关S接2瞬间开始计时，在图乙所示的坐标系中定性画出电容器上极板的电荷量
q随时间t变化的图像。
（3）质量是物体做机械运动时惯性大小的量度，在电磁现象中也存在“惯性”。在情
境2中，哪个物理量可用来度量电磁“惯性”的大小？
12．（2023•海淀区二模）摆，是物理学中重要的模型之一。如图 1所示，一根不可伸长的
轻软细绳的上端固定在天花板上的O点，下端系一个摆球（可看作质点）。将其拉至A
点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。
忽略空气阻力。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分13百】（1）图2所示为绳中拉力F随时间t变化的图线，求：
a．摆的振动周期T。
b．摆的最大摆角 。
m
（2）摆角 很小时，摆球的运动可看作简谐运动。某同学发现他家中摆长为0.993m的
θ
单摆在小角度摆动时，周期为2s。他又查阅资料发现，早期的国际计量单位都是基于实
θ
物或物质的特性来定义的，称为实物基准，例如质量是以一块1kg的铂铱合金圆柱体为
实物基准。于是他想到可以利用上述摆长为0.993m的单摆建立“1s”的实物基准。请
判断该同学的想法是否合理，并说明理由。
（3）小摆角单摆是较为精确的机械计时装置，常用来制作摆钟。摆钟在工作过程中由
于与空气摩擦而带上一定的负电荷，而地表附近又存在着竖直向下的大气电场（可视为
匀强电场），导致摆钟走时不准。某同学由此想到可以利用小摆角单摆估测大气电场强
度：他用质量为m的金属小球和长为L（远大于小球半径）的轻质绝缘细线制成一个单
摆。他设法使小球带电荷量为﹣q并做小角度振动，再用手机秒表计时功能测量其振动
周期T，已知重力加速度g，不考虑地磁场的影响。
a．推导大气电场强度的大小E的表达式。
b．实际上，摆球所带电荷量为10﹣7C量级，大气电场强度为102N/C量级，摆球质量为
10﹣1kg量级，手机秒表计时的精度为10﹣2s量级。分析判断该同学上述测量方案是否可
行。（提示：当|x| 1时，有（1+x）n＝1+nx）
≪
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分14百】
