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专题 14：振动和波
考点01 机械振动·····························································································1
考点02 机械波································································································4
考点03 机械振动与机械波的综合应用··································································8
考点04 波的多解性··························································································9
考点05 波的干涉、衍射和多普勒效应·································································13
考点 01 机械振动
【考点诠释】1．简谐运动的规律
受力特征 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减
运动特征
小
能量特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性特 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的
征 周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性特 关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大
征 小相等
2.简谐运动的应用
(1)简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)
(2)图象：反映同一质点在各个时刻的位移
(3)单摆周期表达式：T＝2π
【规律总结】简谐运动的“五个特征”
1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲
度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，为变
加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、E 均增大，v、E 均减小，靠近平衡位置时则相反。
p k
3．运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。
4．对称性特征
(1)相隔或T(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相
反。
(2)如图所示，振子经过关于平衡位置 O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即t ＝t 。
PO OP′
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即t ＝t 。
OP PO
5．能量特征：振动的能量包括动能E 和势能E ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机
k p
械能守恒。
【典例1】如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点， 后第一次到达B点，已知
振子经过A、B两点时的速度大小相等， 内经过的路程为0.4m。该弹簧振子的周期为________s，振幅
为______m。
【变式1-1】如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离 A后由静止释放，
并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为 T。经 时间，小球从最低点向上运动 距离_____
的
（选填“大于”、“小于”或“等于”）；在 时刻，小球的动能______（选填“最大”或“最小”）。
【变式1-2】一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s 时位
移为0.1 m，则( )
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
【变式1-3】(多选)甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知( )A．甲速度为零时，乙加速度最大
B．甲加速度为零时，乙速度最小
C．1.25～1.5 s时间内，甲的回复力大小增大，乙的回复力大小减小
D．甲、乙的振动频率之比f ∶f ＝1∶2
甲 乙
E．甲、乙的振幅之比A ∶A ＝2∶1
甲 乙
考点 02 机械波
【考点诠释】
1．波的传播问题
(1)沿波的传播方向上各质点的起振方向与波源的起振方向一致。
(2)介质中各质点随波振动，但并不随波迁移。
(3)沿波的传播方向上波每个周期传播一个波长的距离。
(4)在波的传播过程中，同一时刻如果一个质点处于波峰，而另一质点处于波谷，则这两个质点一定是反相
点。
2．波的叠加问题
(1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)，振动减弱的
条件为Δx＝nλ＋(n＝0,1,2，…)。两个振动情况相反的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝
nλ＋(n＝0,1,2，…)，振动减弱的条件为Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)。
(2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅最大。
3．波的多解问题
由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播问题易出现多解现象。
【典例2】用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位
置的距离应不超过_______cm（保留1位小数）。（提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等
于摆球沿圆弧移动的路程。）
某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆
的摆长应该取为_______cm。
【变式2-1】滑板运动场地有一种常见的圆弧形轨道，其截面如图，某同学用一辆滑板车和手机估测轨道
半径R（滑板车的长度远小于轨道半径）。
主要实验过程如下：
①用手机查得当地的重力加速度g；
②找出轨道的最低点O，把滑板车从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，用手机测出它完成n次全
振动的时间t，算出滑板车做往复运动的周期 ________；
③将滑板车的运动视为简谐运动，则可将以上测量结果代入公式 ________（用T﹑g表示）计算出轨
道半径。
（2）某同学用如图（a）所示的装置测量重力加速度．实验器材：有机玻璃条（白色是透光部分，黑色是宽度均为 的挡光片），铁架台，数字计时
器（含光电门），刻度尺．
主要实验过程如下：
①将光电门安装在铁架台上，下方放置承接玻璃条下落的缓冲物；
②用刻度尺测量两挡光片间的距离，刻度尺的示数如图（b）所示，读出两挡光片间的距离
________cm；
③手提玻璃条上端使它静止在________方向上，让光电门的光束从玻璃条下端的透光部分通过；
④让玻璃条自由下落，测得两次挡光的时间分别为 和 ；
⑤根据以上测量的数据计算出重力加速度 ________ （结果保留三位有效数字）。
【变式2-2】如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l
的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释
放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移
为x，向右为正。下列图象中，能描述小球在开始一个周期内的xt关系的是( )
【变式2-3】如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R≫ AB。甲球从弧
形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，求：
(1)两球第1次到达C点的时间之比；
(2)若在弧形槽的最低点C的正上方h处由静止释放甲球，让其自由下落，同时将乙球从弧形槽左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在弧形槽最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少。
考点 03 机械振动与机械波的综合应用
【考点诠释】1．波的传播方向与质点振动方向的互判方法
方法 内容 图象
“上下 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振
坡”法 动，“下坡”时质点向上振动
“同侧” 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭
法 头在图线同侧
将波形沿传播方向进行微小的平衡，再由对
“微平
应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振
移”法
动方向
2.波的图象和振动图象的应用
(1)判断波的传播方向与质点振动方向的依据是波的传播特点，前一质点总是带动后一质点振动。任一质点
的起振方向都跟波源的起振方向一致。
(2)利用振动图象和波的图象解决实际问题时，应充分理解两图象的物理意义，将两者结合起来进行分析，
这也是解决问题的关键。
①已知波形图和波的传播方向，可以确定质点的振动方向。
②已知质点的振动方向和波的图象，可以确定波的传播方向。
【典例3】某振动系统的固有频率为f ，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f。若驱动
0
力的振幅保持不变，则下列说法正确的是( )
A．当ff 时，该振动系统的振幅随f减小而增大
0
C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
0
D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
E．当f＝f 时，该振动系统一定发生共振
0
【变式3-1】共振筛示意图如图所示，共振筛振动的固有频率为5 Hz，为使共振筛发生
共振，使其工作效率达到最高，则偏心轮的转速为( )
A．5 r/s B．10 r/s
C．0.2 r/s D．300 r/s
考点 04 波的多解性
【考点诠释】
1．波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确。(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系 Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝
nT＋Δt(n＝0,1,2…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2…)。
【典例4】 图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过 后，其波形曲线如图中虚线所示。
已知该波的周期T大于 ，若波是沿x轴正方向传播的，则该波的速度大小为___________ ，周期
为___________s，若波是沿x轴负方向传播的，该波的周期为___________s。
【变式4-1】均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和x =16cm。某简谐横波沿x轴
B
正方向传播，波速为v=20cm/s，波长大于20cm，振幅为y=1cm，且传播时无衰减。t=0时刻A、B偏离平
衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔△t=0.6s两者偏离平衡位置的位移大小相等、
方向相同。已知在t 时刻（t>0），质点A位于波峰。求
1 1
（i）从t 时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；
1
（ii）t 时刻质点B偏离平衡位置的位移。
1
【变式4-2】均匀介质中，波源位于O点的简谐横波在xOy水平面内传播，波面为圆。t = 0时刻，波面分
布如图（a）所示，其中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷。A处质点的振动图像如图（b）所示，z轴正
方向竖直向上。下列说法正确的是（ ）
A. 该波从A点传播到B点，所需时间为
B. 时， 处质点位于波峰
C. 时， 处质点振动速度方向竖直向上
D. 时， 处质点所受回复力方向竖直向上
E. 处质点起振后， 内经过的路程为【变式4-3】 渔船上的声呐利用超声波来探测远方鱼群的方位。某渔船发出的一列超声波在t=0时的波动
图像如图1所示，图2为质点P的振动图像，则（ ）
A. 该波的波速为1.5m/s B. 该波沿x轴负方向传播
C. 0~1s时间内，质点P沿x轴运动了1.5m D. 0~1s时间内，质点P运动的路程为2m
考点 05 波的干涉、衍射和多普勒效应
【考点诠释】
1．波的干涉现象中加强点、减弱点的两种判断方法：
(1)公式法：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
①当两波源振动步调一致时
若Δr＝nλ(n＝0,1,2…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2…)，则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2…)，则振动减弱。
(2)图象法：在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与
波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接而成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线
和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
2．波的衍射现象是指波能绕过障碍物继续传播的现象，产生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍
物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长。
3．多普勒效应的成因分析：
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。当波以速度v通过观
察者时，时间t内通过的完全波的个数为N＝，因而单位时间内通过观察者的完全波的个数，即接收频率。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大；当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的
频率变小；波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率等于波源的频率。
【典例5】将一端固定在墙上的轻质绳在中点位置分叉成相同的两股细绳，它们处于同一水平面上。在离
分叉点相同长度处用左、右手在身体两侧分别握住直细绳的一端，同时用相同频率和振幅上下持续振动，
产生的横波以相同的速率沿细绳传播。因开始振动时的情况不同，分别得到了如图甲和乙所示的波形。下
列说法正确的是（ ）A. 甲图中两手开始振动时的方向并不相同
B. 甲图中绳子的分叉点是振动减弱的位置
C. 乙图中绳子分叉点右侧始终见不到明显的波形
D. 乙图只表示细绳上两列波刚传到分叉点时的波形
【变式5-1】如图(a)，在xy平面内有两个沿z方向做简谐振动的点波源S(0,4)和S(0，－2)。两波源的振
1 2
动图线分别如图(b)和图(c)所示。两列波的波速均为1.00 m/s。两列波从波源传播到点A(8，－2)的路程差
为________m，两列波引起的点B(4,1)处质点的振动相互________(填“加强”或“减弱”)，点C(0,0.5)处
质点的振动相互________(填“加强”或“减弱”)。
【变式5-2】在下列现象中，可以用多普勒效应解释的有__________。
A. 雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声
B. 超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化
C. 观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低
D. 同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同
E. 天文学上观察到双星（相距较近、均绕它们连线上某点做圆周运动的两颗恒星）光谱随时间的周期性变
化
【变式5-3】如图，A、B为振幅相同的相干波源，且向外传播过程中振幅衰减不计，图中实线表示波峰，
虚线表示波谷，则下列叙述正确的是( )
A．Q点始终处于波峰位置B．R、S两点始终处于静止状态
C．P、Q连线上各点振动始终最强
D．P点在图中所示的时刻处于波谷，再过周期处于平衡位置
E．如果A、B两波源频率不同，也能产生类似的稳定的干涉现象
1、（2022·湖南卷·T16（1））下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖
直方向做频率为 的简谐运动：与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图（a）所示。
以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图（b）
所示。已知河水密度为 ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A. x从 到 的过程中，木棒的动能先增大后减小
B. x从 到 的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C. 和 时，木棒的速度大小相等，方向相反
D. 木棒在竖直方向做简谱运动的振幅为
E. 木棒的运动为向x轴正方向传播的机械横波，波速为
2、（2022·山东卷·T9）一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如右图所示。
当 时，简谐波的波动图像可能正确的是（ ）
A. B. C. D.3、（2022·浙江6月卷·T16）位于 的波源P从 时刻开始振动，形成的简谐横波沿x轴正负
方向传播，在 时波源停止振动， 时的部分波形如图所示，其中质点a的平衡位置
，质点b的平衡位置 。下列说法正确的是（ ）
A. 沿x轴正负方向传播的波发生干涉
B. 时，波源的位移为正
C. 时，质点a沿y轴负方向振动
D. 在0到2s内，质点b运动总路程是2.55m
4、（2022·浙江6月卷·T11）如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，
两弹簧自由端相距 。套在杆上的小球从中点以初速度 向右运动，小球将做周期为 的往复运动，则（
）
A. 小球做简谐运动
B. 小球动能 变化周期为
的
C. 两根弹簧的总弹性势能的变化周期为
D. 小球的初速度为 时，其运动周期为
5、（2022·浙江1月卷·T15）两列振幅相等、波长均为 、周期均为T的简谐横波沿同一绳子相向传播，
若两列波均由一次全振动产生，t=0时刻的波形如图1所示，此时两列波相距 ，则（ ）A. 时，波形如图2甲所示
B. 时，波形如图2乙所示
C. 时，波形如图2丙所示
D. 时，波形如图2丁所示
1.(多选)在下列现象中，可以用多普勒效应解释的有( )
A．雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声
B．超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化
C．观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低
D．同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同
E．天文学上观察到双星(相距较近、均绕它们连线上某点做圆周运动的两颗恒星)光谱随时间的周期性变化
2．[鲁科版选修3－4 P 讨论与交流改编]如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝
5
5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
3.某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是( )
A．t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B．t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C．t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零D．t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
4、（2021·安徽省马鞍山市三模）学校实验室中有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则
下列说法中正确的是（ ）
A. 甲、乙两单摆的摆球质量之比是1:2
B. 甲、乙两单摆的摆长之比是1:4
C. t=1.5s 时，两摆球的速度方向相同
D. t=1.5s 时，两摆球的加速度方向相同
E. 3s~4s内，两摆球的势能均减少
5．(多选)正在运转的洗衣机，当其脱水桶转得很快时，机身的振动并不强烈，切断电源，转动逐渐停下来，
到某一时刻t，机身反而会发生强烈的振动，此后脱水桶转速继续变慢，机身的振动也随之减弱，针对这
种现象的分析说法正确的是( )
A.在t时刻脱水桶的惯性最大
B．在t时刻脱水桶的转动频率最大
C．在t时刻洗衣机发生共振
D．纯属偶然现象，并无规律
E．机身做受迫振动的频率与脱水桶的转动频率相等
6．（2021·江西省赣州市十五县市十六校高三上学期11月期中）如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，
t=0.2s时刻 波的形如图中实线所示，t=0.5s时刻的波形如图中虚线所示，t=0时刻，x=2m处的质点正处在波
谷，周期T＞0.5s，求：
(1)这列波传播的方向及传播的速度；
(2)从t=0时刻开始，波传播3s时间，x=2m处的质点运动的路程为3m，则这列波的振幅为多大？x=2m处
的质点在t=2.5s时的位移为多少？7．（2021·全国高三其他模拟）一列简谐横波沿 轴传播，如图甲所示为 时刻的波形图，介质中
、 两质点离开平衡位置的位移相等， 、 两质点相距 ，图乙为质点 的振动图象。求：
（1）质点 在 时离开平衡位置的位移 ；
（2）波速 及波的传播方向．
8.如图所示，在同一均匀介质中有S 和S 两个波源，这两个波源的频率、振动方向均相同，且振动的步调
1 2
完全一致，S 与S 之间相距为4m，若S、S 振动频率均为5Hz，两列波的波速均为10m/s，B点为S 和S
1 2 1 2 1 2
连线的中点，今以B点为圆心，以R=BS 为半径画圆。
1
(1)该波的波长为多少？
(2)在S、S 连线上振动加强的点有几个，它们距S 的距离为多少？
1 2 1
(3)在该圆周上(S 和S 两波源除外)共有几个振动加强的点？
1 2
