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第 12 讲 机械振动和机械波
命题规律 1.命题角度：(1)机械振动；(2)机械波；(3)振动图像和波的图像综合应用.2.常用
方法：公式法、图像法.3.常考题型：选择题．
考点一 机械振动
1．简谐运动的规律
规律 x＝Asin(ωt＋φ)
反映同一质点在各个时刻的位移
图像
受力特征 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、
运动特征
F、x都增大，v减小
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的
能量特征
机械能守恒
周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变
化周期为
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、相对平衡
对称性特征
位置的位移大小相等；动能、势能相等
2．单摆
(1)单摆周期公式T＝2π
①摆球只受重力和细线拉力，且悬点静止或做匀速直线运动，g为当地重力加速度，在地球
上不同位置g的取值不同，不同星球表面g值也不相同．
②单摆处于超重或失重状态时等效重力加速度 g ＝g±a.在近地轨道上运动的卫星加速度a＝
0
g，为完全失重，等效重力加速度g＝0.
0
(2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力
F与位移x的方向相反．(如图所示)
①当摆球在最高点时，F ＝＝0，F ＝mgcos θ.
向 T
②当摆球在最低点时，F ＝，F 最大，F ＝mg＋m.
向 向 T
例1 (多选)(2022·湖南卷·16(1)改编)下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力
和浮力作用下，沿竖直方向做频率为 1 Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河
水做匀速直线运动，如图(a)所示．以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直
角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图(b)所示．已知河水密度为ρ，木棒横截面积为
S，重力加速度大小为g.下列说法正确的是( )
A．x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒的动能先增大后减小
B．x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C．x＝0.35 m和x＝0.45 m时，木棒的速度大小相等，方向相反D．木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为
答案 ABD
解析 由简谐运动的对称性可知，0.1 m、0.3 m、0.5 m时木棒处于平衡位置，则x从0.05 m
到0.15 m的过程中，木棒从平衡位置下方向上移动，经平衡位置后到达平衡位置上方，速
度先增大后减小，所以动能先增大后减小，A正确；x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒从
平衡位置上方靠近最大位移处向下运动(未到平衡位置)，加速度方向竖直向下，大小逐渐变
小，B正确；x＝0.35 m和x＝0.45 m时，由图像的对称性知浮力大小相等，说明木棒在同一
竖直高度，竖直方向速度大小相等，方向相反，而这两时刻木棒水平方向速度相同，所以合
速度大小相等，方向不是相反，C错误；木棒底端处于水面下最大位移时，F ＝ρgSh ，木
1 1
棒底端处于水面下最小位移时，F＝ρgSh ，木棒在竖直方向做简谐运动的振幅A＝＝，D正
2 2
确．
例2 (2022·山东潍坊市期末)光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的系统总能量表达式为 E
＝kA2，其中k为弹簧的劲度系数，A为简谐运动的振幅．若小球质量为0.25 kg，弹簧的劲
度系数为25 N/m.起振时系统具有势能为0.06 J和动能为0.02 J，则下列说法正确的是( )
A．该振动的振幅为0.16 m
B．小球经过平衡位置时的速度为0.4 m/s
C．小球的最大加速度为8 m/s2
D．若小球在位移最大处时，质量突变为0.15 kg，则振幅变大
答案 C
解析 弹簧振子振动过程中系统机械能守恒，则有kA2＝0.06 J＋0.02 J＝0.08 J，所以该振动
的振幅为A＝0.08 m，故A错误；小球经过平衡位置时，动能为mv2＝0.08 J，所以速度为v
＝0.8 m/s，故B错误；由牛顿第二定律可知小球的最大加速度为a＝＝8 m/s2，故C正确；
小球在位移最大处时，速度为零，动能为零，所以质量突变为 0.15 kg，不影响系统的机械
能，所以振幅不变，故D错误．
例3 (多选)(2022·广东广州市天河区测试)如图所示，用绝缘细线悬挂的单摆，摆球带正电，
悬挂于O点，摆长为l，当它摆过竖直线OC时便进入或离开匀强磁场，磁场方向垂直于单
摆摆动的平面向里，A、B点分别是最大位移处．下列说法中正确的是( )
A．A点和B点处于同一水平面
B．A点高于B点
C．摆球在A点和B点处线上的拉力大小不相等
D．单摆的振动周期仍为T＝2π答案 AD
解析 带电小球在磁场中的运动过程中洛伦兹力不做功，所以在整个过程中小球的机械能守
恒，所以A点和B点处于同一水平面，则A正确，B错误；小球在A、B点的速度均为0，
向心力均为0，细线的拉力大小都等于重力沿细线方向的分力，所以摆球在 A点和B点处线
上的拉力大小相等，则C错误；由于洛伦兹力始终沿绳的方向，洛伦兹力不做功，不改变
小球的动能，不改变小球的速度，也不提供回复力，所以单摆的振动周期与没有磁场时一样，
为T＝2π，所以D正确．
考点二 机械波
形成条件 (1)波源；(2)传播介质，如空气、水等
(1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平
衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移
(2)介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率
传播特点 相同
(3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位
移为零
(4)一个周期内，波向前传播一个波长
(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各
质点的位移
波的图像
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位
置的位移
波长、波速和频
(1)v＝λf；(2)v＝
率(周期)的关系
(1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强
的条件为Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)，振动减弱的条件为Δx＝(2n＋
波的叠加 1)(n＝0,1,2，…)
(2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A
1
＋A
2
由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解
波的多解问题
问题
波的干涉
波的特性
波的衍射
例4 (2022·广东省普通高等学校模拟)关于振动和波下列说法正确的是( )A．“闻其声不见其人”说明声音可以发生衍射．对于波长为10 m的声波，当障碍物的尺
寸由10 m向20 m增大的过程中，声波衍射现象越来越明显．
B．几列在水面上传播的波相遇时波形会发生变化，脱离后可以再恢复到原来的形态
C．若观察者逐渐靠近波源，则观察者接收到的频率小于波源的频率
D．简谐振动在一次全振动的过程中动能或势能会出现一次极大值
答案 B
解析 “闻其声不见其人”说明声音可以发生衍射，当障碍物的尺寸跟波长差不多或者比波
长更小时，声波衍射现象越来越明显，对于波长为10 m的声波，当障碍物的尺寸由10 m向
20 m增大的过程中，声波衍射现象越来越不明显，A错误；根据波的叠加原理，几列在水
面上传播的波相遇时波形会发生变化，脱离后又能恢复原来的形态，B正确；根据多普勒效
应，观察者逐渐靠近波源，则观察者接收到的频率大于波源的频率，C错误；简谐振动在一
次全振动过程中动能和势能出现两次极大值，D错误．
例5 (2022·广东卷·16(1))如图所示，某同学握住软绳的一端周期性上下抖动，在绳上激发
了一列简谐波．从图示时刻开始计时，经过半个周期，绳上 M 处的质点将运动至
________(选填“N”“P”或“Q”)处．加快抖动，波的频率增大，波速__________(选填
“增大”“减小”或“不变”)．
答案 P 不变
解析 经过半个周期，波向右传播半个波长，而M处质点只在平衡位置附近上下振动，恰
好运动到最低点P处．波速是由介质决定的，与频率无关，波的频率增大，而波速仍保持
不变．
例6 (多选)(2022·浙江6月选考·16)位于x＝0.25 m的波源P从t＝0时刻开始振动，形成的
简谐横波沿x轴正负方向传播，在t＝2.0 s时波源停止振动，t＝2.1 s时的部分波形如图所示，
其中质点a的平衡位置x ＝1.75 m，质点b的平衡位置x ＝－0.5 m．下列说法正确的是(
a b
)
A．沿x轴正负方向传播的波发生干涉
B．t＝0.42 s时，波源的位移为正
C．t＝2.25 s时，质点a沿y轴负方向振动
D．在0到2 s内，质点b运动总路程是2.55 m答案 BD
解析 波沿x轴正负方向传播，向相反方向传播的波不会相遇，不会发生干涉，故A错误；
由题图可知，波的波长λ＝1 m，由题意可知0.1 s内波传播四分之一波长，可得＝0.1 s，解
得T＝0.4 s，波源振动了2 s，即波传播了5个周期，故波源的起振方向与t＝2.1 s时、x＝
1.5 m处质点的振动方向相同，则波源的振动方向向上，在 t＝0.42 s，即T0.25 s，即质点a还在继续振动，从t＝2.1 s到t＝2.25 s，经过时间为
1
t ＝0.15 s，即0)，质点A位于波峰．求：
1
(1)从t 时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；
1
(2)t 时刻质点B偏离平衡位置的位移．
1
答案 (1)0.8 s (2)－0.5 cm
解析 (1)因为波长大于20 cm，
所以波的周期T＝>1.0 s
由题可知，0.6 s＝n·，解得T＝ s，
因为T>1.0 s，所以n＝1，即T＝1.2 s
波长λ＝vT＝24 cm
在t 时刻(t>0)，质点A位于波峰．因为A、B距离小于一个波长，质点B位于波峰最快是质
1 1
点A处的波峰传过去，所以从t 时刻开始，质点B运动到波峰所需要的最少时间t＝＝
1
0.8 s
(2)在t 时刻(t>0)，A位于波峰，B与A相距16 cm，故质点B偏离平衡位置的位移为
1 1
y′＝ycos cm＝－0.5 cm.
[尖子生选练]
12．(多选)(2022·福建泉州市质量监测)一列简谐横波沿x轴传播，a、b为x轴上在平衡位置
相距6 m的两质点，振动图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是( )
A．在t＝0至t＝0.5 s时间内，质点a的路程比质点b的小
B．a、b两质点可能同时经过平衡位置
C．这列波的波长可能是24 m
D．这列波的波速可能是 m/s
答案 CD
解析 根据图像可知，在t＝0至t＝0.5 s时间内，质点a的平均速率大于质点b的平均速率，
则质点a的路程大于质点b的路程，故A错误；根据图像可知，两者间距为λ＋nλ或λ＋
nλ(n＝0,1,2,3，…)，所以a、b两质点不可能同时经过平衡位置，故B错误；由题图可知，T
＝4 s，则当两者间距为λ＋nλ时，λ＋nλ＝6 m，波长为λ＝ m(n＝0,1,2,3，…)，波速v＝＝
m(n＝0,1,2,3，…)；当两者间距为λ＋nλ时，λ＋nλ＝6 m，波长为λ＝ m(n＝0,1,2,3，…)，
波速v＝＝ m(n＝0,1,2,3，…)，当n＝1时，且两者间距为λ＋nλ时波速才能为 m/s，当n＝0时，且两者相距λ＋nλ时，波长才能为24 m，故C、D正确．
