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专题 06：动能定理
考点1 动能定理的应用······················································································1
考点2 应用动能定理求解多过程问题····································································3
考点3 动能定理与图象的综合问题·······································································5
考点 1 动能定理的应用
1．对动能定理的理解
(1)动能定理表达式W＝ΔE 中，W表示所有外力做功的代数和。ΔE 为所研究过程的末动能与初动能之差，
k k
且物体的速度均是相对地面的速度。
(2)
2．应用动能定理解题应注意的四点
(1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学研究方法要简捷。
(2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理是没有依据的。
(3)物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的过程(如加速、减速的过程)，此时可以分段考虑，也
可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式，则可使问题简化。
(4)根据动能定理列方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加
以检验。
【典例1】一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为 、不可伸长的轻细绳，一端固定
在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小
球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为g，不计
空气阻力）（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】小球下落的高度为h = πR - R + R = R小球下落过程中，根据动能定理有mgh = mv2
综上有v =
故选A。
【变式1-1】 一篮球质量为 ，一运动员使其从距地面高度为 处由静止自由落下，反
弹高度为 。若使篮球从距地面 高的度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球、球
落地后反弹的高度也为 。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为 ；该篮球每次
与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取 ，不计空气阻力。求：
（1）运动员拍球过程中对篮球所做的功；
（2）运动员拍球时对篮球的作用力的大小。
【变式1-2】从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始
终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3 m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如
图所示。重力加速度取10 m/s2。该物体的质量为；（ ）
A．2 kg B．1.5 kg C．1 kg D．0.5 kg
【变式1-3】如图所示AB和CDO都是处于竖直平面内的光滑圆弧形轨道，OA处于水平位置。AB是半径
为R＝1 m的圆周轨道，CDO是半径为r＝0.5 m的半圆轨道，最高点O处固定一个竖直弹性挡板(可以把小
球弹回，不损失能量，图中没有画出)，D为CDO轨道的中点。BC段是水平粗糙轨道，与圆弧形轨道平滑
连接。已知BC段水平轨道长L＝2 m，与小球之间的动摩擦因数μ＝0.2。现让一个质量为m＝1 kg的小球
从A点的正上方距水平线OA高H的P处自由落下。(g取10 m/s2)
(1)当H＝2 m时，求此时小球第一次到达D点对轨道的压力大小；
(2)为使小球仅仅与弹性挡板碰撞一次，且小球不会脱离CDO轨道，求H的取值范围。
考点 2 应用动能定理求解多过程问题
【题型要点】1．多过程问题的分析方法
(1)将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接。(2)对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图。
(3)根据“子过程”和“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程。
(4)分析“衔接点”速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助方程。
(5)联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。
2．利用动能定理求解多过程问题的基本思路
【典例2】某砂场为提高运输效率，研究砂粒下滑的高度与砂粒在传送带上运动的关系，建立如图所示的
物理模型．竖直平面内有一倾角θ＝37°的直轨道AB，其下方右侧放置一水平传送带，直轨道末端B与传
送带间距可近似为零，但允许砂粒通过．转轮半径R＝0.4 m、转轴间距L＝2 m的传送带以恒定的线速度
逆时针转动，转轮最低点离地面的高度H＝2.2 m．现将一小物块放在距离传送带高h处静止释放，假设小
物块从直轨道B端运动到达传送带上C点时，速度大小不变，方向变为水平向右．已知小物块与直轨道和
传送带间的动摩擦因数均为μ＝0.5.(sin 37°＝0.6)
(1)若h＝2.4 m，求小物块到达B端时速度的大小；
(2)若小物块落到传送带左侧地面，求h需要满足的条件；
(3)改变小物块释放的高度h，小物块从传送带的D点水平向右抛出，求小物块落地点到D点的水平距离x
与h的关系式及h需要满足的条件．
【答案】 (1)4 m/s (2)h<3.0 m (3)x＝2(m) h≥3.6 m
【解析】(1)小物块由静止释放到B的过程中，有mgsin θ－μmgcos θ＝ma
v＝2a解得v ＝4 m/s.
B
(2)若要小物块落到传送带左侧地面，设当小物块到达传送带上 D点时速度为零，小物块从距传送带高度h
1
处由静止释放，则有
0＝mgh －μmgcos θ·－μmgL
1
解得h＝3.0 m
1
当h<h＝3.0 m时满足题中条件．
1
(3)当小物块从右侧抛出时，设小物块到达D点的速度为v，则有
mv2＝mgh－μmgcos θ－μmgL
H＋2R＝gt2，x＝vt
解得x＝2(m)
为使小物块能在D点水平向右抛出，则需满足
mg≤，解得h≥3.6 m.
考点 3 动能定理与图象的综合问题【题型要点】1．解决图象问题的基本步骤
(1)观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交
点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物
理量．
2．图象所围“面积”的意义
(1)v－t图象：由公式x＝vt可知，v－t图线与t坐标轴围成的面积表示物体的位移．
(2)a－t图象：由公式Δv＝at可知，a－t图线与t坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量．
(3)F－x图象：由公式W＝Fx可知，F－x图线与x坐标轴围成的面积表示力所做的功．
(4)P－t图象：由公式W＝Pt可知，P－t图线与t坐标轴围成的面积表示力所做的功．
【典例3】如图所示，一小物块由静止开始沿斜面向下滑动，最后停在水平地面上。斜面和地面平滑连接，
且物块与斜面、物块与地面间的动摩擦因数均为常数。该过程中，物块的动能 与水平位移x关系的图象
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知设斜面倾角为θ，动摩擦因数为μ，则物块在斜面上下滑水平距离x时根据动能定理有
整理可得
即在斜面上运动时动能与x成线性关系；当小物块在水平面运动时有
即在水平面运动时动能与x也成线性关系；综上分析可知A正确。故选A。【变式3-1】(多选)(2021东北师大附中3月模拟)在未知方向的恒力F作用下，一质量为1.0 kg的物体以一
定的初速度在光滑水平面上做直线运动，物体的动能E 随位移x变化的关系如图所示．(g取10 m/s2)由上
k
述已知条件，可知( )
A．力F的最小值为2.5 N B．力F不可能大于10 N
C．物体运动过程中的加速度大小无法求出 D．物体在运动过程中在任意位置力F的功率是可以求出的
【变式3-2】（2019·新课标全国Ⅲ卷）从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还
受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度 h在3 m以内时，物体上升、下落过
程中动能E 随h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。该物体的质量为
k
A．2 kg B．1.5 kg C．1 kg D．0.5 kg
【变式3-3】质量m＝1 kg的物体，在水平拉力F(拉力方向与物体初速度方向相同)的作用下，沿粗糙水平
面运动，经过位移为4 m时，拉力F停止作用，运动到位移为8 m时物体停止运动，运动过程中Ex的图
k
线如图所示。取g＝10 m/s2，求：
(1)物体的初速度大小；
(2)物体和水平面间的动摩擦因数；
(3)拉力F的大小。
【规律总结1】应用动能定理求多过程问题的技巧
1．运用动能定理解决多过程问题时，有两种思路：一种是全过程列式，另一种是分段列式。
2．全过程列式时，涉及重力、弹簧弹力，大小恒定的阻力或摩擦力做功，要注意运用它们的功能特点：
(1)重力做的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；
(2)大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力的大小与路程的乘积。(3)弹簧弹力做功与路径无关。
【规律总结2】动能定理与图象结合问题的分析方法
(1)首先看清所给图象的种类(如vt图象、Ft图象、Et图象等)。
k
(2)挖掘图象的隐含条件，得出所需要的物理量，如由vt图象所包围的“面积”求位移，由Fx图象所包围
的“面积”求功等。
(3)分析有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量。
【规律总结3】应用动能定理解题的思维流程
1.(多选)如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体．电梯在钢索的拉力作用下
竖直向上加速运动，当电梯的速度由v 增加到v 时，上升高度为H，则在这个过程中，下列说法或表达式
1 2
正确的是( )
A．对物体，动能定理的表达式为W ＝mv，其中W 为支持力的功
N N
B．对物体，动能定理的表达式为W ＝0，其中W 为合力的功
合 合
C．对物体，动能定理的表达式为W －mgH＝mv－mv，其中W 为支持力的功
N N
D．对电梯，其所受合力做功为Mv－Mv
2.(2021·宁波调研)张伟同学参加学校运动会立定跳远项目比赛，起跳直至着地过程如图所示，测量得到比
赛成绩是2.5 m，目测空中脚离地最大高度约0.8 m，忽略空气阻力，则起跳过程该同学所做功最接近(
)
A．65 J B．750 J
C．1 025 J D．1 650 J
1.(2018·全国卷Ⅰ·18)如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之
一圆弧，与ab相切于b点．一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从
静止开始向右运动．重力加速度大小为g.小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( )
A．2mgR B．4mgR
C．5mgR D．6mgR
2.(2018·高考全国卷 Ⅲ )如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相
切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sin α＝.一质量为m的小球沿水平轨道
向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用．已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰
好为零．重力加速度大小为g.求
(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
(2)小球到达A点时动量的大小；
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间．
3.(2021四川省泸州市一中模拟)如图所示，从高台边A点以某速度水平飞出的小物块(可看作质点)，恰能从
固定在某位置的光滑圆弧轨道CDM的左端C点沿圆弧切线方向进入轨道．圆弧轨道CDM的半径R＝0.5
m，O为圆弧的圆心，D为圆弧最低点，C、M在同一水平高度，OC与水平面夹角为37°，斜面MN与圆弧
轨道CDM相切于M点，MN与水平面夹角为53°，斜面MN足够长，已知小物块的质量m＝3 kg，第一次
到达D点时对轨道的压力大小为78 N，与斜面MN之间的动摩擦因数μ＝，小球第一次通过C点后立刻装
一与C点相切且与斜面MN关于OD对称的固定光滑斜面，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，不考虑小物块运动过程中的转动，求：
(1)小物块平拋运动到C点时的速度大小；
(2)A点到C点的竖直距离；
(3)小物块在斜面MN上滑行的总路程．
1．(多选) (2021·陕西西安长安区模拟)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉到水平位置后放
手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F 的大小不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是
阻
( )
A．重力做功为mgl
B．绳的拉力做功为零C．F 做功为－mgl
阻
D．F 做功为－F πl
阻 阻
2.(2021·福建厦门期末)一质量为2 kg的物体静止在水平桌面上，在水平拉力F的作用下，沿水平方向运动
2 s后撤去外力，其vt图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．在0～2 s内，合外力做的功为4 J
B．在0～2 s内，合外力做的功为8 J
C．在0～6 s内，摩擦力做的功为－8 J
D．在0～6 s内，摩擦力做的功为－4 J
3．(2021·武汉示范高中联考)一个小球被水平抛出，运动t时间重力做的功为W，不计空气阻力，则t时刻
重力的瞬时功率为( )
A． B．
C． D．
4．(2021·日照联考)汽车发动机的额定功率是60 kW，汽车的质量为2×103 kg，在平直路面上行驶，受到的
阻力是车重的0.1倍。若汽车从静止出发，以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，则出发50 s时，汽车发动机
的实际功率为(取g＝10 m/s2)( )
A．25 kW B．50 kW
C．60 kW D．75 kW
5．(多选)(2020·天津等级考)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主
创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v ，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时
0
间t达到该功率下的最大速度v 。设动车行驶过程中所受到的阻力F保持不变，动车在时间t内( )
m
A.做匀加速直线运动
B．加速度逐渐减小
C．牵引力的功率P＝Fv
m
D．牵引力做功W＝mv 2－mv2
m 0
1.(2021·济南市高三质量评估)新能源汽车近几年发展非常迅速，下表是某品牌电动汽车相关参数。请根据相关参数判断以下哪些说法正确：(假设汽车以30 m/s匀速行驶时的阻力为车重的0.05倍，汽车电能转化
为有用功的效率为80%，重力加速度g取10 m/s2)
指标参 0～30 m/s加速 制动最短距离
整车质量 最大速度 电池容量
数 时间 (30 m/s～0)
数值 2 000 kg 5.0 s 60 m/s 75 kW·h 30 m
A.汽车在0～30 m/s的加速过程中的平均加速度大小为6 m/s2
B.汽车刹车由30 m/s减速到0所用时间最短为1 s
C.当汽车以30 m/s匀速行驶时，汽车克服阻力做功的功率为75 kW
D.当汽车以30 m/s匀速行驶时，汽车的续航里程(最大行驶距离)约为216 km
2.(2021·湖南省联考)有一物体由某一固定的长斜面的底端以初速度v 沿斜面上滑，斜面与物体间的动摩擦
0
因数μ＝0.5，其动能E 随离开斜面底端的距离x变化的图线如图所示，g取10 m/s2，不计空气阻力，则以
k
下说法正确的是( )
A.斜面的倾角θ＝30° B.物体的质量为m＝0.5 kg
C.斜面与物体间的摩擦力大小F＝2 N D.物体在斜面上运动的总时间t＝2 s
f
3．(多选)(2018·全国卷Ⅲ·T )地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面。某竖井中矿车
19
提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速
阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第
①次和第②次提升过程，( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5 B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1 D．电机所做的功之比为4∶5
4.(2018·浙江选考)如图所示，质量为60 kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根
直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离oa、ob分别为0.9 m和0.6 m。若她在1 min
内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，则克服重力做的功和相应的功率约为(取g＝10 m/s2)
( )
A．430 J,7 W B．4 300 J,70 WC．720 J,12 W D．7 200 J,120 W
5.(2018·全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC
为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα＝，一质量为m的小球沿水平轨道向右运
动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一
直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。
重力加速度大小为g。求：
(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
(2)小球到达A点时动量的大小；
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。
6．(2020·四川省泸县第四中学高三模拟)如图所示，表面光滑的斜面固定在水平地面，顶端安装有定滑轮，
小物块A、B通过绕过定滑轮的绝缘轻绳连接，轻绳平行于斜面，空间有平行于斜面向下的匀强电场．开
始时，带正电的小物块A在斜面底端，在外力作用下静止，B离地面一定高度，撤去外力，B竖直向下运
动．B不带电，不计滑轮摩擦．则从A和B开始运动到B着地的过程中( )
A．A的电势能增加
B．A和B系统的机械能守恒
C．A和B系统减少的重力势能等于A增加的电势能
D．轻绳拉力对A做的功大于A的电势能增加量和动能增加量之和
7．(2020·广西壮族自治区北流市实验中学高三开学考试)如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平
地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处由静止释放。某同学探究小球在接触弹簧后向下的运动
过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，作出小球所受弹力F大小随小球
下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下判断正确的是A．当x=h+x 时，重力势能与弹性势能之和最小 B．最低点的坐标为x=h+2x
0 0
C．小球受到的弹力最大值等于2mg D．小球动能的最大值为
8．(2021·浙江省高三学业考试)图甲为一直角三角形劈，倾角∠abc=37°，ab长为2L，p为ab的中点，小物
块从a点由静止释放沿ab滑到b时速度恰好为零，小物块与ap、pb两段斜面之间的动摩擦因数分别为μ
1
和μ。现将劈顺时针旋转90°(如图乙所示)，小物块从b由静止释放，已知sin37°=0.6，c0s37°=0.8，最大静
2
摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是
A．图甲中小物块通过ap、pb段克服摩擦力所做的功之比为l：l
B．μ+μ =1.5
1 2
C．图乙中小物块可能静止在b处
D．图乙中小物块滑到a处时的速度大小为
9．（13分）(2021·河北省唐山市模拟)如图所示，装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很
小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度x＝5 m，轨道CD足够长且倾角θ
＝37°，A、D两点离轨道BC的高度分别为h ＝4.30 m、h ＝1.35 m．现让质量为m的小滑块(可视为质点)
1 2
自A点由静止释放．已知小滑块与轨道 BC间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)小滑块第一次到达D点时的速度大小；
(2)小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔；
(3)小滑块最终停止的位置距B点的距离．
10.（13分）(2020·山西省太原市三模)如图所示，从高台边A点以某速度水平飞出的小物块(可看作质点)，
恰能从固定在某位置的光滑圆弧轨道CDM的左端C点沿圆弧切线方向进入轨道。圆弧轨道CDM的半径R
＝0.5 m，O为圆弧的圆心，D为圆弧最低点，C、M在同一水平高度，OC与水平面夹角为37°，斜面MN
与圆弧轨道CDM相切于M点，MN与水平面夹角为53°，斜面MN足够长，已知小物块的质量m＝3 kg，
第一次到达D点时对轨道的压力大小为78 N，与斜面MN之间的动摩擦因数μ＝，小球第一次通过C点后
立刻安装一个与C点相切且与斜面MN关于OD对称的固定光滑斜面，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8，不考虑小物块运动过程中的转动，求：(1)小物块平抛运动到C点时的速度大小；
(2)A点到C点的竖直距离；
(3)小物块在斜面MN上滑行的总路程。
