文档内容
全国卷 自主命题卷
2021·全国甲卷·T20 动能定理及其应用 2021·山东卷·T3 功和功率
2021·全国乙卷·T19 动能定理及其应用 2021·湖南卷·T3 机车启动问题
2020·全国卷Ⅰ·T20 功能关系 机械能守 2021·河北卷·T6 动能定理及其应用
恒定律 2021·浙江1月选考·T11 功和功率
考情 2020·全国卷Ⅱ·T25 动能定理在多过程 2021·北京卷·T8 功和功率
分析 问题中的应用 2020·山东卷·T11 动能定理及应用
2019·全国卷Ⅱ·T24 动能定理 2020·江苏卷·T4 动能定理及其应用
2020·全国卷Ⅲ·T22 实验：验证动能定理
2021·浙江6月选考·T17 实验：验证
2016·全国卷Ⅰ·T22 实验：验证机械能守
机械能守恒定律
恒定律
体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车
生活实践类
等能量问题， 汽车启动问题，生活、生产中能量守恒定律的应用
试题
变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，用绳、杆连
情境
学习探究类 接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题，传送带、
板块模型的能量问题
第 1 讲 功、功率 机车启动问题
目标要求 1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小.2.理解功率的
概念，并会对功率进行分析和计算.3.会分析、解决机车启动的两类问题．
考点一 恒力做功的分析和计算
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力．(2)物体在力的方向上发生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
3．功的正负
(1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
(2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功．
1．只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功．( × )
2一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．( √ )
3．作用力做正功时，反作用力一定做负功．( × )
4．力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的．( √ )
1．是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移的方向的夹角判断；
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜
α≤180°，力做负功．
2．计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W、W、W…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合外力做的功．
1 2 3 合 1 2 3
方法三：利用动能定理W ＝E －E .
合 k2 k1
例1 (2022·广东惠州一中月考)图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对
手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止．下列关
于做功的判断中正确的是( )
A．图甲中支持力对人做正功
B．图甲中摩擦力对人做负功
C．图乙中支持力对人做正功D．图乙中摩擦力对人做负功
答案 A
解析 题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹
角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持
力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误．
例2 如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生
相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中．g取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功．
答案 (1)300 J (2)100 J (3)－400 J (4)0
解析 物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图
所示
由平衡条件得Fcos θ－F sin θ＝0，Fsin θ＋F cos θ－G＝0
f N f N
代入数据得F＝10 N，F ＝10 N
f N
x＝vt＝20 m
(1)斜面对物体的支持力所做的功
W ＝F xcos θ＝300 J
N N
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
W＝Fxcos (90°－θ)＝100 J
f f
(3)物体重力做的功W ＝Gxcos 180°＝－400 J
G
(4)合外力对物体做的功
方法一：W ＝W ＋W＋W ＝0
合 N f G
方法二：F ＝0，W ＝F xcos α＝0.
合 合 合考点二 变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法 以例说法
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3 f
等效
转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)
图象法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x，图线
0
与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x
0
平均
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式
值法
得W＝·Δx
应用动
能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，则有：
F
W －mgL(1－cos θ)＝0，得W ＝mgL(1－cos θ)
F F
考向1 微元法计算变力做功
例3 聂海胜利用太空跑台——动感单车锻炼，如图所示．假设聂海胜锻炼15分钟克服动
感单车阻力而消耗的能量约为900 kJ.假设动感单车的阻力主要来源于距车轴30 cm的阻尼装
置(可视为质点)，宇航员每分钟蹬车90圈，则阻尼装置对车轮的阻力约为( )
A．180 N B．350 N C．580 N D．780 N答案 B
解析 设平均阻力为F，则有F×(15×90×2πr)＝900 kJ，解得F≈354 N，故选B.
f f f
考向2 图象法计算变力做功
例4 如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大
小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则( )
A．物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动
B．运动过程中推力做的功为200 J
C．物体在运动过程中的加速度先变小后不变
D．因推力是变力，无法确定推力做功的大小
答案 B
解析 滑动摩擦力F＝μmg＝20 N，物体先加速运动，当推力减小到20 N时，加速度减小
f
为零，之后推力逐渐减小，物体做加速度增大的减速运动，当推力减小为零后，物体做匀减
速运动，选项 A、C 错误；F－x 图象中图线与横轴所围的面积表示推力做的功，W＝
×100×4 J＝200 J，选项B正确，D错误．
考向3 等效转换法计算变力做功
例5 如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，
以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上
升至C点的过程中拉力F做的功分别为W 和W，图中AB＝BC，则( )
1 2
A．W>W
1 2
B．WΔl ，故W>W，A正确．
AB BC 1 2
考点三 功率的分析和计算
1．定义：功与完成这些功所用时间之比．
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢．
(2)P＝Fv
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
1．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率．( × )
2．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率．( √ )
3．当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大．( × )
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．其中F为恒力，α不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与
v的夹角，α可以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度
v在力F方向上的分速度．
考向1 功率的分析和计算
例6 如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率的变化情况是( )
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
答案 A
解析 小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点，即小球做匀速圆周运动，那么小
球受到的重力mg、水平拉力F、绳子拉力F 三者的合力必是沿绳子指向O点．对小球受力
T
分析如图，F＝mgtan θ，由P＝Fvcos θ，可得P＝mgvsin θ，θ逐渐增大，则功率P逐渐增
大，A项正确．
例7 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足
够长，木块与斜面间的动摩擦因数为 μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10
m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为( )
A．48 W 24 W B．24 W 48 W
C．24 W 12 W D．12 W 24 W
答案 B
解析 木块所受的合外力
F ＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
合
木块的加速度a＝＝2 m/s2
前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W.
故选项B正确．
考向2 功率和功综合问题的分析和计算
例8 一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方
向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间t的变化规律分别如图甲、乙所示，
则以下说法正确的是( )
A．第1 s内，F对滑块做的功为3 J
B．第2 s内，F对滑块做功的平均功率为4 W
C．第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率为1 W
D．前3 s内，F对滑块做的总功为零
答案 C
解析 由题图可知，第1 s内，滑块位移为1 m，F对滑块做的功为2 J，A错误；第2 s内，
滑块位移为1.5 m，F对滑块做的功为4.5 J，平均功率为4.5 W，B错误；第3 s内，滑块位
移为1.5 m，F对滑块做的功为1.5 J，第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率P＝Fv＝1 W，C
正确；前3 s内，F对滑块做的总功为8 J，D错误．
考点四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图象
和v－t
图象
OA 过程 a＝不变⇒F不变⇒P＝Fv↑直到
v↑ F＝↓⇒a＝↓
段 分析 P＝P
额
＝Fv
1
⇒运动
加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t＝
0
性质
过程
F＝F 阻⇒a＝0 v
m
＝ v↑ F＝↓⇒a＝↓
AB 分析
⇒ ⇒
段 运动
以v 做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
m
性质
F＝F 阻⇒a＝0 以v
m
＝做匀速直
BC段
线运动 ⇒
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝.
m
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝
P B．W>W，P＝P
1 2 1 2 1 2 1 2
C．W>W，P>P D．W＝W，P＝P
1 2 1 2 1 2 1 2
答案 A
解析 根据功的定义，两次水平恒力F做的功相等，即W ＝W ；第一次是在光滑水平面上，
1 2
第二次是在粗糙水平面上，第二次受到摩擦力作用，作用同样大小的力F，第一次的加速度
较大，由x＝at2可知，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次需要的时间较短，根据功
率的定义，可知第一次的平均功率较大，即P>P，选项A正确．
1 2
2.(多选)(2020·天津卷·8)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我
国高铁自主创新的又一重大标志性成果．如图所示，一列质量为 m的动车，初速度为v ，
0
以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度v ，设动车行驶过程所
m
受到的阻力F保持不变．动车在时间t内( )A．做匀加速直线运动
B．加速度逐渐减小
C．牵引力的功率P＝Fv
m
D．牵引力做功W＝mv 2－mv2
m 0
答案 BC
解析 由P＝F v知，P不变，v变大，则F 变小，由F －F＝ma知，a变小，故A错误，
牵 牵 牵
B正确；当F ＝F时，动车的速度最大，可得牵引力的功率 P＝F v ＝Fv ，故C正确；
牵 牵 m m
由动能定理可知W－W ＝mv 2－mv2，所以牵引力做功W＝mv 2－mv2＋W ，故D错误．
阻 m 0 m 0 阻
3.(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从
A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力F 的大小不变，重力加速度为g，则下列说法正
阻
确的是( )
A．重力做功为mgl
B．绳的拉力做功为零
C．F 做功为－mgl
阻
D．F 做功为－F πl
阻 阻
答案 ABD
解析 小球下落过程中，重力做功为mgl，A正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做
功为零，B正确；空气阻力F 大小不变，方向始终与速度方向相反，故 F 做功为－F
阻 阻 阻
·πl，D正确．
4.(2021·山东卷·3)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为 L的轻质细杆，一端
可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连．木块以水平初速度v 出发，恰
0
好能完成一个完整的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A. B.C. D.
答案 B
解析 在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理
－F·2πL＝0－mv2
f 0
可得摩擦力的大小F＝，故选B.
f
5．我国自主研制的绞吸挖泥船“天鲲号”达到世界先进水平．若某段工作时间内，“天鲲
号”的泥泵输出功率恒为1×104 kW，排泥量为1.4 m3/s，排泥管的横截面积为0.7 m2，则
泥泵对排泥管内泥浆的推力为( )
A．5×106 N B．2×107 N
C．2×109 N D．5×109 N
答案 A
解析 设排泥管内泥浆的速度为v，由Q＝Sv得v＝＝2 m/s；又由P＝Fv得F＝＝5×106
N，故A正确．
6．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为 2 kg的物体在拉力F作用下由静止向上做
匀加速运动，物体速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．0～4 s内F的平均功率为42 W
答案 C
解析 由题图乙可知，v－t图象的斜率表示物体加速度，即a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可
得：F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末F的作用点的速度大小为v ＝2v ＝4 m/s，故4 s末F
F 物
的功率为P＝Fv ＝42 W，C正确；0～4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l
F
＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故平均功率＝＝21 W，D错误．
7.(多选)如图所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上，并与B保持相对静止，一起
沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )
A．A所受的合力对A做正功B．B对A的弹力对A做正功
C．B对A的摩擦力对A做正功
D．A对B的作用力对B做正功
答案 AC
解析 A、B作为整体，由牛顿第二定律得(m ＋m )·gsin θ＝(m ＋m )a，解得a＝gsin θ，由
A B A B
牛顿第二定律知，A所受合力方向沿斜面向下，与速度方向相同，故 A所受合力对A做正功，
A正确；B对A的弹力竖直向上，与速度方向的夹角大于90°，故B对A的弹力对A做负功，
B错误；B对A的摩擦力方向水平向左，与速度方向的夹角小于 90°，故B对A的摩擦力对
A做正功，C正确；设B对A的摩擦力和支持力沿斜面方向的合力为 F，对A，由牛顿第二
定律得m gsin θ＋F＝m a，解得F＝0，由牛顿第三定律知，A对B的摩擦力和压力沿斜面
A A
方向的合力为零，故A对B的作用力对B不做功，D错误．
8.(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面．某竖井中矿车提升的
速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它
们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等．不考虑摩擦阻力
和空气阻力．对于第①次和第②次提升过程，( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
答案 AC
解析 由题图可得，变速阶段的加速度大小a＝，设第②次所用时间为t ，根据速度－时间
2
图象与时间轴所围的面积等于位移(此题中为提升的高度)可知，×2t×v ＝[t ＋(t －
0 0 2 2
2×)]×v ，解得：t ＝，所以第①次和第②次矿车上升所用时间之比为2t∶＝4∶5 ，选项
0 2 0
A正确；由于两次提升过程变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，
F－mg＝ma，可得电机的最大牵引力之比为1∶1，选项B错误；由功率公式，P＝Fv，电
机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，选项C正确；加速上升过程的加速度
a ＝，加速上升过程的牵引力F ＝ma ＋mg＝m(＋g)，减速上升过程的加速度a ＝－，减速
1 1 1 2
上升过程的牵引力F＝ma ＋mg＝m(g－)，匀速运动过程的牵引力F＝mg.第①次提升过程做
2 2 3
功 W ＝F××t×v ＋F××t×v ＝mgvt ；第②次提升过程做功 W ＝F××t×v ＋
1 1 0 0 2 0 0 00 2 1 0 0F×t×v＋F××t×v＝mgvt，两次做功相同，选项D错误．
3 0 0 2 0 0 00
9．(2021·湖南卷·3)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量
为m的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功
率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F
阻
＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大
速度为v .下列说法正确的是( )
m
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为v
m
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 t达到最大速度
v ，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mv 2－Pt
m m
答案 C
解析 对动车组由牛顿第二定律有
F －F ＝ma，
牵 阻
动车组匀加速启动，即加速度a恒定，但F ＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增
阻
大而增大，故A错误；
若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为 4P，由牛顿第二定律有－kv＝ma，故可
知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；
若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，动车组匀速行驶时加速度为零，有＝kv，
而以额定功率匀速行驶时，有＝kv ，
m
联立解得v＝v ，故C正确；
m
若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度v ，
m
由动能定理可知4Pt－W ＝mv 2－0
克阻 m
可得动车组克服阻力做的功为
W ＝4Pt－mv 2，故D错误．
克阻 m
10．如图甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车，正以10 m/s的速度向右
匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v－t图象如图乙所
示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持 20 kW不变，
假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小．求：(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力F 的大小；
f1
(2)汽车到达B点时的加速度a的大小；
(3)BC路段的长度．
答案 (1)2 000 N (2)1 m/s2 (3)68.75 m
解析 (1)汽车在AB路段时，有F＝F ，P＝Fv，
1 f1 1 1
联立解得：F ＝2 000 N.
f1
(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，
有F＝F ，F ＝，
2 f2 f2
联立解得：F ＝4 000 N.
f2
t＝5 s时汽车开始做减速运动，有F－F ＝ma，
1 f2
解得a＝－1 m/s2，即加速度大小为1 m/s2
(3)在BC段由动能定理得：PΔt－F x＝mv2－mv2，
f2 2 1
解得x＝68.75 m.
11.(多选)质量为2×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F和车速
倒数的关系图象如图所示．已知行驶过程中最大车速为30 m/s，设阻力恒定，则( )
A．汽车所受阻力为6×103 N
B．汽车的车速为5 m/s时，加速度为3 m/s2
C．汽车的车速为15 m/s时，加速度为1 m/s2
D．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104 W
答案 CD
解析 当牵引力等于阻力时，速度最大，由题图可知阻力大小 F＝2 000 N，故A错误；车
f
速为5 m/s时，汽车的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2，故B错误；由题图可知P＝Fv＝2 000×30
f
W＝6×104 W，汽车的最大功率为6×104 W，故D正确；当车速为15 m/s时，牵引力F＝
＝ N＝4 000 N，则加速度a′＝＝ m/s2＝1 m/s2，故C正确．
