文档内容
2023高考二轮复习二十五专题
专题五、功与能
第一部分 织网点睛，纲举目张
1．功和功率
(1)正、负功的判断
(2)功和功率的计算(3)机车启动问题的两种求解思路
①机车以恒定功率启动：
②机车以恒定加速度启动：
2．动能定理
(1)内容：合外力做的功等于动能的变化。
(2)表达式：W＝mv2－mv2。
2 1
(3)运用动能定理解题的优越性
①动能定理既适用于恒力做功、直线运动、单过程问题，也适用于变力做功、曲线运
动、多过程问题。
②动能定理不涉及势能，解决的是合力做功与动能变化的问题，各力做功的情况都要
进行分析。
③在接触面粗糙的情况下，机械能往往是不守恒的，可应用动能定理解题。
3．机械能守恒定律
(1)判断机械能是否守恒的两个角度
①从功的角度：若只有物体重力和弹簧弹力做功，则物体和弹簧组成的系统机械能守
恒。
②从能的角度：若系统内部只有动能和势能的相互转化，没有其他形式的能(如内能)
与机械能相互转化，且系统与外部也没有能量的转移或转化，则系统机械能守恒。
(2)掌握系统机械能守恒的三种表达式
4．常见的功能关系及其体现
(1)常见的功能关系
合力做功与动能的关系 W ＝ΔE
合 k
重力做功与重力势能的关系 W ＝－ΔE
G p
弹力做功与弹性势能的关系 W ＝－ΔE
弹 p除重力和系统内弹力之外其他力做功与机械能的关系 W ＝ΔE
其他 机
滑动摩擦力做功与内能的关系 Fx ＝ΔE
f 相对 内
(2)功能关系的体现
第二部分 实战训练，高考真题演练
1. （2022·高考广东物理）如图8所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒
定功率 、速度 匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率 、速度 匀速
行驶。己知小车总质量为 ， ， PQ段的倾角为 ，重力加速度
g取 ，不计空气阻力。下列说法正确的有（ ）
A．从M到N，小车牵引力大小为 、
B．从M到N，小车克服摩擦力做功
C．从P到Q，小车重力势能增加D．从P到Q，小车克服摩擦力做功
2.（2022新高考江苏卷）某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆
弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能 与
水平位移x的关系图像正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. （2022新高考江苏卷）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A连接在一起，
处于压缩状态，A由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B轻放在A右
侧，A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A、B始终不分离，当A回到初始
位置时速度为零，A、B与斜面间的动摩擦因数相同、弹簧未超过弹性限度，则（ ）
A. 当上滑到最大位移的一半时，A的加速度方向沿斜面向下
B. A上滑时、弹簧的弹力方向不发生变化C. 下滑时，B对A的压力先减小后增大
D. 整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功大于B的重力势能减小量
4. （2022高考河北）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体 和 用不可伸长的轻绳
相连，悬挂在定滑轮上，质量 ， 时刻将两物体由静止释放，物体 的加速
度大小为 。 时刻轻绳突然断开，物体 能够达到的最高点恰与物体 释放位置处于同
一高度，取 时刻物体 所在水平面为零势能面，此时物体 的机械能为 。重力加
速度大小为 ，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A. 物体 和 的质量之比为
B. 时刻物体 的机械能为
C. 时刻物体 重力的功率为
D. 时刻物体 的速度大小，5．（2022·全国理综甲卷·14）北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所
示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的
高度差为h。要求运动员过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中
将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A． B． C． D．
6. （2022·全国理综乙卷·16）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大
圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ）
A. 它滑过的弧长
B. 它下降的高度
C. 它到P点的距离
D. 它与P点的连线扫过的面积
7．（2022年6月浙江选考）小明用额定功率为1200W、最大拉力为300N的提升装置，把
静置于地面的质量为20kg的重物竖直提升到高为85.2m的平台，先加速再匀速，最后
做加速度大小不超过5m/s2的匀减速运动，到达平台速度刚好为零，则提升重物的最短
时间为
A．13.2s B．14.2s
C．15.5s D．17.0s8．（2022高考河北卷）[河北2022·9，6分]如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体
和 用不可伸长的轻绳相连，悬挂定滑轮上，质量 ， 时刻将两物体由静止
释放，物体 的加速度大小为 。 时刻轻绳突然断开，物体 能够达到的最高点恰与
物体 释放位置处于同一高度，取 时刻物体 所在水平面为零势能面，此时物体
的机能为 。重力加速度大小为 ，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说
法正确的是（ ），
A．物体 和 的质量之比为
B． 时刻物体 的机械能为
C． 时刻物体 重力的功率为
D． 时刻物体 的速度大小
，9. （2022年1月浙江选考）某节水喷灌系统如图所示，水以 的速度水平
喷出，每秒喷出水的质量为2.0kg。喷出的水是从井下抽取的，喷口离水面的高度保持
H=3.75m不变。水泵由电动机带动，电动机正常工作时，输入电压为220V，输入电流为
2.0A。不计电动机的摩擦损耗，电动机的输出功率等于水泵所需要的输入功率。已知水泵
的抽水效率（水泵的输出功率与输入功率之比）为75%，忽略水在管道中运动的机械能损
失，则（ ）A. 每秒水泵对水做功为75J
B. 每秒水泵对水做功为225J
C. 水泵输入功率为440W
D. 电动机线圈的电阻为10
10. （2022年1月浙江选考）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角 =37°的
光滑直轨道AB、圆心为O 的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O 的半圆形光滑细圆管轨道
1 2
DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨
道固定在G点（与B点等高），B、O、D、O 和F点处于同一直线上。已知可视为质点
1 2
的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15m，轨道AB长度 ，滑块与
轨道FG间的动摩擦因数 ，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin37°=0.6，
cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，
（1）若释放点距B点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力F 的大小；
N
（2）设释放点距B点的长度为 ，滑块第一次经F点时的速度v与 之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度 的值。11. （2021重庆高考） 如图所示。竖直平面内有两个半径为R，而内壁光滑的1/4圆弧轨
道，固定在竖直平面内，地面水平，O、O 为两圆弧的圆心，两圆弧相切于N点。一小物
1
块从左侧圆弧最高处静止释放，当通过N点时，速度大小为（重力加速度为g）
A. B.
C. D.
12. （2021重庆高考） 额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动
机的牵引力随时间的变化曲线如题图所示。两车分别从t 和t 时刻开始以额定功率行驶，
1 3
从t 和t 时刻开始牵引力均视为不变。若两车行驶时所受的阻力大小与重力成正比，且比
2 4
例系数相同，则A. 甲车的总重比乙车大
B. 甲车比乙车先开始运动
C. 甲车在t 时刻和乙车在t 时刻的速率相同
1 3
D. 甲车在t 时刻和乙车在t 时刻的速率相同
2 4
13. （2022高考上海） 如图所示，AB为平直轨道，长为L，物块与导轨之间的动摩擦因
数为μ，BC为光滑曲面。A与地面之间的高度差为h，BC之间的高度差为h，一个质量
1 2
为m的物块在水平恒力作用下，从A静止开始运动，到达B点时撤去恒力，物块经过C点
后落地。已知重力加速度为g。
（1）若物块落地时动能为E，求其经过B点时的动能E ；
1 kB
（2）若要物块落地时动能小于E，求恒力必须满足的条件。
1
12.(2020·江苏高考)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在
轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为
m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着
质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地
后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，
忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为
g。求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；(3)重物下落的高度h。
解析：(1)小球线速度v＝ωr，得v＝2ωR。
(2)向心力F ＝2mω2R
向
设F与水平方向的夹角为α，则Fcos α＝F ；Fsin α＝mg
向
解得F＝。
(3)落地时，重物的速度v′＝ωR，
由机械能守恒得Mv′2＋4×mv2＝Mgh
解得h＝(ωR)2。
答案：(1)2ωR (2)
(3)(ωR)2
第三部分 思路归纳，内化方法
一、功与功率
1．变力做功的两种求法
(1)用动能定理计算。
(2)用Fx图线与x轴所围“面积”求解。
2．计算功率时的两个提醒
(1)明确是求瞬时功率，还是求平均功率。
(2)求瞬时功率时注意F、v间的夹角，求平均功率时应明确是哪段时间内的平均功率。
3．解决机车启动问题的两点注意
(1)分清是匀加速启动还是恒定功率启动：
①匀加速启动过程中，机车功率是不断增大的，当功率达到额定功率时匀加速运动速
度达到最大，但不是机车能达到的最大速度。
②以额定功率启动的过程中，牵引力是不断减小的，机车做加速度减小的加速运动，
牵引力的最小值等于阻力。
(2)无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝Fv ，P为机车的额定功率。
f m
二 动能定理的应用
1．应用动能定理解题的思维流程
2．应用动能定理解题应注意的三个问题
(1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不牵扯加速度及时间，比动力学研究
方法要简捷。(2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理是没有依据的。
(3)物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，
此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但若能对整个过程利用动能定理列式则可使问
题简化。
3.应用动能定理时常见的三个误区
(1)公式W＝mv2－mv2中W应是总功，方程为标量方程，不能在某方向上应用。
2 1
(2)功的计算过程中，易出现正、负功判断错误及遗漏某些力做功的现象。
(3)多过程问题中，不善于挖掘题目中的隐含条件，运动物体的过程分析易出现错误。
三、机械能守恒问题
1. 机械能守恒的四种情况
(1)只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化。
(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。
(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。
(4)除受重力(或系统内弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数
和为零。
【名师点拨】
(1)对于单个物体，如果运动过程中只有重力做功，则其机械能守恒。
(2)应用能量守恒观点列方程时应选择零势能面，不特殊说明，一般选地面为零势能面。
2 系统机械能守恒问题中三类常见的连接体
速率相等 两物体在运动过程中速率相等，根据系统减少
的连接体 的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。
两球在运动过程中角速度相等，线速度大小与
角速度相等
半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系
的连接体
统增加的动能列方程求解。
A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下
某一方向分 滑，将B的速度沿绳的方向和垂直于绳的方向
速度相等的 分解，如图所示。其中沿绳子方向的速度 v 与
x
连接体 A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能
等于系统增加的动能列方程求解。
四、功能关系与能量守恒定律1. 功能关系的选取方法
(1)若只涉及动能的变化用动能定理。
(2)只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析。
(3)只涉及机械能变化，用除重力和弹簧的弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
2. 应用能量守恒定律解题的两条基本思路
(1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等，即
ΔE ＝ΔE 。
减 增
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，
即ΔE ＝ΔE 。
A减 B增
第四部分 最新模拟集萃，提升应试能力
1.（2023济南重点高中质检） 如图所示，京张高铁将北京到张家口的通行时间缩短在1小
时内，成为2022年北京冬奥会重要的交通保障设施。假设此高铁动车启动后沿平直轨道行
驶，发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小恒定。已知动车的质量为m，最
高行驶速度 km/h。则下列说法正确的是（ ）
A. 行驶过程中动车受到的阻力大小为
B. 当动车的速度为 时，动车的加速度大小为
C. 从启动到速度为 的过程中，动车牵引力所做的功为
D. 由题目信息可估算京张铁路的全长为350km
2. （2022年9月甘肃张掖一诊）如图所示，在一个固定的光滑的倾角为θ的斜面上，一质
量为m的物块在平行于斜面向上的恒力F的作用下，由静止从斜面底端向上做匀加速直线
运动，斜面足够长，经一段时间后撤去恒力F，物块又经相同时间回到出发点。重力加速
度为g。则（ ）A. 物块在沿斜面向上运动的过程中，机械能先增大后守恒
B. 物块在沿斜面向下运动的过程中，机械能一直减小
C. 撤去恒力前后，物块物块加速度大小之比为1：2
D. 撤去恒力前后，物块物块加速度大小之比为1：3
3．（2022年9月河北示范性高中调研）如图所示，在竖直平面内固定着一个倾斜光滑杆，
杆上套着一个质量为m的圆环，圆环通过轻绳绕过一定滑轮（无摩擦）与一个竖直放置的
轻弹簧相连接（弹簧下端固定在地面上），在外力作用下物块静止在A点，细线刚好拉直
并且垂直于长杆，弹簧处于原长状态，现将物块从A点静止释放，物块运动到C点速度为
零，B是AC的中点，弹簧始终在弹性限度以内，不计滑轮质量。则下列说法正确的是（
）
A．在下滑过程中，圆环、弹簧与地球组成的系统机械能不守恒
B．由于斜面光滑，圆环从A到B过程弹簧弹性势能的增加量等于B到C过程中弹簧弹性
势能的增加量
C．圆环在最低点加速度为零
D．合外力从A到B过程中对圆环所做的功不等于从B到C过程中所做的功
4．（2022年9月河北示范性高中调研）车库出入口采用如图甲所示的曲杆道闸，现将道
闸简化为图乙所示的模型。该模型由完全相同、材质均匀的转动杆OP与横杆PQ链接而成，
P、Q为横杆的两个端点．在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平．已知杆OP和PQ的
质量均为m，则杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，忽略空气阻力
和摩擦力各轴间的，下列说法正确的是（ ）A．P点的加速度大小不变
B．Q点的运动为匀速圆周运动
C．杆PQ重力的功率始终不变
D．电动机对OP做的功与杆PQ对杆OP做的功之和为零
5．（2023江西红色十校第一次联考）四川西岭雪山滑雪场是中国南方规模最大、档次最
高、设施最完善的大型滑雪场。某段滑道建在一斜坡上，斜坡简化为一斜面，倾角
，示意图如图所示。运动员从a点由静止自由滑下，到达c点飞离滑道，bc为一
小段半径为R的圆弧且b点为圆弧的最低点，运动员视为质点，不计一切阻力，若要求运
动员在b点对滑道沿斜面向下的作用力不超过自身重力的3倍，则a、b点间的高度差（
）
A．不大于 B．不大于
C．不小于 D．不小于R
6. （2023重庆八中高三质检）A、B两物体的质量之比为 ，它们以相同的初
速度 在水平面上做匀减速直线运动直到停止，其速度—时间图像如图所示。那么，A、B
两物体所受摩擦阻力大小之比 与A、B两物体克服摩擦力做的功之比 分别
为（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，
7. （2023河南郑州四中第一次调研）小华同学下楼时乘坐小区电梯，在坐电梯运动的过程
中，重力的瞬时功率与时间的关系图像如图所示。已知小华的质量为m，重力加速度大小
为g。下列说法正确的是（ ）
A. 0~t 时间内，电梯的加速度大小为
0
B. 0~t
0
时间内，电梯对小华 的支持力大小为
C. 0~2t 时间内重力做的功为
0
D. 0~2t 时间内小华克服支持力做的功为
0
8.. （2023重庆八中高三质检）今年8月持续高温使得重庆发生了山火，政府出动了直升
机灭火。如图甲所示，在绳索的作用下水箱由静止开始竖直向上运动，水箱的机械能E与
其竖直位移y的变化关系图像如图乙所示，其中OA段为曲线，AB段为直线。若忽略摩擦
阻力和空气阻力，则（ ）A. 在OA段，水箱一定做匀变速直线运动
B. 在AB段，水箱一定做匀变速直线运动
C. 在OA段，绳索对水箱的拉力一直不变
D. 在AB段，绳索对水箱的拉力一直不变
9. （2023江苏南通第一次质检）如图所示，斜面体静置在水平面上，斜面底端固定一挡板，
轻弹簧一端连接在挡板上，弹簧原长时自由端在B点。一小物块紧靠弹簧放置，在外力作
用下将弹簧压缩至A点。物块由静止释放后，恰能沿粗糙斜面上滑至最高点C，然后下滑，
最终停在斜面上，斜面体始终保持静止，则（ ）
A. 整个运动过程中产生的内能大于弹簧弹性势能的变化量
B. 物块上滑过程速度最大的位置在下滑过程速度最大的位置的上方
C. 物块从A上滑到C过程中，地面对斜面体的摩擦力方向先左再向右
的
D. 物块从C下滑到最低点过程中，地面对斜面体 摩擦力先不变，后增大再减小
10. （2023重庆八中高三质检）若某人的心率为75次/分，每跳一次输送80mL血液，他的
血压（可看作心脏压送血液的平均压强）为 ，此人心脏跳动做功的平均功率约
为（ ）
A. 1.2W B. 1.5W C. 12W D. 9W
11. （2023辽宁铁岭六校协作体联考） 质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内
做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小
球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是（ ）
A. B. C. D. mgR
12. （2023重庆八中高三质检）如图所示，质量分别为m和2m的物块A和B，用轻质弹簧
连接放在水平地面上，物块A通过一根水平轻绳连接到墙上，物块A的下表面光滑；物块
B与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，用水平拉力将物块B向右缓
慢拉开一段距离，撤去拉力后，物块B恰好能保持静止。弹簧形变始终在弹性限度内，弹
簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g。若剪断轻绳，则（ ）
A. 剪断轻绳后，物块A、B和弹簧组成的系统动量守恒
B. 剪断轻绳后，物块A、B和弹簧组成的系统机械能守恒
C. 弹簧压缩到最短时，物块A、B有一起向右的共同速度
D. 从剪断轻绳到弹簧压缩到最短，物块A的位移为
13. （2023陕西师大附中期初检测）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平
段以恒定功率 、速度 匀速行驶，在斜坡 段以恒定功率 、速度
匀速行驶。已知小车总质量为 ， ， 段的倾角为 ，重
力加速度g取 ，不计空气阻力。下列说法正确的有（ ）A. 从M到N，小车牵引力大小为
B. 从M到N，小车克服摩擦力做功
C. 从P到Q，小车重力势能增加
D. 从P到Q，小车克服摩擦力做功
14. （2023重庆八中高三质检）如图所示，竖直面内有两个光滑固定的半圆轨道，两轨道
在O点与水平面相切，A、B、O三点在同一竖直线上，直径OA长度为2d，直径OB长度
为d。一滑块（视为质点）从O点以初速度 分别沿两轨道滑行到A点或B点后水平抛出。
滑块落到水平而上时，落点与O点间的距离分别为 和 ，为实现 ，则 的值可
取（ ）
A. B.
C. D.
15. （2023湖南三湘创新发展联考）质量为m的平衡车进行空载测试时，以大小为 的初速度在水平地面上沿直线做加速运动，经过时间t达到最大速度，此过程中平衡车受到的
阻力恒为车重的k倍，重力加速度大小为g，电动机输出功率恒为额定功率 ，在时间t内，
下列说法正确的是（ ）
A. 平衡车达到的最大速度为
B. 平衡车达到的最大速度为
C. 平衡车的位移大小为
D. 平衡车的位移大小为
16. （2023重庆八中高三质检）如图所示为警犬训练的情境简化图，训练时一质量为24kg
的警犬从左侧平台边缘A处水平跳出，落到距A点竖直距离 、水平距离
的B点；匍匐前进通过水平面BC，在C点纵身一跃，恰好在最高点处用嘴咬住竖直悬绳的
下端，绳长 ，上端固定在O点；然后荡到右侧平台边缘D点速度恰好为0，D点
到水平面BC的竖直距离 ，距O点的水平距离为 。运动过程中警犬可
看成质点，空气阻力不计，警犬咬住绳子前后没有机械能损失，重力加速度 。
求：
（1）警犬从A点水平跳离时的速度大小；
（2）警犬在C点纵身跳起时的速度大小；
（3）警犬咬住绳子时，绳子对警犬的拉力大小。17. （2023辽宁铁岭六校协作体联考）如图所示，四分之一光滑圆轨道AB固定在竖直平
的
面内，粗糙水平轨道BC与圆弧AB相切于B点。现将一质量为m=1kg，可视为质点 物块
从与圆心等高的A点静止释放，物块滑至圆弧轨道最低点B时的速度大小为 ，
之后物块向右滑上动摩擦因素 的粗糙水平轨道BC，取重力加速度g=10m/s2，不计
空气阻力。
（1）求光滑圆轨道AB的半径大小R；
（2）物块滑至圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小F；
（3）物体最终停下来，求物体在水平面上通过的位移x。
18. （2023重庆八中高三质检）如图所示为某同学用手机记录的从一定高度由静止释放的
乒乓球与地面相撞的声音随时间的变化关系图。
下表为声音图像记录的碰撞次序及相应碰撞时刻。（重力加速度 ）
碰撞次序 1 2 3 4 5 6 7
.
碰撞时刻
1.12 1.58 2.00 2.40 278 3.14 3.47
（s）
求：
（1）乒乓球第3次与地面相撞后上升的最大高度是多少？
（2）第3次碰撞损失的动能为碰撞前动能的百分之几（结果保留两位有效数字）？19. (2023浙江名校新高考研究联盟第一次联考)如图所示，BO是长为L的平直导轨，物块
与导轨间动摩擦因数为μ，AB为光滑弧形轨道，与平直导轨平滑连接。B与地面间高度差
为h，AB间高度差为h，以平直轨道末端O点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，x
1 2
轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向下，已知重力加速度为g。
（1）若一质量为m的物块在水平恒力作用下从O点静止开始向左运动，到达B点时撤去
恒力，物块经过A点向左抛出后落地。
①若物体落地动能为E，求经过B点的动能E ；
1 kB
②若要物块落地时动能小于E，求恒力必须满足的条件；
1
（2）若滑块m从光滑曲面上不同位置由静止开始下滑，经过O点落到弧形轨道PQ上的动
能均相同，弧形轨道P端坐标为（2L，L），Q端在y轴上，求PQ的曲线方程。
20. （2023济南重点高中质检）如图为北京2022年冬奥会滑雪大跳台的赛道示意图，着陆
坡末端是半径为 的圆弧轨道 ，轨道 对应的圆心角为 。在某次训
练中，质量为 （含装备）的运动员经助滑道加速后，自起跳点 以大小为
、方向与水平面夹角为 的速度飞起，完成空中动作后，恰好沿 点的
切线方向进入圆弧轨道 ，接着自由滑行通过最低点 后进入水平停止区 ，然后做
匀减速直线运动直到静止。已知在圆弧轨道的 点地面对运动员的支持力为其重力（含装备）的1.8倍，运动员与停止区之间的动摩擦因数 ， 取 ， ，
，忽略运动过程中的空气阻力，运动员视为质点。求：
（1）运动员沿水平停止区 滑行的距离；
（2）以停止区平面为参考平面，运动员在 点的机械能；
（3）运动员沿圆弧轨道 运动时克服摩擦力做的功。
21. （2023江苏南通第一次质检） 如图所示，一足够长的光滑直杆水平固定，杆上P点固
定一轻质滑轮，小球A套在杆上位于P点右侧，半圆形光滑细轨道竖直固定在地面上，圆
心O在P点正下方，小球B套在轨道上。A、B两球用不可伸长的柔软轻绳跨过定滑轮连
接，初始时两球均静止且轻绳呈伸直状态。已知杆与水平地面的间距H=0.4m，圆轨道半径
R=0.3m，A、B两球的质量分别为 、 ，杆和圆轨道在同一竖直面
内，不计滑轮与轴间的摩擦及滑轮大小，重力加速度g取 。现对A球施加一水平向
右的拉力，求：
（1）若两球仍保持静止且B球对地面的压力恰为零，拉力的大小 ；
（2）若拉力大小恒为 ，当B球运动到P点正下方时，B球的速度大小v；
（3）若拉力大小恒为 ，当两球速度大小相等时，轻绳中的拉力大小 。22. （2023江苏南通第一次质检）冬奥会上，跳台滑雪运动员从跳台A处以某一初速度水
平飞出，在空中飞行 落在斜坡上B处，如图所示。运动员在空中所受阻力 的方向
竖直向上，已知运动员的质量为 ，阻力 为重力的0.2倍，重力加速度取
。求运动员：
（1）在空中运动过程中动量的变化量 ；
（2）从A运动到B的过程中，重力做功的功率 。
23. （16分）（2023湖北襄阳重点高中质检）2022年2月我国成功举办了第24届“冬奥
会”，在“冬奥会”雪上项目中跳台滑雪是极具观赏性的一个项目。若跳台滑雪滑道
可以简化为由一段圆弧形雪道AB和一个斜面直雪道BC组成，其中圆弧形轨道的B端
切线水平，其半径R＝50m、圆心角为 ；斜面直雪道的倾角为 ，如图所示。一
总质量m＝60kg的运动员从圆弧形雪道的A端由静止自由滑下，然后从B端以
的速度水平飞出，最后落到斜面直雪道上的C点（图中未标出）。运动员
可看作质点，其运动过程中所受的空气阻力可忽略不计， ，取
。求：（1）运动员从A端滑至B端的过程中，阻力所做的功W；
（2）BC两点间的距离s；
（3）运动员在空中飞行过程中，重力做功的功率最大值P 。
m
24. （2023浙江舟山质检）如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、
水平直轨道 ，圆心为O的竖直半圆轨道 、水平直轨道 及弹性板等组成，半
圆轨道最高点D与水平直轨道右端点E处在同一竖直线上，且D点略高于E点。已知可视
为质点的滑块质量 ，轨道 的半径 ，轨道 的长度 ，滑
块与轨道 间的动摩擦因数 ，其余各部分轨道均光滑。游戏时滑块从A点弹出，
经过圆轨道井滑上水平直轨道 。弹簧的弹性势能最大值 ，弹射器中滑块与
弹簧相互作用时，机械能损失忽略不计，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回，不计滑块
通过 之间的能量损失。
（1）若弹簧的弹性势能 ，求滑块运动到与圆心O等高的C点时所受弹力 ；
（2）设弹簧的弹性势能为 ，写出滑块第一次到达F点时的速度v与 之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在水平直轨道 上，求弹簧的弹性势能 的范围。25. （2023浙江舟山质检）如图1所示是2022年北京冬奥会的冰壶比赛场景，图2为冰壶
比赛场地示意图。某次比赛中，运动员携带质量 的冰壶一起从起踏器处以
的速度作匀减速直线运动，至投掷线处释放冰壶，冰壶恰好停在营垒圆心O处。
已知起踏器和投掷线之间距离 ，投掷线与营垒圆心O的距离 ，冰壶与冰面
之间动摩擦因数为0.02，冰壶可视为质点。求：
（1）释放冰壶时冰壶的速度；
（2）冰壶到达投掷线前，其受到的合外力；
（3）为了战术需要，要使冰壶多滑行 ，队员需在其滑行前方摩擦冰面，若摩擦后冰壶
与冰面之间的动摩擦因数变为原来的90%，则队员摩擦冰面的长度应为多少。
