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重难点 05 功、功率 动能定理
这部分知识单独考查一个知识点的试题非常少，大多数情况都是同时涉及到几个知识点，
而且都是牛顿运动定律、功和功率、动能定理的内容结合起来考查，考查时注重物理思维
与物理能力的考核。计算题中多过程问题中，巧妙选取过程利用动能定理求解题目居多。
电磁场中也会结合功、动能定理解决问题。
例题1. （2022·北京·高考真题）我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青
少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度
使其在竖直平面内做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验（ ）
A．小球的速度大小均发生变化 B．小球的向心加速度大小均发生变化
C．细绳的拉力对小球均不做功 D．细绳的拉力大小均发生变化
【答案】C
【解析】AC．在地面上做此实验，忽略空气阻力，小球受到重力和绳子拉力的作用，拉力始终和小
球的速度垂直，不做功，重力会改变小球速度的大小；在“天宫”上，小球处于完全失重的状态，
小球仅在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，绳子拉力仍然不做功，A错误，C正确；
BD．在地面上小球运动的速度大小改变，根据 和 （重力不变）可知小球的向心加速
度和拉力的大小发生改变，在“天宫”上小球的向心加速度和拉力的大小不发生改变，BD错误。
故选C。
例题2. （2022·江苏·高考真题）某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆
弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能 与水平位
移x的关系图像正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设斜面倾角为θ，不计摩擦力和空气阻力，由题意可知运动员在沿斜面下滑过程中根据动
能定理有
即
下滑过程中开始阶段倾角θ不变，E-x图像为一条直线；经过圆弧轨道过程中θ先减小后增大，即
k
图像斜率先减小后增大。
故选 。
A
一、功和功率
1．是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移的方向的夹角判断；
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角 α 判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜
α≤180°，力做负功．2．计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W、W、W…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合外力做的功．
1 2 3 合 1 2 3
方法三：利用动能定理W ＝E －E .
合 k2 k1
3.变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法 以例说法
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3 f
等效
转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝
F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x，图线
0
与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x
0
平均
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式
值法
得W＝·Δx
应用动
能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，则有：
F
W －mgL(1－cos θ)＝0，得W ＝mgL(1－cos θ)
F F
4. 平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．其中F为恒力，α不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹
角，α可以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度v在力
F方向上的分速度．
二、动能定理的应用1．对动能定理的理解
(1)动能定理表达式W＝ΔE 中，W表示所有外力做功的代数和。ΔE 为所研究过程
k k
的末动能与初动能之差，且物体的速度均是相对地面的速度。
(2)
2．应用动能定理解题应注意的四点
(1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学
研究方法要简捷。
(2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理是没有依据的。
(3)物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的过程(如加速、减速的过程)，
此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式，则
可使问题简化。
(4)根据动能定理列方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断，可先假
定为正功，最后根据结果加以检验。
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1． （2023·浙江·模拟预测）如图所示，有两个完全相同的小球 A、B，将它们从同一高度以相同
大小的初速度v 分别水平抛出和竖直向上抛出（不计空气阻力），则下列说法正确的是（ ）
0
A．两小球落地时的速度相同
B．从抛出点至落地，两球重力做功相同
C．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
D．从抛出点至落地，重力对两小球做功的平均功率相同
【答案】B
【解析】AB．在整个过程中，只有重力做功，重力做功的特点是只与始末位置的高度差相等，与其所经过的路径无关，所以这两个小球在整个过程中重力做功相等，根据动能定理可知
则落地时的动能相等，速度大小相等，但速度方向不同，A错误，B正确；
C．由于落地时速度大小相同，方向不同，根据
可知，重力的瞬时功率不同，C错误；
D．竖直上抛运动的时间比平抛运动的时间多，根据
可知，重力对平抛抛球做功的平均功率更大，D错误。
故选B。
2． （2022·安徽铜陵·二模）如图所示，在长为1m的细绳下端拴一个质量为3kg的小球，捏住绳
子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。开始时
使绳子跟竖直方向的夹角为α=37°，之后对小球做功，再次稳定后，使绳子跟竖直方向的夹角为
β=53°，保持悬点不变。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，则手对小球做的功
为（ ）
A．6J B．9.25J C．15.25J D．20.25J
【答案】C
【解析】令细绳与竖直方向夹角为 ，小球做圆周运动，对小球进行受力分析如图所示则有
解得当夹角 分别为α与β时的线速度为
，
根据动能定理有
解得
故选C。
3． （2021·湖南·永顺县第一中学模拟预测）一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动，当物块的初速度
为v时，上升的最大高度为H，如图所示；当物块的初速度为 时，上升的最大高度记为h。重力
加速度大小为g。物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为（ ）
A．tanθ和 B． 和 C．tanθ和 D．和
【答案】D
【解析】当物块上滑的初速度为v时，根据动能定理，有
当上滑的初速度为 时，有
联立以上两式可得
，
故选D。
4． （2022·黑龙江·佳木斯一中二模）轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m=0.5 kg的物块相
连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，以物块所在处
为原点，水平向右为正方向建立x轴。现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况
如图乙所示。物块运动至x=0.4 m处时速度为2m/s。则此时弹簧的弹性势能为（g=10 m/s2）
（ ）
A．3.1 J B．3.5 J C．1.8 J D．2.1J
【答案】D
【解析】对m受力分析受到重力G，支持力N，外力F和摩擦力f，以及弹力F ，m在向右运动过
N
程中外力F做正功，摩擦力f做负功，弹力F 做负功，三个力做功之和等于物体m的动能变化，即
N
其中W =W +W =（5+10）×0.2× J+10×0.2J=3.5J
F F1 F2
而
W=µmgx=0.4J
f
所以弹力做功
W =2.1J
FN
而弹力做的功等于弹性势能的变化，所以弹性势能为
E=2.1J
p
故选D。
二、多选题
5．（多选）（2022·广东·高考真题）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平 段以恒
定功率 、速度 匀速行驶，在斜坡 段以恒定功率 、速度 匀速行驶。已知
小车总质量为 ， ， 段的倾角为 ，重力加速度g取 ，不计空气阻力。
下列说法正确的有（ ）
A．从M到N，小车牵引力大小为 B．从M到N，小车克服摩擦力做功
C．从P到Q，小车重力势能增加 D．从P到Q，小车克服摩擦力做功
【答案】ABD
【解析】A．小车从M到N，依题意有
代入数据解得
故A正确；
B．依题意，小车从M到N，因匀速，小车所受的摩擦力大小为则摩擦力做功为
则小车克服摩擦力做功为800J，故B正确；
C．依题意，从P到Q，重力势能增加量为
故C错误；
D．依题意，小车从P到Q，摩擦力为f，有
2
摩擦力做功为
联立解得
则小车克服摩擦力做功为700J，故D正确。
故选ABD。
6． （多选）（2022·海南·模拟预测）如图所示，长为4 ，倾角为37°的光滑绝缘细杆AD垂直穿
过半径为 、带电量为-Q的固定大圆环圆心O，细杆上B、O、C三点等分细杆长度。现从细杆的顶
端A无初速度地释放一个质量为m，带电量为+q的套在细杆上的可视为点电荷的小滑环。已知静电
力常量为k，重力加速度为g，sn37°=0.6，cos37°=0.8，大圆环和小滑环上的电荷均匀分布，小滑环
上的电荷不影响电场分布，则下列说法正确的是（ ）A．小滑环在D点的速度大小为
B．大圆环在B点产生的场强大小为
C．小滑环从B到C的过程中电场力所做的功为
D．小滑环在B点的加速度大小为
【答案】AD
【解析】A．由对称性可得库仑力做功
从A到O，由动能定理得
解得
A正确；
B．由题意可知
圆环上电荷分布均匀，取环上一点，设其电荷量为 ，该点到B点的距离为
在B点产生的场强为以O点为坐标原点，OA方向为正方向建立x轴， 在B点产生的场强在x轴方向的分量为
大圆环在B点产生的场强大小
B错误；
C．由对称性可知BC两点电势相等
小滑环从B到C的过程中电场力所做的功
C错误；
D．小滑环在B点，由牛顿第二定律得
解得
D正确。
故选AD。
三、解答题
7． （2022·湖北·模拟预测）如图所示，一足够长的倾斜传送带以速度v=2m/s沿顺时针方向匀速转
动，传送带与水平方向的夹角θ=37°。质量m=5kg的小物块A和质量m=5kg的小物块B由跨过定滑
1 2
轮的轻绳连接，A与定滑轮间的绳子与传送带平行，轻绳足够长且不可伸长。某时刻开始给物块A
以沿传送带方向的初速度v=8m/s（此时物块A、B的速率相等，且轻绳绷紧），使物块A从传送带
0
下端冲上传送带，已知物块A与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，不计滑轮的质量与摩擦，整个运动
过程中物块B都没有上升到定滑轮处。取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2，求
（1）物块A刚冲上传送带时加速度的大小及方向；
（2）物块A冲上传送带沿传送带向上运动的最远距离及此过程中传送带对物块A做的功；
（3）若传送带以不同的速率v（0<v<v）沿顺时针方向转动，当v取多大时，物块A沿传送带运动
0到最远处过程中与传送带因摩擦产生的热量有最小值，请求出最小值。
【答案】（1）10m/s2，方向沿传送带向下；（2） ， ；（3）3m/s，40J
【解析】（1）物块A刚冲上传送带时，A受重力、垂直于传送带斜向左上方的支持力、沿传送带
向下的摩擦力和沿绳向下的拉力，根据牛顿第二定律有
B受向下的重力和沿绳向上的拉力，根据牛顿第二定律有
联立以上两式解得
故物块A刚冲上传送带时的加速度大小为10m/s2，方向沿传送带向下；
（2）物块减速到与传送带共速后，物块继续向上做匀减速直线运动
对A物块，根据牛顿第二定律
对B物块，根据牛顿第二定律
联立上式解得
当物块A的速度减为零时，其沿传送带向上运动的距离最远，故代入数据解得
此过程中传送带对物块A做的功
解得
（3）共速之前物块A与传送带的相对位移为
则共速之前摩擦生热为
同理，共速后有此过程摩擦生热为
故物块A运动到最远处的生热为
根据二次函数的知识，有
8．如图所示，内径很小的细管 竖直固定， 段为内径粗糙的水平直线细管，P点处
有一弹性挡板、 段为内径光滑的半径为R的 圆弧，两段细管于M点处滑顺连接。一
细绳左侧连接一质量为 的滑块A，另一端穿过P板经细管连接一大小略小于内径的质量
为m的滑块B。在外力影响下，两滑块初始均静止，除 段外，其余各处阻力不计，
段滑动摩擦因数取0.5。
（1）同时释放两物块，试求滑块B运动至M点时，滑块A的速度大小？
（2）系统释放后，滑块B经M点后水平撞击挡板P能够原速率弹回，刚好返回M点。试
判断整个过程中，滑块B的在水平段运动路程是 段长度的几倍？
（3）若滑块A的质量可以调节改变，但应大于滑块B。要使滑块B运动至M点时对细管的
压力不大于自身重力的 倍，试求滑块A与B满足要求的质量比值范围？
【答案】 （1） ；（2）8倍；（3）（ ）【解析】
（1）滑块B上升至M点过程中，A与B系统机械能守恒
A与B运动方向均沿沿绳方向，因而滑块A的速度
（2）方法一
滑块B向左运动时
加速度
滑块B向右运动时
加速度
表示第N次反弹速率， 表示第N次反弹运动路程，因为有
解得
即 为等比数列，水平总路程方法二
以第一次返回M点时，至系统最终停止作为研究阶段起点，由能量守恒列式
解得
综上得：水平总路程
（3）M点处，若滑块B对上轨道压力恰为
滑块B受力
联立解得
M点处，若滑块B对下轨道压力恰为
滑块B受力
联立解得
综上，满足要求的质量比值范围（ ）
