文档内容
专题 06 解三角形（周长（边长）问题（含定值，最值，范围问
题））
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................1
题型一：定值问题.................................................1
题型二：最值值问题...............................................5
题型三：范围问题................................................12
三、专项训练.......................................................21
一、必备秘籍
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）
利用基本不等式 ，在结合余弦定理求周长取值范围；
核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）
利用正弦定理 ， ，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角
的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
二、典型题型
题型一：定值问题
1．（2023·陕西西安·校考一模）在 中，角 的对边长分别为 ，且
.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， ，求 的周长.【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
由（1）知， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的周长为 .
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在 中， ，点 在 延长线
上，且 ．
(1)求 ；
(2)若 面积为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ,设 ,则 ,由余弦定理得 ，因为 ，
所以
在 中,由正弦定理得 ,
在 中,由正弦定理得 ,
因为 ,所以
整理得 .
（2）由 得 ,
由（1）得 ,所以 ,
在 中, ,
由余弦定理得
.
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且
.
(1)证明： ；
(2)若 为 的中点，且 ， ，求 的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意知 ，
故由正弦定理可得 ，即 ，
又 ，所以 ,
即 ，即 ，而在 中， ，
所以 ，即 ；
（2）若 为 的中点，且 ， ，即 ,
则 ,
故 ，由 得 ，
由 可得 ，则 ，
故 的周长为 .
4．（2023·北京房山·统考二模）在 中， ， ， ．
(1)求 ；
(2)若角 为钝角，求 的周长．
【答案】(1)
(2)18
【详解】（1）
在 中，因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
由 ，得 ，
解得（2）因为 ， 为钝角，所以 ，
由 得 ，
整理得 ，解得 或 （舍），所以 .
所以 的周长为 .
5．（2023·湖南永州·统考三模）在 中， 的对边分别为 且 .
(1)求C的值；
(2)若 边上的点M满足 ， ， ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由正弦定理得： ,
在三角形中 ,
故 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
而 ， ， ， ；
（2）因为 ， ， ，
由余弦定理得
则 ①，
又 ，
由于 ，
故 ，
则 ②，
①×7=②即 ，即 ，
亦即 ，则 或 ，当 时，代入①得 ， ，
周长 ；
当 时，代入①得 ， ，
周长 .
题型二：最值值问题
1．（2023·贵州遵义·统考三模）在 中， ，D为BC边上一点，且 ，则 的最小值
为 .
【答案】
【详解】由 ，
得 ，
则 ，
所以 ，
则 ，
当 时，取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
2．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）从条件① ；②
中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在 中：内角 的对边分别为 ，______.
(1)求角 的大小；
(2)设 为边 的中点，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选条件①：由正弦定理得： ，
，
， ， ，
即 ， ，
又 ， ， ，解得： ；
若选条件②： ，
， ，
， ， ，解得： .
（2）
， ，
即 ，
（当且仅当 时取等号），的最大值为 .
3．（2023·山西吕梁·统考二模）如图，在平面四边形 中， ， ， 的平分线交
于点 ，且 ．
(1)求 及 ；
(2)若 ，求 周长的最大值．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ，
又 ，则 ，
于是 ，
∵ 为角平分线，∴ ，∴ ，∴ ，
在 中，根据余弦定理得 ，
∴ ．
（2）设 ， ．在 中，
由余弦定理得 ，
即有 ，即 ，
∴ ，
当且仅当 时，“＝”成立．
∴ 周长的最大值为 ．
4．（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：① ；② ；③
.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在 中，角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，满足：____.(1)求角C的大小；
(2)若 ， 与 的平分线交于点I，求 周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选择条件①， ，
在 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，则 ，
又 ，所以 ；
选择条件②， ，
于是 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，则 ，即 ，
因为 ，因此 ，即 ，
又 ，所以 ；
选择条件③， ，则 ，
所以 ，则 ，又 ，
即有 ，则 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，有 ，
而 与 的平分线交于点I，即有 ，于是 ，设 ，则 ，且 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ， ，
所以 的周长为
，
由 ，得 ，
则当 ，即 时， 的周长取得最大值 ，
所以 周长的最大值为 .
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在凸四边形 中， .
(1)若 .求 的长；
(2)若四边形 有外接圆，求 的最大值.
【答案】(1)
(2) .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
由余弦定理可知， ，即
（2）因为四边形 有外接圆，所以 ，
因为 ，且由正弦定理可知， ，
所以 ，即 ，
设 ，则 ，由正弦定理可知， ，
所以 ，同理可知 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以当 ，
即 时， 取得最大值为 .
6．（2023·上海徐汇·统考三模）如图， 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 .
(1)若 ，求角 的大小；
(2)已知 、 ，若 为 外接圆劣弧 上一点，求 周长的最大值.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理，得 ，
即 ，则 ，
整理得 ，而 ，即 ，又因为 ，所以 .
（2）在 中， ，
由余弦定理得 ，
于是 ，解得 ，
当且仅当 时取等号，
所以当 时， 周长取得最大值 .
7．（2023·云南·校联考三模）已知函数 在 上单调，且
.
(1)求 的解析式；
(2)若钝角 的内角 的对边分别是 ，且 ， ，求 周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
因为 在 上单调，且 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 为 的一条对称轴，所以 ，
解得 ，所以 ，所以 .
（2）因为 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 或 ，解得 或 ，
因为 为钝角三角形，所以 ，
由余弦定理 ，即 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 ，
即 周长的最大值为 .
题型三：范围问题
1．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在平面四边形ABCD中， ，
， ，当AC的长度最小时， 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】在平面四边形ABCD中， ， ，
在 中，
由余弦定理得
，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，
在 中， ，
由正弦定理得 ，
则 ，
，
故 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .故答案为： .
2．（2023·江西景德镇·统考三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， .已知
.
(1)求角 ；
(2)若 是钝角三角形，且 ，求边 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，则 ，
又 ，则 且 ，可得 ，
由 ，故 .
（2）由 ，即 ，又 是钝角三角形且 ，故 为钝角，
则 ，故 .
3．（2023·浙江·统考二模）在锐角 中，内角 所对的边分别为 ， ， ，满足
，且 .
(1)求证： ；
(2)已知 是 的平分线，若 ，求线段 长度的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由题意得 ，由正弦定理得 ，
因为 ，则 ，即 ，可得 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，
由正弦定理得 ，
故 ，整理得 ，
又因为 为锐角三角形，则 ，可得 ，
所以 ，即 .
（2）在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，且 ，所以 ，解得 .
故 ，所以 .
因此线段 长度的取值范围 .
4．（2023·云南·校联考模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，可得 ，所以由正弦定理可得 ，
又 为三角形内角， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，可得 ，所以 .
（2）由（1）知 ，又 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
，
5．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
， ．
(1)求角B的大小；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由 及余弦定理，得 ，
由锐角 ，知 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，得 ，故 ，
由正弦定理 ，得 ，
由 为锐角三角形得 解得 ，
∴ ，
∴ ．
故 的取值范围为 .
6．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，且 ． △
(1)若 ，求证： ABC是等边三角形；
△
(2)若 ABC为锐角三角形，求 的取值范围.
△
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵ ，
∴由正弦定理，得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ．
由 ，得 ，
∴ ，∴△ABC为等边三角形．
（2）由（1）知 ，∴ ．
由 ABC为锐角三角形，可得 ，
△
解得 ，∴ ．
由正弦定理，得 ，
由 ，可得 ，∴ ，
即 ，∴ 的取值范围为 .
7．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）在① ；②
两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若D为 边上一点，满足 ， ，且
______．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选① ，
由正弦定理可得 ，即 ，
因为 ，故 ，
又 ，故 .
选② ，
由正弦定理得 ，
即 ，即 ，
即 ，而 ,
故 ，又 ，故 .
（2）因为 ，故 ，
在 中， ，得 ,
在 中， ,得 ,
故 ，而 ，
所以 ，
由题意知 ，
故 ，即 的取值范围为 .
8．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知
．
(1)求角 ；
(2)若 为边 上一点（不包含端点），且满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)【详解】（1）解：由 结合正弦定理可得：
，则 ，
因为 、 ，则 ，所以， ，
可得 ，故 .
（2）解：由 可得 ，所以， ，
所以， ，故 ，
在 中， ， ，
由正弦定理可得 ，
所以， ，
因为 ，则 ，所以， .
所以， 的取值范围是 .
9．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）在 中，内角A、 、 所对的边分别为 、 、 ，已
知 ．
(1)求角A的大小；
(2)点 为边 上一点（不包含端点），且满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由 ，结合正弦定理可得：
因为 ，所以 即 ，
所以 ，而 ，所以 ；
（2）
由 知: ，所以 ，即
在 中，有 ， ，
由正弦定理可得：
所以
由 可得 ，所以 .
三、专项训练
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）若正四棱锥 的体积为 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】如图：
设正四棱锥底面边长为 ，高为 ， 与 交于点 ,
所以 ，即 ，
则 ，
令 ， ，
所以当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
所以当 ， 时， 取最小值 .
故选：B.
2．（2023·江西上饶·统考二模）在 中， ，则 的最小值（ ）
A．-4 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】在 中， ，
所以 ， ，
所以，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
则 的最小值为 .
故选：A
3．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于 的四
边形.已知在平面凸四边形 中， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在 中，由余弦定理得： ，
显然 ，即 ， ，
在 中， ， ，因为 为平面凸四边形，则有 ，
因此 ，而 ，
由正弦定理 得： ，
当 时， ，当 时， ，
因此 ， ，即 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A
4．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知 ，若角A的内角平分线AD的长为3，则 的最小值为（ ）A．12 B．24 C．27 D．36
【答案】A
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又因 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为 .
故选：A.
5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在 ABC中，内角A，B，C的对应边分别为
a，b，c，已知 ，且 ABC的面积为
△
，则 ABC周长的最小值为（ ）
△ △
A． B．6 C． D．
【答案】B
【详解】由题设及三角形内角和性质： ，
根据正弦定理及诱导公式得 ，
， ， ，即 ，
，则 ，则 ，解得 ,则 ，
所以 ，则 ，又 仅当 时等号成立，
根据余弦定理得 ，即 ，
设 的周长为 ，则 ，
设 ，则 ，
根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得： 在 上为单调增函数，
故 ，故 ，当且仅当 时取等.
故选：B
6．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）在 中，内角 的对边分别为 ，已知
，若点 为 边的中点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】方法一：如图，设 ，则 .在 中，
由余弦定理得 ①.
在 中，由余弦定理得 ②.
由① ②可得： .
在 中，由余弦定理得 ，当且
仅当 时等号成立，解得 ，即 的最大值为 .
方法二：由题可得， ，
所以 ①.
又因为 ，所以 ②，
由①②得 ，
由①得 ，
则 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.所以 .
故选： .
7．（2023·四川自贡·统考二模） 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .若
，且 ，则 周长的最大值为 .
【答案】
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
所以， ，
因为 、 ，则 ，所以， ，故 ，
由余弦定理可得
，
所以， ，即 ，故 ，
当且仅当 时，等号成立，故 周长的最大值为 .
故答案为： .
8．（2023·四川眉山·校考三模）在锐角 中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且
，则 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得
，
因为 ，所以 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
由 ， 可得 ，所以 ， ，
由正弦定理得
.
故答案为： .
9．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）已知在 中，角 所对边分别为 ，
满足 ，且 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意在 中，满足 ，即 ,
即 ，而 ，
故 ，又 ,
则 ，同理 ，
故
，
又 ,故 ，
则 ，
故答案为：
10．（2023·陕西西安·统考一模）已知在 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足
，且 ，则 周长的取值范围为 ．
【答案】
【详解】在 中，由 及正弦定理得： ，而 ，
于是 ，有 ，
而 ， ，因此 ，由余弦定理得 ，
即有 ，当且仅当 时取等号，从而 ，而 ，则 ，
所以 周长的取值范围为 .
故答案为：
11．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）在 中， 内角 的对边分别为 ，且满足
，则 的取值范围
【答案】
【详解】 ，由正弦定理得： ，
由余弦定理得： ，
因为 ，
所以 ，
由正弦定理得：
，
因为 ，
所以 ，
故当 ，即 时， 取得最大值，最大值为 ，
且 ，
综上： 的取值范围是 .
故答案为： .
12．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在 中，内角 ， ， 所对的边分别为， ， ， ．
(1)若 ，求出 的值；
(2)若 为锐角三角形， ，求边长 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 由正弦定理可得 ，
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
由 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
.
（2）因为 为锐角三角形，且 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
又 ，由正弦定理 ，
所以
，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即边长 的取值范围为 .
13．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，且
，边 上有一动点 .
(1)当 为边 中点时，若 ，求 的长度；
(2)当 为 的平分线时，若 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，即 .
由正弦定理，得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 .
因为 为边 中点，所以 ，则 .
又 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理，得 .又 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 .
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
令 ，则 .
因为 在 上单调递增，
所以当 即 时， 取得最大值为 ，
所以 的最大值为 .
14．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）在① ，② ，③
三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且__________，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足
， ．(1)求角B的值；
(2)求BC的取值范围．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）选①： ，即 ，由正弦定理可得：
，整理得 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ,得到 ，又 ，所以 .
选②： ，由正弦定理可得：
，整理得 ，即 ，
又由余弦定理 ，所以 ，又 ，所以 .
选③： ，根据条件得 ，得到 ，
又 ，所以 .
综上，无论选择哪个条件，
（2）设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
可得
，
因为 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
所以 的取值范围是 .
15．（2023·全国·模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
.
(1)求角 ；
(2)若点 在 上， ， ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，即 ，因为 ，所以 .
（2）如图，因为 ， ，设 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
16．（2023·安徽·校联考模拟预测）从条件① ；② 中任
选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在 中：内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，__________．
(1)求角 的大小；
(2)设 为边 的中点，求 的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）选择条件①：由正弦定理得： ，
即 ，
， ，即 ，又 ， ， ，即 ．
选择条件②：由 ，得 ，
则 ，即 ，化简得， ，
， ，即 ．
（2） ， ，
，
， ，
当且仅当 时取等号， 的最大值为 ．
17．（2023·海南·统考模拟预测）在圆内接四边形 中，已知 ， ， ，
为锐角．
(1)求 及 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
【答案】(1) ， ；
(2)5.
【详解】（1）在 中，由正弦定理 ，得 ，
即 ，而 为锐角，解得 ，
因此 为直角三角形，则 ，
所以 ， .（2）因为四边形 为圆内接四边形，且 ，则 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以四边形 周长的最大值为 .
18．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足
．
(1)求角 的大小；
(2)若 的外接圆半径为 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
又因 ，所以 ；
（2）因为 的外接圆半径为 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
由三角形为锐角三角形， ，得 ，则 ，所以 ，
所以 周长的取值范围为 .
19．（2023·陕西西安·长安一中校考二模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知
．
(1)求B；(2)若 为锐角三角形，且 ，求△ABC周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，整理得 ，
由余弦定理可得 ，
且 ，故 .
（2）由正弦定理可得 ，
可得 ，
则
，
因为 ，则 ，
且 为锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，
所以 ，
故 周长的取值范围为 .
