文档内容
专题 06 解三角形（周长（边长）问题
（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................1
题型一：定值问题（周长）...........................................................1
题型二：定值问题（边长代数和）...............................................3
题型三：最值问题（周长）...........................................................6
题型四：最值问题（边长代数和）...............................................9
题型五：范围问题（周长）.........................................................12
题型六：范围问题（边长代数和）.............................................18
题型七：范围问题（锐角三角形问题）......................................25
三、专项训练.....................................................................................31
一、必备秘籍
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）
利用基本不等式 ，在结合余弦定理求周长取值范围；
核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）
利用正弦定理 ， ，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助
角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司二、典型题型
题型一：定值问题（周长）
1．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的
对边，且 .
(1)求A﹔
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦公式求解作答.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出 即可作答.
【详解】（1）在 中， ，
由正弦定理得： ，
而 ，
于是 ，
又C为三角形内角，有 ，解得 ，所以 ，
（2）依题意， ，
由余弦定理得， ，
即 ，
所以 的周长
2．（23-24高一下·河北沧州·期中） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1) ；
学科网（北京）股份有限公司(2) .
【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理边化角求解即得.
（2）利用三角形面积公式求出 ，再余弦定理列方程求解即得.
【详解】（1）依题意， ，
在 中，由正弦定理得 ，
因此 ，而 ，则 ，又 ，
所以 .
（2）由 的面积为 ，得 ，解得 ，
由余弦定理得 ，
而 ，则 ，解得 ， ，
所以 的周长为 .
3．（2024·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ．
(1)若 ，求a；
(2)若 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用正弦定理边化角，即可求得B，然后由余弦定理即可求解；
（2）利用面积公式和余弦定理列方程组可解得 ，然后可得周长.
【详解】（1）由 ， ，
可得 ．
由正弦定理可得 ，
又 ，故 ，
由 可得 ．
由余弦定理可得 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，得 ．
（2）由 的面积为 可得 ，故 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，故 ，
所以 的周长为
题型二：定值问题（边长代数和）
1．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习） 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且
(1)求B的值；
(2)若 ， ，BD为 的平分线，BE为中线，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简已知等式，可得 ，即可求
得 ，可得答案；
（2）利用三角形面积公式求出c的值，再结合 ，即可求得 ，利
用 ，结合模的计算求出 ，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知 中， ，
即
即 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司而 ，故 ；
（2）由于 ， ，故 ，
又BD为 的平分线，且 ，
即 ，
又BE为中线，故 ，
故 ，
故 .
2．（2024·四川成都·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
的面积 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1) ；
(2)20.
【分析】（1）由三角形的面积公式和正弦定理求解即可.
（2）由同角三角函数的基本关系求出 ，再由正弦定理求出 ，最后由余
弦定理求解即可.
【详解】（1）由题意可知， ，
由 ，得 ，
由正弦定理可知， ，
由 ，得 ，即
（或
由正弦定理可知： ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 .）
（2）由 ，可知角 为锐角，
所以 ，得 ， ，
因为 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
由余弦定理 ，
得
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
， 的面积为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 外接圆的半径为1，边 上的高为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换即可得解；
（2）利用正弦定理求得 ，再利用三角形面积公式求得 ，从而利用整体法，结合余弦定
理即可得解.
【详解】（1） ，
即 ，即 ，
所以 ，又 ，则 .
（2）由 外接圆的半径为1，得 ， ，
边 上的高为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
， ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司故 .
题型三：最值问题（周长）
1．（23-24高一下·江苏南京·期中）在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给
出解答.（注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分）
① ；② ；③向量 ， ，
.
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且___________.
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：用正弦定理化简求解即可；选②：用两角和与差的正弦公式化简求
解；选③：用向量垂直的坐标表示和余弦定理求解即可；
（2）先利用余弦定理求得 ，然后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）若选①： ，
由正弦定理得 ，又 ，
所以 ，又 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ；
若选②：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ；
若选③：因为向量 ， ， ，
所以 ，化简得 ，
所以 ，又 ，所以 ；
（2）由余弦定理得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 周长的最大值为 .
2．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知在 中， 所对的边分别为a，b，
c， ，且 ．
(1)求角C的大小；
(2)D为AB中点，若 的面积等于 ，求 的周长的最小值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）先利用向量平行的坐标公式列式，然后利用正弦定理和余弦定理求解；
（2）先根据面积关系求出 ，然后利用基本不等式求出 的最小值，再利用余弦
定理求出 的最小值，则 的周长的最小值可求.
【详解】（1） ，
，
由正弦定理 得 ，
，
，
；
（2）依题意 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
又由余弦定理得 ，
，当且仅当 时取等号，
所以 的周长最小值为6．
3．（2024高三下·全国·专题练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
．
(1)求A；
(2)设 ，求 周长的最大值．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）将原等式转化为角的正弦的齐次式，再利用正、余弦定理求出角A的余弦值
即得.
（2）利用（1）的信息，结合基本不等式求解即得.
【详解】（1）在 中，由 ，
得 ，即 ，
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，又 ，
所以 .
（2）由（1）知， ， ，又 ，
则 ，
于是 ，当且仅当 时取等号，
所以 周长的最大值为 .
4．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在 中，内角 所对的边分别是 ，
已知 ，
(1)求角 ；
(2)若 ，求 周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理即可求得结果；
（2）根据余弦定理与基本不等式即可求得结果.
【详解】（1）在 中，由正弦定理可知 可化为
，
化简得， ，
在 中，由余弦定理得， ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 .
（2）由余弦定理 ，
即有 ，
，
所以 ，当且仅当 时取等号；
又 ，所以周长的最大值为 .
题型四：最值问题（边长代数和）
1．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）记 的内角 的对边分别为 ， ， ，
已知 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换整理可得 ，即可得结果；
（2）由（1）可知 ，分析可得 ， ，根据正弦定理边化
角，利用三角恒等变换结合基本不等式分析求解.
【详解】（1）因为 ，
可得 ，
且 ，所以 ．
（2）由（1）可知， ，则 ， ，
因为 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司可得 ，则 ，
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）记 的角 的对边分别为 ，且
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）先利用正弦定理求出 ，再根据二倍角公式和商数关系结合基本不等式即可得出答
案.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理得： ，
即 ，
由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ；
（2）由正弦定理： ，
，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 代入得：
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为3．
3．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 的中线 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1） .
.
（2） 为中线 结果.
【详解】（1）由题可得， ，结合正弦定理可得
，
因为 ，所以 ，得 ，
因为 ，所以 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）易知 ，（技巧：向量的平行四边形法则）
两边同时平方得 ，得 ．
法一： 可化为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，
当且仅当 时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取
到）
所以 的最大值是4．
法二： ，
令
则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．（点拨：三角函数的有界性）
所以 的最大值为4．
题型五：范围问题（周长）
1．（2024·陕西汉中·二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列
条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计
分．）
①记 的面积为S，且 ；②已知 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）选①，利用数量积的定义及三角形面积公式求解；选②，利用正弦定理边化
学科网（北京）股份有限公司角，再利用差角的余弦化简即得.
（2）利用正弦定理化 为角B的函数，再利用三角恒等变换及正弦函数性质求出范围.
【详解】（1）选条件①，由 ，得 ，整理得
，而 ，
所以 .
选条件②，由 及正弦定理，得 ，
而 ，则 ，整理得 ，而 ，
所以 .
（2）由（1）知 ，由正弦定理得 ，
因此
由 为锐角三角形，得 ，解得 ，因此 ，
则 ，于是 ， ，
所以 周长的取值范围是 .
2．（2024·宁夏银川·二模）已知平面四边形 中， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 的面积为 ，求四边形 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别在 和 中利用余弦定理求出 ，再利用
列方程求解；
（2）先利用面积公式和余弦定理求出 ，然后在 中利用余弦定理及基本不等
学科网（北京）股份有限公司式可得 的范围，进而可得四边形 周长的取值范围.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 .
（2）由已知 ，得 ，
在 中， ，由余弦定理得
，则 ，
设 ，在 中，由余弦定理得
，
则 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
又 ，
所以四边形 周长的取值范围为 .
3．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c.已知 .
(1)求A；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，整理根据余弦定理即可得出 ，然后根
据A的范围，即可得出答案；
（2）根据正弦定理得出 ， .设周长为 ，表示出周长.然后根据诱
导公式以及辅助角公式化简可得出 .然后根据 的范围，即可得出答案.
【详解】（1）在 中，由已知结合正弦定理角化边可得 ，
整理可得 ，所以 .
又 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ， ，
记 的周长为 ，则 ，
由 ， ，得 ，
所以 .
又 ，所以 ，则 ，故
4．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知 的内角 所对的边分别是 ，
．
(1)求角 ；
(2)若 外接圆的周长为 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得 ，利用余弦定理可得 ，
结合范围 ，可求 的值．
学科网（北京）股份有限公司（2）法一：由正弦定理可得 ，由余弦定理，基本不等式可求 的范围，进而可求
的周长的最大值；法二：利用正弦定理，将周长化为角A的函数求出范围即可.
【详解】（1）由正弦定理可得 ，即 ．
由余弦定理得 .
又 ，所以 ．
（2）方法一：因为△ 外接圆的周长为 ，所以△ 外接圆的直径为 ．
由正弦定理得 ，则 ．
由余弦定理得 ．
因为 ，所以 ，即 ，
由三角形性质知 ，
当且仅当 时，等号成立．
所以 ，故△ 周长的取值范围为 ．
方法二：因为△ 外接圆的周长为 ，所以△ 外接圆的直径为 ．
由正弦定理得 ，则 ．
∵
∴ ，∴
故△ 周长的取值范围为 ．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在 中， ，求 周长的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）易得 ，再利用正弦函数的性质求解；
（2）由 结合正弦定理得到外接圆的半径，从而有周长
，再利用正弦函数的性
质求解.
【详解】（1）解：由题意得 ，
，
所以 的最小正周期 ；
令 ，则 ，
故 图象的对称中心为 .
（2）由 ，得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，则 ，则 .
设 的内角 所对的边分别为 ，
由正弦定理得 ，
， ，
则周长 ，
学科网（北京）股份有限公司，
因为 ，所以 ，
故 ，因此 .
题型六：范围问题（边长代数和）
1．（23-24高一下·安徽·期中）已知锐角 分别为角 的对边，若
.
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）根据题干，利用余弦定理化简可得 ，再由正弦定理可得
即 ，再根据 是锐角三角形，所以
即可得解；
（2）由 是锐角三角形，所以 ，由正弦定理可得 结合角
的范围即可得解.
【详解】（1）
根据正弦定理 ，由
，
即 .
是锐角三角形，
， ，
因此有
学科网（北京）股份有限公司（2） 是锐角三角形， ，而 ，
由正弦定理 ，得 ，
则 ，
而
所以 ，
因此 的取值范围为 .
2．（23-24高一下·浙江丽水·阶段练习）在锐角 中，已知角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，且 ．
(1)求角C的大小；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理边角互化，进而求出角C.
（2）应用余弦定理，化简 ，利用正弦定理结合
三角函数求出范围.
【详解】（1）由余弦定理 ，及正弦定理 得
学科网（北京）股份有限公司．
所以 ，又 ，
所以
所以
（2）
因为 ，
在锐角 中， ,解得 ，
所以 ，所以 ，
由对勾函数的性质可得 ，所以 .
3．（2024·河北衡水·一模）在 中，内角 所对的边分别是 ，三角形面积为
，若 为 边上一点，满足 ，且 .
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得 ，进而
求解即可；
（2）在 中由正弦定理可得 ，在 中，可得 ，进而得
学科网（北京）股份有限公司到 ，结合三角恒等变化公式化简可得 ，进而
结合正弦函数的图象及性质求解即可.
【详解】（1） ，
，即 ，
由正弦定理得， ，
，
，
， ，
由 ，得 .
（2）由（1）知， ，
因为 ，所以 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，
在 中， ，
，
， ,
，
， ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 的取值范围为 .
4．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）在锐角 中，已知 .
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再借助三角函数和差角公式化简可解；
（2）利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式化简求范围.
【详解】（1）由题意， 根据正弦定理可得，
则 ，展开可得 ，
.
（2）由正弦定理 ，
则
，其中 ，
是锐角三角形， ， .
， ，
显然 ，当 时， ，
.
5．（23-24高三下·河北·阶段练习）记△ 的内角 的对边分别为 ，已知
.
学科网（北京）股份有限公司(1)求 ；
(2)若 ，求 的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变形求 ；
（2）利用正弦定理将 的范围转化为三角函数的值域求解.
【详解】（1）由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（2）因为 ，则 ，
因为 ,
所以 .
所以 .
因为 .所以 .所以 ，
所以 .
6．（2023·浙江·模拟预测）已知 中，内角 所对的边分别为 ，且满足
.
(1)若 ，求 ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）解法一：根据题意，由正弦定理得到 ，再由余弦定理得到
，联立方程组得到 ，再由余弦定理求得 ，即可求解；
解法二：根据题意，由正弦定理化简得到 ，进而得到
，即可求解；
（2）由（1）得到 ，求得 ，结合三角形的边的关系，得到
，设 ，得出函数 ，结合函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解法一：因为 ，由正弦定理得 ，
可得 ，即 ，
又因为 ，由余弦定理得 ，即 ，
联立方程组 ，可得 ，即 ，所以 ，
由余弦定理定理得 ，
因为 ，所以 .
解法二：因为 ，由正弦定理得 ，
整理得 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，
即 ，可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，可得 ，且 ，
所以 ，
由三角形三边关系，可得 ，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，可得 ，其中 ，
所以函数 ，
所以 ，所以 的取值范围是 .
题型七：范围问题（锐角三角形问题）
1．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 的大小．
(2)若 的面积为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦后角化边可得 ，结合余弦定理
可得 ，可求得 ；
（2）由面积可得 ，结合A的范围以及三角恒等变换可得 的取值范
围.
【详解】（1）由已知条件可知 ，
则由正弦定理，得 ．
整理，得 ．由余弦定理知 ，
则 ，所以 ．
又 ，所以 ．
（2）由（1）可知， ，则 ．
学科网（北京）股份有限公司因为 为锐角三角形，所以 解得 ．
由正弦定理，得 ，所以 ．
因为 的面积为 ，所以 ，
所以 ．易知
．
又 ，所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ．因为 ，所以 ，
故 的取值范围为 ．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
，其中 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)已知点 在线段 上，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得 ，又由余弦定理得 ，结合整
理可得角的关系；
（2）由正弦定理得 ，又因为 为锐角三角形且 ，结合三角函
数值域可求得线段 长度的取值范围.
【详解】（1）因为 ，
即 ，由正弦定理可得 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，即 ，所以 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，
由正弦定理得 ，
故 ，
即 ，
整理得 ，
又因为 为锐角三角形，则 ，可得 ，
所以 ，即 .
（2）因为点 在线段 上，且 ，即 平分 ，
又 ，所以 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，且 ，所以 ，解得 .
故 ，所以 .
因此线段 长度的取值范围 .
3．（2024·陕西安康·模拟预测）记锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
已知 .
学科网（北京）股份有限公司(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助二倍角公式、正弦定理、余弦定理及三角形内角和的关系计算即可得；
（2）借助正弦定理将边化为角后，借助三角函数的值域计算即可得.
【详解】（1）证明：由 ，
得 ，
即 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
由余弦定理可得 ，故 ，
又 ，故 ，由 ，
故 ；
（2）由正弦定理可得：
，
又锐角 中，有 ， ，解得 ，
即 ，即 ，
故 .
4．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出 的值，即可求出
角 ；
（2）法一：根据正弦定理可得 ，根据三角恒等变换化简可得
，再根据 的范围求解即可；法二：过点 作 ，垂足为 ，
根据直角三角形性质结合图形分析求解.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
整理得 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2）法一：由（1）知 ，即 ．
因为 为锐角三角形，所以 解得 ．
由正弦定理 ，得 ，
则
，
当 时， ，则 ．
又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 周长的取值范围是 ．
法二：（数形结合）过点 作 ，垂足为 ，
在直线 上取一点 ，使 ，则 与 均为直角三角形．
为锐角三角形，
点 在线段 上（不含端点）．
在 中， ，易得 ，
，周长为 ；
在 中， ，易得 ，周长为 ，
所以 周长的范围是 ．
5．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知在锐角三角形 中，边 ， ， 对应角
，向量 ， ，且 与 垂直， ．
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过 ，利用三角恒等变形公式计算即可；
（2）利用正弦定理，将 用角 表示出来，然后利用 的范围求 的取值范围．
【详解】（1）因为 与 垂直，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，
即 ，
即 ，
即 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ；
（2）由正弦定理 得
，
根据三角形 是锐角三角形得 ，
解得 ，则 ，所以 ，
所以 ，则 ，
则 的取值范围为 .
三、专项训练
1．（23-24高一下·山东·阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，
，则 ；若 ，则 的取值范围是
.
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】根据正弦定理将条件 转化为边的关系，利用余弦
定理求角 ，结合正弦定理，内角和定理将 表示为 的函数，结合正弦函数的性质
求其范围.
【详解】因为 ，
所以 ；
由正弦定理得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
，
由正弦定理可得 ，（ 为 的外接圆的半径），
由正弦定理得 ，
所以
，
由已知 ，所以 ，则 ，
所以 ，
故答案为： ； .
2．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知 的外接圆 的半径为 ， 的长为
周长的最大值为 .
【答案】21
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角 ，再利用余弦定理结合基本不等式求解即
得.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 的外接圆 的半径为 且 ，得 ，
而 ，则 或 ，由余弦定理得 ，
当 时，
，当且仅当 时取等号，
因此当 时， ， 的周长最大值为21；
当 时，
，当且仅当 时取等号，
因此当 时， ， 的周长最大值为 ，
而 ，所以 的周长最大值为21.
故答案为：21
3．（2024·四川绵阳·一模） 中，角 、 、 的对边分别为a、b、c，若
，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出：
；再结合 和余弦定理得出 的值即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 .，
由正弦定理可得： ，
由余弦定理可得： ，整理得： .
因为 ，
所以 ，整理得： ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以 ，
故答案为： .
4．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）设函数 ，在 中，
，则 周长的最大值为 .
【答案】
【分析】
由 ，化简得到 ，再利用正弦定理
和辅助角公式，得到 ，即可求解.
【详解】
由函数 ，因为 ，
可得 ，
整理得 ，
即 ，
即 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，且 ，
由正弦定理，得 ，
当且仅当 时取等，因此 周长的最大值为 .
故答案为： .
5．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在 中， 的平分线交AC于点D，
，则 周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据等面积法得 ，进而结合基本不等式得 ， ，当且仅
当 时等号成立，再结合余弦定理得 ，当且仅当
时等号成立，进而得周长最小值.
学科网（北京）股份有限公司【详解】根据题意，设， ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，即
，
所以 ，
因为根据基本不等式有 ，
所以 ， ，当且仅当 时等号成立，
由余弦定理得
，当且仅当 时等号
成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以 周长的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】
方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积
有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角
形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若
且 ，则 的周长的取值范围为 .
【答案】
【分析】由余弦定理结合基本不等式可得 ，再由三角形三边关系可得 ，可
得 ，进一步可得周长的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，此时 ，
学科网（北京）股份有限公司由三角形三边关系可得 ，所以 ，
则 ，
所以 的周长的取值范围为 .
故答案为： .
7．（22-23高一下·江苏连云港·期中）设锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换将目标式化为角 的函
数关系，再求 的取值范围，根据函数值域即可求得结果．
【详解】因为 ，则 ， ，
又 ，
故由正弦定理可得：
，
又 为锐角三角形，故可得 ，
解得 ，则 ，
由于 ，在 上单调递增，
当 当 ，
故 ，
即 ．
故答案为： ．
8．（2024高三·江苏·专题练习）已知 的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且
，若 为锐角三角形， ，则 周长的取值范围为
．
【答案】
【分析】利用正弦定理化边为角，由题设化简求出 ，再利用正弦定理，将边 用角
的三角函数表示，利用三角恒等变换将周长表达式整理成正弦型函数，借助于角的范围
学科网（北京）股份有限公司和三角函数的值域即可求得.
【详解】因 ，
由正弦定理得 ，
中， ，所以 ，得 ，即 ，
∵ ，则 ， ∴ ，∴ .
为锐角三角形， ， ，
由正弦定理得 ，
∴ ， ， ，
周长
，
∵ 为锐角三角形， ∴ ，
∴ ， ∴ ， ∴ ，
∴ ，即 周长的取值范围为 .
故答案为： .
9．（2024高三·全国·专题练习）已知 分别为 三个内角 的对边，
，且 ，则 周长的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据余弦定理结合基本不等式求出 ，再结合三角形中两边之和大于第
三边得解.
【详解】因为 ， ，
由余弦定理得 ，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时等号成立．
∴ ，∴ ，
又因为 ，所以 ，
即 周长取值范围为 .
故答案为： .
10．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 为
边中点，若 ，则 面积 的最大值为 .
【答案】
【分析】根据向量模长公式即可 ，结合基本不等式即可求解 ，进而根
据三角函数的单调性，结合面积公式即可求解.
【详解】由于 为 边中点,所以 ,平方
,
因此 ,
由于 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，
由于 在 单调递减，故当 时， 最小，且为钝角，
,
由于 在 单调递增，故当 取最小值时，此时面积最大，故当
时，此时 最小，进而 最小，故面积最大，
由 可得 ，故面积的最大值为 ，
故答案为：
11．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在① ，②
，③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并作答.问题：在 中，内角 所对的边分别为 ，
已知 ，且选择条件______.
(1)求角 ；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 为 的平分线，且与 交于点 ，求 的周长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，结合正弦定理或者余弦定理进行边角转换，由三角形内角和为 及
和差公式化简等式，再根据角的范围及函数值，即可求得A；若选②，根据平方关系及诱
导公式得到 ，再利用正弦定理将角化边，最后由余弦定
理计算可得；若选③，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理将边化角，即可得解；
（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于 的方程组，结合整体法即可得解.
【详解】（1）若选① ，
则 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ；
若选② ，
则 ，
由正弦定理可得 ，
故 ，
又 ，故 .
若选择③ ；
由正弦定理可得 ，
再由余弦定理得 ，即 ，
， ．
综上所述，无论选①②③任何一个，都有 ；
学科网（北京）股份有限公司（2） ， ， ，
因为 ，
所以 ，
又 平分 ，所以 ，
所以 ，
则 ，即
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，解得 或 （负值舍
去），
故 的周长为 .
12．（23-24高一下·广东茂名·期中）设 内角 的对边分别为 ，已知
， ．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的面积；
(3)求 的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；
（2）利用余弦定理求出 ，再由面积公式计算可得；
（3）由正弦定理将边化角，再化简得 ，再由 求得 的
取值范围，即可得周长的取值范围.
【详解】（1）因为 ，
学科网（北京）股份有限公司由正弦定理可得 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 .
（2）因为 ， ， ，
由余弦定理得 ，
即 ， 解得 ，
所以 的面积 .
（3）因为 ， ，
由正弦定理得 ，
因为 ，
所以
，
因为 ， 所以 ， ，
所以 ， 即 ，
所以 周长的取值范围为 .
13．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，
学科网（北京）股份有限公司且 ．
(1)证明： 为直角三角形；
(2)当 时，求 周长的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由降幂公式和余弦定理解三角形可得；
（2）利用三角函数把边长表示成角，再用辅助角公式表示出周长，最后利用正弦函数的值
域求出最值.
【详解】（1）证明：因为 ，即 ，
由余弦定理 可得 ，
化简可得 ，
所以 为直角三角形.
（2）由（1）可得 为直角三角形的斜边，
所以两直角边长分别为 ，
所以设周长为 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 时，周长取得最大值，最大值为 .
14．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）在 中，内角 所对的边分别为 ，
且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，点 为 的垂心， ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）延长 交 于 ，延长 交 于 ，则 ，设 ，且
学科网（北京）股份有限公司，分别求出 ，再根据三角恒等变换化一，结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
因为 ，所以 ；
（2）延长 交 于 ，延长 交 于 ，
根据题意可得 ．因为 ，所以 ，
设 ，且 ，
则 ，
同理可得 ，
则
，
因为 ，所以 ，
又
，
所以 ，
所以 的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
15．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知
．
(1)求函数 图象的对称轴方程；
(2)设 的内角 所对的边分别为 ，若 且 ，求 周长的
取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换，可得 的表达式，结合
正弦函数的性质，即可求得答案；
（2）由 求出B，由正弦定理求出 的表达式，结合三角恒等变换化简可得
的表达式，利用三角函数性质求出其范围，即可得三角形周长的取值范围.
【详解】（1）由于 ，
故
，
由 ，得
故函数 图象的对称轴方程为 ；
（2）由 ，得 ，而 ,
学科网（北京）股份有限公司故 ，
由于 ，则 ，
则 ，
则
，
而 ，
则 ，即 ，
故 周长的取值范围为 .
16．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知A，B，C为 的三内角，且其对边分别
为a，b，c．若 且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得 ，再根据正弦定理可得 ，进而
即可求得角A的大小；
（2）先根据题意及正弦定理得到 ， ，从而得到
，再结合（1）得到B的取值范围，进而即可求得 的
周长的取值范围．
【详解】（1）由 ，则 ，
又由正弦定理得 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 ．
（2）由正弦定理有 ，
则 ， ，
所以
，
又 ，则 ，则 ，则 ，
所以 ，
故 的周长的取值范围为 ．
17．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形 的内角 的对边分别为
， ， ，已知 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 为 的延长线上一点，且 ，求三角形 周长的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，即可得结果；
（2）在 中，可得 ， ，在 中，利用正弦定理结合三角函
数可得 ，进而可得结果.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
则 ，整理得 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司且 ，所以 .
（2）在 中，由题意可知： ， ，
可知 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
在 中，由正弦定理 ，
可得 ，
因为 且 为锐角三角形，则 ，解得 ，
则 ，可得 ，所以 ，
且三角形 周长为 ，
所以三角形 周长的取值范围为 .
18．（2011高一·全国·竞赛）在 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)判断 的形状，并加以证明；
(2)当 时，求 周长的最大值.
【答案】(1) 为直角三角形，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据余弦二倍角公式及余弦定理可得结果；
（2）由（1）可得周长表达式，根据辅助角公式及正弦函数性质可得结果.
【详解】（1）因为 即 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，即 ，
由余弦定理得： ， ，即 为直角三角形.
（2）由（1）知 为直角三角形， 为斜边，当 时，另两直角边长分别为 ，
，
周长 ，
因为 ，
所以当 ，即 时， ，
周长的最大值为 .
19．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）在① ，②
，③ 三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问
题.
在 中，角 所对的边分别为 ，__________，且 .求：
(1) ；
(2) 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①由三角恒等变换可得 求出角，选②由三角形面积公式及数量
积公式化简得出 即可求解，选③转化为正弦函数，利用正弦定理、余弦定理求出
得解；
（2）由正弦定理及三角恒等变换可得 ，利用正弦函数的值域求范围即可
得解.
【详解】（1）若选①
，由正弦定理得：
，
，
， ，
学科网（北京）股份有限公司，
.
若选②
，
， ，
， .
若选③
，
，
由正弦定理得： ，
由余弦定理得： ，
， .
（2） ,
，
， ，
， ，
即 ，所以△ABC周长的取值范围 .
20．（2023·四川成都·一模）已知函数 .在锐角 中，角
A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 .
(1)求A的值；
(2)若 ，求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换公式计算可得；
（2）首先由正弦定理和（1）求出 ，然后用锐角三角形和（1）求出B的
取值范围，最后结合正切函数公式计算出结果.
【详解】（1） .
由 ，即 .
为锐角三角形， ，
.
.
（2）由正弦定理， .
， .
，.
是锐角三角形，
，且 .
， ，
，
.
学科网（北京）股份有限公司.
.
综上， 的取值范围为 .
学科网（北京）股份有限公司
