文档内容
专题 06 解三角形（周长（边长）问题
（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：定值问题（周长）...........................................................2
题型二：定值问题（边长代数和）...............................................3
题型三：最值问题（周长）...........................................................4
题型四：最值问题（边长代数和）...............................................5
题型五：范围问题（周长）...........................................................6
题型六：范围问题（边长代数和）...............................................8
题型七：范围问题（锐角三角形问题）......................................10
三、专项训练.....................................................................................11
一、必备秘籍
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）
利用基本不等式 ，在结合余弦定理求周长取值范围；
核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）
利用正弦定理 ， ，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助
角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司二、典型题型
题型一：定值问题（周长）
1．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的
对边，且 .
(1)求A﹔
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
2．（23-24高一下·河北沧州·期中） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
3．（2024·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ．
(1)若 ，求a；
(2)若 的面积为 ，求 的周长．
学科网（北京）股份有限公司题型二：定值问题（边长代数和）
1．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习） 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且
(1)求B的值；
(2)若 ， ，BD为 的平分线，BE为中线，求 的值.
2．（2024·四川成都·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
的面积 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 ．
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
， 的面积为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 外接圆的半径为1，边 上的高为 ，求 的值.
学科网（北京）股份有限公司题型三：最值问题（周长）
1．（23-24高一下·江苏南京·期中）在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给
出解答.（注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分）
① ；② ；③向量 ， ，
.
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且___________.
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值.
2．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知在 中， 所对的边分别为a，b，
c， ，且 ．
(1)求角C的大小；
(2)D为AB中点，若 的面积等于 ，求 的周长的最小值．
3．（2024高三下·全国·专题练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
．
(1)求A；
(2)设 ，求 周长的最大值．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在 中，内角 所对的边分别是 ，
已知 ，
(1)求角 ；
(2)若 ，求 周长的最大值.
题型四：最值问题（边长代数和）
1．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）记 的内角 的对边分别为 ， ， ，
已知 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的最小值．
2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）记 的角 的对边分别为 ，且
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最小值．
学科网（北京）股份有限公司3．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 的中线 ，求 的最大值．
题型五：范围问题（周长）
1．（2024·陕西汉中·二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列
条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计
分．）
①记 的面积为S，且 ；②已知 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围．
2．（2024·宁夏银川·二模）已知平面四边形 中， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 的面积为 ，求四边形 周长的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c.已知 .
(1)求A；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
4．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知 的内角 所对的边分别是 ，
．
(1)求角 ；
(2)若 外接圆的周长为 ，求 周长的取值范围．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在 中， ，求 周长的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司题型六：范围问题（边长代数和）
1．（23-24高一下·安徽·期中）已知锐角 分别为角 的对边，若
.
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围.
2．（23-24高一下·浙江丽水·阶段练习）在锐角 中，已知角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，且 ．
(1)求角C的大小；
(2)求 的取值范围．
3．（2024·河北衡水·一模）在 中，内角 所对的边分别是 ，三角形面积为
，若 为 边上一点，满足 ，且 .
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）在锐角 中，已知 .
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
5．（23-24高三下·河北·阶段练习）记△ 的内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的范围.
6．（2023·浙江·模拟预测）已知 中，内角 所对的边分别为 ，且满足
.
(1)若 ，求 ；
(2)求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司题型七：范围问题（锐角三角形问题）
1．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 的大小．
(2)若 的面积为 ，求 的取值范围．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
，其中 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)已知点 在线段 上，且 ，求 的取值范围．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）记锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
已知 .
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围．
5．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知在锐角三角形 中，边 ， ， 对应角
，向量 ， ，且 与 垂直， ．
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围．
三、专项训练
1．（23-24高一下·山东·阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，
学科网（北京）股份有限公司，则 ；若 ，则 的取值范围是
.
2．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知 的外接圆 的半径为 ， 的长为
周长的最大值为 .
3．（2024·四川绵阳·一模） 中，角 、 、 的对边分别为a、b、c，若
，则 的周长为 ．
4．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）设函数 ，在 中，
，则 周长的最大值为 .
5．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在 中， 的平分线交AC于点D，
，则 周长的最小值为 ．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若
且 ，则 的周长的取值范围为 .
7．（22-23高一下·江苏连云港·期中）设锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，若 ，则 的取值范围是 ．
8．（2024高三·江苏·专题练习）已知 的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且
，若 为锐角三角形， ，则 周长的取值范围为
．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知 分别为 三个内角 的对边，
，且 ，则 周长的取值范围为 ．
10．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 为
边中点，若 ，则 面积 的最大值为 .
11．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在① ，②
，③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并作答.问题：在 中，内角 所对的边分别为 ，
已知 ，且选择条件______.
学科网（北京）股份有限公司(1)求角 ；
(2)若 为 的平分线，且与 交于点 ，求 的周长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
12．（23-24高一下·广东茂名·期中）设 内角 的对边分别为 ，已知
， ．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的面积；
(3)求 的周长的取值范围．
13．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，
且 ．
(1)证明： 为直角三角形；
(2)当 时，求 周长的最大值．
14．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）在 中，内角 所对的边分别为 ，
且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，点 为 的垂心， ，求 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司15．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知
．
(1)求函数 图象的对称轴方程；
(2)设 的内角 所对的边分别为 ，若 且 ，求 周长的
取值范围．
16．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知A，B，C为 的三内角，且其对边分别
为a，b，c．若 且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
17．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形 的内角 的对边分别为
学科网（北京）股份有限公司， ， ，已知 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 为 的延长线上一点，且 ，求三角形 周长的取值范围．
18．（2011高一·全国·竞赛）在 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)判断 的形状，并加以证明；
(2)当 时，求 周长的最大值.
19．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）在① ，②
，③ 三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问
题.
在 中，角 所对的边分别为 ，__________，且 .求：
(1) ；
(2) 周长的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司20．（2023·四川成都·一模）已知函数 .在锐角 中，角
A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 .
(1)求A的值；
(2)若 ，求 的取值范围.
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