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专题19 机械波
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题型一 机械波与波的图像.............................................................................................................1
类型1 波的形成及传播..........................................................................................................1
类型2 波的图像......................................................................................................................6
题型二 波的图像和振动图像的理解和应用...............................................................................10
题型三 波传播的周期性和多解性问题.......................................................................................15
类型1 时间多解性................................................................................................................16
类型2 空间多解性................................................................................................................22
题型四 波的叠加与干涉...............................................................................................................28
题型五 波特有的现象...................................................................................................................35
题型一 机械波与波的图像
1．传播特点
(1)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率
和周期相同。
(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可能改变，但频
率和周期都不会改变。
(4)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝＝λf。
2．波的传播方向与质点振动方向的互判方法
内容 图像
“上下 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时
坡”法 质点向上振动
“同
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
侧”法
“微平 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一横坐标
移”法 的两波形曲线上的点来判断振动方向
类型1 波的形成及传播
【例1】将较长的绳一端固定在墙上，另一端用手捏住以恒定振幅上下持续振动，产生的
绳波沿绳自左向右传播，图示时刻，波形刚好传播到A点。下列判断正确的是（ ）
A．手的起振方向向下
B．若减小手的振动频率，绳波的传播速度变慢
C．若增大手的振动频率，绳波的波长将减小D．若停止手的振动，绳中波形立即消失
【答案】C
【详解】A．根据图像可知，波向右传播，结合同侧法可知，A点的起振方向向上，由于所
有质点的起振方向相同，故手的起振方向向上，故A错误；
B．波速由介质决定，与波源的振动频率无关，故B错误；
C．波在同一介质中的传播速度恒定，根据
可知，频率增大，波长则减小，故C正确；
D．停止手的振动，绳中波形会继续向右传播，故D错误。
故选C。
【例2】．波源位于坐标原点的一列简谐横波，经t=1.25s向右传播到达P点，此时波源
处于Q点。已知这列波振幅 ，P、Q两点坐标分别为（5m，0）和（0，1.5cm），
则（ ）
A．该波的频率为
B．该波波源起振方向向下
C．波源Q向右运动 需要
D．该波中的质点，在 周期内所走最短路程为
【答案】D
【详解】B．介质中所有质点的起振方向均相同，根据同侧法可知，质点P的起振方向向上，
则该波波源起振方向向上，故B错误；
A．波经t=1.25s向右传播到达P点，则波速为
一个完整的正弦波形的波动方程为
当纵坐标恰好等于振幅的一半时，距离原点最近的平衡位置解得可知，将上述函数对应的波形向左平移 得到图示波形，可知
解得
根据
解得
，
故A错误；
C．简谐横波，的质点 各自平衡位置垂直于波的传播方向振动，质点并不随波迁移，即波
源Q不会向右运动，故C错误；
D．质点相对于平衡位置位移越大，质点运动速度越小，即质点在 周期内位置始终在靠近
波峰位置运动，且远离平衡位置过程与靠近平衡位置过程具有对称关系，此时平均速度最
小，运动路程最短，即左右对称部分经历的时间均为 ，由于一个完整的正弦式波形的振
动方程为
当时间 时，解得
可知，该波中的质点，在 周期内所走最短路程为
故D正确。
故选D。
【例3】杜甫曾在《曲江》中提到：穿花蛱蝶深深见，点水蜻蜓款款飞。平静水面上的S
处，“蜻蜓点水”时形成一列水波向四周传播（可视为简谱波），A、B两点与S在同一条
直线上，C、S在另外一条直线上。图示时刻，A在波谷，B、C在不同的波峰上。已知波
速为v，A、B连线在水平方向的距离为a，则不正确的是（ ）A．水波的波长为a
B．A点振动频率为
C．到达第一个波峰的时刻，C比A滞后
D．从图示时刻起，经过 的时间，B、C之间的距离增大了
【答案】ABD
【详解】AB．图示时刻，A在波谷，B在波峰上，A、B连线在水平方向的距离为 ，可知
水波的波长为
A点振动频率为
故AB错误；
C．由图可知到达第一个波峰的时刻，C比A滞后
故C正确；
D．由于质点只是上下振动，不随波传播方向迁移，则B、C之间的距离保持不变，故D错
误。
本题选错误的，故选ABD。
【例4】如图是某绳波形成过程的示意图，1、2、3、4…为绳上的一系列等间距的质点，相
邻两质点间距为0.4m，质点1在外力作用下沿竖直方向做简谐运动，带动2、3、4…各个
质点依次上下振动，把振动从绳的左端传到右端， 时刻质点1开始竖直向上运动，经
过0.5s质点1第一次到达最高点，质点6开始运动，此时质点1发生的位移为10cm。下列
判断正确的是（ ）
A．这列波的波长为8m
B．t=1s时质点6的加速度方向向上
C．从计时开始到t=1.5s时质点6运动的路程为20cmD．t=2s时质点21正处于平衡位置且运动方向向上
【答案】ACD
【详解】A． 时刻质点1开始竖直向上运动，经过0.5s质点1第一次到达最高点，质点
6开始运动，说明质点振动的周期 ，绳波的波长为 ，A正确；
B．介质中的各点起振方向与波源相同，经过0.5s质点1第一次到达最高点，质点6开始运
动，再经过0.5s质点6到达最高点，此时质点6的加速度方向向下，B错误；
C．由题可知，绳波的振幅 ，故从计时开始到t=1.5s时质点6（实际运动了1.0s）
运动的路程为
C正确；
D．由题可知，绳波的周期 ，故 时，绳波向右传播一个周期到达质点21位置，
介质中的各点起振方向与波源相同，故此时质点21正处于平衡位置且运动方向向上，D正
确。
故选ACD。
【例5】 、 为 轴上的两个质点，其平衡位置对应坐标分别为 、 ，
一列沿 轴正方向传播的简谐横波， 时刻波刚好传播到 点，其波形如图所示。当
时， 点第二次位于波谷，以下说法正确的是（ ）
A．波的周期为
B．波速大小为
C． 质点开始振动后任意 时间内通过的路程为
D． 质点的振动方程为
【答案】BC
【详解】AB. 由图可知，波长为 ；当 时， 点第二次位于波谷，可知波沿x
轴正向传播了
x=1.7m-0.5m+1.2m=2.4m
则波速大小为波的周期为
选项A错误，B正确；
C. 因在t=0时刻，在原点处的质点位移为
可得
质点开始振动后任意 时间内通过的路程为
选项C正确；
D. 时刻 点振动方向沿y轴负向，则 质点的振动方程为
选项D错误。
故选BC。
类型2 波的图像
【例1】如图 时刻， 处的波源从平衡位置向y轴正方向开始振动，形成一列简谐
横波沿x轴正方向运动，经过 时部分波形图如图，且 ，则该列波波
长λ和波速v的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由波形图可知振幅
时刻， 处的波源从平衡位置向y轴正方向开始振动，经过 ，
波源运动到了
处。又经分析可知
解得
由波形图可知
解得
由此可得波的传播速度大小为
故选B。
【例2】．如图所示是 时刻某简谐横波的图像，已知该波沿x轴方向传播，质点M、N
的平衡位置坐标分别为 、 ，此时 处的质点刚开始起振， 时质
点N第一次运动到波峰。下列说法正确的是（ ）
A．波沿x轴正方向传播
B．振源的起振方向沿y轴负方向
C．简谐横波的波速为20m/s
D．0~0.3s时间内质点M通过的路程为30cm
【答案】AC
【详解】AB． 时刻， 处的质点刚开始起振，可知波沿x轴的正方向传播，结
合题图可知 时刻， 处的质点沿y轴正方向振动，则波源的起振方向沿y轴正方
向，故A正确，B错误；
C．由题图可知该波的波长为
质点N第一次运动到波峰，可知则
由 得
故C正确；
D．0~0.3s时间内质点M通过的路程为
故D错误。
故选AC。
【例3】．一列简谐横波在均匀介质中沿 轴传播，在 时刻的波形如图所示，M、N是
介质中的两个质点。质点 的振动方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．波沿 轴正向传播
B． 时刻，质点 正沿 轴负方向运动
C．波的传播速度为
D．质点 的平衡位置位于 处
E．质点 比质点 振动超前
【答案】ACE
【详解】A．由振动方程可知， 时刻，质点 正沿 轴正向振动，根据波形平移法可
知波沿 轴正向传播，故A正确；
B．根据振动和波动关系可知， 时刻，质点 正沿 轴正方向运动，故B错误；
C． 点和 点平衡位置间的距离为 ，则
解得
由振动方程可知，波动周期因此波的传播速度为
故C正确；
D．质点 平衡位置为
故D错误；
E．质点 比质点 振动超前
故E正确。
故选ACE。
【例4】一列简谐横波沿x轴正方向传播，该波的周期 ，在 时刻的波形如图所
示，质点A、B、C、D、E在x轴上的位置坐标分别为 、 、 、 ， 。下列
说法正确的是（ ）
A．经过0.1s，D点向右移动
B． 时，质点E第一次到达波峰
C．该波刚传到E点时，E点将向下振动
D．从 时刻开始，在0.5s内质点E通过的路程为12cm
【答案】BD
【详解】A．质点只上下振动并不随波迁移，故A错误；
B．由图可知波长为 ，则波速为
时，波传播的距离为
则 时，初始时刻C点的振动状态刚好第一次传播到E点，即质点E第一次到达波
峰，故B正确；
C．简谐横波沿x轴正方向传播，则该波刚传到E点时，E点将向上振动，故C错误；D．波传播到E需用时
从 时刻开始，在0.5s内质点E恰好振动一个周期，则运动路程为4倍的振幅，即为
12cm，故D正确。
故选BD。
题型二 波的图像和振动图像的理解和应用
1.振动图像和波的图像的比较
比较项目 振动图像 波的图像
研究对象 一个质点 波传播方向上的所有质点
某质点位移随时间的变化 某时刻所有质点在空间分布的
研究内容
规律 规律
图像
横坐标 表示时间 表示各质点的平衡位置
物理意义 某质点在各时刻的位移 某时刻各质点的位移
振动方向的判断
(看下一时刻的位移) (同侧法)
随时间推移，图像沿波的传播
随时间推移，图像延伸，
Δt后的图形 方向平移，原有波形做周期性
但已有形状不变
变化
(1)纵坐标均表示质点的位移
联系 (2)纵坐标的最大值均表示振幅
(3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
2.巧解波的图象与振动图象综合问题的基本方法
【例1】潜艇在水下活动时需要用声呐对水下物体及舰船进行识别、跟踪、测向和测距。
某潜艇声呐发出的一列超声波在 时的波动图像如图甲所示，图乙为质点P的振动图像，
则下列说法正确的是（ ）A．该超声波沿x轴负方向传播
B．该超声波的波速为
C．0~1s内，质点P沿x轴运动了
D．该超声波遇到 的障碍物会产生明显的衍射现象
【答案】BD
【详解】A．由图乙可知，在 时刻，P质点速度沿y轴正方向，根据上下坡法可知该波
沿x轴正方向传播，故A错误；
B．由图甲可知，该波的波长由图2可知
周期为
该波的波速为
故B正确；
C．质点P在平衡位置上下附近振动，不会随波迁移，故C错误；
D．只有缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不多，或者比波长更小时，才能发生明
显的衍射现象。障碍物的宽度有1cm，与波的波长 大小近似，故会产生明显的
衍射现象，故D正确。
故选BD。
【例2】．声呐，也作声纳，是英文缩写“SONAR”的中文音译（中国科技名词审定委员会
公布的规范译名为声呐），其全称为：Sound Navigation And Ranging（声音导航与测距），
是利用声波在水中的传播和反射特性，通过电声转换和信息处理进行导航和测距的技术，
也指利用这种技术对水下目标进行探测和通讯的电子设备，是水声学中应用最广泛、最重
要的一种装置，有主动式和被动式两种类型。现代军舰多利用声呐探测水下目标。图甲是
某舰搭载的声呐发出的一列超声波在 时刻的波形图，图乙是质点P的振动图像，则下
列说法正确的是（ ）A．超声波遇到大尺寸障碍物可以发生明显的衍射现象
B．舰艇行驶速度越快，声呐发出超声波的频率越大
C．超声波沿x轴正方向传播，波速为1500m/s
D．坐标原点处质点在 时相对平衡位置的位移为
【答案】CD
【详解】A．机械波遇到与波长相近或小于波长的障碍物时会发生明显的衍射现象，而超
声波的波长较短，遇到大尺寸的障碍物时不能发生明显的衍射现象，故A错误；
B．声呐发出超声波的频率由声源决定的，与舰艇的行驶速度无关，故B错误；
C．由图乙可知， 时，质点 沿 轴负方向运动，根据同侧法可知，超声波沿 轴正方
向传播，波速
故C正确；
D．根据同侧法可知，坐标原点处质点在0时刻沿 轴正方向运动，则该质点的振动方程为
代入数据 ，解得
故D正确。
故选CD。
【例3】．一列简谐横波沿x轴传播，图甲为 时刻的波形，图乙为质点P的振动图像。
则下列判断正确的是（ ）A．波沿x轴正向传播
B．该波的波速为5m/s
C．在任意4s的时间内，质点P运动的路程一定是2m
D．质点P与质点Q偏离平衡位置的位移大小总相等
【答案】AD
【详解】A．由图乙可知， 时刻质点 沿 轴正方向振动，结合图甲，由同侧法可知，
波沿x轴正向传播，故A正确；
B．由图甲可知，波长为 ，由图乙可知，周期为 ，则该波的波速为
故B错误；
C．根据题意可知
则在任意4s的时间内，质点P运动的路程一定是
故C错误；
D．由图甲可知，质点P与质点Q的距离为半个波长，由对称性可知，质点P与质点Q偏
离平衡位置的位移大小总相等，故D正确。
故选AD。
【例4】艺术体操的主要项目有绳操、球操、圈操、带操和棒操五项。下图为运动员进行
的带操比赛。某段过程中彩带的运动可简化为沿x轴方向传播的简谐横波， 时的波
形图如图甲所示，质点Q的振动图像如图乙所示。下列判断正确的是（ ）
A．简谐波沿x轴负方向传播
B．该时刻P点的位移为
C．再经过0.25s，P点到达平衡位置
D．质点Q的振动方程为
【答案】C
【详解】A．由乙图可知， 时，质点Q向上运动，根据波传播的“上波下、下波
上”的特点，波沿 轴正方向传播，故A错误；C．波速为
由乙图可知，质点的振幅 ， 时质点Q向上振动，质点P向下振动，起振的
时间差
故二者的初相位相差 ，故从 开始时质点P的振动方程为
故再经过 时
即P点到达平衡位置，故C正确；
B．由图甲可知，波长
由P点和Q点平衡位置相距 可知， 时P点的位移
故B错误；
D． 时Q点向下振动，故质点Q的振动方程为
故D错误。
故选C。
【例5】．一列简谐横波在 时刻的波形如图甲所示，图乙所示为该波中质点P的振动
图像。下列说法正确的是（ ）
A．该波的波速为40m/s
B．该波一定沿x轴正方向传播
C． 时质点P的速度大于质点Q的速度
D．经过 ，质点P通过的路程为4m
【答案】C【详解】A．由甲图知，波长为4m，由乙图知，周期为0.2s，则该波的传播速度为
故A错误；
B．由波形图和质点P的振动图像，不能确定该波的传播方向，故B错误；
C．当 时质点P振动到平衡位置，此时速度最大，质点Q振动到最大位移处，
速度为零，故C正确；
D．因周期为0.2s，则经过0.3s后
质点P通过的路程为
故D错误。
故选C。
题型三 波传播的周期性和多解性问题
1．造成波传播多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt或Δx，若此关
系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，
2，…)。
类型1 时间多解性
【例1】如图所示，实线是一列简谐波在 时刻的波形图， 时刻的波形图如图中
虚线所示，下列说法正确的是（ ）
A．若简谐波沿 轴方向传播，则传播速度可能为12m/sB． 时，若 处质点向上振动，则波源的振动周期可能为1.5s
C．若简谐波的传播速度为7.5m/s，则简谐波沿 轴方向传播
D．若简谐波沿 轴方向传播，则波源的振动周期可能为1.5s
【答案】C
【详解】A．若简谐波沿 轴方向传播，则由实线到虚线需将波形向右平移，则有
（n=0，1，2，3， ）
⋯
当 时，可得
当 时，可得
则波传播的时间为 ，则传播速度可能为
或
A错误；
B． 时，若 处质点向上振动，可知波沿 轴方向传播，当 ，则波源的振动
周期可能为
当 时，则波源的振动周期可能为
B错误；
C．若简谐波沿 轴方向传播，则有
（n=0，1，2，3， ）
⋯
当 时，可得
则波的传播速度为
C正确；
D．若简谐波沿 轴方向传播，则传播时间
（n=0，1，2，3， ）
⋯
当 时，可得则
当 时，可得
则
D错误。
故选C。
【例2】．一列沿x轴传播的简谐横波， 时刻的波形如图中实线所示， 时刻的
波形如图中的虚线所示，则（ ）
A． 时，质点P的振动方向一定竖直向上
B．波的周期可能为0.17s
C．波的传播速度可能为330m/s
D．波的传播速度可能为280m/s
【答案】C
【详解】A．如果波向x负方向传播， 时，则P点振动方向竖直向下，故A错误；
B．如果波向x轴正方向传播，则满足
即
把 ，代入得
由于n不是整数，所以如果波向x轴正方向传播，波的周期不可能为0.17s；如果波向x轴
负方向传播，则满足即
把 ，代入得
由于n不是整数，所以如果波向x轴负方向传播，波的周期不可能为0.17s。故B错误；
CD．由图可知，该波的波长为
如果波向x轴正方向传播，则波速
把 ，代入得
由于n不是整数，则如果波向x轴正方向传播，波的传播速度不可能为330m/s。把
，代入得
由于n不是整数，则如果波向x轴正方向传播，波的传播速度不可能为280m/s。如果波向
x轴负方向传播，则波速
把 ，代入得
由于n是整数，则如果波向x轴负方向传播，波的传播速度可能为330m/s。把 ，
代入得
由于n不是整数，则如果波向x轴负方向传播，波的传播速度不可能为280m/s。故C正确，
D错误。
故选C。
【例3】一列简谐波沿x轴传播， 时刻的波形图如图中实线所示， 时的波形如图
中虚线所示，则下列判断正确的是（ ）A．若波沿x轴正方向传播，则 内传播的距离一定为
B．若波沿x轴正方向传播，则波的周期可能为
C．若波沿x轴负方向传播，则波的周期的最小值为
D．若波沿x轴负方向传播，则波速的最小值为
【答案】BD
【详解】A．由波形图可知波长 ，若波沿x轴正方向传播，则3s内传播的距离为
即3s内传播的距离不一定为1m，故A错误；
B．若波沿x轴正方向传播，则有
解得
当n取1时，可得 ，故B正确；
D．若波沿x轴负方向传播，则3s内传播的距离为
解得
当n取0时，波速为最小值，即最小值为 ，故D正确；
C．若波沿x轴负方向传播，根据波速与周期的关系有
可知当n取值越大，波的周期越小，故波的周期最小值不为4s，故C错误。
故选BD。
【例4】．一列简谐横波沿x轴正方向传播， 时刻的波形如图中实线所示，t=0.1s时刻
的波形如图中虚线所示。波源不在坐标原点O，P是传播介质中离坐标原点 =2.5m处的一个质点。则以下说法中正确的是（ ）
A．质点P的振幅为0.1m
B．波的频率可能为7.5Hz
C．波的传播速度可能为50m/s
D．在t=0.1s时刻与P相距5m处的质点一定沿y轴正方向运动
【答案】AC
【详解】A．振幅为质点离开平衡位置的最大距离，由题图知，质点P的振幅为0.1m，故
A正确；
B．波沿x轴正方向传播，则
t=nT+ （n=0，1，2，3，…）
周期为
T= = s（n=0，1，2，3，…）
频率为
f= = Hz=（10n+2.5）Hz（n=0，1，2，3，…）
所以波的频率可能为2.5Hz、12.5Hz、…，不可能为7.5Hz，故B错误；
C．波速为
v=λf=4×（10n+2.5）m/s=（40n+10）m/s（n=0，1，2，3，…）
当n=1时
v=50m/s
故C正确；
D．波沿x轴正方向传播，在t=0.1s时刻P沿y轴正方向运动，与之相距5m处的质点分别
在7.5m处和-2.5m处，其中7.5m处的质点振动情况与3.5m处质点振动情况一样，沿y轴
正方向，而距原点-2.5m的质点与1.5m处振动情况一样，速度沿y轴负方向，故D错误。
故选AC。
【例5】一列沿x轴传播的简谐横波，t=0时的波形如图中实线所示，t=0.5s时的波形如图
中虚线所示，求：
（1）该简谐横波的传播速度；
（2）x轴上的质点随波振动的周期。【答案】（1）波沿x轴正方向传播 （n=0，1，2，3…），波沿x轴负
方向传播 （n=0，1，2，3…）；（2）波沿x轴正方向传播
（n=0，1，2，3…），波沿x轴负方向传播 （n=0，1，2，
3…）
【详解】（1）若波沿x轴正方向传播，则传播的距离为
（n=0，1，2，3…）
则波速为
（n=0，1，2，3…）
若波沿x轴负方向传播，则传播的距离为
（n=0，1，2，3…）
则波速为
（n=0，1，2，3…）
（2）若波沿x轴正方向传播，则周期为
（n=0，1，2，3…）
若波沿x轴负方向传播，则周期为
（n=0，1，2，3…）
类型2 空间多解性
【例1】如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15m。当P运动
到平衡位置上方最大位移处时，Q刚好运动到平衡位置下方最大位移处，已知波长大于
0.15m。则这列波的波长是（ ）A．0.60m B．0.40m C．0.30m D．0.15m
【答案】C
【详解】当P运动到平衡位置上方最大位移处时，Q刚好运动到平衡位置下方最大位移处，
可得
（n=0、1、2 ）
解得
当n=0时，
当n=1时，
故选C。
【例2】．一列沿x轴方向传播的简谐横波，振幅为2cm，波速为2m/s。如图所示，在波
的传播方向上两质点a、b的平衡位置相距0.4m（小于一个波长），当质点a在波峰位置
时，质点b在x轴下方与x轴相距1cm的位置。下列说法正确的是（ ）
A．从此时刻起经过0.4s，b点可能在波谷位置
B．从此时刻起经过0.4s，b点可能在波峰位置
C．从此时刻起经过0.5s，b点可能在平衡位置
D．从此时刻起经过0.5s，b点可能在波谷位置
【答案】BD
【详解】第一种情况，如图所示
根据图像得
解得再经0.4s，波移动的距离为
波向左传播时，波形向左移动0.8m，波峰在0.4m处，此时b点在波峰处；
波向右传播时，波形向右移动0.8m，波峰在0.8m处，此时b点在波谷与平衡位置之间；
再经0.5s，波移动的距离为
波向左传播时，波形向左移动1m，波峰在0.2m处，此时b点在波峰与平衡位置之间；
波向右传播时，波形向右移动1m，波峰在1m处，此时b点在波谷处；
第二种情况，如图所示
根据图像得
解得
再经0.4s，波移动的距离为
波向左传播时，波形向左移动0.2m，波峰在0.4m处，此时b点在波峰处；
波向右传播时，波形向右移动0.2m，波峰在0.2m处，此时b点在波谷与平衡位置之间；
再经0.5s，波向右移动的距离为
波向左传播时，波形向左移动0.4m，波峰在0.2m处，此时b点在波谷与平衡位置之间；
波向右传播时，波形向右移动0.4m，波峰在0.4m处，此时b点在波峰处；
波形向右移动0.4m，波峰在0.4m处，即b点在波峰处，
故选BD。
【例3】一列横波沿着x轴正方向传播，处在 和 的两质点A、B的振动图
像如图所示，则以下说法错误的是（ ）A．2.5s末A、B两质点的位移相同
B．2s末A点的速度大于B点的速度
C．该波的波长可能为
D．该波的波速可能为
【答案】C
【详解】A．由图可得，周期为4s，A、B两质点的振动方程分别为
当 时
则A正确，不符合题意；
B．由振动图像读出，2s末A质点的位移 ，处于平衡位置，速度最大；B质点的位移
，处于波谷，速度是零，所以2s末A质点的速度大于B质点的速度，则B正确，
不符合题意；
C． 时刻，质点A正通过平衡位置向上运动，质点B在波峰，波从A向B传播，则AB
间的距离
则
因而该波的波长不可能为 ，故C错误，符合题意；
D．根据
当 时，波速为则D正确，不符合题意。
故选C。
【例4】如图甲所示，某同学手持细棒抖动彩带的端点O使其在竖直方向上做简谐运动，
在彩带上形成的波可以看成沿x轴正方向传播的简谐波。在 和 处的两个质
点O、P的振动图像如图乙所示，则（ ）
A．该波的传播速度大小可能为
B．波由质点O传到质点P的时间可能为
C．在 时间内，质点O通过的路程为
D．质点P振动的位移一时间关系为
【答案】AC
【详解】A．由图乙可以得到波从O传到P的时间为（O图像右移与P图像重合）
距离为0.9m，所以传播速度为
其中 取（0、1、2、3···），当 ，速度为 ，A正确；
B．由图乙可以得到波从O传到P的时间为（O图像右移与P图像重合）
其中 取（0、1、2、3···）故B错误；
C．由图像可知，在 时间内，质点O通过的路程为
故C正确；
D．质点P振动的位移一时间关系为 ，故D错误。
故选AC。
【例5】．如图分别是一列机械波在传播方向上相距5m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是（ ）
A．2s时P质点向上振动
B．1.5s时Q质点向上振动
C．该波的波长可能为2m
D．该波的波速可能是1m/s
【答案】BC
【详解】A．由图可知2s时P质点向下振动，故A错误；
B．由图可知1.5s时Q质点向上振动，故B正确；
C．由图可知质点P、Q的振动步调相反，则
（n＝0，1，2，3…）
解得
（n＝0，1，2，3…）
可知当 时，该波的波长为2m，故C正确；
D．由图可知波的周期为 ，该波的波速为
（n＝0，1，2，3…）
可知该波的波速为1m/s时， 不是整数，故该波的波速不可能是1m/s，故D错误。
故选BC。
【例6】如图所示，一列简谐横波在x轴上传播，图甲和图乙分别为x轴上 两质点的
振动图像，振幅均为 ，且 两点相距 。
（1）写出b点做简谐运动位移随时间的关系式；
（2）若这列波从质点b向质点a传播，求这列波的波长以及波速。
【答案】（1） ；（2） ；【详解】（1）设b点振动方程为
又
由图像可知
得
由b点振动图像可知，t=0时位移为20cm，则
得
b点做简谐运动位移随时间的关系式
（2）在t=0时刻，质点a位于平衡位置且沿轴负方向振动，质点b位于正向最大位移处，
若波从质点b向质点a传播，则 a、b 间可能的波形如图所示
则
则波长
波速
题型四 波的叠加与干涉
1．波的叠加在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和．
2．波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
①当两波源振动步调一致时．
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
②当两波源振动步调相反时．
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
(2)图像法：
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波
峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射
的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于
加强点与减弱点的振幅之间．
【例1】如图所示，一运动场的内道由两个半径R为30m的半圆和两个长为L为40m的直
道组成，在两个圆心 、 分别装有两只扬声器。在调试过程中，两只扬声器同时播放
频率f为34Hz的低频声音。已知声音在空气中传播的速度v为340m/s，忽略声音在传播过
程中的衰减。求：
（1）此声音的波长 ；
（2）通过计算判断在运动场的一条直道上有几处声音最强？
【答案】（1） ；（2）5处，见解析
【详解】（1）由
可得声音的波长为
（2）直道上到两波源的路程差最大为
路程差最小为当 ， ， 时，振动最强，一条直道上有5处声音最强。
【例2】如图所示， 、 是同一种介质中相距10m的两个振动情况完全一致的相干波源，
它们的振动方向垂直于 所在的平面，它们振动的周期为 ，在介质中形成的
机械波的波速为 。 已知 ，在 连线上有好几个振动加强的点
（不含 、 ），其中距 最近的点为 （图中未画出），距 最近的点为 (图中未画
出)，取 ， 。
（1）判断 是否为振动加强点；
（2）求 、 两点间的距离。
【答案】（1） 点为振动加强点；（2）
【详解】（1）根据几何关系可知
则有
可知 点为振动加强点。
（2）机械波的波长为
根据题意可知
根据几何关系可知
联立解得
【例3】如图所示，介质中有两个相距6m的波源S 和S，两波源的振动方向与纸面垂直，
1 2
所形成的机械波在纸面内传播，传播速度均为0.25m/s。图2是S 的振动图像，图3是S 的
1 2
振动图像。M点在S 和S 的连线上，与波源S 相距2.5m，N和S 的连线与S 和S 的连线
1 2 1 1 1 2
垂直，N点到S 的距离为8m。下列说法正确的是（ ）
1A．两列波的波长均为1m
B．M和N都是振动加强点
C．M和N都是振动减弱点
D．M和N的连线上必定有一振动加强点
E．S 和S 振动步调相反，不能形成稳定的干涉图样
1 2
【答案】ACD
【详解】A．由图可知，两列波的周期均为4s，所以波长为
故A正确；
BC．由图可知，两波源的振动步调相反，所以波程差等于半波长的奇数倍为振动加强点，
波程差等于半波长的偶数倍为振动减弱点，对M点，有
则M点为振动减弱点；
对N点，有
则N点为振动减弱点，故B错误，C正确；
D．由于两个振动减弱点间必定有振动加强点，所以M、N均为振动减弱点，在MN的连线
上必定有一个振动加强点，故D正确；
E．两波源频率相同，相位差恒定，能形成稳定的干涉图样，故E错误。
故选ACD。
【例4】．如图所示， 点处存在甲波源，B(0,3)点处存在乙波源， 时两个波源
同时起振，起振方向垂直纸面向外，振动规律分别为 （cm）、
（cm），两列波的波长均为 。下列说法正确的是（ ）A．两列波的传播速度均为3m/s
B． 时，波源的速度最大
C．O点是振动加强点
D． 时，O点的位移为零
【答案】BCD
【详解】A．由振动规律可知，两列波周期均为
两列波的传播速度均为
故A错误；
B．由波源的振动函数可知，t=0时，波源质点位于平衡位置，又
此时波源回到平衡位置，波源的振动速度最大，故B正确；
C．两波源起振方向相同，又
所以O点是振动加强点，故C正确；
D． 时，两列波已经传播到O点，A波引起的分位移为
B波引起的分位移为
所以 时，O点的位移为零，故D正确。
故选BCD。
【例5】如图所示，水面上相距为a的A、B两点有两个频率相同且同时向相同方向起振的
波源，两波源发出的波在水面发生干涉。观察发现C点与D点是两个相邻的振动加强点，
已知DC垂直于AB，∠DAB=60°，∠CAB=30°，则该波的波长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由几何关系可知
， ， ，
则D点与AB的光程差为
则C点与AB的光程差为
可得
故选C。
【例6】．如图所示， 和 是两个振动频率相同，相位差为 ，振幅均为2cm的横波波
源，两者位于同一直线上，相距12m，连线上有一质点A，与 的距离为3m。 时两波
源同时起振且 向上振动，产生的机械波在介质中传播的速度为2m/s。稳定后在 、
连线上除A点外还有5个振动加强点。下列说法正确的是（ ）
A． 时，A处质点离平衡位置的距离是
B． 时，A处质点离平衡位置的距离是2cm
C． 内，A质点的路程是14cm
D． 内，A质点的加速度逐渐增大
【答案】B
【详解】两波源频率相同，起振方向相反，S、S 连线上有6个振动加强点，则连线中点
1 2
左边右边各有3个加强点，A为振动加强点，可知即
当n=1，λ=12m，不成立；
当n=2时，λ=4m，若波长为4m，则S、S 连线上有6个振动加强点；
1 2
当n=3时，λ=2.4m，S、S 连线上有10个振动加强点，不成立，由此可知波长为4m。因波
1 2
速为2m/s，所以周期为
S 处波源产生的机械波传播到A处所需的时间为
1
S 为处波源产生的机械波传播到A处所需时间为
2
A． 时，只有S 处波源产生的机械波传播到A处，质点A振动的时间为
1
故此时A质点在波峰位置，离平衡位置最远，距离为2cm，故A错误；
B． 时，两波源产生机械波都已传到A处，两波源分别使A振动 和 ，根据
波的叠加原理可知，质点A位于波峰位置，故A处质点离平衡位置的距离是2cm，故B正
确；
C． 内，两波源分别使A质点振动的时间为 和 故A质点的路程是
故C错误；
D．同理在 内，根据波的叠加原理A质点在此时间内向平衡位置运动，回复力逐渐
减小，故加速度逐渐减小，故D错误。
故选B。
【例7】．如图所示，在学校操场与人耳等高的A、B两处有两个扬声器， 是长方形，
且 ， 。若两个扬声器同相位地发出频率为660Hz的声音，现有
甲同学沿 边移动，乙同学沿 连线移动，取声速 。则下列说法正确的是（
）A．甲从C到D的过程中会听到3个声音极强点
B．甲从C到D的过程中会听到4个声音极强点
C．乙从A到D的过程中（不包含A点）会听到8个声音极强点
D．乙从A到D的过程中（不包含A点）会听到9个声音极强点
【答案】C
【详解】AB．声波波长为
设某点到声源A、B的距离分别为 、 ，其差为 ，当
时，此位置为干涉极大点，即声音极强点，当
时，此位置为干涉极小点，即声音极弱点。由图可知 、 长度均为5m，所以在C、D
连线上， 满足
解得
n可取值有3个，即0，1，2，对应的 的值有5个，所以应有5个干涉极大点，
即声音极强点，故AB错误；
CD．设对角线 、 相交于点O，在 段（包含点O），有
解得
n可取值有6个，在此段 只能取零或负值，所以在 段有6个干涉极大点，在
段（不包含点O），有
解得
n可取值有2个，此段 只能取正值，所以在 段有2个干涉极大点。所以A、
D连线上（不包含A点）共有8个干涉极大点，故C正确，D错误。
故选C。题型五 波特有的现象
波的干涉和衍射现象 多普勒效应
1.波的干涉和衍射
波的干涉 波的衍射
两列波的频率必须相同，相位差保持不 产生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺
条件
变 寸比波长小或相差不多
形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的
现象 波能够绕过障碍物或孔继续向前传播
干涉图样
2.多普勒效应
(1)条件：声源和观察者之间有相对运动(距离发生变化)。
(2)现象：观察者感到频率发生变化。
(3)实质：声源频率不变，观察者接收到的频率变化。
【例1】一列简谐横波沿 轴正方向传播， 时刻波形如图所示，此时波刚好传到 点，
时质点 第一次到达负方向最大位移处，则（ ）
A．此波波源的起振方向沿 轴负方向
B．该简谐横波的波速为
C．该简谐横波的频率为
D．该波在传播过程中遇到尺寸为 的障碍物会发生明显的衍射现象
【答案】BCD
【详解】A．简谐横波沿 轴正方向传播，由“上下坡”法可知，质点P开始振动时的运
动方向沿y轴正方向，所以此波波源的起振方向沿y轴正方向，故A错误；
B．t=0.3s时，质点P第一次到达负方向最大位移处，由
可得
由图知，波长
该简谐横波的波速为B正确；
C．该简谐横波的频率为
C正确；
D．障碍物尺寸和波长相近或波长大于障碍物尺寸时，会发生明显的衍射现象，所以该波
在传播过程中遇到尺寸为 的障碍物会发生明显的衍射现象，故D正确。
故选BCD。
【例2】振动和波存在于我们生活的方方面面，关于下列几幅图片描绘的情景分析正确的
是（ ）
A．图甲救护车向右运动的过程中，A、B两人听到警笛声的频率相同
B．图乙要在大山后面的房舍内收听到广播，发射台发出的信号的波长越短，效果越好
C．图丙在发射载人宇宙飞船时，火箭要产生较强的超低频振动，由于该频率与人体内
脏和身躯的固有频率接近，所以容易使人体器官发生共振，造成人体器官的损伤
D．图丁是干涉型消声器的结构示意图，波长为λ的同一声波通过上下两通道后相遇的
路程差应该为λ的整数倍
【答案】C
【详解】A．根据多普勒效应可知，甲救护车向右运动的过程中，A听到警笛声的频率大于
救护车发出的警笛声的频率，B听到警笛声的频率小于救护车发出的警笛声的频率，则A、
B两人听到警笛声的频率不同，故A错误；
B．障碍物或孔的尺寸比波长小或跟波长相差不多，波将发生明显的衍射现象，图乙要在大
山后面的房舍内收听到广播，发射台发出的信号波长越长效果越好，故B错误；
C．图丙在发射载人宇宙飞船时，火箭要产生较强的超低频振动，由于该频率与人体内脏和
身躯的固有频率接近，所以容易使人体器官发生共振，造成人体器官的损伤，故C正确；
D．根据波的干涉，波长为 的声波通过上下两通道后相遇的路程差应该为 的奇数倍，
故D错误。
故选C。
【例3】．渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物。声波在水中传播速度
为1500m/s，若探测器发出频率为 的声波，下列说法正确的是（ ）
A．两列声波相遇时一定会发生干涉
B．声波由水中传播到空气中，波长不会改变C．该声波遇到尺寸约为1m的被探测物时会发生明显衍射
D．探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度有关
【答案】D
【详解】A. 两列声波相遇时，当两列声波的频率相同时才会发生干涉，故A错误；
B. 声波由水中传播到空气中，由波的公式
频率不会发生改变，波速变小，所以波长变小，故B错误；
C. 由公式
当声波遇到障碍物的尺寸与波长相近或者略小时，会产生明显衍射现象，所以该声波遇到
尺寸约为1m的被探测物时不会发生明显衍射，故C错误；
D. 根据声波的多普勒效应，探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度有
关，故D正确。
故选D。
【例4】．蟾蜍在池塘边平静的水面上鸣叫，某时形成如图所示的水波。若蟾蜍的鸣叫频
率不变，下列选项正确的是（ ）
A．岸边的人接收到鸣叫的声波是横波
B．水波从浅水区传入深水区，频率变小
C．水面上的落叶遇到水波后做受迫振动
D．水波遇到大石头比遇到小石头更容易发生衍射现象
【答案】C
【详解】A．声波是纵波，可知，岸边的人接收到鸣叫的是纵波，故A错误；
B．频率由波源决定，可知，水波从浅水区传入深水区，频率不变，故B错误；
C．水面上的落叶遇到水波后，落叶在声波的干扰之下发生振动，落叶做的是受迫振动，故
C正确；
D．当波长与障碍物的尺寸相差不多时，能够发生明显衍射现象，可知，波长一定时，水
波遇到大石头比遇到小石头更不容易发生衍射现象，故D错误。
故选C。
【例5】洪泽湖是我国第四大淡水湖，位于江苏省西部淮河下游，洪泽湖甘泉般的湖水，
养育着千百万人民，环洪泽湖公路项目也是大运河百里画廊建设的重要节点、重中之重。
下列与之相关的波现象中说法正确的是（ ）A．用声呐探测湖底某处的深度，利用了波的衍射现象
B．湖中水波绕过芦苇、石块向前传播，是波的干涉现象
C．岸上交通警察用监视器测量汽车的速度可利用多普勒效应
D．湖中鸣笛的快艇驶近游客的过程中，游客听到的声波频率与该波源的发声频率相比
会变大
【答案】CD
【详解】A．声呐探测湖底某处的深度，利用了波的反射现象，故A错误；
B．湖中水波绕过芦苇、石块向前传播，是波的衍射现象，故B错误；
C．岸上交通警察对行进中的汽车发射一个已知频率的超声波，波被运动的汽车反射回来，
根据接收到的频率发生变化，来知道汽车的速度，以便于进行交通管理，利用了多普勒效
应，故C正确；
D．根据多普勒效应可知，当波源与观察者互相靠近时，接收到的频率会增大，故湖中鸣
笛的快艇驶近游客的过程中，游客听到的声波频率与该波源的发声频率相比会变大，故D
正确。
故选CD。
【例6】．如图（a）为一列简谐横波在 时刻的波形图，图（b）为介质中平衡位置在
处的质点P的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A．该横波沿x轴正方向传播
B．该横波的波速为1.0m/s
C．0~2s时间内，质点P运动的路程为8cm
D．若该横波传播过程遇到宽度为0.2m的障碍物，不会观察到明显的衍射现象
【答案】AC
【详解】A．图（a）为t=0s时的波形图，图（b）为在x=1.5m处的质点P的振动图像，该
质点在t=0s时向上振动，则该横波沿x轴正方向传播，故A正确；
B．由图（a）可知波长 ，由图（b）可知周期T=4s，则波速为故B错误；
C．0~2s时间内，质点P运动了 ，则有质点P运动的路程为
故C正确；
D．当障碍物的尺寸与波长相差不多，或比波长更小时，就能观察到明显的衍射现象，所
以若该横波传播运动中遇到宽度为0.2m的障碍物，可以观察到明显的衍射现象，故D错误。
故选AC。
【例7】．如图所示，甲为一列简谐波在t=3.0s时刻波的图像，Q为x=4m的质点，乙为甲
图中P质点的振动图像，则下列说法正确的是（ ）
A．此波沿x轴负方向传播
B．t=8.0s时，P点位移为2cm
C．若障碍物的尺寸小于12m，则该波不能发生明显衍射现象
D．该波能与另一列频率为4Hz的简谐波发生稳定的干涉现象
【答案】AB
【详解】A．由图乙可知 时 质点向 轴正方向振动，由“上下坡法”知此波沿 轴
负方向传播，故A正确；
B．由图乙可知这列波的周期 ，从 到 内，由于
可知 时， 振动到最大位移处，即位移为2cm，故B正确；
C．产生明显衍射的条件是障碍物或孔的尺寸比波长小或跟波长差不多，由图甲可知波长
，若障碍物的尺寸小于 ，则该波能发生明显衍射现象，故C错误；
D．该波的频率为
则该波能与另一列频率为4Hz的简谐波不能发生稳定的干涉现象，故D错误。故选AB。
【例8】平静的湖面有相距为1m的两个小木块A、B，距小木块A左侧3m处有一波源在
时刻开始向上振动，经4s小木块A第一次达到波峰，再经3s小木块B第一次达到波
谷，波源和小木块A、B在一条直线上。
（1）求这列横波的周期和波速；
（2）求这列横波的波长；
（3）若此波在传播过程中遇到一根竖立的芦苇杆，是否会发生明显的衍射现象。
【答案】（1）4s，1m/s；（2）4m；（3）会发生明显的衍射现象
【详解】（1）令x=3m，x=1m，波速为v，周期为T，由题意有
1 2
，
解得
，
（2）该横波波长为
（3）由于 大于竖立芦苇杆的直径，所以当波通过竖立的芦苇杆时会发生明显的衍射
现象
