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专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能
目录
1．圆周运动的三种临界情况
2．常见的圆周运动及临界条件
3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
1．圆周运动的三种临界情况
(1)接触面滑动临界：F＝F 。
f max
(2)接触面分离临界：F ＝0。
N
(3)绳恰好绷紧：F ＝0；绳恰好断裂：F 达到绳子可承受的最大拉力。
T T
2．常见的圆周运动及临界条件
(1)水平面内的圆周运动
水平面内 动力学方程 临界情况示例
水平转盘上的物体
F＝mω2r 恰好发生滑动
f
圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2 恰好离开接触面
(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动
轻绳模型
最高点：F ＋mg＝m
T
恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0
最高点：mg±F＝m
轻杆模型 恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力
带电小球在叠加场中的圆周运动
关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动倾斜转盘上的物体
最高点：mgsin θ±F＝mω2r
f
恰好通过最低点
最低点F－mgsin θ＝mω2r
f
3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点
记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由 可得
对应C点的速度有机械能守恒
①
得
当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒
②
得
③
小结：(1).当 时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律
④
(2).当 时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律 。
⑤
(3).当 时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做
斜抛运
动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA段射重力与半径方向的夹角为 则 、
(4).当 时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返
回。上升的最高点为C永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得
⑥
(2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒在C点由牛顿运动定律： 得
⑦
(3)从A点以初速度 释放小球到达最低点
由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得
⑧
【模型演练1】（2023上·安徽·高三校联考期中）“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示，
其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞
旋。若将“旋转秋千”简化为如图乙所示的模型，人和座椅看作质点，总质量约为m=80kg，圆盘的半径为
R=2.5m，绳长 ，圆盘以恒定的角速度转动时，绳子与竖直方向的夹角为θ=45°，若圆盘到达
最高位置时离地面的高度为h=22.5m，重力加速度g取10m/s2. 在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由
滑落。忽略空气阻力的影响，求：
（1）手机滑落瞬间的速度大小；
（2）手机落地点距离中心转轴的距离。
【模型演练2】（2023上·黑龙江佳木斯·高三校联考期中）如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧
轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，
，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在
整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合
力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。（提示：可以尝试把小球
所受合力看作新的重力）求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
（2）小球到达A点时动量的大小；
【总结提升】解决圆周运动问题的基本思路→
→
【模型演练3】(2023·北京市海淀区一模)如图所示，轻杆的一端固定在通过O点的水平转轴上，另一端固
定一小球，轻杆绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点，C点为最低点，
B点与O点等高，下列说法正确的是( )
A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下
B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向
C．从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力做负功
【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意
1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物
体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。
2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是F ＝0或F ＝0。
N T
3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。
【模型演练4】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静
止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B
点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2 ，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，
脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（ ）
A．可以到达半圆轨道最高点D
B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N
C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m
D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图所示，质量为 m的小物块开始静止在一半径为 R的球壳内，它
和球心O 的连线与竖直方向的夹角为30°。现让球壳随转台绕转轴 一起转动，物块在球壳内始终
未滑动，重力加速度大小为g，则（ ）A．静止时物块受到的摩擦力大小为
B．若转台的角速度为 ，小物块不受摩擦力作用
C．若转台的角速度为 ，小物块受到的摩擦力沿球面向下
D．若转台的角速度为 ，小物块受到的摩擦力沿球面向下
2．（2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习）如图所示，长度为l的轻绳一端固定在O点，另一端系着
一个质量为m的小球，当小球在最低点时，获得一个水平向右的初速度 ，重力加速度为g，
不计空气阻力。在此后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球恰好能到达竖直面内的最高点
B．当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2mg
C．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为
D．初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4mg
3．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形
管道内做圆周运动，下列说法中正确的有（ ）
A．小球通过最高点的最小速度为
B．小球通过最高点的最小速度为零
C．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力4．（2023上·山东德州·高三统考期中）如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高
点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O
的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速
转动且小球与圆环相对静止时（ ）
A．若圆环光滑，则角速度
B．若圆环光滑，则角速度
C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等
D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于
5．（2023上·重庆梁平·高三统考阶段练习）如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨
道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆
轨道竖直固定，质量为m的小铁球视为质点在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高、最低点，
铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确
的是（ ）
A．铁球可能做匀速圆周运动
B．铁球绕轨道转动时机械能不守恒
C．铁球在A点的速度一定大于或等于
D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg
6.（多选）（2024·四川成都·校考一模）如图所示，倾角为 的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面
上有一质量为 的滑块，通过轻绳绕过光滑的滑轮与质量为 的带正电的小球（可视为质点）
相连，滑轮下方有一个光滑的小孔，轻绳与斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹
角也为 。斜面体和滑块始终静止，滑块与斜面的动摩擦因数为 ，小球与小孔之间的绳长为，重力加速度为 ，下列说法正确的是（ ）
A．斜面体所受到地面的摩擦力大小为mg
B．若增大小球的转速，绳子对小孔的作用力减小
C．若增大小球的转速，小球能达到的最大转速为
D．若此时在空间加上竖直向下的电场，要使小球的转速不变，则小球到转动中心的距离增大
7.（多选）．（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和
B， ， ，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为 ， ，中
间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为 ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从
静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动， ，以下说法正确的是（ ）
A．B的摩擦力先达到最大
B．当 时，绳子出现张力
C．当 时，A、B两物体出现相对滑动
D．当 时，A、B两物体出现相对滑动
8.（多选）（2024·湖南株洲·统考一模）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以
恒定速率v运动，已知圆轨道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k倍，重力加速
度为g， P、Q为圆轨道上同一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）
A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B．通过 P、Q两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²
D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
9．（多选）（2023上·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图
甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其 图像如图乙所示。已知X星球的半径
为 ，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是（ ）
A．X星球的第一宇宙速度
B．X星球的密度
C．X星球的质量
D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为 的卫星周期
10.（多选）（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R的光滑圆弧
轨道ABC，其圆心为O，B点在O的正上方，A、C点关于OB对称， 。可看成质点的物块
自A点以初速度 沿着轨道切线方向向上运动，并且能沿轨道运动到B点。已知重力加速度为g，
，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则物块在A点初速度可能为
B．若 ，则物块在A点初速度可能为
C．若 ，则物块在A点初速度可能为
D．若 ，则物块在A点初速度可能为
11．（多选）（2023上·湖南·高三校联考期中）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于B点，半圆
轨道的圆心为O，半径为R，C为其最高点。BD段为双轨道，D点以上只有内轨道，D点与圆心的连线与
水平方向夹角为θ，一小球从水平面上的A点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C点。不
计一切摩擦。则（ ）A．小球到达C点时速度为0
B．小球到达C点后做平抛运动落在地面上
C．小球在A点的初速度为
D．若小球到达D点时对内外轨道均无弹力，则
12．（多选）（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图，固定在竖直面内的光滑
轨
道ABC由直线段AB和圆弧段 BC 组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为 ，BC段圆心为
O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度 上轨道，能沿轨道
运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球A从到C的过程中，重力的功率先增大后减小
C．小球的初速度
D．若小球初速度 增大，小球有可能从B点脱离轨道
13.（2023上·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）生产流水线可以提高劳动效率，下图是某工厂
生产流水线的水平传输装置的俯视图，它由同一水平面的传送带和转盘组成，每间隔0.2秒在A处无初速
放一个物品到传送带上，物品（可视为质点）运动到B处后进入匀速转动的转盘表面，随其做半径
R=2.0m的圆运动（与转盘无相对滑动），到C处被取走装箱，已知A、B的距离L=6.4m，物品与传送带
间的动摩擦因数μ1=0.5，传送带的传输速度和转盘上与转轴O相距为R处的线速度均为v=2.0m/s，取
g=10m/s2 ，问：
（1）物品从A处运动到B处的时间t多大？
（2）若物品在转盘上的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则物品与转盘间的动摩擦因数μ2 至少为多大？14．（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）如图所示，质量为m的茶杯（视为质点）放在水平餐桌的
转盘上，茶杯到转轴的距离为r，转盘匀速转动，每秒钟转n周，茶杯与转盘保持相对静止。求：
（1）茶杯所受的摩擦力大小f；
（2）每转半周茶杯的动量变化量大小 。
15.（2024·四川自贡·统考一模）如图，在竖直平面内，固定有半径R1=1m和半径R2=0.3m的光滑圆形轨
道，他们轨道弧长分别占圆周的 和 ，圆轨道与水平轨道分别相切于B点和D点，且平滑连
接。某时刻，让质量为m1=0.1kg，不带电的绝缘小滑块P从A点静止释放，经圆轨道滑至B点，从B点
进入水平轨道，与静止在C点的带电小滑块Q发生弹性碰撞，滑块Q的质量为m2=0.1kg，电荷量为
q=+1C。整个过程中滑块Q的电荷量始终保持不变，滑块P、Q均可视为质点，与水平轨道BC间的动摩
擦因数均为μ=0.1，BC间距x=2m，CD段光滑。滑块Q从D点进入光滑轨道DMN时，此时加入水平向右
范围足够大的匀强电场，场强大小 。已知重力加速度g=10m/s2 。求：
（1）小滑块P刚到 滑道最低点B时对圆轨道的压力；
（2）小滑块P与小滑块Q碰撞后Q的速度大小为多少？
（3）通过计算判断当Q进入光滑绝缘半圆轨道DMN后是否会脱离轨道？若不会，则求经过N点的速度
大小；若会，试求Q离开半圆轨道时的速度大小为多少？（计算结果可用根式表示）
16．（2023上·内蒙古呼和浩特·高三呼和浩特市回民中学校考阶段练习）如图所示，质量为 的小球
通过长度为 的轻绳悬挂于固定点 ，现将其拉到某一高处 点 让 绷直 并
由静止释放，当小球摆动到 点正下方 点时，绳恰好断掉，之后小球恰好垂直落到斜面
上，已知斜面倾角为 三点在同一竖直线上，绳能承受的最大拉力为 ，不计空
气阻力，重力加速度为 求：
（1）小球到达 点时的速度 及释放点距离 点的高度h；（2）小球落到 上的位置与 的距离s
17．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）有一款弹球游戏的装置如图所示。平台离地面的高为R，一半
径为R、下端有一小缺口的竖直光滑圆轨道固定在平台上，圆轨道的最低点与平台边缘重合。地面上的弹
射装置将质量为m的小球A以一定的速度斜射出，到最高点恰好射入平台，与放在圆轨道最低点的半径
等大的小球B相撞。已知小球A与B碰撞前的速度大小 ，其中g为重力加速度。忽略空气
阻力、小球的大小以及弹射装置的高度。
（1）求弹射装置与平台边缘的水平距离s；
（2）若在B上附着橡皮泥，球和泥总质量为m，两球碰撞后共同运动，求碰撞过程中损失的机械能E；
（3）若小球B的质量为 ，A、B的碰撞为弹性碰撞，碰撞后立即撤去球A，将小缺口补上，变成完
整的圆轨道，要使球B被碰后始终沿圆道运动，求 的范围。
18．（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）粗糙水平地面 与半径 的光滑半圆轨道
平滑连接，且在同一竖直平面内， 是 的圆心。质量 的小物块在
的水平恒力 的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。在运动到半圆轨道上的
点时撤去恒力 。（小物块与水平地面间的动摩擦因数 ， ）求：
（1）若 ，小物块运动到半圆轨道上的 点时，轨道对它的支持力的大小；
（2）若小物块恰好能运动到半圆轨道上的 点，则 间的距离 多大。
19．（2023上·陕西西安·高三校考期中）如图所示，水平粗糙轨道OB与处于竖直平面内的半圆形光滑轨
道BC平滑连接，半圆的直径与地面垂直，半圆形光滑轨道半径 。一质量 的小物块（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，小物块恰好通过C点，并落回至A点，小物块与地
面间的动摩擦因数 ，重力加速度 。
（1）求A、B两点间的距离；
（2）求弹簧被压缩至A点时的弹性势能；
（3）若改变半圆形光滑轨道的半径，小物块从C点飞出后做平抛运动的水平距离也将改变，则R为多少
时，水平距离有最大值？最大值为多少？
20．（2023上·四川绵阳·高三统考阶段练习）如图所示，不可伸长、长为L的轻质细绳一端固定在P点，
另一端系一质量为m的小球。现将小球拉至细绳沿水平方向绷紧的状态后，由静止释放，小球在竖直平
面内运动，经过某位置Q点，已知P、Q连线与水平面的夹角为θ。不计空气阻力，重力加速度大小为
g。求：
（1）求小球在位置Q点时细绳对小球拉力T的大小；
（2）若小球在位置Q点时小球竖直分速度最大，求 的值。
21．（2023上·陕西商洛·高三校联考期中）一竖直平面内半径为R的光滑圆轨道如图所示，一质量为m的
小球（可视为质点）在大小恒定、方向始终指向圆心的外力的作用下，在圆轨道外侧沿着轨道做圆周运
动，当小球通过最低点B时，小球的速度大小 （g为重力加速度大小），轨道对小球的弹
力大小为2mg，
求：
（1）外力的大小；
（2）小球运动到最高点时所受的弹力大小。
22．（2023·四川德阳·统考一模）为助力2025年全运会，2023年11月25日—26日，粤港澳大湾区滑板
公开赛在广州大学城体育中心滑板场顺利举办，为大湾区市民群众带来了一场精彩纷呈的极限运动盛会。
如图所示为一质量m=50kg的运动员，从离水平地面高h=7m的斜坡上静止滑下，滑过一段水平距离后无
碰撞进入半径为R=5m、圆心角为θ=53°的圆弧轨道BC，从C点冲出轨道后，在空中做出各种优美动作后
落于水平地面的D点。已知圆弧轨道的B点切线水平，运动员在运动过程中不计一切摩擦，同时将其视
为质点，重力加速度大小为10m/s2 ，sin53°=0.8，cos53°=0.6.求：（1）运动员运动到B点时，地面对运动员的支持力大小；
（2）运动员从C点离开轨道至落地的过程，在空中运动的时间。（ ）
