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专题 05 微元法
微元法是一种处理物理问题的方法，它从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问
题的目的。微元法的核心思想是“化整为零”，即先分析“微元”，再通过“微元”分析整体。这种方法
通过将问题分解为众多微小的“元过程”，每个“元过程”所遵循的规律是相同的，然后对“元过程”进
行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
微元法的解题步骤如下：
1.明确研究对象或研究过程，并对其进行合理的分割，选择适当的微元。微元的选取应尽量简单，便
于分析处理，可以是长度、时间、质量等基本物理量。
2.对微元进行分析，找出其满足的物理规律。可以使用基本的物理公式或定理，也可以根据具体情况
建立新的物理模型。
3.对微元进行数学处理，包括代数运算、微积分等。这一步是微元法的核心，需要熟练掌握数学工具。
4.将微元的结果进行累加或累乘，得到整体的结果。这一步需要注意物理量的方向、正负号等问题。
对整体结果进行讨论和解释，明确其物理意义和适用范围。需要注意的是，微元法虽然是一种有效的
解题方法，但并不是万能的。在应用微元法时，应充分考虑其适用范围和局限性，避免出现错误或遗漏。方法一：静动力学中的微元法
【方法演练1】2022年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系有飘带的风力指示杆，教练员
根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况。若飘带可视为粗细一致的匀质长绳，其所处范围内风速水平
向右、大小恒定且不随高度改变。当飘带稳定时，飘带实际形态最接近的是（ ）
A． B． C． D．
方法二：变力做功中的微元法
【方法演练2】如图所示，某人用力F转动半径为R的磨盘，力F的大小不变，但方向始终与过力的作用
点的转盘的切线一致，则在转动一周过程中力F做的功为（ ）
A．0 B．2πFR C．FR D．-2πFR
方法三：柱状流体和离子模型中的微元法
【方法演练3】有一水龙头以700g/s的流量将水竖直注入盆中，盆放在磅秤上，如图所示，盆中原来无水，
盆的质量为500g，注至10s末时，磅秤的读数为83.3N，重力加速度取9.8m/s2，则此时注入盆中的水流的
速度为（ ）
A．10m/s B．14m/s C．16m/s D．18m/s
方法四：均匀带电体电荷微元法【方法演练4】如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，带电量为 ，在圆环的最高点用绝缘
丝线悬挂一质量为m、带电量为q的小球（大小不计），小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，
小球到圆环中心O距离为 ，已知静电力常量为k，重力加速度为g，以下判断正确的是（ ）
A．小球带负电，带电圆环在小球处产生的电场力方向水平向左
B．小球带正电，带电圆环对小球的电场力方向水平向左
C．小球带负电，带电圆环在小球处产生的场强大小
D．小球带负电，带电圆环对小球的电场力大小
方法五：电磁感应中棒类模型的微元法
【方法演练5】如图，光滑水平金属导轨间距为l，处在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导
轨左侧接有电容为C的电容器，质量为m的导体棒MN与导轨接触良好，在恒定外力F的作用下从静止开
始运动，不计所有电阻，下列关于导体棒运动过程中判断正确的是（ ）
A．导体棒在磁场中做匀加速直线运动
B．导体棒上M端的电势比N端的电势高
C．当导轨足够长时，导体棒在一定时间内的位移与力F成正比
D．导体棒中不会产生感应电流1．绝缘天花板上悬挂有带正电的带电绳，绳的质量和带电量都分布均匀，若在虚线下方加上水平向右的
匀强电场，绳静止时的形状应为（ ）
A． B． C． D．
2．从地面上以初速度 竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中球受到的空气阻力与其速率成正比，
球运动的速率随时间变化规律如图所示， 时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为 ，且落地前球
已经做匀速运动。已知重力加速度为g，则（ ）
A．球上升的时间等于下落的时间
B．球上升阶段阻力的冲量大于下落阶段阻力的冲量
C．球上升的最大高度
D．球抛出瞬间的加速度大小
3．水平桌面上，长6m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质量m=2.0kg的小球。
现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运
动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，
cos37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）A．拉力F对小球做的功为16π（J） B．拉力F对小球做的功为8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为16π（J） D．小球克服摩擦力做的功为4π（J）
4．如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动，已知圆轨道的半径
为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k倍，重力加速度为g， P、Q为圆轨道上同一竖直方
向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）
A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B．通过 P、Q两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²
D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
5．如图所示，游戏者享受着坐在喷泉上的快乐。若游戏者的质量 ，喷泉喷到人体的水柱横截
面积 ，支撑人的水柱高 ，水接触人体后做平抛运动。忽略空气阻力，水的密度
，重力加速度g取 ，则喷口处的水流速度为（ ）A． B． C． D．
6．离子发动机是利用电场加速离子形成高速离子流而产生推力的航天发动机，工作时将推进剂离子化，
使之带电，然后在静电场作用下推进剂得到加速后喷出，从而产生推力，这种发动机适用于航天器的姿态
控制、位置保持等，航天器质量 ，单个离子质量 ，带电量 ，加速电场的电压为 ，高速离子形成的
等效电流强度为 ，根据以上信息计算该发动机产生的推力为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1所示，半径为R且位置固定的细圆环上，均匀分布着总电量为 的电荷，O点为圆环的
圆心，x轴通过O点且垂直于环面，P点在x轴上，它与O点的距离为d。x轴上电势 的分布图，如图2
所示。图线上A、B、C三点的坐标已在图2中标出。静电力常量为k，距离O点无穷远处的电势为零，则
下列说法正确的是（ ）
A．圆心O点的电势为
B．圆心O点的电场强度大小为
C．x轴上P点电场强度的大小为D．电荷量为 、质量为m的点电荷从O点以初速度 沿x轴射出，此点电荷移动
距离，其速度减为零
8．如图，在竖直平面内有一水平放置，半径为R、带电荷量为 且均匀分布的固定大圆环。建立以圆心
O为坐标原点，竖直向上为x轴正方向的坐标系（未画出），圆环产生的电场在x轴上的分布如图乙所示，
图中B、C两点（未画出）对应的电场强度最大。一质量为m、带电荷量为 的小球从A点无初速度释放，
依次经过B、O、C、D点。已知静电力常量为k，重力加速度为g， ，小球所带电荷不影响电
场分布，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过D点的速度大小为
B．图乙中阴影部分的面积大小满足
C．小球在C点的加速度小于在B点的加速度
D．若B点到圆环边缘的连线与 之间的夹角为 ，则B点的电场强度大小为
9．如图所示，水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒AB向右运动的初速度为 ，
质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直轨道平面向下，导轨足够长且电阻不计．在
导体棒从开始运动至停下来的过程中，下列说法正确的是（ ）A．导体棒AB内有电流通过，方向是B→A
B．磁场对导体棒AB的作用力向右
C．通过导体棒的电荷量为
D．导体棒在导轨上运动的最大距离为
10．现有如图所示光滑金属轨道处于垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为 ，左边较宽部分两轨道
间距为 ，右边较窄部分两轨道间距为 ，轨道电阻不计。现有均匀导体棒，电阻值为 从左侧以初速度
向右运动，出发点到两侧轨道交界 处距离为 ，导体棒质量为 。求（ ）
A．导体棒运动至 处速度为
B．导体棒运动至 处速度为
C．在右侧区域运动 减速到0
D．在右侧区域运动 减速到0
