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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 11 练 对数与对数函数（精练）
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理
解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝log xa>0，且a≠1互为反函数.
a
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·天津·高考真题）化简 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．（2022·浙江·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
二、多选题
5．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽
10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题6．（2023·北京·高考真题）已知函数 ，则 ．
7．（2022·全国·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南郑州·三模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东广州·三模）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·模拟预测）已知函数 则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川凉山·三模）工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量 （单
位：mg/L）与过滤时间 小时的关系为 （ ， 均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污
染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（ ）（最终结果精确到1h，参考数据： ，
）
A．43h B．38h C．33h D．28h
6．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 图象恒过的定点在双曲线的一条渐近线上，双曲线离心率为e，则 等于（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）函数 在区间 上单调递增，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（河南省部分重点高中2023-2024学年高三下学期5月联考数学试卷（新高考））已知函数
，则（ ）
A． 的定义域为
B． 的值域为
C．
D． 的单调递增区间为
10．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知 ，则下列不等式可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·重庆·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质
数量随时间 的衰变公式 ， 表示物质的初始数量， 是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期 指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知
，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为 ， ， ，
则（ ）
τ的量纲单 τ的
物质
位 值
铀234 万年 35.58
铀235 亿年 10.2
铀238 亿年 64.75
A． B． 与 成正比例关系
C． D．
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
．
13．（23-24高三下·上海·阶段练习）函数 的定义域为 ．
14．（23-24高三下·全国·阶段练习）函数 是偶函数，则 .
15．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知 ，求 .
16．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 ．
17．（23-24高三上·宁夏石嘴山·开学考试）已知 是 上的减函数，则实数
的取值范围是 ．
四、解答题18．（2023高三·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
19．（23-24高三上·上海宝山·期中）已知函数 的定义域为A，值域为B．
(1)当 时，求集合A；
(2)当 时，求集合B．
20．（23-24高三上·广东·阶段练习）（1）求方程 的根；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
21．（23-24高三上·江苏常州·阶段练习）设函数 为偶函数．
(1)求k的值；
(2)写出函数 的单调性（不需证明），并解不等式 ．
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）函数 的图象大致为（ ）A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任
务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半
径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：
， ）（ ）
A．1.587 B．1.442
C．0.587 D．0.442（ ）
3．（2024·河北衡水·模拟预测）设 ，若函数 是偶函数，则
（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）设 ， ， ，则 、 、 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 且 在区间 上单调递减，
则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
6．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．定义域为
B． 是偶函数
C． 的图象关于点 对称
D． 在 上单调递增
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子
组成，并带有放射性，会发生 衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量 随时间 (单位:年)的衰变规
律满足 ，其中 表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据: )
A．
B．经过 年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过 年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若 年后，样本中氚元素的含量为 ，则
三、填空题
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则函数 的值
域为 ．9．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）若函数 在 上有最小值 （
、 为常数），则函数 在 上最大值为 .
四、解答题
10．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 ， 且 ．
(1)若 ，求方程 的解；
(2)若对 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ( 且 ).
(1)当 时，函数 恒有意义，求实数 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数 ，使得函数 在区间 上为减函数，且最大值为 ？如果存在，试求出 的
值；如果不存在，请说明理由．
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知 ， ，则下面正确的是（ ）
A． B．
C． D．2．（2024·云南·二模）已知函数 的定义域为 ，且 若
，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 ．
4．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数 ，则下列说法正确的是 .
①函数 的定义域为R.
② ，函数 为奇函数.
③ ，函数 在 为增函数.
④ ，函数 有极小值点.
三、解答题
5．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数 ， .
(1)若 的值域为 ，求满足条件的整数 的值；
(2)若非常数函数 是定义域为 的奇函数，且 ， ， ，求
的取值范围.
