文档内容
第一讲 观察法
在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首
要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学
生智力的第一步。
观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的
关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答
出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找
出规律。
*例 1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学
第二册，第 11 页中的一道思考题。书中除图 1-1的图形外没有文字说明。
这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过
20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正
方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条
对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字 18。实质上，这是一种
幻方，或者说是一种方阵。
解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行 10+6+□=18
会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入 2（图1-2）。
从竖右列 7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格
中应填入9（图1-3）。从正方形对角线上的 9+6+□=18（图 1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形
左上角的小方格中应填入 3（图1-4）。
从正方形对角线上的 7+6+□=18（图 1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形
左下角的小方格中应填入 5（图1-4）。
从横上行 3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格
中应填入8（图1-5）。
又从横下行 5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方
格中应填入4（图 1-5）。
图 1-5是填完数字后的幻方。
例 2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程
度）
6、16、26、____、____、____、____。
9、18、27、____、____、____、____。
80、73、66、____、____、____、____。
解：观察 6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6
大10，26比16大 10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大 10。
观察 9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，
27比18 大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大 9。
观察 80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小
7，66比 73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小 7。
这样可得到本题的答案是：
6、16、26、36、46、56、66。
9、18、27、36、45、54、63。80、73、66、59、52、45、38。
例3 将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。
（适于三年级程度）
解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中
的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数 1。再看它周围的
方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它
方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。
所以，在左下角的那个方框中应填 9，在它右邻的方框中应填 2，在2右面
的方框中填3，在 3上面的方框中填4，以后依次填 5、6、7、8。
图 1-7是填完数字的图形。
例 4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？（适于三年级程度）
解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩
下三个角。”
我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么
情况？
（1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图 1-8）。
（2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图 1-9）。
（3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，
剩下五个角（图 1-10）。例 5 甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。这个三位
数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数
大一半，这个数是多少？（适于三年级程度）
解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。
甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。
在阿拉伯数字中，只有 0、1、6、8、9这五个数字正看、倒看都表示数。
这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是 000，
也不能是111和888，只可能是666或999。
如果这个数是 666，当其中一个人看到的是 666时，另一个人看到的一定是
999，999-666=333，333 正好是666的一半。所以这个数是 666，也可以是999。
*例 6 1966、1976、1986、1996、2006 这五个数的总和是多少？（适于三年
级程度）
解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，
但因数字大，计算起来容易出错。
如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是 1966，第二个数比它大 10，第
三个数比它大20，第四个数比它大 30，第五个数比它大 40。因此，这道题可以
用下面的方法计算：
1966+1976+1986+1996+2006
=1966×5+10×（1+2+3+4）
=9830+100
=9930
这五个数还有另一个特点：中间的数是1986，第一个数1966比中间的数1986
小20，最后一个数 2006比中间的数1986 大20，1966和2006 这两个数的平均
数是1986。1976 和1996的平均数也是1986。这样，中间的数 1986是这五个数
的平均数。所以，这道题还可以用下面的方法计算：
1966+1976+1986+1996+2006
=1986×5
=9930例 7 你能从 400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16 中得到启发，
很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25
的得数吗？（适于四年级程度）
解：我们仔细观察一下算式：
400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16
不难看出，原来的被除数和除数都乘以 4，目的是将除数变成 1后面带有0
的整百数。这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外），商
不变”。
进行这种变化的好处就是当除数变成了 1后面带有0的整百数以后，就可以
很快求出商。按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。
（1）600÷25 （2）900÷25
=（600×4）÷（25×4） =（900×4）÷（25×4）
=600×4÷100 =900×4÷100
=24 =36
（3）1400÷25 （4）1800÷25
=（1400×4）÷（25×4） =（1800×4）÷（25×4）
=1400×4÷100 =1800×4÷100
=56 =72
（5）7250÷25
=（7250×4）÷（25×4）
=29000÷100
=290
*例 8 把1～1000的数字如图 1-11那样排列，再如图中那样用一个长方形
框框出六个数，这六个数的和是 87。如果用同样的方法（横着三个数，竖着两
个数）框出的六个数的和是 837，这六个数都是多少？（适于五年级程度）
解：（1）观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大 1，第三个数比
第一个数大2，第四个数比第一个数大 7，第五个数比第一个数大 8，第六个数
比第一个数大9。假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是 87，
要求出这几个数，就要先求出六个数中的第一个数：
（87-1-2-7-8-9）÷6
＝60÷6
=10
求出第一个数是 10，往下的各数也就不难求了。
因为用同样的方法框出的六个数之和是 837，这六个数之中后面的五个数也
一定分别比第一个数大 1、2、7、8、9，所以，这六个数中的第一个数是：
（837-1-2-7-8-9）÷6
＝810÷6
=135
第二个数是：135+1=136
第三个数是：135+2=137
第四个数是：135+7=142
第五个数是：135+8=143
第六个数是：135+9=144
答略。
（2）观察框内的六个数可知：①上、下两数之差都是 7；②方框中间坚行
的11和 18，分别是上横行与下横行三个数的中间数。
11=（10+11+12）÷3
18=（17+18+19）÷3所以上横行与下横行两个中间数的和是：
87÷3＝29
由此可得，和是 837的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是：
837÷3＝279
因为上、下两个数之差是 7，所以假定上面的数是 x，则下面的数是 x+7。
x+（x+7）=279
2x+7=279
2x=279-7
=272
x=272÷2
=136
x+7=136+7
=143
因为上一横行中间的数是 136，所以，第一个数是：136-1=135
第三个数是：135+2=137
因为下一横行中间的数是 143，所以，
第四个数是：143-1=142
第六个数是：142+2=144
答略。
*例 9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适于五年级程
度）
解：（1）锯去一个顶点（图1-12），因为正方体原来有 8 个顶点，锯去一
个顶点后，增加了三个顶点，所以，
8-1+3=10即锯去一个顶点后还有 10个顶点。
（2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是 8-1+2=9（个）
（图1-13）。
（3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是 8-1+1=8（个）
（图1-14）。
（4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是 8-1=7（个）
（图1-15）。
例 10 将高都是 1米，底面半径分别是 1.5米、1米和0.5 米的三个圆柱组
成一个物体（图1-16），求这个物体的表面积 S。（适于六年级程度）
解：我们知道，底面半径为 γ，高为 h的圆柱体的表面积是 2πγ2+2πγh。
本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆
柱的表面积加在一起，然后减去重叠部分的面积，才能得到这个物体的表面积，
这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法去解题。
如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到
这个物体上面的面积就像图 1-17那样。这三个圆的面积，就是底面半径是 1.5
米的那个圆柱的底面积。所以，这个物体的表面积，就等于一个大圆柱的表面积
加上中、小圆柱的侧面积。
（2π×1.52+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）=（4.5π+3π）+2π+π
=7.5π+3π
=10.5π
=10.5×3.14
=32.97（平方米）
答略。
*例 11 如图 1-18所示，某铸件的横截面是扇形，半径是 15 厘米，圆心角
是72°，铸件长 20厘米。求它的表面积和体积。（适于六年级程度）
解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全面性，不
可漏掉某一侧面。图 1-18表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉，因
而在解题时要仔细。
求表面积的方法 1：
＝3.14×45×2+600+120×3.14
=3.14×90+3.14×120+600
=3.14×（90+120）+600
=659.4+600=1259.4（平方厘米）
求表面积的方法 2：
=3.14×210+600
=659.4+600
=1259.4（平方厘米）
铸件的体积：
=3.14×225×4
=3.14×900
=2826（立方厘米）
答略。
第二讲 尝试法
解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规律，从而获得解
题方法，叫做尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”。
一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明
确，尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，
从而减少尝试的次数，提高解题的效率。例 1 把数字 3、4、6、7填在图2-1 的空格里，使图中横行、坚列三个数相
加都等于14。（适于一年级程度）
解：七八岁的儿童，观察、总结、发现规律的能力薄弱，做这种填空练习，
一般都感到困难。可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。中间一
格的数确定后，下面一格的数便可由竖列三个数之和等于 14来确定，剩下的两
个数自然应填入左右两格了。
中间一格应填什么数呢？
先看一个日常生活中的例子。如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第
六期的第23页，我们一定要从合订本大约一半的地方打开。要是翻到第五期，
就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接
近第23 页的地方翻，……
这样反复试探几次，步步逼近，最后就能找到这一页。
这就是在用“尝试法”解决问题。
本题的试数范围是 3、4、6、7四个数，可由小至大，或由大至小依次填在
中间的格中，按“横行、竖列三个数相加都得 14”的要求来逐个尝试。
如果中间的格中填 3，则竖列下面的一格应填多少呢？因为 14-5-3=6，所以
竖列下面的一格中应填 6（图2-2）。
下面就要把剩下的 4、7，分别填入横行左右的两个格中（图 2-3）。把横行
格中的4、3、7三个数加起来，得 14，合乎题目要求。
如果中间一格填 4、或填6、7都不合乎题目的要求。所以本题的答案是图 2-3或图2-4。
例 2 把1、2、3……11各数填在图 2-5的方格里，使每一横行、每一竖行
的数相加都等于18。（教科书第四册第 57页的思考题，适于二年级程度）
解：图 2-5中有 11个格，正好每一格填写一个数。
图 2-6中写有 A、B、C的三个格中的三个数，既要参加横向的运算，又要参
加纵向的运算，就是说这三个数都要被用两次。因此，确定 A、B、C 这三个数是
解此题的关键。
因为 1～11之中中间的三个数是 5、6、7，所以，我们以 A、B、C分别为 5、
6、7开始尝试（图 2-7）。
以 6为中心尝试，看 6上、下两个格中应填什么数。
因为 18-6=12，所以6上、下两格中数字的和应是 12。
考虑 6已是1～11之中中间的数，那么 6上、下两格中的数应是 1～11之中
两头的数。再考虑 6上面的数还要与5相加，6下面的数还要与 7相加，5比7
小，题中要求是三个数相加都等于 18，所以在 6上面的格中填 11，在6下面的
格中填1（图2-8）。6+11+1=18
看图 2-8。6 上面的数是11，11左邻的数是 5，18-11-5=2，所以5左邻的
数是2（图 2-9）。
再看图 2-8。6下面的数是1，1右邻的数是 7，18-1-7=10，所以7右邻的
数是10（图2-9）。
现在 1～11之中只剩下 3、4、8、9这四个数，图 2-9中也只剩下四个空格。
在5的上、下，在 7的上、下都应填什么数呢？
因为 18-5=13，所以5上、下两格中数字的和应是 13，3、4、8、9这四个
数中，只有4+9=13，所以在5的上、下两格中应填 9与4（图 2-10）。
看图 2-10。因为 6左邻的数是4，18-4-6=8，所以6右邻的数是 8。
因为 18-7-8=3，并且1-11的数中，只剩下 3没有填上，所以在 7下面的格
中应填上3。
图 2-10是填完数字的图形。
*例 3 在9只规格相同的手镯中混有 1只较重的假手镯。在一架没有砝码的
天平上，最多只能称两次，你能把假手镯找出来吗？（适于三年级程度）
解：先把 9只手镯分成 A、B、C三组，每组 3只。
①把 A、B两组放在天平左右两边的秤盘上，如果平衡，则假的 1只在C组
里；若不平衡，则哪组较重，假的就在哪组里。
②再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。如果平衡，余
下的1只是假的；若不平衡，较重的那只是假的。
*例 4 在下面的 15个8之间的任何位置上，添上+、-、×、÷符号，使得
下面的算式成立。（适于三年级程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986
解：先找一个接近 1986的数，如：8888÷8+888=1999。
1999 比1986 大13。往下要用剩下的 7个8经过怎样的运算得出一个等于
13的算式呢？88÷8=11，11与13接近，只差 2。往下就要看用剩下的 4个8经过怎样的运算等于 2。8÷8+8÷8=2。
把上面的思路组合在一起，得到下面的算式：
8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986
例 5 三个连续自然数的积是 120，求这三个数。（适于四年级程度）
解：假设这三个数是 2、3、4，则：
2×3×4=24
24＜120，这三个数不是 2、3、4；
假设这三个数是 3、4、5，则：
3×4×5＝60
60＜120，这三个数不是 3、4、5；
假设这三个数是 4、5、6，则：
4×5×6=120
4、5、6的积正好是 120，这三个数是 4、5、6。例 6 在下面式子里的适当
位置上加上括号，使它们的得数分别是 47、75、23、35。（适于四年级程度）
（1）7×9+12÷3-2＝47
（2）7×9+12÷3-2=75
（3）7×9+12÷3-2=23
（4）7×9+12÷3-2=35
解：本题按原式的计算顺序是先做第二级运算，再做第一级运算，即先做乘
除法而后做加减法，结果是：
7×9+12÷3-2
=63+4-2
=65“加上括号”的目的在于改变原来的计算顺序。由于此题加中括号还是加小
括号均未限制，因此解本题的关键在于加写括号的位置。可以从加写一个小括号
想起，然后再考虑加写中括号。如：
（1）7×7=49，再减2就是47。这里的第一个数 7是原算式中的 7，要减去
的2是原算式等号前的数，所以下面应考虑能否把 9+12÷3通过加括号后改成得
7的算式。经过加括号，（9+12）÷3=7，因此：
7×[（9+12）÷3]-2=47
因为一个数乘以两个数的商，可以用这个数乘以被除数再除以除数，所以本
题也可以写成：
7×（9+12）÷3-2=47
（2）7×11=77，再减 2就得75。这里的 7是原算式中的第一个数，要减去
的2是等号前面的数。下面要看 9+12÷3 能不能改写成得11的算式。经尝试
9+12÷3不能改写成得 11的算式，所以不能沿用上一道题的解法。7×9+12得
75，这里的7、9、12就是原式中的前三个数，所以只要把 3-2用小括号括起来，
使7×9+12 之和除以 1，问题就可解决。由此得到：
（7×9+12）÷（3-2）=75
因为（3-2）的差是 1，所以根据“两个数的和除以一个数，可以先把两个
加数分别除以这个数，然后把两个商相加”这一运算规则，上面的算式又可以写
成：
7×9+12÷（3-2）=75
在上面的这个算式中，本应在 7×9 的后面写上“÷（3-2）”，因为任何数
除以1等于这个数本身，为了适应题目的要求，不在 7×9的后写出“÷（3-2）”。
（3）25-2=23，这个算式中，只有 2是原算式等号前的数，只要把 7×9+12÷3
改写成得25的算式，问题就可解决。又因为 7×9+12=75，75÷3=25，所以只要
把7×9+12 用小括号括起来，就得到题中所求了。
（7×9+12）÷3-2=23
（4）7×5=35， 7是原算式中的第一个数，原算式中的 9+12÷3-2能否改
写成得5的算式呢？因为 7-2=5，要是9+12÷3 能改写成得7的算式就好了。经
改写为（9+12）÷3=7，因此问题得到解决。题中要求的算式是：
7×[（9+12）÷3-2]=35*例 7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天数比李平少。王明每天剪 20只
羊的羊毛，李平每天剪 12只羊的羊毛。他俩共剪了 112只羊的羊毛，两人平均
每天剪14只羊的羊毛。李平剪了几天羊毛？（适于四年级程度）
解：王明、李平合在一起，按平均每天剪 14只羊的羊毛计算，一共剪的天
数是：
112÷14=8（天）
因为王明每天剪 20只，李平每天剪 12只，一共剪了112只，两人合起来共
剪了8天，并且李平剪的天数多，所以假定李平剪了 5天。则：
12×5+20×（8-5）=120（只）
120＞112，李平不是剪了 5天，而是剪的天数多于 5天。
假定李平剪了 6天，则：
12×6+20×（8-6）=112（只）
所以按李平剪 6天计算，正满足题中条件。
答：李平剪了 6天。
*例 8 一名学生读一本书，用一天读 80页的速度，需要5 天读完，用一天
读90页的速度，需要 4天读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数
相等，每天应该读多少页？（适于五年级程度）
解：解这道题的关键是要求出一本书的总页数。因为每天读的页数乘以读的
天数等于一本书的总页数，又因为每天读的页数与读完此书的天数相等，所以知
道了总页数就可以解题了。
根据“用一天读80页的速度，需要 5天读完”，是否能够认为总页数就是
80×5=400（页）呢？不能。
因为 5天不一定每天都读 80页，所以只能理解为：每天读 80页，读了4
天还有余下的，留到第五天才读完。这也就是说，这本书超过了 80×4=320（页），
最多不会超过：
90×4=360（页）
根据以上分析，可知这本书的页数在 321～360页之间。知道总页数在这个
范围之内，往下就不难想到什么数自身相乘，积在 321～360之间。
因为 17×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321～360之间，所以
只有每天读 18页才符合题意，18天看完，全书 324页。答：每天应该读 18页。
*例 9 一个数是 5个2，3个 3，2个 5，1个7的连乘积。这个数有许多约
数是两位数。这些两位数的约数中，最大的是几？（适于六年级程度）
解：两位数按从大到小的顺序排列为：
99、98、97、96……11、10
以上两位数分解后，它的质因数只能是 2、3、5、7，并且在它的质因数分
解中2的个数不超过 5，3的个数不超过 3，5的个数不超过2，7的个数不超过
1。
经尝试，99不符合要求，因为它有质因数 11；98的分解式中有两个 7，也
不符合要求；质数 97当然更不会符合要求。而，
96=2×2×2×2×2×3
所以在这些两位数的约数中，最大的是 96。
答略。
*例 10 从一个油罐里要称出 6千克油来，但现在只有两个桶，一个能容 4
千克，另一个能容 9千克。求怎样才能称出这 6千克油？（适于六年级程度）
解：这道题单靠计算不行，我们尝试一些做法，看能不能把问题解决。
已知大桶可装 9千克油，要称出6千克油，先把能容 9千克油的桶倒满，再
设法倒出9千克油中的 3千克，为达到这一目的，我们应使小桶中正好有 1千克
油。
怎样才能使小桶里装 1千克油呢？
（1）把能容 9千克油的大桶倒满油。
（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩 5 千克油，小桶里
有4千克油。
（3）把小桶中的 4千克油倒回油罐。
（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩下 1千克油。
（5）把小桶中现存的 4千克油倒回油罐。此时油罐外，只有大桶里有 1千
克油。
（6）把大桶中的 1千克油倒入小桶。（7）往大桶倒满油。
（8）从大桶里往有 1千克油的小桶里倒油，倒满。
（9）大桶里剩下 6千克油。
第三讲 列举法
解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列
举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的
方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要
画图。
例 1 一本书共 100页，在排页码时要用多少个数字是 6的铅字？（适于三
年级程度）
解：把个位是 6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是 6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。
十位是 6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共 10个。
10+10=20（个）
答：在排页码时要用 20个数字是6 的铅字。
*例 2 从A市到 B市有3条路，从B 市到C市有两条路。从 A市经过 B市到
C市有几种走法？（适于三年级程度）
解：作图 3-1，然后把每一种走法一一列举出来。
第一种走法：A ① B ④ C
第二种走法：A ① B ⑤ C
第三种走法：A ② B ④ C
第四种走法：A ② B ⑤ C第五种走法：A ③ B ④ C
第六种走法：A ③ B ⑤ C
答：从 A市经过 B市到C市共有6种走法。*例 3 9○13○7=100
14○2○5=□
把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用
一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形
中的数是几？（适于四年级程度）
解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要
是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能
使问题得到简捷的解答。
先看第一个式子：9○13○7=100
如果在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于 100 的分数；如果
在两个圆圈内仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于 100，所以在两个
圆圈内不能同时填“÷”号，也不能同时填“+”、“-”号。
要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容
易使等式右端得出 100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别
填入“+”和“×”号，就会凑出100了。
9+13×7=100
再看第二个式子：14○2○5=□
上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和“-”号了。如果
在第一个圆圈内填上“÷”号， 14÷2得到整数，所以：
14÷2-5=2
即长方形中的数是 2。
*例 4 印刷工人在排印一本书的页码时共用 1890个数码，这本书有多
少页？（适于四年级程度）
解：（1）数码一共有 10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所
以页码是一位数的页有 9页，用数码9个。
（2）页码是两位数的从第 10页到第 99页。因为99-9=90，所以，页码是
两位数的页有90 页，用数码：2×90=180（个）
（3）还剩下的数码：
1890-9-180=1701（个）
（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，
而剩下的1701个数码除以 3时，商不足 600，即商小于900。所以页码最高是 3
位数，不必考虑是 4位数了。往下要看1701 个数码可以排多少页。
1701÷3=567（页）
（5）这本书的页数：
9+90+567=666（页）
答略。
*例 5 用一根 80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是 5的倍数。
哪一种方法围成的长方形面积最大？（适于四年级程度）
解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，
然后加以比较。因为长方形的周长是 80 厘米，所以长与宽的和是 40厘米。列表
3-1：
表 3-1
表 3-1中，长、宽的数字都是 5的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长
方形面积最大，第四种围法围出的是正方形，所以第四种围法应舍去。
前三种围法的长方形面积
分别是：
35×5=175（平方厘米）
30×10=300（平方厘米）
25×15=375（平方厘米）答：当长方形的长是 25厘米，宽是 15厘米时，长方形的面积最大。
例 6 如图3-2，有三张卡片，每一张上写有一个数字 1、2、3，从中抽出一
张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位
数。请将其中的质数都写出来。（适于五年级程度）
解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和 3是质数；
任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，
其中 13、23和 31 是质数；
三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都是
1+2+3=6，即它们都是 3的倍数，所以都不是质数。
综上所说，所能得到的质数是 2、3、13、23、31，共五个。
*例 7 在一条笔直的公路上，每隔 10 千米建有一个粮站。一号粮站存有 10
吨粮食，2号粮站存有 20吨粮食，3号粮站存有 30吨粮食，4号粮站是空的，5
号粮站存有40吨粮食。现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨 1千
米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少（图 3-3）？（适
于五年级程度）
解：看图 3-3，可以断定粮食不能集中在 1号和2号粮站。
下面将运到 3 号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。
（1）如果运到 3号粮站，所用运费是：
0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）
=100+100+400
=600（元）
（2）如果运到 4号粮站，所用运费是：
0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10=150+200+150+200
=700（元）
（3）如果运到 5号粮站，所用费用是：
0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）
=200+300+300
=800（元）
800＞700＞600
答：集中到第三号粮站所用运费最少。
*例 8 小明有 10个1分硬币，5个2 分硬币，2个5分硬币。要拿出 1角钱
买1支铅笔，问可以有几种拿法？用算式表达出来。（适于五年级程度）
解：（1）只拿出一种硬币的方法：
①全拿 1分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）
②全拿 2分的：
2+2+2+2+2=1（角）
③全拿 5分的：
5+5=1（角）
只拿出一种硬币，有 3种方法。
（2）只拿两种硬币的方法：
①拿 8枚1分的，1枚2分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）
②拿 6枚1分的，2枚2分的：
1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）
③拿 4枚1分的，3枚2分的：1+1+1+1+2+2+2=1（角）
④拿 2枚1分的，4枚2分的：
1+1+2+2+2+2=1（角）
⑤拿 5枚1分的，1枚5分的：
1+1+1+1+1+5=1（角）
只拿出两种硬币，有 5种方法。
（3）拿三种硬币的方法：
①拿 3枚1分，1枚2分，1枚5分的：
1+1+1+2+5=1（角）
②拿 1枚1分，2枚2分，1枚5分的：
1+2+2+5=1（角）
拿出三种硬币，有 2种方法。
共有：
3+5+2=10（种）
答：共有 10 种拿法。
*例 9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。
到现在为止，甲赛了 4盘，乙赛了3盘，丙赛了 2盘，丁赛了1 盘。问小强赛了
几盘？（适于五年级程度）
解：作表 3-2。
表 3-2甲已经赛了 4 盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、
丁、小强相交的那些格里都打上√；乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又
与丙和小强各赛一盘，在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√；丙赛了两盘，
就是丙与甲、乙各赛一盘，打上√；丁与甲赛的那一盘也打上√。
丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。
根据条件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未
与丙、丁赛，共赛 2盘。
答：小强赛了 2盘。
*例 10 商店出售饼干，现存 10箱5 千克重的，4箱2千克重的，8箱1千
克重的，一位顾客要买 9千克饼干，为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种
发货方式？（适于五年级程度）
解：作表 3-3 列举发货方式。
表 3-3
答：不开箱有 7种发货方式。
*例 11 运输队有 30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停在院子里。第一次
陆续开走的全部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。
到第几次时汽车全部开走？最后开走的是第几号车？（适于五年级程度）
解：按题意画出表 3-4列举各次哪些车开走。
表 3-4从表 3-4中看得出，第三次开走后剩下的是第 8号、16号、24号车。按题
意，第四次8号、24号车开走。到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第 16
号车。
答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第 16号车。
*例 12 在甲、乙两个仓库存放大米，甲仓存 90袋，乙仓存 50袋，甲仓每
次运出12袋，乙仓每次运出 4袋。运出几次后，两仓库剩下大米的袋数相等？
（适于五年级程度）
解：根据题意列表 3-5。
表 3-5
从表 3-5可以看出，原来甲乙两仓库所存大米相差 40袋；第一次运走后，
两仓剩下的大米相差 78-46=32（袋）；第二次运走后，两仓剩下的大米相差
66-42=24（袋）；第三次运走后，两仓剩下的大米相差 54-38=16（袋）；第四
次运走后，两仓剩下的大米相差 42-34=8（袋）；第五次运走后，两仓剩下的大
米袋数相等。
40-32=8
32-24=824-16=8
……
从这里可以看出，每运走一次，两仓库剩下大米袋数的相差数就减少 8袋。
由此可以看出，两仓库原存大米袋数的差，除以每次运出的袋数差就得出运几次
后两个仓库剩下大米的袋数相等。
（90-50）÷（12-4）=5（次）
答：运出 5次后两个仓库剩下大米的袋数相等。
*例 13 有三组小朋友共 72人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数
并入第二组；第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从
第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组。这时，三组的人数一样多。问原
来各组有多少个小朋友？（适于五年级程度）
解：三个小组共72人，第三次并入后三个小组人数相等，都是72÷3=24（人）。
在这以前，即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是
24÷2=12（人），第三组应是（24+12）=36（人），第二组人数仍为 24人；在
第二次第二组未把与第三组同样多的人数并入第三组之前，第三组应为
36÷2=18（人），第二组应为（24+18）=42（人），第一组人数仍是 12人；在
第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前，第二组的人数应为
42÷2=21（人），第一组人数应为 12+21=33（人），第三组应为 18人。
这 33人、21 人、18人分别为第一、二、三组原有的人数，列表 3-6。
表 3-6
答：第一、二、三组原有小朋友分别是 33人、21人、 18 人
第四讲 综合法从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，
一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。
以综合法解应用题时，先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一
个问题，然后将这个解出的问题作为一个新的已知条件，与其它已知条件配合，
再解出一个问题……一直到解出应用题所求解的未知数量。
运用综合法解应用题时，应明确通过两个已知条件可以解决什么问题，然后
才能从已知逐步推到未知，使问题得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较
少，数量关系比较简单的应用题。
例 1 甲、乙两个土建工程队共同挖一条长 300米的水渠，4 天完成任务。甲
队每天挖40米，乙队每天挖多少米？（适于三年级程度）
解：根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长 300米的水渠”和“4天完
成任务”这两个已知条件，可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米（图 4-1）。
300÷4=75（米）
根据“甲、乙两队每天共挖水渠 75米”和“甲队每天挖40 米”这两个条件，
可以求出乙队每天挖多少米（图 4-1）。
75-40=35（米）
综合算式：
300÷4-40
=75-40
=35（米）
答：乙队每天挖 35米。
例 2 两个工人排一本 39500 字的书稿。甲每小时排 3500字，乙每小时排 3
000字，两人合排 5小时后，还有多少字没有排？（适于四年级程度）解：根据甲每小时排 3500字，乙每小时排 3000字，可求出两人每小时排多
少字（图4-2）。
3500+3000=6500（字）
根据两个人每小时排 6500字，两人合排 5小时，可求出两人 5小时已排多
少字（图4-2）。
6500×5=32500（字）
根据书稿是 39500 字，两人已排32500 字，可求出还有多少字没有排（图 4
-2）。
39500-32500=7000（字）
综合算式：
39500-（3500+3000）×5
=39500-6500×5
=39500-32500
=7000（字）
答略。
例 3 客车、货车同时由甲、乙两地出发，相向而行。客车每小时行 60千米，
货车每小时行40 千米，5小时后客车和货车相遇。求甲、乙两地之间的路程。
（适于四年级程度）
解：根据“客车每小时行 60千米”和“货车每小时行40千米”这两个条件，
可求出两车一小时共行多少千米（图 4-3）。60+40=100（千米）
根据“两车一小时共行 100千米”和两车 5小时后相遇，便可求出甲、乙两
地间的路程是多少千米（图 4-3）。
100×5=500（千米）
综合算式：
（60+40）×5
=100×5
=500（千米）
答：甲、乙两地间的路程是 500千米。
例 4 一个服装厂计划做 660 套衣服，已经做了 5天，平均每天做 75套。剩
下的要3天做完，问平均每天要做多少套？（适于四年级程度）
解：根据“已经做了 5天，平均每天做 75套”这两个条件可求出已做了多
少套（图4-4）。
75×5=375（套）
根据“计划做 660套”和“已经做了 375套”这两个条件，可以求出还剩下
多少套（图4-4）。660-375=285（套）
再根据“剩下 285套”和“剩下的要 3天做完”，便可求出平均每天要做多
少套（图4-4）。
285÷3=95（套）
综合算式：
（660-75×5）÷3
=285÷3
=95（套）
答略。
例 5 某装配车间，甲班有 20 人，平均每人每天可做 72个零件；乙班有 24
人，平均每人每天可做 68个零件。如果装一台机器需要 12个零件，那么甲、乙
两班每天生产的零件可以装多少台机器？（适于四年级程度）
解：根据“甲班有 20人，平均每人每天可做 72个零件”这两个条件可求出
甲班一天生产多少个零件（图 4-5）。
72×20=1440（个）
根据“乙班有 24人，平均每天每人可做 68个零件”这两个条件可求出乙班
一天生产多少个零件（图 4-5）。
68×24=1632（个）
根据甲、乙两个班每天分别生产 1440 个、1632 个零件，可以求出甲、乙两
个班一天共生产多少个零件（图 4-5）。
1440+1632=3072（个）再根据两个班一天共做零件 3072个和装一台机器需要 12个零件这两条件，
可求出两个班一天生产的零件可以装多少台机器。
3072÷12=256（台）
综合算式：
（72×20+68×24）÷12
=（1440+1632）÷12
=3072÷12
=256（台）
答略。
例 6 一个服装厂计划加工 2480 套服装，每天加工 100套，工作 20天后，
每天多加工20套。提高工作效率后，还要加工多少天才能完成任务？（适于四
年级程度）
解：根据每天加工 100套，加工20 天，可求出已经加工多少套（图 4-6）。
100×20=2000（套）
根据计划加工 2480套和加工了2000 套，可求出还要加工多少套（图 4-6）。
2480-2000=480（套）
根据原来每天加工 100套，现在每天多加工 20套，可求出现在每天加工多
少套（图4-6）。
100+20=120（套）
根据还要加工 480套，现在每天加工 120套，可求出还要加工多少天（图 4
-6）。48O÷120=4（天）
综合算式：
（2480-100×20）÷（100+20）
=480÷120
=4（天）
答略。
刚开始学习以综合法解应用题时，一定要画思路图，当对综合法的解题方法
已经很熟悉时，就可以不再画思路图，而直接解答应用题了。
解：此题先后出现了两个标准量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。
=49.5（千克）
答略。解：此题先后出现两个标准量：“甲块地产高粱的重量”和“乙块地产高粱
的重量”。
将题中已知条件的顺序变更一下：丙块地产高粱 450千克，丙块地比乙
条件，可求出乙块地产高粱是：
（这里乙块地的产量是标准量 1）
（这里甲块地的产量是标准量 1）
综合算式：
=546（千克）
答略。
第五讲 分析法从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得
到解决的解题方法叫分析法。
用分析法解应用题时，如果解题所需要的两个条件，（或其中的一个条件）
是未知的，就要分别求解找出这两个（或一个）条件，一直到所需要的条件都是
已知的为止。
分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。
例 1 玩具厂计划每天生产 200 件玩具，已经生产了 6天，共生产 1260件。
问平均每天超过计划多少件？（适于三年级程度）
解：这道题是求平均每天超过计划多少件。要求平均每天超过计划多少件，
必须具备两个条件（图 5-1）：①实际每天生产多少件；②计划每天生产多少件。
计划每天生产 200件是已知条件。实际每天生产多少件，题中没有直接告诉，
需要求出来。
要求实际每天生产多少件，必须具备两个条件（图 5-1）：①一共生产了多
少件；②已经生产了多少天。这两个条件都是已知的：①一共生产了 1260件；
②已经生产了 6天。
分析到这里，问题就得到解决了。
此题分步列式计算就是：
（1）实际每天生产多少件？
1260÷6=210（件）
（2）平均每天超过计划多少件？
210-200=10（件）
综合算式：
1260÷6-200=210-200
=10（件）例 2 四月上旬，甲车间制造了 257个机器零件，乙车间制造的机
器零件是甲车间的 2倍。四月上旬两个车间共制造多少个机器零件？（适于三年
级程度）
解：要求两个车间共制造多少个机器零件，必须具备两个条件（图 5-2）：
①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造多少个零件。已知甲车间制造 257个零
件，乙车间制造多少个零件未知。
下面需要把“乙车间制造多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题
所需要的两个条件。
这两个条件（图 5-2）是：①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造的零件
是甲车间的几倍。这两个条件都是已知的：①甲车间制造257个，乙车间制造的
零件数是甲车间的 2倍。
分析到此，问题就得到解决了。
此题分步列式计算就是：
（1）乙车间制造零件多少个？
257×2=514（个）
（2）两个车间共制造零件多少个？
257+514=771（个）
综合算式：
257+257×2
=257+514
=771（个）答略。
例 3 某车间要生产 180个机器零件，已经工作了 3天，平均每天生产 20个。
剩下的如果每天生产 30个，还需要几天才能完成？（适于四年级程度）
解：要求还需要几天才能完成，必须具备两个条件（图 5-3）：①还剩下多
少个零件；②每天生产多少个零件。在这两个条件中，每天生产 30个零件是已
知条件，还剩多少个零件未知。
先把“还剩多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个
条件。
要算出还剩下多少个零件，必须具备的两个条件（图 5-3）是：①要生产多
少个零件；②已经生产了多少个零件。要生产 180个零件是已知条件，已经生产
多少个零件未知。
然后把“已经生产多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要
的两个条件。
要算出已生产多少个零件，必须知道的两个条件（图 5-3）是：①每天生产
多少个零件；②生产了几天。这两个条件题中都已经给出：每天生产 20个零件，
生产了3天。
分析到此，问题就得到解决。
上面的思考过程，分步列式计算就是：
（1）已经生产了多少个零件？
20×3=60（个）
（2）剩下多少个零件？
180-60=120（个）
（3）还要几天才能完成？120÷30=4（天）
综合算式：
（180-20×3）÷30
=（180-60）÷30
=120÷30
=4（天）
答略。
例 4 王明买了 24本笔记本和 6支铅笔，共花了 9.60元钱。已知每支铅笔
0.08元，每本笔记本多少钱？（适于五年级程度）
解：要算出每本笔记本多少钱，必须具备两个条件（图 5-4）：①买笔记本
用了多少钱；②买了多少本笔记本。从题中已知买了 24本笔记本，买笔记本用
的钱数未知。
先把买笔记本用的钱数作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条
件。
要算出买笔记本用多少钱，必须知道的两个条件（图 5-4）是：①买笔记本、
铅笔共用多少钱；②买铅笔用多少钱。已知买笔记本、铅笔共用 9.60元，买铅
笔用去多少钱未知。
然后找出“买铅笔用多少钱”所需要的两个条件。
要算出买铅笔用多少钱，必须知道的两个条件（图 5-4）是：①买多少支铅
笔；②每支铅笔多少钱。这两个条件在题中都是已知的：买 6支铅笔，每支 0.08
元。
分析到此，问题就得到解决。此题分步列式计算就是：
（1）买铅笔用去多少元？
0.08×6=0.48（元）
（2）买笔记本用去多少元？
9.60-0.48=9.12（元）
（3）每本笔记本多少元？
9.12÷24=0.38（元）
列综合算式计算：
（9.60-0.08×6）÷24
＝（9.60-0.48）÷24
=9.12÷24
=0.38（元）
答：每本笔记本 0.38元。
例 5 仓库里共有化肥 2520袋，两辆车同时往外运，共运 30 次，每次甲车
运51袋。每次甲车比乙车多运多少袋？（适于五年级程度）
解：求每次甲车比乙车多运多少袋，必须具备两个条件（图 5-5）：①甲车
每次运多少袋；②乙车每次运多少袋。甲车每次运 51袋已知，乙车每次运多少
袋未知。
先找出解答“乙车每次运多少袋”所需要的两个条件。要算出乙车每次运多少袋，必须具备两个条件（图 5-5）：①两车一次共运
多少袋；②甲车一次运多少袋。甲车一次运 51袋已知；两车一次共运多少袋是
未知条件。
然后把“两车一次共运多少袋”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要
的两个条件。
要算出两车一次共运多少袋，必须具备两个条件（图 5-5）：①一共有多少
袋化肥；②两车共运多少次。这两个条件都是已知的：共有 2520 袋化肥，两车
共运30 次。
分析到此，问题就得到解决。
此题分步列式计算就是：
①两车一次共运多少袋？
2520÷30=84（袋）
②乙车每次运多少袋？
84-51=33（袋）
③每次甲车比乙车多运多少袋？
51-33=18（袋）
综合算式：
51-（2520÷30-51）
=51-33
=18（袋）
答略。
*例 6 把627.5 千克梨装在纸箱中，先装 7箱，每箱装梨20 千克，其余的
梨每箱装37.5千克。这些梨共装多少箱？（适于五年级程度）
解：要算出共装多少箱，必须具备两个条件（图 5-6）：①先装多少箱。②
后装多少箱。先装 7箱已知，后装多少箱未知。
先把“后装多少箱”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条
件。要算出后装多少箱，必须具备两个条件（图 5-6）：①后来一共要装多少千
克；②后来每箱装多少千克。后来每箱装 37.5千克已知，后来一共装多少千克
未知。
要把“后来一共要装多少千克”作为一个问题提出，并找出回答这一问题所
需要的两个条件。要求后来一共要装多少千克，必须具备两个条件（图 5-6）：
①梨的总重量；②先装了多少千克。梨的总重量是 627.5千克已知的；先装了多
少千克是未知的，要把它作为一个问题提出来，并找出回答这个问题所需要的两
个条件。
这两个条件（图 5-6）是：①先装的每箱装梨多少千克；②装了多少箱。这
两个条件都是已知的：先装的每箱装梨20 千克，装了7箱。
分析到此，问题就得到解决了。
此题分步列式计算就是：
①先装多少千克？
20×7=140（千克）
②后来共装多少千克？
627.5-140=487.5（千克）
③后来装了多少箱？
487.5÷37.5=13（箱）
④共装多少箱？
7+13=20（箱）
综合算式：7+（627.5-20×7）÷37.5
=7+（627.5-140）÷37.5
=7+487.5÷37.5
=7+13
=20（箱）
答略。
注意：开始学习用分析法解应用题时，一定要画思路图，当对分析法的解题
方法已经很熟悉时，可不再画思路图，而直接分析解答应用题了。
节约了 15％。问六月份比四月份少用煤多少吨？（适于六年级程度）
解：此题中出现两个标准量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。
四月份的用煤量和六月份的用煤量都与五月份的用煤量有直接联系。
要算出六月份比四月份少用煤多少吨，必须知道六月份、四月份各用煤多少
吨。
要算出六月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②六
月份比五月份节约多少。这两个条件都是已知的。六月份用煤的吨数是：
3200×（1-15％）=2720（吨）
要算出四月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②五
月份比四月份节约多少。这两个条件都是已知的。四月份用煤的吨数是：
知道了六月份、四月份用煤的吨数，就可以求出六月份比四月份少用煤多少
吨。
3600-2720=880（吨）
综合算式：=3600-2720
=880（吨）
答略。
答略。
第六讲 分析-综合法
综合法和分析法是解应用题时常用的两种基本方法。在解比较复杂的应用题时，
由于单纯用综合法或分析法时，思维会出现障碍，所以要把综合法和分析法结合
起来使用。我们把分析法和综合法结合起来解应用题的方法叫做分析-综合法。
*例 1 运输队要把 600吨化肥运到外地，计划每天运 22吨。运了 15 天以后，
剩下的化肥要在10 天内运完。这样每天要比原计划多运多少吨？（适于五年级
程度）
解：解此题要运用分析法和综合法去思考。
先用综合法思考。根据“原计划每天运 22吨”和“运了15 天”这两个条件，
可以求出已经运出的吨数（图 6-1）。
根据要“运600 吨”和已经运出的吨数，可以求出剩下化肥的吨数（图 6-1）。
接下去要用哪两个数量求出什么数量呢？不好思考了。所以用综合法分析到
这儿，接着要用分析法思考了。
要求“每天比原计划多运多少吨”，必须知道“后来每天运多少吨”和“原
计划每天运多少吨”。“原计划每天运22 吨”是已知条件，“后来每天运多少
吨”不知道，这是此题的中间问题（图 6-2）。要知道“后来每天运多少吨”，必须知道“剩下多少吨”和“要在多少天内
运完”。这两个条件中，第二个条件是已知的，“要在10天内运完”，“剩下
多少吨”是未知的中间问题。
我们在前面用综合法分析这道题时，已经得到求剩下吨数的方法了。
所以本题分析到这里就可以解答了。
此题分步列式解答时，要从图 6-1的上面往下看，接着从图 6-2的下面往上
看。
（1）已经运多少吨？
22×15=330（吨）
（2）剩下多少吨？
600-330=270（吨）
（3）后来每天运多少吨？
270÷10=27 吨）
（4）每天比原计划多运多少吨？
27-22=5（吨）
综合算式：
（600-22×15）÷10-22
=（600-330）÷10-22
=270÷10-22
=27-22
=5（吨）答略。
*例2 某鞋厂原计划30天做皮鞋13500双，实际上每天比原计划多做50双。
问这个鞋厂提前几天完成原计划的任务？（适于五年级程度）
解：解答此题一般要运用分析法和综合法去思考。
先用分析法思考。要算出提前几天完成计划，必须知道“原计划天数”和
“实际做鞋数”（图 6-3）。“原计划天数”是30
天，已经知道；“实际做鞋天数”不知道，是中间问题。
要知道“实际做鞋天数”必须知道“皮鞋总数”和“实际每天做的皮鞋
数”（图 6-3）。
到此可以往下思考，要算出实际每天做的皮鞋数，必须具备哪两个条件？但
有的人觉得这样思考时不顺当，思路会“卡壳”，这时就要换用综合法进行思考。
由“原计划30 天做皮鞋13500双”，可求出“原计划每天做的皮鞋数”（图
6-4）。
由“原计划每天做的皮鞋数”和“实际每天比原计划多做 50双”，可用加
法算出“实际每天做的皮鞋数”（图6-4）。
分析到此，这道题的问题就得到解决了。此题用分步列式的方法计算时，得
从图6-4的上面往下面推想，然后从图 6-3的后面（下面）往前推想。
（1）看图6-4的思路图。通过把原计划做的 13500双除以计划做的 30天，
可以得到原计划每天做多少双皮鞋。13500÷30=450（双）
（2）在计划每天做的 450双皮鞋上，加上实际每天多做的 50双，得到实际
每天做的皮鞋数。
450+50=500（双）
（3）接着看图 6-3的思路图。从思路图的下面往上推想，皮鞋总数除以实
际每天做的皮鞋数 500双，得到实际制做的天数。
13500÷500=27（天）
（4）接着往上看，从原计划做的 30 天，减去实际做的天数 27天，就得到
提前完成计划的天数。
30-27=3（天）
把上面分步计算的算式综合为一个算式是：
30-13500÷（13500÷30+50）
=30-13500÷500
=30-27
=3（天）
答略。
*例 3 甲、乙两队同时开凿一条 2160 米长的隧道，甲队从一端起，每天开凿
20米，乙队从另一端起，每天比甲队多开凿 5米。两队在离中点多远的地方会
合？（适于五年级程度）
解：看图6-5。要求两队在离中点多远的地方会合，需要知道隧道的中点及
会合点离一端的距离（分析法）。
每天 20米每天比甲队多 5米
隧道全长 2160 米，中点到一端的距离可以通过 2160÷2求得（综合法）。要求出会合点（在甲队的一侧）距离甲队开凿点的距离，实际就是求甲队开
凿的米数。要求甲队开凿的米数，就要知道甲队（或乙队）每天开凿的米数（已
知）和开凿的天数（分析法）。甲队每天开凿 20米已知，开凿的天数不知道。
要求出开凿的天数，需要知道隧道的全长（已知）和两队每天共开凿多少米
（分析法）。
已知甲队每天开凿 20米，乙队每天比甲队多开凿 5米，这样可以求出乙队
每天开凿多少米，从而求出甲、乙两队一天共开凿多少米（综合法）。
分析到此，这道题的问题就得到解决了。
此题用分步列式的方法计算时，还得从上面分析过程的后面往前推理。
（1）乙队每天开凿多少米？
20+5=25（米）
（2）甲乙两队一天共开凿多少米？
20+25=45（米）
（3）甲乙两队共同开凿这个隧道用多少天？
2160÷45=48（天）
（4）甲队开凿了多少米？（会合点与甲队开凿点的距离）
20×48=960（米）
（5）甲队到中点的距离是多少米？
2160÷2=1080（米）
（6）会合点与中点间的距离是多少米？
1080-960=120（米）
综合算式：
2160÷2-20×[2160÷（20+20+5）]
=1080-20×48
=1080-960=120（米）
答略。
*例 4 某中队三个小队的少先队员采集树种。第一小队 8名队员共采集 11.6
千克，第二小队6 名队员比第一小队少采集 2.8千克，第三小队 10名
克？（适于五年级程度）
解：如果先用综合法分析，虽然已知数量间存在着一定的关系，但不容易选
择出与所求数量有直接联系的数量关系。而用分析法分析，能立即找到与所求数
量有直接联系的数量关系，找到解题所需要的数量后，再用综合法分析。
要求出三个小队平均每名队员采集多少千克，必需知道“三个小队共采集树
种多少千克”和“全体队员的人数”（图 6-6）。
要求“三个小队共采集多少千克”，必须知道一、二、三这三个小队各采集
多少千克；要求“全体队员人数”必须知道各小队的人数（图 6-6）。
三个小队的人数都已经知道，第一小队采集 11.6千克也已知，只是第二、
三小队各采集多少还不知道。
往下可用综合法得出二、三小队各采集多少千克（图 6-6）。由“第一小队共采集 11.6千克”和“第二小队比第一小队少采集 2.8千
克”，可求出第二小队采集多少千克；由“第二小队采集的重量”和“第
往下可由三个小队各采集多少千克之和，求出三个小队共采集多少千克；也
可以由各小队的人数之和求出“全体队员的人数”。
到此本题就可以解出来了。
本题分步列式解答的方法是：
（1）第二小队采集多少千克？
11.6-2.8=8.8（千克）
（2）第三小队采集多少千克？
（3）三个小队共采集多少千克？
11.6+8.8+13.2=33.6（千克）
（4）三个小队有多少队员？
8+6+10=24（人）
（5）平均每人采集多少千克？
33.6÷24=1.4（千克）
综合算式：
=33.6÷24
=1.4（千克）答略。
*例 5 甲、乙两城之间的路程是 210 千米，慢车以每小时40 千米的速度由甲
城开往乙城，行车 15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过 2小时两车相遇。这
时快车开到甲城还需要多少小时？（适于六年级程度）
解：运用分析法和综合法，分析此题的思路是：
先用分析法来思考。要求出“快车开到甲城还需要多少小时”，必须知道两
个条件（图6-7）：①相遇地点到甲城的距离；②快车每小时行多少千米。这两
个条件题目中都没给出，应把它们分别作为中间问题。
接着思考，要求相遇地点到甲城的路程必须具备哪两个条件？要求快车每小
时行多少千米必须具备哪两个条件？……如果思路不“卡壳”，就一直思考下
去，直到解答出所求问题。如果思路“卡壳”了，就改用综合法思考。另画一个
思路图（图6-8）。
图 6-8中慢车已行的路程，就是快车从相遇点到甲城的路程。这段路程是：
快车已行的路程是：
210-90=120（千米）
快车每小时所行的路程是：120÷2=60（千米）
到此，我们可以把慢车走过的路程除以快车的速度，得到快车开到甲城还需
要的时间是：
90÷60=1.5（小时）
综合算式：
答略。
第七讲 归一法
先求出单位数量（如单价、工效、单位面积的产量等），再以单位数量为标准，
计算出所求数量的解题方法叫做归一法。
归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反
归一法。
用归一法一般是解答整数、小数应用题，但也可以解答分数应用题。有些应
用题用其它方法解答比较麻烦，不易懂，用归一法解则简单，容易懂。
（一）一次直进归一法
通过一步运算求出单位数量之后，再求出若干个单位数量和的解题方法叫做
一次直进归一法。
1.解整数、小数应用题
例 1 某零件加工小组，5天加工零件 1500个。照这样计算，14天加工零件
多少个？（适于三年级程度）
解：（1）一天加工零件多少个？
1500÷5=300（个）
（2）14天加工零件多少个？
300×14=4200（个）
综合算式：1500÷5×14=4200（个）
答略。
此类型题是适宜用一次直进归一法解的基本题型，下面的题都在此类型题的
基础上有所扩展。
例 2 用一台大型抽水机浇地，5小时浇了 15公顷。照这样计算，再浇 3小
时，这台抽水机比原来多浇多少公顷地？（适于三年级程度）
解：（1）一小时浇地多少公顷？
15÷5=3（公顷）
（2）3小时浇地多少公顷？
3×3=9（公顷）
综合算式：
15÷5×3=9（公顷）
答略。例 3 一辆汽车 3小时行驶了 123.6 千米。照这样的速度，再行驶 4
小时，这辆汽车一共行驶了多少千米？（适于五年级程度）
解：（1）一小时行驶多少千米？
123.6÷3=41.2（千米）
（2）前后共行驶多少小时？
3+4=7（小时）
（3）一共行驶多少千米？
41.2×7=288.4（千米）
综合算式：
123.6÷3×（3+4）
=41.2×7
=288.4（千米）
答略。2.解分数应用题
经行驶了 4份，还剩下全路程的 7-4=3（份）。还可知，行驶 4份用的时间
是8小时。
（1）行驶1 份用的时间是：
8÷4=2（小时）
（2）行驶剩下的 3份用的时间是：
2×3=6（小时）
答略。
数量是单位“1”。把六月份的伐木数量平均分成 6份，五月份的伐木数量
就相当于六月份伐木数量的 5份。
（1）一份木材是多少立方米？
240÷5=48（立方米）
（2）因为六月份比五月份多伐一份，所以六月份的伐木数量是：
240+48=288（立方米）
答略。
兔，
其余的是灰兔。已知黑兔比白兔多21只。求灰免有多少只？（适于六年级程度）12 份，白兔占 5份，则灰兔占20-12-5=3（份）。
（1）黑兔比白兔多 21只，这21只所对应的份数是：
12-5=7（份）
（2）每一份的只数是：
21÷7=3（只）
（3）灰兔的只数是：
3×3=9（只）
答略。
程度）
运进一些红糖后，把两种糖的总重量平均分成 10份，红糖占 3份，白糖占
7份。把上面的数量用表 7-1表示。
表 7-1（1）白糖的重量是：
63O÷5×4=504（千克）
（2）运来红糖后两种糖的总重量是：
504÷7×10=720（千克）
（3）运来的红糖是：
720-630=90（千克）
答略。
（二）一次逆转归一法
通过一步计算求出单位数量，再求总数量里包含多少个单位数量的解题方
法，叫做一次逆转归一法。
例 1 一列火车 6小时行驶390 千米。照这样的速度，要行驶 1300 千米的路
程，需要多少小时？（适于三年级程度）
解：（1）一小时行驶多少千米？
390÷6=65（千米）
（2）行驶1300 千米需要多少小时？
1300÷65=20（小时）
综合算式：
1300÷（390÷6）
=1300÷65
=20（小时）
答略。
此题是一次逆转归一的基本题，下面的题都在此题的基础上有所扩展。
例 2 某人骑自行车从甲地到乙地，2 小时行了 26千米，剩下的路程是 52千
米。按照这样的速度，此人从甲地到乙地要行几小时？（适于四年级程度）
解：（1）一小时行多少千米？26÷2=13（千米）
（2）行驶52 千米用几小时？
52÷13=4（小时）
（3）从甲地到乙地要行几小时？
2+4=6（小时）
综合算式：
2+52÷（26÷2）
=2+52÷13
=2+4
=6（小时）
答略。
例 3 学校买来 135米塑料绳，先剪下 9米做了5根跳绳。照这样计算，剩
下的塑料绳可以做多少根跳绳？（适于五年级程度）
解：（1）一根跳绳有多少米？
9÷5=1.8（米）
（2）剩下的塑料绳有多少米？
135-9=126（米）
（3）剩下的绳子可以做多少根跳绳？
126÷1.8=70（根）
综合算式：
（135-9）÷（9÷5）
=126÷1.8
=70（根）
答略。（三）二次直进归一法
通过两步计算求出单位数量，再求若干个单位数量和的解题方法叫做二次直
进归一法。
*例 1 4辆同样的卡车7次运货物 224 吨。照这样计算，9 辆同样的卡车10
次可以运货物多少吨？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中的条件，排列成表 7-2。
（1）4辆卡车一次运货多少吨？
224÷7=32（吨）
（2）一辆卡车一次运货多少吨？
32÷4=8（吨）
（3）9辆卡车一次运货多少吨？
8×9=72（吨）
表 7-2
（4）9辆卡车 10次运货多少吨？
72×10=720（吨）
综合算式：
224÷7÷4×9×10
=8×9×10
=720（吨）
答略。
此题是二次直进归一的基本题，下面的题在此基础上都有所变化。*例 2 某水库上游有农田需抽水浇地，抽水站七月上旬用一台柴油机从
农田用水量要增加，这个抽水站准备同时用 4台柴油机抽水。这个抽水站最
少还应准备多少千克柴油？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表 7-3。
分成 5份中的 4份，所以5份中的1 份是：
200÷4=50（千克）
表 7-3
（2）一台柴油机一天用油多少千克？
50÷10=5（千克）
（3）4台柴油机 21天用油多少千克？
5×4×21=420（千克）
（4）还应准备柴油多少千克？
420-200=220（千克）
综合算式：
200÷4÷10×4×21-200
=5×4×21-200
=420-200
=220（千克）答略。
*例 3 冬天，有 12头牛3天吃干草 720千克。牵走3头牛后，有 720千克
干草要给剩下的牛吃 4天，干草是不是够用？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表 7-4。
（1）1头牛 1天吃干草多少千克？
720÷12÷3=20（千克）
（2）牵走3 头牛后，剩下几头牛？
12-3=9（头）
表 7-4
（3）9头牛 4天吃干草多少千克？
20×9×4=720（千克）
综合算式：
720÷12÷3×（12-3）×4
=20×9×4
=720（千克）
答：720千克干草正好够用。
*例 4 用手工剪羊毛，第一天 4人6 小时剪羊毛120千克。第二天增加了同
样能干的3个人，还是工作 6小时。问两天一共剪羊毛多少千克？（适于五年级
程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表 7-5。
（1）1人1小时剪羊毛多少千克？
120÷4÷6=5（千克）（2）增加3 个人后共有多少个人？
4+3=7（人）
表 7-5
（3）7个人 6小时剪多少千克羊毛？
5×7×6=210（千克）
（4）两天一共剪多少千克羊毛？
120+210=330（千克）
综合算式：
120+120÷4÷6×（4+3）×6
=120+5×7×6
=120+210
=330（千克）
答略。
（四）二次逆转归一法
通过两步计算，求出单位数量之后，再求出总数量里包含多少个单位数量的
解题方法，叫做二次逆转归一法。
*例 1 3台拖拉机 8小时耕地 4.8公顷。照这样计算，9公顷地，用 5台拖
拉机耕，需要多少小时？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表 7-6。
（1）1台拖拉机 1小时耕地多少公顷？
4.8÷3÷8=0.2（公顷）（2）5台拖拉机耕 9公顷土地用多少小时？
表 7-6
9÷5÷0.2=9（小时）
综合算式：
9÷5÷（4.8÷3÷8）
=9÷5÷0.2
=9（小时）
答略。
此题是适于用二次逆转归一法解的基本题，下面的题在此基础上都有所扩
展。
*例 2 7名工人 10小时生产机器零件 420个。在缺席2名工人的情况下，要
生产330 个机器零件，要用多少小时？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列出表 7-7。
（1）1名工人 1小时生产多少个机器零件？
表 7-7
420÷7÷10=6（个）
（2）缺席2 名工人，剩下多少名工人？
7-2=5（名）（3）5名工人生产 330个机器零件要用多少小时？
330÷5÷6=11（小时）
综合算式：
330÷（7-2）÷（420÷7÷10）
=330÷5÷6
=11（小时）
答略。
*例 3 有900 立方米的土，需要25人 12天挖完。如果增加 5人，可以提前
几天挖完？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表 7-8。
设提前 x天挖完，则实际完成的天数是（12-x）天。
表 7-8
（1）原来1 人1天挖土多少立方米？
900÷12÷25=3（立方米）
（2）增加5 人后共有多少人？
25+5=30（人）
（3）30人多少天挖完？
900÷30÷3=10（天）
（4）可以提前几天挖完？
12-10=2（天）
综合算式：12-9000÷（25+5）÷（900÷25÷12）
=12-900÷30÷3
=12-10
=2（天）
答略。
第八讲 归总法
已知单位数量和单位数量的个数，先求出总数量，再按另一个单位数量或单位数
量的个数求未知数量的解题方法叫做归总法。
解答这类问题的基本方法是：
总数量=单位数量×单位数量的个数；
另一单位数量（或个数）=总数量÷单位数量的个数（或单位数量）。
例 1 李明从学校步行回家，每小时走 4千米，5小时到家。如果他每小时走
5千米，几小时到家？（适于三年级程度）
解：要求每小时走 5千米，几小时到家，要先求出学校到家有多远，再求几
小时到家。因此，
4×5÷5
=20÷5
=4（小时）
答：如果他每小时走 5千米，4小时到家。
例 2 王明看一本故事书，计划每天看 15页，20天看完。如果要在12天看
完，平均每天要看多少页？（适于三年级程度）
解：要求 12 天看完，平均每天看多少页，必须先求出这本故事书一共有多
少页，再求平均每天看多少页。因此，
15×20÷12
=300÷12=25（页）
答：如果要在 12天看完，平均每天要看 25页。例 3 某工厂制造一批手扶
拖拉机，原计划每天制造 6台，30天完成。实际上只用了一半的时间就完成了
任务。实际每天制造多少台？（适于四年级程度）
解：原来时间的一半就是 30天的一半。
6×30÷（30÷2）
=180÷15
=12（台）
答：实际每天制造 12台。
例 4 永丰化肥厂要生产一批化肥，计划每天生产 45吨，24天可以完成任务。
由于改进生产技术，提高了工作效率，平均每天比原计划多生产 15吨。实际几
天完成任务？（适于四年级程度）
解：计划生产的这批化肥是：
45×24=1080（吨）
改进生产技术后每天生产：
45+15=60（吨）
实际完成任务的天数是：
1080÷60=18（天）
综合算式：
45×24÷（45+15）
=45×24÷60
=1080÷60
=18（天）
答：实际 18 天完成任务。
例 5 有一批化肥，用每辆载重6吨的汽车 4辆运送25次可以运完。如果改
用每辆载重8吨的汽车 5辆，几次能够运完这批化肥？（适于五年级程度）解：这批化肥的重量是：
6×4×25=600（吨）
5辆载重 8吨的汽车一次运：
8×5=40（吨）
能够运完的次数是：
600÷40=15（次）
综合算式：
6×4×25÷（8×5）
=600÷40
=15（次）
答：15次能够运完。
例 6 一项工程，20人每天工作8小时，30天可以完成。现在改用 40人，
每天工作10小时，现在几天可以完成？（适于五年级程度）
解：完成这项工程共用工时：
8×20×30=4800（个）
现在每天完成工时：
10×40=400（个）
可以完成的天数是：
4800÷400=12（天）
综合算式：
8×20×30÷（10×40）
=4800÷400
=12（天）
答略。例 7 印一本书，原计划印 270 页，每页排 24行，每行排30 个字。因为要
节约用纸，现在改为每页排 30行，每行排 36个字。这本书要印多少页？（适于
五年级程度）
解：原计划要印的总字数：
30×24×270=194400（个）
改排后每页排字：
36×30=1080（个）
这本书要印的页数是：
194400÷1080=180（页）
综合算式：
30×24×270÷（36×30）
=194400÷1080
=180（页）
答：这本书要印 180页。
*例 8 服装厂加工一批童装，原计划每天加工 210套，7天完成。实际
任务？（适于六年级程度）
解：实际上每天加工童装：
这批童装的总套数是：
210×7=1470（套）
实际需要天数是：1470÷294=5（天）
综合算式：
=1470÷294
=5（天）
答 略。
例 9 工厂有一批煤，原计划每天烧 6吨，可以烧 70天，技术革新后，每
天节约1.8吨。照这样计算，这批煤可以多烧多少天？（适于五年级程度）
解：这批煤的总吨数是：
6×70=420（吨）
现在每天烧的吨数是：
6-1.8=4.2（吨）
现在能烧的天数是：
420÷4.2=100（天）
可多烧的天数是：
100-70=30（天）
综合算式：
6×70÷（6-1.8）-70
=420÷4.2-70
=100-70
=30（天）
答略。例 10 挖一条水渠，原计划每天挖土 135立方米，20天挖完。实际上每天
多挖了45立方米。这样可以提前几天完成任务？（适于五年级程度）
解：挖土的总任务是：
135×20=2700（立方米）
实际上每天的挖土量是：
135+45=180（立方米）
实际上只需要的天数是：
2700÷180=15（天）
提前完成任务的天数是：
20-15=5（天）
综合算式：
20-[135×20÷（135+45）]
=20-[2700÷180]
=20-15
=5（天）
答略。
*例 11 一堆煤，原计划每天运 75吨，20天可以运完。运了 2天后，
程度）
解：这批煤总吨数是：
75×20=1500（吨）
运 2天后，剩下的吨数是：
1500-75×2=1350（吨）现在每天运的吨数是：
还需要运的天数是：
1350÷100=13.5（天）
提前完成任务的天数是：
20-2-13.5=4.5（天）
综合算式：
=18-1350÷100
=18-13.5
=4.5（天）
答略。
第九讲 分解法
修理工人要掌握一台机器的构造和性能，有一个好办法：把机器拆开，对一个一
个零件进行研究，然后再装配起来。经过这样拆拆装装，就能够熟悉机器的构造
和性能了，这是日常生活中常见的现象。我们可以从中发现“由整体到部分，由
部分到整体”的认识事物的规律。分析应用题也要用到这种方法。
一道多步复杂的应用题是由几道一步的基本应用题组成的。在分析应用题
时，可把一道复杂的应用题先拆成几道基本应用题，从中找到解题的线索。我们
把这种解题的思考方法称为分解法。
例 1 工厂运来一批煤，原计划每天烧 5吨，可以烧 12天。现在改进烧煤技
术后，每天比原计划节约 1吨。现在这批煤可以烧几天？（适于四年级程度）
解：这道题看上去很复杂，可以把它拆成三道一步计算的应用题。（1）工厂运来一批煤，原计划每天烧 5吨，可以烧12天，这批煤有多少吨？
（60吨）
（2）原计划每天烧 5吨，现在改进烧煤技术后，每天比原计划节约 1吨。
现在每天烧煤多少吨？（4吨）
（3）工厂运来一批煤重 60吨，现在改进烧煤技术每天烧 4 吨，现在这批煤
可以烧多少天？
以上三道一步计算的应用题拼起来就是例 1。经过这样拆拆拼拼，这道复杂
应用题的来龙去脉就弄清楚了。根据这三道一步应用题的解题线索，问题便可得
到解决。
分步列式计算：
（1）这批煤的重量是：
5×12=60（吨）
（2）现在每天烧煤的吨数是：
5-1=4（吨）
（3）现在这批煤可以烧的天数是：
60÷4=15（天）
综合算式：
5×12÷（5-1）
=60÷4
=15（天）
答略。
例 2 胜利小学要挖一个长方形的沙坑，长 4米、宽 2米、深 0.45米，按
每人每小时挖土0.2 方计算，应组织多少人才能用 1小时完成任务？（适于五年
级程度）
解：这道题是由两道小题组成，一道是已知长、宽、深，求长方体沙坑的体
积，一道是已知总共要挖的土方和每人每小时可挖的土方，求人数。把它分解成
两道题来算，就不难了。
要挖土方：4×2×0.45=3.6（方）
所需人数：
3.6÷0.2=18（人）
综合算式：
4×2×0.45÷0.2
=3.6÷0.2
=18（人）
答：需要组织 18人。
*例 3 东山村播种 1600亩小麦，原计划用 5台播种机，每台播种机每天播
种20亩。实际播种时调来 8台播种机。这样比原计划提前几天完成？（适于五
年级程度）
解：把此题拆成四道基本应用题。
（1）原计划每天每台播种 20亩，5 台播种机一天播种多少亩？
20×5=100（亩）
（2）每天播种 100亩，播种1600亩要多少天？
1600÷100=16（天）
（3）每天每台播种 20亩，8台播种机播种 1600亩需要多少天？
1600÷（20×8）=10（天）
（4）比原计划提前几天完成？
16-10=6（天）
综合算式：
1600÷（20×5）-16000÷（20×8）
=1600÷100-1600÷160
=16-10=6（天）
答略。
*例 4 一辆汽车从甲城经过乙城到达丙城，共用了 36小时。已知甲城到乙
城的路程是640千米，汽车以每小时 32 千米的速度行驶。其余路程汽车以每小
时27千米的速度行驶。求甲城到丙城的路程是多少千米？（适于五年级程度）
解：可以把这道题分解成四道基本应用题。
（1）甲城到乙城的路程是 640千米，这辆汽车以每小时 32 千米的速度行
驶，要行驶多少小时？
640÷32=20（小时）
（2）从甲城经过乙城到达丙城行驶 36小时，从甲城到乙城行驶 20小时，
乙城到丙城需要行驶多少小时？
36-20=16（小时）
（3）从乙城到丙城以每小时 27千米的速度行驶，用了 16 小时，所行的路
程是多少千米？
27×16=432（千米）
（4）甲城到乙城的路程是 640千米，乙城到丙城的路程是 432千米，甲城
到丙城的路程有多少千米？
640+432=1072（千米）
综合算式：
640+27×（36-640÷32）
=640+27×16
=640+432
=1072（千米）
答略。
*例 5 16人 3天平整土地 67.2 亩。如果每人每天工作效率提高 25％，20
人平整280亩土地需要多少天？（适于六年级程度）
解：（1）16 人3天平整土地67.2亩，每人每天平均平整土地多少亩？67.2÷16+3=1.4（亩）
（2）每人每天平整土地 1.4亩，工作效率提高 25％后，每人每天平整土地
多少亩？
1.4×（1+25％）=1.75（亩）
（3）工作效率提高后，每人每天平整土地 1.75亩，20人每天平整土地多
少亩？
1.75×20=35（亩）
（4）20人每天平整土地 35亩，280 亩土地需要平整多少天？
280÷35=8（天）
综合算式：
280÷[67.2÷16÷3×（1+25％）×20）]
=280÷[1.4×1.25×20]
=280÷35
=8（天）
答略。
10 天完成。每天必须比以前多加工多少个零件？（适于六年级程度）
解：把这道题拆成下面的五道基本应用题：
（2） 9天加工了 450个零件，平均每天加工多少个？
450÷9=50（个）
（3）要加工 1200个零件，已经加工了 450个，还剩多少个？1200-450=750（个）
（4）要在 10 天内加工剩下的 750 个零件，每天平均加工多少个？
750÷10=75（个）
（5）现在平均每天加工 75个，以前平均每天加工 50个，现在比以前平均
每天多加工多少个？
75-50=25（个）
综合算式：
=750÷10-450÷9
=75-50
=25（个）
答：现在比以前平均每天多加工 25 个。
*例 7 快、中、慢三辆车从同一地点出发，沿着同一条公路追赶前面的一个
骑车人。这三辆车分别用 6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车
每小时行驶24千米，中车每小时行驶 20 千米。慢车每小时行驶多少千米？（适
于六年级程度）
解：已知慢车 12分钟追上骑车人，先求出三辆车出发时与骑车人的距离和
骑车人的速度，便可按追及问题来解题。因此，这个问题分解成下面的六道比较
简单的应用题来解（图 9-1）。
（1）已知快车、中车每小时分别行驶 24千米、20千米，它们 6分钟各行
驶多少千米？
快车行驶：（2）快车在距出发点 2.4千米的B 处追上了骑车人，中车已行驶到了距出
发点2千米的 A处，这时中车与骑车人相距多少千米？
2.4-2=0.4（千米）
（3）中车10 分钟追上骑车人，中车到 A处已走了6分钟，还需几分钟才能
追上骑车人？
10-6=4（分钟）
（4）中车与骑车人相距 0.4千米，中车每小时行驶 20千米，同时出发，中
车4分钟追上骑车人，骑车人每小时行多少千米？
因为在追及问题中，速度差×时间=距离，设骑车人的速度是每小时行 v千
米，则得：
（5）快车与骑车人同时出发，快车与骑车人每小时分别行 24千米、14千
米，骑车人在前，快车在后，6分钟快车追上骑车人，出发时快车与骑车人相距
多少千米？
（6）慢车与骑车人相距 1千米，它们同时出发，向同一个方向行驶，骑车
人每小时行14千米，慢车 12分钟追上骑车人，慢车每小时行驶多少千米？
因为在追及问题中，速度差×时间=距离，设慢车每小时行 v千米，则得，
1=5+14
=19（千米）
（此题列综合算式很复杂，这里不再列出。）
答略。
第十讲 分组法
在日常生活和生产中，有些事物的数量是按照一定的规律，一组一组有秩序地出
现的。只要能看出哪些数量是同一组的，并计算出总数量中包含有多少个这样的
同一组的数量，就便于计算出这一组数量中的每一种物品各是多少个，从而解答
出应用题。这种解答应用题的方法叫做分组法。
例 1 某汽车制造厂，计划在本月装配 98辆汽车。当第一车间每装配 5辆吉
普车时，第二车间则装配 2辆大卡车。求本月该厂装配吉普车、大卡车各多少辆？
（适于五年级程度）
解：因为当第一车间每装配5辆吉普车时，第二车间装配 2 辆大卡车，所以
在这同一时间内两个车间一共装配汽车：
5+2=7（辆）
把 7辆汽车看作一组，看 98辆汽车要分成多少组：
98÷7=14（组）
因为在一组中有 5辆吉普车、2辆大卡车，所以本月装配吉普车：
5×14=70（辆）
本月装配大卡车：
2×14=28（辆）
答略。例 2 80名小学生正好做了 80 朵小红花，每名女学生做 3朵小红花，每 3
名男学生做1朵小红花。求这 80名小学生中有男、女生各多少名？（适于五年
级程度）
解：因为每名女学生做 3朵小红花，每 3名男学生做1朵小红花，所以每名
女学生和每3名男学生共做小红花：
3+1=4（朵）
把 4朵小红花看作一组，看 80朵小红花中有多少组：
80÷4=20（组）
因为做每一组花时有 1名女生、3名男生。所以女生人数是：
1×20=20（名）
男生人数是：
3×20=60（名）
答略。例 3 用 1000个黑珠、白珠串成一串。珠子的排列顺序是：一个白
珠、一个黑珠、两个白珠。问这一串珠子中有多少个白珠？最后一个珠子是黑色
的还是白色的？（适于五年级程度）
解：这一串珠子的排列顺序是：一白、一黑、两白，不断出现，也就是“三
个白珠”与“一个黑珠”为一组。
这 1000个珠子可以分为多少组：
1000÷（1+3）=250（组）
因为每一组中有 3个白珠，所以白珠的总数是：
3×250=750（个）
因为每一组最后的那个珠子是白色的，所以第 250组最后的一个，也就是第
1000个珠子，一定是白色的。
答略。
例 4 院子里有一群鸡和一群兔子，共有 100条腿。已知兔子比鸡多一只，
求有多少只鸡，多少只兔子？（适于五年级程度）解：因为兔子比鸡多一只，所以去掉这一只兔子后，鸡兔共有腿：
100-4=96（条）
因为去掉一只兔后，鸡兔的只数一样多，所以可以把一只鸡和一只兔作为一
组，每一组鸡、兔共有腿：
4+2=6（条）
一共有多少组鸡、兔，也就是有多少只鸡；
96÷6=16（组）
一共有兔：
16+1=17（只）
答：有 16只鸡，17只兔。
例 5 有一摞扑克牌共60张，都是按红桃 2张、梅花1张、方片 3张的次序
摞起来的。求这一摞扑克有红桃、梅花、方片各多少张？（适于五年级程度）
解：因为都是按红桃 2 张、梅花1张、方片 3 张的次序摞起的，所以可把 2
张红桃、1张梅花、3张方片看作是一组，这一组共有扑克牌：
2+1+3=6（张）
60 张扑克可分为：
60÷6=10（组）
60 张牌中有红桃：
2×10=20（张）
有梅花：
1×10=10（张）
有方片：
3×10=30（张）
答略。*例 6 某工厂召开职工代表大会，把会议室的桌凳组合起来使用。3个人坐
一条凳子，2个人用 1张桌子，132名代表正好坐满。求有桌子多少张，凳子多
少条？（适于五年级程度）
解：因为 3个人坐一条凳子，2个人用一张桌子，所以 2条凳子、3张桌子
组合为一组比较适当，这一组的人数是（图 10-1）：
3+3=6（人）
或 2×3=6（人）
132 名代表可分成多少组：
132÷6=22（组）
因为每一组中有 3张桌子，所以22 组共有桌子：
3×22=66（张）
因为每一组中有 2条凳子，所以22 组共有凳子：
2×22=44（条）
答略。
*例 7 蜘蛛、蝴蝶共有腿 506条，蜘蛛的只数是蝴蝶只数的 2倍。已知蜘蛛
有8条腿，蝴蝶有 6条腿。求蜘蛛、蝴蝶各有多少只？（适于五年级程度）
解：一只蜘蛛有 8条腿，2只蜘蛛有腿：
8×2=16（条）
把 2只蜘蛛和 1只蝴蝶作为一组，它们共有腿：
16+6=22（条）
506 条腿可分成的组数：
506÷22=23（组）因为每一组中有 2只蜘蛛，所以23 组中有蜘蛛：
2×23=46（只）
因为每一组中有一只蝴蝶，所以 23 组中有蝴蝶23只。
答略。
*例 8 三年级的小朋友用 90 张红、绿、黄三色的彩色纸做纸花。每 2朵花
用红纸3张，每3 朵花用绿纸2张，每6 朵花用黄纸5张。最后，三色彩纸都用
完。求90张纸中有红、绿、黄纸各多少张？（适于六年级程度）解：一朵花用
红纸：
一朵花用绿纸：
一朵花用黄纸：
一朵花共用红、绿、黄三色纸：
90 张纸可做多少朵花：
90÷3=30（朵）
30 朵花用红纸：
30 朵花用绿纸：30 朵花用黄纸：
答：90张纸中有红纸 45张，绿纸20 张，黄纸25张。
