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专题 10 比例法
一、匀变速直线运动中的比例法
1. 等分时间：
(1)1T末、2T末、3T末、……瞬时速度的比为：v∶v∶v∶…∶v＝1：2：3：……：n；
1 2 3 n
(2)1T内、2T内、3T内……位移的比为：x∶x∶x∶…∶x＝12：22：32：……：n2；
1 2 3 n
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移的比为：x∶x ∶x ∶…∶x＝1:3:5：……：（2n-1）。
Ⅰ Ⅱ Ⅲ n
注意：可以利用v-t图像，利用三角形面积比和相似比的关系加以推导
2. 等分位移：
(1) 通过1x末、2x末、3x末……的瞬时速度之比为： ；
(2) 通过1x、2x、3x……所用时间之比为： ；
(3) 通过第一个1x、第二个x、第三个x……所用时间之比为： 。注意：可以利用v-t图像，利用三角形面积比和相似比的关系加以推导
3. 速度可以减为零的匀减速直线运动，可以逆向利用初速度为零匀加速直线运动的比例关系。
二、相同加速的连接体问题中合外力和质量比例关系
常见模型 条件 交叉内力公式
整体： （F 为m 所受到的外力）
1 1
模型一 隔离m：m 和m 之间绳的拉力T（内力）大小：
2 2 1
地面光滑，m
1
和m 具有共同
2
加速度
（注：分子是m 与作用在m 上的外力F 交叉相
2 1 1
乘）
整体： （F 为m 所受到的外力）
2 2
隔离m：m 和m 之间绳的拉力T（内力）大小：
模型二 1 2 1
地面光滑，m
1
和m 具有共同
2
加速度
（注：分子是m 与作用在m 上的外力F 交叉相
1 2 2
乘）
整体：
（F 为m 所受到的外力，F 为m 所受到的外力）
2 2 1 1
模型三
隔离m：m 和m 之间绳的拉力T（内力）大小：
1 2 1
地面光滑，m
1
和m 具有共同
2
加速度
（注：分子是m 与作用在m 上的外力F 交叉相乘
2 1 1
“加上”m 与作用在m 上的外力F 交叉相乘）
1 2 2
地面光滑，m
1
模型四 和m 2 具有共同 整体：
加速度：内力T：
1
隔离m
（注：分子是m 与作用在m 上的外力F 交叉相乘
2 1 1
“减去”m 与作用在m 上的外力F 交叉相乘）
1 2 2
类似于模型三：对m 把（F-f）的合力记作F’；
1 1 1 1
对m 把（F+f）的合力记作F’，则有：
2 2 2 2
模型五
整体：
地面不光滑，
m 和m 具有共
1 2
同加速度
：
隔离m1
（注：F ’和F ’分别为两个物体除内力以外的各自
1 2
所受所有外力的合力，等同于模型三中的F 和F，
1 2
公式形式相同）
类似于模型三：水平外力分别是m 受到的F 和m
1 1 2
受到的摩擦力f，此种情况的水平内力为物体间的
2
模型六 摩擦力F。
f
整体：
地面不光滑，
m 和m 具有共
1 2 隔离m：m 和m 之间摩擦力F（内力）大小：
同加速度 1 2 1 f
类似于模型一和二： 把m 受到的外力（F-f）的
2 2 2
模型七 合力记作F’，则有
2
整体：
地面不光滑，
m 1 和m 2 具有共 1 ：m 2 和 m 1 之间摩擦力 F f （内力）大小：
同加速度
隔离 m
进一步强调：①被研究的两个对象必须有共同加速度；
②此种方法适合做选择题时使用，计算题还需使用整体法和隔离法规范的步骤展示；
③交叉内力公式求得是内力大小，这个内力可能是物体间绳的拉力，也可能是摩擦力等等；
④公式分母是两个物体的质量之和，分子则是一个物体的质量乘以作用在另外一个物体上的
所有外力矢量和，交叉相乘后两部分再相加或者相减（模型四）。
⑤公式中的外力，指的是除了两个物体以外，其他物体施加的力，一般分析的是沿加速度方向的外力。
三、电路中的比例关系
1.串并联电路特点
串联电路 并联电路
I＝I＋I＋…＋I
1 2 n
电流 I＝I＝I＝…＝I
1 2 n
IR＝IR＝…＝IR
1 1 2 2 n n
电压 ＝＝…＝ U＝U＝…＝U
1 2 n
总
R ＝R＋R＋…＋R ＝＋＋…＋
总 1 2 n
电阻
功率
＝＝…＝ PR＝PR＝…＝PR
1 1 2 2 n n
分配
2.电桥法原理
在电阻的测量方法中,有一种很独特的测量方法——电桥法。其测量电路如图所示,实验中调节电阻箱
R ,当 的示数为0即A、B两点的电势相等时,R 和R 两端的电压相等,设为U ,同时R 和R 两端的电压也相
3 1 3 1 2 x
等,设为U 。根据欧姆定律有: U U U U ,由以上两式解得:R ·R=R ·R 。这就是电桥平衡的条件,由该
2 1= 2, 1= 2 1 x 2 3
R R R R
1 2 3 x
平衡条件可求出被测电阻R 的阻值。
x
方法一：匀变速直线运动中的比例法
【方法演练1】如图为港珠澳大桥上四段110m的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从a点由静止开始做匀加速直
线运动，通过 段的时间为t。则（ ）A．通过 段的时间为 B．通过 段的时间为
C．ab段和ac段所用时间比为1：2 D． 段的平均速度等于c点的瞬时速度
【答案】B
【详解】ABC．由连续相等位移问题时间之比可知，汽车经过ab，bc，cd，de所用时间之比为
故通过 段的时间为 ，通过 段的时间为 ，
ab段和ac段所用时间比为 ，故AC错误，B正确；
D．由汽车经过ab，bc，cd，de所用时间之比可知，汽车经过b点时为ae过程的中间时刻，即 段的平均
速度等于b点的瞬时速度，故D错误。故选B。
方法二：相同加速的连接体问题中合外力和质量比例关系
【方法演练2】如图，质量分别为2m和3m的方形物体A和B在水平恒力F作用下，沿光滑水平面向右运
动，A刚好不下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则A、B间的动摩擦因数为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设物体运动的加速度大小为 ，对A、B整体有 隔离B，可得A对B作用力大小
由牛顿第三定律知B对 作用力大小 对 在竖直方向有 得 故选B。
方法三：电路中的比例关系
【方法演练3】用图示的电路可以测量电阻的阻值，图中Rx是待测电阻， 是定值电阻，阻值是 ，
G是灵敏度很高的电流表，MN是一段长20cm的均匀电阻丝。闭合开关，改变滑动头P的位置，当通过电
流表G的电流为零时，测得MP=8cm，则Rx的阻值为（ ）A．80 B．100
C．150 D．180
【答案】C
【详解】闭合开关，改变滑动头P的位置，当通过电流表G的电流为零时，说明G表两端的电势相等，则
根据串并联电压关系有 ， 根据串联电路电压之比等于电阻之比有
根据电阻定律公式 可知，电阻之比等于长度之比，即有 解得
故选C。
1．2022年2月中国成功举办第24届冬奥会，北京成为世界上首个“双奥之城”。冬奥会上的冰壶项目是
极具观赏性的一项比赛，将冰壶运动简化成如下模型：从A点以初速度v 掷出，沿直线AD做匀减速直线
0
运动，恰好停在营垒中心点D处，AB=BC=CD，下列说法不正确的是（ ）
A．冰壶在A、B、C处的速度大小之比
B．冰壶在AB、BC、CD三段上运动的时间之比
C．冰壶从A点运动到D点的平均速度为D．冰壶运动到AD中点位置的速度为
【答案】B
【详解】A．运用逆向思维，对CD段、BD段、AD段分别有 ， ，
整理有 1，A正确；
B．冰壶运动过程为匀减速直线运动，且减速为零，运用逆向思维，可以将其看成反向的初速度为零的匀
加速直线运动，设加速度为a，有 ， ，
综上所述，整理有 ，B错误；
C．因为冰壶AD段运动属于匀变速直线运动，根据匀变速直线运动的推论有 ，C正确；
D．设冰壶运动到AD中点位置的速度为v，则其前半段运动和后半段运动有 ，
整理有 ，D正确。本题选择不正确的B。
2．一竖直墙壁上 被分成四段相等的部分，一物体由A点从静止释放做自由落体运动，如图所示，下列
结论正确的是（ ）
A．物体到达各点的速率之比为
B．物体在各段的时间之比为C．物体通过每一部分时，其速度增量
D．物体从A到 的平均速度大小等于
【答案】A
【详解】A．根据 可得物体到达各点的速率之比为
选项A正确；
B．根据 到达各点的时间之比 物体在各段的时间之比为
选项B错误；
C．根据 可知物体通过每一部分时，其速度增量
则 选项C错误；
D．因B点是物体从A到 的中间时刻，可知从A到E的平均速度大小等于 ，选项D错误。故选A。
3．如图所示，两物块A、B之间用细线相连，第一次将物块放在水平面上施加水平拉力，第二次将物块放
在足够长斜面上施加平行斜面向上拉力，第三次施加竖直向上拉力，已知物块与水平面和斜面间动摩擦因
数均为 ，斜面倾角为 ，三根细线能够承受的最大拉力相同，三次均使两物块都动起来，三次
最大拉力分别为 、 、 ，三次物块最大加速度分别为 、 、 ，已知 ， ，
以下说法正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】AB．将两物块放在粗糙斜面上，在外力作用下向上加速运动，根据牛顿第二定律有
令两物块间细线拉力为 ，对物块B进行分析，根据
牛顿第二定律有 解得 可知细线拉力 与 、 、 无关，只跟
拉力 和两物块质量有关，当三种情况细线拉力达到最大时，外力为最大，即有
可知 故A错误，B正确；
CD．当外力最大时系统加速度最大，对A、B整体进行分析，根据牛顿第二定律有
； ；
解得 ， ，
根据题干所给数值，结合上述可知 故C正确，D错误。故选BC。
4．如图所示，5块质量相同的木块并排放在水平地面上，它们与地面间的动摩擦因数均相同，当用力F推
第1块木块使它们共同加速运动时，下列说法中正确的是（ ）
A．由左向右，两块木块之间的相互作用力依次变小
B．由左向右，两块木块之间的相互作用力依次变大
C．第2块木块与第3块木块之间的弹力大小为0.6F
D．第3块木块与第4块木块之间的弹力大小为0.6F
【答案】AC【详解】以整体为研究对象，根据牛顿第二定律 解得 以第2、3、4、5块为
研究对象，根据牛顿第二定律 解得第1、2两块木块之间的相互作用力大小为
以第3、4、5块为研究对象，根据牛顿第二定律 解得第2、3两块木块之间的相互作用力
大小为 以第4、5块为研究对象，根据牛顿第二定律 解得第3、4两块木块之间
的相互作用力大小为 以第5块为研究对象，根据牛顿第二定律 解得第4、5两块木
块之间的相互作用力大小为 所以由左向右，两块木块之间的相互作用力依次变小。故选AC。
5．如图所示的电路中， 和 是两个内阻都为R的电压表，三个电阻的阻值如图中所标。在电路的ab两
端加一电压后，两表的示数 和 可能是下列的哪几组值（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】BC
【详解】假设 无限大，则 处相当于开路。观察选项的总电压是 ，所以 假设 ，
此时，电压表 测的是 处的电压，电压表 测的是 处的电压。但要考虑电压表本身的电阻 ，则电
压表 所测电阻为 电压表 所测电阻为 由串联分压可得，电压表 、的示数分别为 ； 由题意可得，电压表 、 的
示数介于两者之间，即 ； 故选BC。
6．在图示部分电路中，电阻 、 和 的阻值相等。下列说法正确的是（ ）
A． 、 和 两端的电压之比为
B． 、 和 两端的电压之比为
C． 、 和 消耗的电功率之比为
D． 、 和 消耗的电功率之比为
【答案】BD
【详解】AB．设三者电阻都为R，设流过R 的电流为I，则 ；
1
可得U：U：U=2：1：1故A错误，B正确；
1 2 3
CD．根据公式 可得 故C错误，D正确。故选BD。
