文档内容
押江苏卷 14 题
机械振动、机械波计算
考点内容 考情分析
简谐运动与机械波一般考察振动方程、波动方
考点 机械振动、机械波计算
程的理解以及多解性问题。
考向、简谐运动与机械波
1．简谐运动的规律
规律 x＝Asin（ωt＋φ）
反映同一质点在各个时刻的位移
图像
受力特征 回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期
周期性特征
T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置
对称性特征
的位移大小相等
2．简谐运动的应用——单摆，单摆周期表达式：T＝2π。
3．机械波
形成条件 （1）波源；（2）传播介质，如空气、水等。
（1）机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并
不随波迁移。
传播特点
（2）介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同。
（3）一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零。（4）一个周期内，波向前传播一个波长。
（1）坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移。
波的图像
（2）意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移。
波长、波速
和频率的关 （1）v＝λf；（2）v＝。
系
（1）两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为 Δx＝nλ（n＝0，
波的叠加 1，2…），振动减弱的条件为Δx＝（2n＋1）（n＝0，1，2…）。
（2）振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A＋A。
1 2
波的多
由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题。
解问题
考点 机械振动、机械波的计算
1．简谐运动的表达式x＝Asin（ωt＋φ）；单摆周期表达式：T＝2π。一个周期内，质点完成一次全振动，
通过的路程为4A，位移为零。v＝λf；（2）v＝。
2．两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ（n＝0，1，2…），振动减
弱的条件为Δx＝（2n＋1）（n＝0，1，2…）．振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和 A ＋
1
A。
2
【真题精讲】
1．（2014·重庆·高考真题））一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸，
当振子上下振动时，以速率 水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图像. 、 、 、
为纸上印迹的位置坐标，由此图求振动的周期和振幅.
【答案】 ；
【解析】试题分析：设周期为 ，振幅为 ．由题意可得：
2．（2023·全国·统考高考真题）分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同,振幅均
为5cm，波长均为8m，波速均为4m/s。 时刻，P波刚好传播到坐标原点,该处的质点将自平衡位置向下振
动；Q波刚好传到 处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
（1）在答题卡给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在 时刻的波形图（P波用虚线，Q波用实
线）；
（2）求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】（1）根据 得
可知 时P波刚好传播到 处，Q波刚好传播到 处，根据上坡下坡法可得波形图如图所示
（2）两列波在图示范围内任一位置的波程差为
根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，振动方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距
离差
解得振幅最大的平衡位置有 、
振动减弱的条件为
解得振幅最小的平衡位置有 、 、
【巩固训练】
1．（2021·海南·高考真题）一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0 ~
4s内的振动图像如图（a）所示，已知波的传播速度为0.5m/s。
（1）求这列横波的波长；（2）求波源在4s内通过的路程；
（3）在图（b）中画出t = 4s时刻的波形图。
【答案】（1）λ = 2m；（2）s = 16cm；（3）
【解析】（1）由题知图（a）为波源的振动图像，则可知
A = 4cm，T = 4s
由于波的传播速度为0.5m/s，根据波长与速度关系有
λ = vT = 2m
（2）由（1）可知波源的振动周期为4s，则4s内波源通过的路程为
s = 4A = 16cm
（3）由题图可知在t = 0时波源的起振方向向上，由于波速为0.5m/s，则在4s时根据
x = vt = 2m
可知该波刚好传到位置为2m的质点，且波源刚好回到平衡位置，且该波沿正方向传播，则根据“上坡、
下坡”法可绘制出t = 4s时刻的波形图如下图所示
2．（2021·全国·高考真题）均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和x =16cm。某简
B
谐横波沿x轴正方向传播，波速为v=20cm/s，波长大于20cm，振幅为A=1cm，且传播时无衰减。t=0时刻A、B
偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔 t=0.6s两者偏离平衡位置的位移大小相
等、方向相同。已知在t 时刻（t>0），质点A位于波峰。求
1 1 △
（1）从t 时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；
1
（2）t 时刻质点B偏离平衡位置的位移。
1
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） 时刻质点A位于波峰，波长
则
则从t 时刻开始，质点B第一次到达波峰时，波传播的距离为
1则质点B到达波峰的最少时间为
（2）由题意可知，波的周期是
则波长
时刻的波形图如图所示
质点B位于
处，则质点B偏离平衡位置的位移
带入数据解得
1．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）如图甲，水袖舞是中国京剧的特技之一，因其身姿摇曳、技
法神韵倍受人们喜欢。某次表演中演员甩出水袖的波浪可简化为如图乙所示沿 x轴方向传播的简谐横波，P、Q
为该波沿水平传播方向上相距 的两个质点，且横波由P传向Q。 时P质点正经过平衡位置向上振动，
Q质点正处于波谷（未画出），图丙为P质点振动图像。已知该水袖舞甩出的波长在 至 之间，袖子足
够长且忽略传播时振幅的衰减，求：
（1）质点P振动的位移y与时间t的关系式；
（2）该水袖舞形成的简谐波的波速。
【答案】（1） ；（2）0.8m/s
【解析】（1）根据图丙可知 ，
由 于 时 P 质 点 正 经 过 平 衡 位 置 向 上 振 动 ， 则 其 振 动 的 位 移 y 与 时 间 t 的 关 系 式 为（2）P、Q为该波沿水平传播方向上相距 的两个质点，且 时P质点正经过平衡位置向上振动，Q
质点正处于波谷，则有 （n=0，1，2，3…）
解得 （n=0，1，2，3…）
根据题意有
解得
即取
则有
则谐波的波速为
2．（2023·江苏南京·统考三模）图甲为一列简谐横波在 时的波形图，Q是平衡位置为 的质点，
图乙为质点Q的振动图像。求：
（1）波的传播速度及方向；
（2）质点Q在 内通过的路程。
【答案】（1）4m/s，沿x轴正方向；（2）100cm
【解析】（1）从图乙可知，在 时质点Q在平衡位置且向正方向振动，据振动与波动关系，波动为沿
x轴正方向传播；从图中可知波长为8m，周期为2s，则波速为
（2） 内质点Q通过的路程为
3．（2023·江苏·模拟预测）某简谐横波在均匀介质中沿 平面传播，波源位于O点， 时刻波的圆形
波面分布如图（a），其中实线表示波峰，虚线表示与波峰相邻的波谷。A处质点的振动图像如图（b），规定z
轴正方向垂直于 平面向外。求：
（1）该波的波长和该波从P点传播到Q点的时间（可用根式表示）；
（2）M处质点起振后， 内经过的路程是多少。【答案】（1）10m， s；（2）5cm
【解析】（1）根据图（a）可知，相邻的波峰和波谷间距为 ，则波长 。
P点传播到Q点的距离为
根据图（b）可知该简谐波的周期为 ，则波速
该波从P点传播到Q点的时间为
（2）根据图（b）可知 内振动的周期数为
则经过的路程为
4．（2023·江苏·统考二模）湖面上停着A、B两条小船，两船平衡位置连线的中点有个浮标，一列波速为
的水波在湖面上沿 连线从A向B传播，每条小船每分钟上下浮动20次。 时，A船位于波峰，
B船恰好在平衡位置，且正在向下运动，已知两船间只有一个波谷，求：
（1）两船平衡位置间的距离x；
（2）浮标恰好位于平衡位置的时刻。
【答案】（1）9m；（2）
【解析】（1）由题意知，每条小船每分钟上下浮动20次，则每秒振动 次
则波的频率为
由
得
时，A船位于波峰，B船恰好在平衡位置，且正在向下运动，已知两船间只有一个波谷，则两船之间
的距离等于 个波长，两船平衡位置间的距离为
（2）浮标位于两船平衡位置连线的中点，即距A、B的距离都为4.5m、 个波长， 时，A船位于波峰，水波从A向B传播，说明浮标距波源侧的平衡位置的距离为 ，浮标回到平衡位置的时
间为
5．（2023·江苏苏州·统考三模）如图为浮筒式航标灯的示意图，圆柱形浮筒半径R=4a、长L=18a，浮筒上
表面中央竖直固定一高为h=3a的细立柱，立柱顶端有一发光灯泡（可看作点光源），静止时浮筒水面以下部分
的长度为12a，已知水深为H=20a，水的折射率 ，水面平静水底平坦。现让浮筒在水中上下自由运动，当
浮筒上表面与水面相平时速度恰好为零。（不计阻力）
（1）证明浮筒做简谐运动；
（2）求运动过程中水底阴影的最大面积S。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
【答案】（1）见解析；（2）1225πa2
【解析】（1）取竖直向下为正方向，设浮筒底面积为S，航标灯总质量为m，水的密度为ρ，平衡时有
设浮筒向正方向偏移y，有
解得
即航标灯所受合力大小与位移成正比，方向与位移方向相反，做简谐运动。
（2）根据简谐运动的对称性，灯泡离水面最大高度为 15a，此时与圆柱体上表面边缘相切的光线进入水中
的入射角为53°，根据折射定律有
得折射角θ=37°
则阴影的最大半径为r=15atan53°+20atan37°=35a
则阴影的的最大面积S=πr2=1225πa2
6．（2023·江苏苏州·江苏省木渎高级中学校联考三模）某同学用波动发生器产生产生两个波源 、 ，其
振动可视为简谐振动，振幅皆为A，振动方向相同，图像分别为如图所示，若两种波源在同一种弹性介质、沿
着x轴传播足够长的时间后，观察发现波 在介质中传播的波长为 ，且 时刻， 处质点的位移为 ，
求：
（1）两波源振动的周期；（2） 时刻，位移为 质点的平衡位置。
【答案】（1） ； ；（2） 或者
【解析】（1）由图可知 ，
（2）根据波长与波速的关系有 ，
所以
则 或者
7．（2023·江苏南通·海安高级中学校考模拟预测）一列沿x轴传播的简谐横波在t＝0时刻的波形如图甲所
示，M、N、P、Q是介质中的四个质点，M点位于平衡位置、P点和Q点分别位于波谷和波峰，M、Q两质点
平衡位置之间的距离为9m，M点的振动情况如图乙所示。
（1）求该波的传播速度大小v；
（2）求Q的平衡位置坐标x ？
Q
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题可知 ， ，
又（2）从 时刻开始，M点向上振动，波向右传播，对N点
当其第一次回到平衡位置，即 此时
解得 ， ， ，
故Q的平衡位置坐标
8．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）单摆在竖直面内做小角度摆动，摆球速度的二次方
随时间 变化的图线如图所示，取重力加速度 ，忽略空气阻力，结合图中的数据，求单摆
（1）摆长；
（2）最大摆角的余弦值。
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）单摆周期为摆球速度二次方 周期的两倍，由图可知摆球速度二次方 周期为1.0s，故单摆
周期为2.0s，根据单摆周期公式
解得
（2）根据动能定理可得
解得
9．（2020·全国·统考高考真题）一振动片以频率f做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性
地触动水面上a、b两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c是水面上的一点，a、b、c间的距
离均为l，如图所示。已知除c点外，在ac连线上还有其他振幅极大的点，其中距c最近的点到c的距离为
。求：
（i）波的波长；
（ii）波的传播速度。【答案】（i） ；（ii）
【解析】（i）设与c点最近的振幅极大点为d，则 ，
根据干涉加强点距离差的关系： ，
所以波长为
（ii）由于受迫振动的频率取决于受迫源的频率由 知，
10．（2018·全国·高考真题）一列简谐横波在 时的波形图如图（a）所示，P、Q是介质中的两个质
点。图（b）是质点Q的振动图象。求：
（1）波速及波的传播方向；
（2）质点Q的平衡位置的x坐标。
【答案】（1）18cm/s，沿x轴负方向传播；（2）9cm
【解析】（1）由图（a）可以看出，该波的波长为λ＝36cm
由图（b）可以看出，周期为T＝2s
波速为v＝ ＝18cm/s
由图（b）知，当 时，Q点向上运动，结合图（a）可得，波沿x轴负方向传播。
（2）设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为 、 由图（a）知，x＝0处y＝－ ＝Asin（－ ）
因此
由图（b）知，在t＝0时Q点处于平衡位置，经Δt＝ s，其振动状态向x轴负方向传播至P点处，可得P、Q间平衡位置距离为 ＝vΔt＝6cm
则质点Q的平衡位置的x坐标为 ＝9cm
11．（2016·全国·高考真题）一列简谐横波在介质中沿x轴正向传播，波长不小于10cm，O和A是介质中
平衡位置分别位于x=0和x=5cm处的两个质点。t=0时开始观测，此时质点O的位移为y=4cm，质点A处于波
峰位置：t= 时，质点O第一次回到平衡位置，t=1s时，质点A第一次回到平衡位置。求
（1）简谐波的周期、波速和波长；
（2）质点O的位移随时间变化的关系式。
【答案】（1） ， ， ；（2） （国际单位制）
【解析】（1）设振动周期为T。由于质点A在0到1 s内由最大位移处第一次回到平衡位置，经历的是
个周期，由此可知T=4s
由于质点O与A的距离5 cm小于半个波长，且波沿x轴正向传播，O在t= 时回到平衡位置，而A在
t=1s时回到平衡位置，时间相差 ，两质点平衡位置的距离除以传播时间，可得波的速度v=7.5 cm/s
利用波长、波速和周期的关系得，简谐波的波长λ=vT=30cm
（2）设质点O的位移随时间变化的关系为
将题给条件代入上式得 ，
解得 ，A=8cm
故 （国际单位制）
12．（2015·全国·高考真题）平衡位置位于原点O的波源发出简谐横波在均匀介质中沿水平x轴传播，P、
Q为x轴上的两个点（均位于x轴正向），P与O的距离为35cm，此距离介于一倍波长与二倍波长之间，已知
波源自t=0时由平衡位置开始向上振动，周期T=1s，振幅A=5cm．当波传到P点时，波源恰好处于波峰位置；
此后再经过5s，平衡位置在Q处的质点第一次处于波峰位置，求：
（ⅰ）P、Q之间的距离；
（ⅱ）从t=0开始到平衡位置在Q处的质点第一次处于波峰位置时，波源在振动过程中通过路程．
【答案】（1）133cm；（2）125cm
【解析】（1）由题意，O、P两点的距离与波长满足：
波速与波长的关系为：在t=5s时间间隔内波传播的路程为vt，由题意有：
综上解得：PQ=133cm
（2）Q处的质点第一次处于波峰位置时，波源运动时间为：
波源由平衡位置开始运动，每经过T/4，波源运动的路程为A，由题意可知：
故t 时间内，波源运动的路程为s=25A=125cm
1
13．（2018·江苏·高考真题）一列简谐横波沿x轴正方向传播，在x=0 和x=0.6 m处的两个质点A、B的振
动图象如图所示。已知该波的波长大于0.6 m，求其波速和波长。
【答案】v=2m/s；λ=0.8 m
【解析】由图象可知，周期T=0.4s，由于波长大于0.6m；波从A到B的传播时间Δt=0.3s
则波速
代入数据得v=2m/s
则波长λ=vT
代入数据得λ=0.8m
14．（2017·海南·高考真题）从两个波源发出的两列振幅相同、频率均为5Hz的简谐横波，分别沿x轴
正、负方向传播，在某一时刻到达A、B点，如图中实线、虚线所示．两列波的波速均为10m/s．求
（i）质点P、O开始振动的时刻之差；
（ii）再经过半个周期后，两列波在x=1m和x=5m之间引起的合振动振幅极大和极小的质点的x坐标。
【答案】（i）0.05s（ii）两列波在x=1m和x=5m之间引起的合振动振幅极大的质点的x坐标为：2m、
3m、3m、4m、5m．合振动振幅极小的质点的x坐标为1.5m、2.5m、3.5m、4.5m．
【解析】（i）该波的周期为 ，
由图知，质点P、O开始振动的时刻之差为 ；（ii）该波的波长为 ，根据波峰与波峰相遇或波谷与波谷相遇时振动加强，当波峰与
波谷相遇时振动减弱，可知，两列波在x=1m和x=5m之间引起的合振动振幅极大的质点的x坐标为：1m、
2m、3m、4m、5m．合振动振幅极小的质点的x坐标为1.5m、2.5m、3.5m、4.5m。
【点睛】解决本题的关键是掌握波的叠加原理，知道波峰与波峰相遇或波谷与波谷相遇时振动加强，当波
峰与波谷相遇时振动减弱。
15．（2015·重庆·高考真题）下图为一列沿x轴正方向传播的简谐机械横波某时刻的波形图，质点P的振动
周期为0.4s.求该波的波速并判断P点此时的振动方向．
【答案】 ；P点沿y轴正向振动
【解析】由波形图可知
波速
波沿x轴正方向，由同侧法可知P点沿y轴正向振动。
16．（2015·全国·高考真题）甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿 轴正向和负向传播，波速度均为
。两列波在 时的波形曲线如图所示，求：
（1） 时，介质中偏离平衡位置位移为 的所有质点的 坐标；
（2）从 开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为 的质点的时间。
【答案】（1） ；（2）t=0.1s
【解析】（1）根据两列波的振幅都为 ，偏离平衡位置位移为16 的质点即为两列波的波峰相遇。设
质点 坐标为 ，根据波形图可知，甲、乙的波长分别为 ， 。则甲、乙两列波的波峰坐标
分别为
综上，所有波峰和波峰相遇的质点坐标为整理可得
（2）偏离平衡位置位移为 是两列波的波谷相遇的点， 时，波谷之差整理可得
波谷之间最小的距离为
两列波相向传播，相对速度为 ，所以出现偏离平衡位置位移为 的最短时间
