文档内容
考向 15 利用导数研究函数
的单调性
1．（2014·全国高考真题（文））若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范
围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
试题分析： ，∵函数 在区间 单调递增，∴ 在区间 上
恒成立．∴ ，而 在区间 上单调递减，∴ ．∴ 的取值范围是 ．故选D．
考点：利用导数研究函数的单调性.
2．（2021·全国高考真题（理））已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1） 上单调递增； 上单调递减；（2） .【分析】
（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线 与直线 有且仅有两个交点等价转化为方程
有两个不同的实数根，即曲线 与直线 有两个交点，利用导函数研究
的单调性，并结合 的正负，零点和极限值分析 的图象，进而得到 ，发现这正好是
，然后根据 的图象和单调性得到 的取值范围.
【详解】
（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2） ,设函数 ,
则 ,令 ，得 ,
在 内 , 单调递增；
在 上 , 单调递减；
,又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分
必要条件是 ,这即是 ,
所以 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，
关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形
结合思想求解.
1.求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间．(4)在
定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间．
[提醒] 求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．
2.解决含参数函数的单调性问题应注意的2点
(1)研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
3.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧
利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性
问题，再由单调性比较大小或解不等式．
4.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路
①由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立列出不等式；
②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这
个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．
[提醒] f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任意一个非空子
区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。
【知识拓展】
1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知 ，则“ ”是“ 在
内单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））已知定义在（0，+∞）上的函数满足
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟）设函数 是函数 的导函数，已知 ，且 ， ， ，则使得 成立的 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
4．（2021·福建厦门市·高三二模）（多选题）达芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的
黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽，达芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用
下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链线.建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为
，双曲余弦函数 则以下正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 在 上单调递减
C． ， D． ，
1．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））已知实数 ， ， 满足 ，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知实数 ， ， 满足 且 ，若 ，
则（ ）
A． B．C． D．
3．（2021·重庆高三其他模拟）若函数 的导函数为 ，对任意
恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（理））偶函数f(x)满足 ，当
x(0，4]时， ，不等式 在 上有且只有200个整数解，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·全国高三其他模拟）已知f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f
（x）＝ ，若关于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2个实数根，则实数a的取值范
围是（ ）A．[﹣ ，﹣ ] B．[﹣ ，﹣ ）
C．（﹣ ，0） D．（﹣ ，0）∪{﹣ }
6．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数 ，其中 ，当
时， ；又函数 在 上单调递增，则实
数 的最大值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）已知函数 ，则不等式
的解集为___________.
8．（2021·辽宁高三其他模拟）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围
是____________________
9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 ，若
在 上恒成立，则正实数 的取值范围为________．
10．（2021·南昌市八一中学高三三模（理））已知等差数列 的前 项和为 ，满足
，则 ___________.11．（2021·陕西咸阳市·高三其他模拟）已知函数 ，其中 .
（1）若 ，试判断函数 的单调性；
（2）若 ，求证： .
12．（2021·福建厦门市·高三二模）已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，设
（i）证明： 有唯一正零点：
（ii）记 的正零点为 ，证明：当 时，
1．（2012·辽宁高考真题（文））函数y= x2 ㏑x的单调递减区间为
A．（ 1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）
2．（2015·陕西高考真题（文））设 ，则
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
3．（2012·浙江高考真题（文））设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数
A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b
B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C．若ea-2a=eb-3b，则a＞bD．若ea-2a=eb-3b，则a＜b
4．（2013·浙江高考真题（文））已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′
（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
5．（2015·福建高考真题（理））若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足
，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2017·山东高考真题（文））若函数 (e=2.71828 ,是自然对数的底数)在 的定义域上
单调递增,则称函数 具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A． B． C． D．
7．（2015·全国高考真题（理））设函数 是奇函数 （ ）的导函数， ，当
时， ，则使得 成立的 的取值范围是
A． B．C． D．
8．（2017·江苏高考真题）已知函数 ，其中e是自然数对数的底数，若
，则实数a的取值范围是_________．
9．（2014·全国高考真题（理））若函数 在区间 内是减函数，则实数 的
取值范围是_______.
10．（2021·全国高考真题（文））已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
1．【答案】A
【分析】
根据函数 在 内单调递增求出实数 的取值范围，再利用集合的包含关系判
断可得出结论.
【详解】
因为 在 内单调递增，则 对任意的 恒成立，即 ，
当 时，由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， .
因为 ，因此，“ ”是“ 在 内单调递增”的充
分不必要条件.
故选：A.
2．【答案】A
【分析】
观察式子特点 ，即
，构造函数 ，
利用 （0，+∞）上为增函数，且 ，结合选项特点 ，
， 从而得解.
【详解】
解：由 ，得
，
设 ，则
设 ，则 在（0，+∞）上为增函数，且 ，
则当 时， ，此时 ，此时函数 为增函数，
当 时， ，此时 ，此时函数 为减函数，
由 ，即 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，
故选：A
【点睛】
根据题中信息及选项特点，知需要构造函数，利用函数的单调性来解决，注意构造的函数是否符合题目要
求.
3．【答案】C
【分析】
构造函数 ，求导分析单调性，由 得出以函数 对称性，推
出 的对称性，根据对称点关系即可求解原不等式．
【详解】令
因为 得 ，所以
故 在 上单调递减，
又因为 ，所以函数 关于 对称，
因为 ，所以 关于点 对称，
则点 关于 的对称点为 也在函数 图象上，则
故 ，而由不等式 得
所以 ，又 在 上单调递减，故
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题的关键在于构造新函数通过对称性与单调性求解不等式．
4．【答案】BCD
【分析】
根据题意写出函数 的解析式，由函数奇偶性的定义，即可判断选项A是否正确；根据导数在函数单
调性中的应用以及复合函数的单调性，即可判断选项B是否正确；由基本不等式，即可判断选项C是否正
确；再根据选项C，结合特称命题的特点，即可判断选项D是否正确.
【详解】
由题意可知， ，定义域为
所以 ，所以 是偶函数；故选项A错误；函数 的导数为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 ，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
又 ，所以函数 在 上单调递增，
由复合函数的单调性可知， 在 上单调递减，故选项B正确；
由基本不等式可知， ，当且仅当 时取等号；故选项C正确；
由C可知， ， ，所以 ，使得 成立，故选项D正确；
故选：BCD.
1．【答案】D
【分析】
构造函数 ，利用导数可证 ，据此可比较大小.
【详解】
令 ，则
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，即 .
所以 ， ，
故选：D
2．【答案】D
【分析】
首先根据题中的条件得到 ，从而得到 ；再根据 时 得到 ，结合函数
的单调性得到 ，从而得到 .
【详解】
由 得 ，————①
由 得 ，————②
两式相加得 ，因为 ， ，所以 ，又因为 ，所以 ；
因为 ， ，所以 ，即 ，所以 ；
令 ，则 ，当 时， ，
所以 在 内单调递增，即 ，
所以 ，即 ，
又令 ，则 ，当 时， ，所以 在 内单调递增，所以由 ，得到 .
所以 .
故选：D.
3．【答案】C
【分析】
根据已知条件，构造函数 ，求出导函数判断单调性，利用单调性比较函数值的大小即可求解.
【详解】
解：因为任意 恒成立，
即任意 恒成立，
又 时， ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
故选：C.
4．【答案】C
【分析】
根据题意，得到 的周期，利用导数可得 的单调性，即可作出 的图象，根据周期性、对称性可得 在 内有4个整数解，分别讨论 、 和 三种情况下在一个周期 内有整数
解的个数，综合分析，即可得答案.
【详解】
因为 为偶函数，所以 ，
所以 是周期函数，且周期为8，且 关于x=4对称，
又当x(0，4]时， ，
则 ，
令 ，解得 ，
所以当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
作出 一个周期内图象，如图所示：
因为 为偶函数，且不等式 在 上有且只有200个整数解，所以不等式在 内有100个整数解，
因为 周期为8，所以在 内有25个周期，
所以 在一个周期内有4个整数解，
（1）若 ，由 ，可得 或 ，
由图象可得 有7个整数解， 无整数解，不符合题意；
（2）若 ，则 ，由图象可得，不满足题意；
（3）若 ，由 ，可得 或 ，
由图象可得 在一个周期内无整数解，不符合题意，
所以 在一个周期 内有4个整数解，
因为 在 内关于 x=4对称，
所以 在 内有2个整数解，
因为 ，
所以 在 的整数解为 x=1和x=2，
所以 ，解得 .
故选：C
【点睛】
解题的关键是熟练掌握函数的周期性、对称性的求法，利用导数求函数的单调区间等知识，并灵活应用，
难点在于根据函数的性质，分类讨论，分析可得 在 内有2个整数解，再结合特殊值，即可进行
求解，属中档题.5．【答案】D
【分析】
利用导数研究函数在定义域上的单调性，得出 ；结合题意得出 在 有且仅有1个解，
计算 的值即可.
【详解】
当 时 ，
则
令 ，解得 ，
所以当 时 ， 单调递增；
当 时 ， 单调递减，
所以 ，故 在定义域上恒成立，
由 有且只有2个实数根，
得方程 有2个解，
又 ，所以 ，
则 在 有且仅有1个解，
因为 ，则 或 ，
所以 或 ，即实数的取值范围是 ，
故选：D
6．【答案】D
【分析】
根据已知条件及 的单调性，确定 ， 的值，将 在区间上单调递增转化为 恒大于0，通
过对该含参方程的求解即可．
【详解】
解： 当 时， 在区间 上单调递增，
，
， ，
， ，
即 ，
， ，
在区间 上单调递增，
在 上恒成立，即 ．
令 ，
求导可得 ，
，，
，
恒成立，
在区间 单调递减，
，即 ，即 ，
的最大值为 ，
故选： ．
7．【答案】
【分析】
根据函数奇偶性的定义，得到 为奇函数，再根据导数求得函数 为 上单调递减函数，把不等
式 ，转化为 ，即可求解.
【详解】
由题意，函数 的定义域为 ，
且满足 ，即 ，
所以函数 为奇函数，
又由 ，
因为 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 ，所以函数 为 上单调递减函数，
又因为 ，即 ，即 ，所以 ，即 ，
解得 ，即不等式的解集为 .
故答案为： .
8．【答案】
【分析】
先对函数 进行求导，由导数 在 上恒成立即可求出实数 的取值范围.
【详解】
，
由题意知 在 上恒成立且不恒为0，
显然 时， 恒成立，
所以只需 在 上恒成立且不恒为0，
即 在 上恒成立且不恒为0，
所以只需当 时，
又当 时，有 ，所以 ，即 有最大值 ，
所以 ，即 .故答案为： .
9．【答案】
【分析】
利用导数分析可知函数 为 上的增函数，由 可知 对任意的
恒成立，构造函数 ，其中 ，对正实数 的取值进行分类讨论，
分析函数 在 上的单调性，验证 是否对任意的 恒成立，综合可得出
正实数 的取值范围.
【详解】
，
则 ，
所以，函数 在 上为增函数，且 ，
由 可得 ，即 对任意的 恒成立，
令 ，其中 ，且 ， .
因为 ，令 ，可得 .
①若 ，即当 时， 对任意的 恒成立，
此时，函数 在 上单调递增，则 ，合乎题意；②若 ，即当 时，当 时， ；当 时， .
所以， ，不合乎题意.
综上所述，正实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.
10．【答案】
【分析】
先利用诱导公式将原式变形，然后构造函数 并分析其奇偶性和单调性，根据
的取值特点判断出 之间的关系，然后利用等差数列的前 项和公式以及
等差数列下标和性质求解出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，令 ， ，
且 的定义域为 ，所以 为奇函数，
所以 ，且 ，
所以 ，
又因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过分析所给等式的特点，采用构造函数的思想，分析出 的关系，
其中 奇偶性的证明、单调性的分析都值得注意，最后计算时注意借助等差数列的下标和性质进行解
答.
11．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据条件得到 ，再求导分类讨论求单调性；
（2）取 ，根据单调性得到不等式，然后再运用分析法及基本不等式证明.
【详解】
（1）因为 ，所以 .则 .求导，得 .
当 时， ，函数 在 上是递减函数；
当 时，若 ，函数 在 上是递减函数；
若 ，函数 在 上是递增函数.
（2）取 ，得 ，由（1）知 ，
即 .
则有 ，
于是，要证 ，
只要证 ，
等价于 .
事实上，应用基本不等式，得 .获证.
【点睛】
关键点睛：对于含有参数的含糊单调性的讨论关键是找到讨论的标准，不等式的证明可以从最值、单调性
等方面去考虑.
12．【答案】（1）答案见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【详解】解（1） .
若 ，则当 时， ，当 时， .
所以 在 上单调递增；
若 ，则当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，在( 单调递增；
若 ，则当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增.
（2）（i）由（1）知，当 时， 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，
，
所以 存在唯一正零点 ，
（ii）设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ，所以要证明 ， ，只需要证明加 ，
即证 ，即证 ，因为 ， ，
所以只需证 ，即证 .
因为 在 单调递增，所以只需证明 ，
因为 ，所以只需证明 ，
因为
设 ，则
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，
所以原不等式得证.
1．【答案】B
【详解】
对函数 求导，得 （x>0）,令 解得 ，因此函数
的单调减区间为 ，故选B
考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域2．【答案】B
【详解】
试题分析：函数 的定义域为 ，关于原点对称，
，因此函数 是奇函数， 不恒等于0，函数 是增函数，故答案为
B．
考点：函数的奇偶性和单调性．
3．【答案】A
【详解】
若 ，必有 ．
构造函数： ，则 ，
则 恒成立，
故有函数 在x＞0上单调递增，
所以a＞b成立．故选A．
4．【答案】B
【详解】
由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，
且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，
而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．
故选B.
5．【答案】C
【详解】
试题分析：令 ，则 ，因此
，所以选C.考点：利用导数研究不等式
【方法点睛】
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数
常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ，
构造 ， 构造 等
6．【答案】A
【详解】
对于A,令 , ,则 在R上单调递增,故
具有M性质,故选A.
【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′
(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减
区间．
(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间
(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f′(x)≥0；
若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．
7．【答案】A
【详解】
构造新函数 , ，当 时 .
所以在 上 单减，又 ，即 .
所以 可得 ,此时 ，又 为奇函数，所以 在 上的解集为： .
故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如 ，想到构造
.一般：（1）条件含有 ，就构造 ,（2）若 ，就
构造 ，（3） ，就构造 ，（4） 就构造
，等便于给出导数时联想构造函数.
8．【答案】
【详解】
因为 ，所以函数 是奇函数，
因为 ，所以数 在 上单调递增，
又 ，即 ，所以 ，即 ，
解得 ，故实数 的取值范围为 ．
点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据
函数 的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在函
数 的定义域内．9．【答案】
【解析】
试题分析： 时，
是减函数，又 ，∴由 得 在 上恒成立，
．
考点：1.三角函数的单调性；2.导数的应用．
10．【答案】(1)答案见解析；(2) 和 .
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐
标.
【详解】
(1)由函数的解析式可得： ，
导函数的判别式 ，
当 时， 在R上单调递增，
当 时， 的解为： ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；
综上可得：当 时， 在R上单调递增，
当 时， 在 ， 上
单调递增，在 上单调递减.
(2)由题意可得： ， ，
则切线方程为： ，
切线过坐标原点，则： ,
整理可得： ，即： ，
解得： ，则 ，
切线方程为： ,
与 联立得 ，
化简得 ,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根， 是 的一个
因式，∴该方程可以分解因式为
解得 ,
，
综上，曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 和 .【点睛】
本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性
研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意
除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要
注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压
轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.
