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考向 14 导数的概念及应用
1．（2021·全国高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切
线.
【详解】
在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可
以作出两条切线.由此可知 .故选：D.
【点睛】
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，
解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
2．（2021·北京高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．
【答案】（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 ，
最大值为 ，最小值为 .
【分析】
（1）求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由 可求得实数 的值，然后利用导数分析函数 的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】
（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
1.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：
连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外
向内逐层求导，必要时可换元
2.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x ，y )处的切线与“过”点P(x ，y )的切线的区别：曲线y＝f(x)在点
0 0 0 0
P(x ，y )处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x )，是唯一的一条切线；曲线
0 0 0
y＝f(x)过点P(x ，y )的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线
0 0
可能有多条．
3.利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，
进而求出参数的值或取值范围．
4.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
1．导数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率是lim ＝lim ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x 处的
0 0
导数，记作f′(x )或 ，即f′(x )＝lim ＝lim .
0 0
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这
个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x ，f(x ))处的切线的斜率，
0 0 0
相应的切线方程为y－f(x )＝f′(x )(x－x )．
0 0 0
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x(a>0且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x f′(x)＝4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
【知识拓展】
复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这
个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ ＝y′ ·u′ ，即y对x的导
x u x
数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1．（2021·河南南阳市·高二其他模拟（理））已知函数 ，且 ，则 （
）
A． B． C． D．
2．（2021·千阳县中学高三二模（理））已知 ， ， ，
…， ， .设 ，则 （ ）
A．9903 B．9902 C．9901 D．9900
3．（2021·全国高三其他模拟（文））曲线 在点 处的切线经过坐标原点，则
___________.4．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）已知函数 的图象在点 处的切线与直
线 垂直，则a的值为___________
1．（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数 ，若 ，
则 （ ）
A．36 B．12 C．4 D．2
2．（2021·千阳县中学高三其他模拟（理））已知函数 的定义域为 ，且满足：（1）
，（2） ，则 的取值范围是（ ）
0,e1
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三月考（文））拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它
反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若 在
上满足以下条件：①在 上图象连续，②在 内导数存在，则在 内至少存在一点 ，
使得 （ 为 的导函数）．则函数 在 上这样的
点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓
越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为 ，若在 上 恒成立，则称函数
在 上的“严格凸函数”，称区间 为函数 的“严格凸区间”.则下列正确命题的序
号为______.①函数 在 上为“严格凸函数”；②函数 的“严格凸
区间”为 ；③函数 在 为“严格凸函数”，则 的取值范围为 .
5．（2021·江苏高二专题练习）设函数 ，若 ，则 ______．
6．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知 为奇函数，当 时， ，则
曲线 在点 处的切线方程是___________.
7．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）曲线 在点 处的切线与直线
垂直，则该切线的方程为__________.
8．（2021·吉林松原市·高三月考）已知 ，则 最小值为___________.
9．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）已知函数 ，则 所有的切线中斜率最小
的切线方程为_________.
10．（2021·全国高三其他模拟）函数 在 处的切线与坐标轴围成的图形面积为
___________.
11．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数 在 处的切线方程为，则 ___.
12．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数 ，其中
为自然对数的底数，曲线 在 处切线的倾斜角的正切值为 ．
（1）求 的值；
（2）证明： ．
1．（2013·全国高考真题（文））已知函数 ，若 ，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
3．（2019·全国高考真题（理））已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则
A． B． C． D．
4．（2016·四川高考真题（文））设直线l，l 分别是函数f(x)= 图象上点P，P 处的切
1 2 1 2
线，l 与l 垂直相交于点P，且l，l 分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
1 2 1 2
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)
5．（2021·全国高考真题）已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______．
6．（2021·全国高考真题（理））曲线 在点 处的切线方程为__________．
7．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经
过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
8．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则点P
到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
9．（2017·天津高考真题（文））已知 ，设函数 的图象在点（1， ）处的切线
为l，则l在y轴上的截距为________ .
10．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
1．【答案】B
【分析】
依题意求出函数的导函数，再解方程即可；
【详解】解：由题意可得 ，因为 ，所以 ．
故选：B
2．【答案】C
【分析】
求出前几项的导数，计算数列 ，找到规律，代入数值计算.
【详解】
解：因为 ，
，
，
,
数列 为1,3,7,13， ，每一项为上一项的常数与上一项的一次项的系数之和，
即 ，且 ，所以 ，
则 .
故选：C.
【点睛】
思路点睛：本题考查数列的应用：计算前几项的导数，发现每一项的常数都为上一项的常数与上一项中一
次项的系数的和，写出递推关系式，然后求得通项公式，代入计算.
3．【答案】
【分析】
利用导数的几何意义即可求解.
【详解】
由 ，则 ，
所以 ，所以 ，
化简整理可得 .
故答案为：
4．【答案】
【分析】
根据点Ｐ在函数的图象上，求得ｂ的值，得到 ，利用导数的几何意义和直线垂直的条件
求得 ．
【详解】
由已知可得 在函数 的图象上，所以 ，即 ，解得 ，所以
，故 .则函数 的图象在点 处的切线的斜率 ，
因为切线与直线 垂直，所以 ，
即 .
故答案为： .
1．【答案】C
【分析】
根据函数 在 处的导数的定义将 变形为即可求解.
【详解】
解：根据题意， ，则 ，则 ，
若 ，则
，
则有 ，即 ，
故选：C.
2．【答案】C
【分析】
根据题意构造函数 与 ，利用二者的单调性即可得到结果.
【详解】
，
∴ 在 上单调递减， ，
∴ 在 上单调递增， .
故选：C
【点睛】
方法点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造 ,（2）若 ，就构造 ，（3）
，就构造 ，（4） 就构造 ，等便于给出导
数时联想构造函数.
3．【答案】A
【分析】
用已知定义得到存在点 ， ，使得 ，转化为研究函数数 和 图象
的交点个数，作出函数图象即可得到答案．
【详解】
函数 ，则 ，
由题意可知，存在点 ， ，使得 ，即 ，
所以 ， ， ，
作出函数 和 的图象，如图所示，
由图象可知，函数 和 的图象只有一个交点，
所以 ， ， 只有一个解，即函数 在 ， 上 点的个数为1个．
故选：A
4．【答案】①②
【分析】根据题干中给出的定义逐项检验后可得正确的选项.
【详解】
的导函数 ， ，
故 在 上恒成立，
所以函数 在 上为“严格凸函数”，所以①正确；
的导函数 ， ，
由 可得 ，解得 ，
所以函数 的“严格凸区间”为 ，所以②正确；
的导函数 ， ，
因为 为 上的“严格凸函数”，故 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
故 ，所以③不正确.
所以正确命题为：①②.
故答案为：①②.
5．【答案】2
【分析】
先对 求导，将 代入 即可求解.
【详解】
由 可得， ，所以 ，解得 .故答案为：2.
【点睛】
本题主要考查导数的运算，属于基础题.
6．【答案】
【分析】
由条件求得当 时的函数解析式，求导，通过导数几何意义求得在点 处的切线方程.
【详解】
由题知，当 时， ，即
则 ， ，又
则在点 的切线方程为： ，
即
故答案为：
7．【答案】
【分析】
根据导数的几何意义，先求切线斜率 ，而直线 的斜率 ，根据两条直线垂
直则 ，代入即可得解.
【详解】
由题意得 ，则 ，
所以切线的斜率 .直线 的斜率 .
因为两直线相互垂直，所以 ，解得 ，则 .所以 ，则 ，
故该切线的方程为 ，即 .
故答案为：
8．【答案】4
【分析】
将 看作两点 ， 之间距离的平方，然后根据几何意义进行求解即可.
【详解】
看作两点 ， 之间距离的平方，
点A在直线 上，点B在曲线 上，
，令 ，解得 ，取点 ，
所以 ， ，即 最小值为4.
故答案为：4.
9．【答案】
【分析】
求得函数导数，由基本不等关系求得导数的最小值，即函数 所有切线中斜率最小值，进而求得切线方
程.
【详解】
由 ， ，则 ， 时等号成立，
则函数 所有切线中斜率最小为3，且过点 ，
则切线方程为
故答案为：
10．【答案】
【分析】
根据导数的几何意义可求得切线方程，进而确定与坐标轴的交点坐标，从而求得面积.
【详解】
切点 ， ，
切线： ，即 ，
与 轴交点 ，与 轴交点 ，
故 ，
故答案为： .
11．【答案】
【分析】
根据导数的几何意义可知 ，又 在切线上，可解得 的值，进而可求 的值.
【详解】
由 ，得 ，， ，
又切线方程为： ，即 ，
故 ，
解得 ，
故 ， ，
即 ，
故答案为： .
12．【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）求出函数的导函数，再代入计算可得；
（2）依题意即证 ，即 ，构造函数
， ，利用导数说明其单调性与最值，即可得到 ，从而得
证；
【详解】
解：（1）因为 ，所以 ，
，解得 ．
（2）由（1）可得
即证 ．令 ， ，于是 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 （ 取等号）．
又令 ，则 ，于是 在 上是增函数，在 上是减函数，所以
（ 时取等号）．
所以 ，即 ．
1．【答案】D
【分析】
作出函数 的图像，和函数 的图像，结合图像可知直线 介于 与 轴之间，利用导
数求出直线 的斜率，数形结合即可求解.
【详解】
由题意可作出函数 的图像，和函数 的图像.由图像可知：函数 的图像是过原点的直线，
当直线介于 与 轴之间符合题意，
直线 为曲线的切线，且此时函数 在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得 ，因为 ，故 ，
故直线 的斜率为 ，
故只需直线 的斜率 .
故选：D
【点睛】
本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.
2．【答案】D
【分析】
根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
3．【答案】D
【分析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 ，将点的坐标代入直线方程，求得 ．
【详解】
详解：
，
将 代入 得 ，故选D．
【点睛】
本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
4．【答案】A
【详解】
试题分析：设 （不妨设 ），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为 由已知得 切线 的方程分别为
，切线 的方程为 ，即 ．分别令
得 又 与 的交点为
，故选A．
考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.
5．【答案】
【分析】
结合导数的几何意义可得 ，结合直线方程及两点间距离公式可得 ，
，化简即可得解.
【详解】
由题意， ，则 ，
所以点 和点 ， ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
同理 ,所以 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 ，消去一个变量后，运算即可得解.
6．【答案】
【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
7．【答案】 .
【分析】
设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】
设点 ，则 .又 ，
当 时， ，
点A在曲线 上的切线为 ，即 ，
代入点 ，得 ，
即 ，
考查函数 ，当 时， ，当 时， ，
且 ，当 时， 单调递增，
注意到 ，故 存在唯一的实数根 ，此时 ，
故点 的坐标为 .
【点睛】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，
同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
8．【答案】4.
【分析】
将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】
当直线 平移到与曲线 相切位置时，切点Q即为点P到直线 的距离最小.
由 ，得 ， ，
即切点 ，
则切点Q到直线 的距离为 ，
故答案为 ．【点睛】
本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，
利用数形结合和转化与化归思想解题.
9．【答案】1
【详解】
函数f(x)=ax−lnx,可得 ,切线的斜率为： ，
切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)，
l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1.
故答案为1.
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 及斜率，
其求法为：设 是曲线 上的一点，则以 的切点的切线方程为： ．
若曲线 在点 的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为
．
10．【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值；
（2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得直线 的
方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积
公式结合二次函数的基本性质可求得 面积的最大值.
【详解】
（1）抛物线 的焦点为 ， ，所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；
（2）抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 、 、 ，
直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点 、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
，由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
