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第 18 讲 机械能守恒定律及其应用
——划重点之精细讲义系列
考点一 机械能守恒的理解和判断
一．重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
(2)重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
(1)公式：E＝mgh.
p
(2)特性：
①矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在
参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同．
②系统性：重力势能是物体和地球共有的．
③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，
与参考平面的选取无关．
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势
能就增加．
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即W ＝－(E －E )
G p2 p1
＝ － Δ E .
p
二．弹性势能
1．大小
弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
三．机械能守恒定律
1．机械能
动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能．
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总
的机械能保持不变．
(2)守恒的条件：只有重力或弹力做功．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒．
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零．
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能减少量，那
么系统的机械能守恒．
注意：并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少．
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其
他力不做功，机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有
机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒．
【典例1】关于机械能是否守恒，下列说法正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒
C．做变速运动的物体机械能可能守恒
D．合力对物体做功不为零，机械能一定不守恒
【典例2】(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，
A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
【典例3】(多选) 如图所示，斜面置于光滑水平地面，其光滑斜面上有一物体由
静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能减少，动能增加，机械能减小
B．斜面的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
【典例4】 (多选)如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，
物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块 B后留在其中，由子弹、弹簧和
A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能守恒的是( )
A．子弹射入物块B的过程
B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量最大的过程
C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程
D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达最大的过程
(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力
或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”．
(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能
必定不守恒．
(3)对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
考点二 单个物体的机械能守恒定律的应用
1.应用机械能守恒定律的基本思路
(1)选取研究对象
(2)受力分析和各力做功情况分析，确定是否符合机械能守恒条件．
(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况．
(4)选择合适的表达式列出方程，进行求解．
(5)对计算结果进行必要的讨论和说明．
2.三种守恒表达式的比较
表达
表达公式 表达意义 注意事项
角度
应用时应选好重力势能
系统初状态的机械能的
守恒 的零势能面，且初、末
E＋E＝E′＋E′ 总和与末状态机械能的
k p k p
观点 状态必须用同一零势能
总和相等
面计算势能
表示系统(或物体)机械 应用时关键在于分清重
转化
ΔE k ＝－ΔE p 能守恒时，系统减少(或 力势能的增加量或减少
观点
增加)的重力势能等于系 量，可不选零势能面而
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直接计算初、末状态的
统增加(或减少)的动能
势能差
若系统由A、B两部分
组成，则A部分物体机 常用于解决两个或多个
转移
ΔE
增
＝ΔE
减
械能的增加量与B部分 物体组成的系统的机械
观点
物体机械能的减少量相 能守恒问题
等
【典例1】如图所示，将一质量为m＝0.1 kg的小球自水平平台右端O点以初速度
v 水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好
0
通过最高点C，圆轨道ABC的形状为半径R＝2.5 m的圆截去了左上角127°的圆弧，
CB为其竖直直径(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不
计)，求：
(1)小球经过C点速度v 的大小；
C
(2)小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；
(3)平台末端O点到A点的竖直高度H.
【典例2】(多选) 如图所示，竖直面内光滑的圆形导轨固定在一水平地面上，半
径为R.一个质量为m的小球从距水平地面正上方h高处的P点由静止开始自由下落，
恰好从N点沿切线方向进入圆轨道．不考虑空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．适当调整高度h，可使小球从轨道最高点M飞出后，恰好落在轨道右端口N
处
B．若h＝2R，则小球在轨道最低点对轨道的压力为5mg
C．只有h大于等于2.5R时，小球才能到达圆轨道的最高点M
D．若h＝R，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为 R的位置，该过程重力做功
为mgR
【典例3】 如图所示，竖直平面内的一半径R＝0.50 m的光滑圆弧槽BCD，B点
与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝0.10 kg的小球从B点正上方
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】H＝0.95 m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上
的Q点，DQ间的距离x＝2.4 m，球从D点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最
大高度h＝0.80 m，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)小球经过C点时轨道对它的支持力大小F ；
N
(2)小球经过最高点P的速度大小v ；
P
(3)D点与圆心O的高度差h .
OD
机械能守恒定律的应用技巧
(1)机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应
用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断．
(2)如果系统(除地球外)只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两
个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便．
考点三 轻杆模型中的机械能守恒
1.模型构建
轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为
机械能守恒中的轻杆模型．
2.模型条件
（1）忽略空气阻力和各种摩擦．
（2）平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．
3.模型特点
（1）杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械
能不守恒．
（2）对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【典例1】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长
为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释
放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求：
(1)小球P的速度大小；
(2)在此过程中小球P机械能的变化量．
【典例2】如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，
两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止
开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
(2)整个运动过程中杆对A球所做的功．
【典例3】如图所示，质量分别为2m、3m的小球A和小球B分别固定在由轻质杆
构成的直角尺的两端，直角尺的定点O处有光滑的固定转动轴，AO、BO的长分别为
2L和L，开始时直角尺的AO杆部分处于水平位置而B在O的正下方，让该系统由静
止开始自由转动，求：
(1)当小球A到达最低点时，小球A的速度大小和小球A对AO杆作用力的大小；
(2)小球A由初始位置到达最低点的过程中，杆AO和杆BO分别对小球A和小球B
所做的功；
(3)B球能上升的最大高度h.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【典例4】如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水
平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环
由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超
过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
【典例5】如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A
和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2 m，开始时让连着A的细线
与水平杆的夹角θ ＝37°，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角θ ＝53°时，A的速度
1 2
为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？(设B不会碰到水平杆，
sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g＝10 m/s2)
在利用轻杆模型求解问题时应注意以下两点：
（1）本类题目易误认为两球的线速度相等，还易误认为单个小球的机械能守恒．
（2）杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对小球P做正功从而使它的机械能增加
同时杆对小球Q做负功，使小球Q的机械能减少，系统的机械能守恒.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点四 用机械能守恒定律解决非质点问题
在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，
其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再
看成质点来处理．
物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒．一般
情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则：物体各部分的重心位置，根
据初末状态物体重力势能的变化列式求解．
【典例1】如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，
斜面体固定不动．AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连．一条长为L的均匀柔软链条
开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a.现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
【典例2】如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两
边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等
时，右侧液面下降的速度为( )
A. B．
C. D.
【典例3】如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌
边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(
)
A. B.
C. D．4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．下列关于机械能守恒的说法中，正确的是( )
A．若只有重力做功，则物体机械能一定守恒
B．若物体的机械能守恒，一定是只受重力
C．做匀变速运动的物体机械能一定守恒
D．物体所受合力不为零，机械能一定守恒
2．不计空气阻力，下列运动的物体中机械能不守恒的是( )
A．起重机吊起物体匀速上升
B．物体做平抛运动
C．圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动
D．一个轻质弹簧上端固定，下端系一个重物，重物在竖直方向上下振动(以物体
和弹簧整体为研究对象)
3. 在一次课外趣味游戏中，有四位同学分别将四个质量不同的光滑小球沿竖直放
置的内壁光滑的半球形碗的碗口内侧同时由静止释放，碗口水平，如图所示．他们分
别记下了这四个小球下滑速率为v时的位置，则这些位置应该在同一个( )
A．球面 B．抛物面
C．水平面 D．椭圆面
4. 如图所示，在离水平地面一定高处水平固定一内壁光滑的圆筒，筒内固定一轻
质弹簧，弹簧处于自然长度．现将一小球从地面以某一初速度斜向上抛出，刚好能水
平进入圆筒中，不计空气阻力．下列说法中正确的是( )
A．弹簧获得的最大弹性势能小于小球抛出时的动能
B．弹簧获得的最大弹性势能等于小球抛出时的动能
C．小球从抛出到将弹簧压缩到最短的过程中机械能守恒
D．小球抛出的初速度大小仅与圆筒离地面的高度有关
5．有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，
A、B用一根不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看做质点，如图所示，开
始时细绳水平伸直，A、B静止．由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为
60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A. B.
C. D.
6．离心轨道是研究机械能守恒和向心力效果的一套较好的器材．如图甲所示，某
课外研究小组将一个压力传感器安装在轨道圆周部分的最低点 B处，他们把一个钢球
从轨道上的不同高处由静止释放．得到多组压力传感器示数 F和对应的释放点的高度
h的数据后，作出了如图乙所示的Fh图象．不计各处摩擦，取g＝10 m/s2.
(1)求该研究小组用的离心轨道圆周部分的半径；
(2)当h＝0.6 m，小球到达圆周上最高点C点时，轨道对小球的压力多大？
7. 如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和 2
kg 的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水
平面的高度h＝0.1 m．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机
械能损失，g取10 m/s2.则下列说法中正确的是( )
A．整个下滑过程中A球机械能守恒
B．整个下滑过程中B球机械能守恒
C．整个下滑过程中A球机械能的增加量为 J
D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为 J
8. (多选)如图所示，质量分别为m和2m的两个小球a和b，中间用轻质杆相连，
在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在 b球顺时针摆动到最
低位置的过程中( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．b球的重力势能减少，动能增加，b球机械能守恒
B．a球的重力势能增加，动能也增加，a球机械能不守恒
C．a球、b球组成的系统机械能守恒
D．a球、b球组成的系统机械能不守恒
9. (多选)如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，
质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，不计小球大小．开始时
a球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正
确的是( )
A．a球下滑过程中机械能保持不变
B．a、b两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变
C．a、b滑到水平轨道上时速度为
D．从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为
10．(多选)如图所示，一根长为L不可伸长的轻绳跨过光滑的水平轴O，两端分别
连接质量为2m的小球A和质量为m的物块B，由图示位置释放后，当小球转动到水平
轴正下方时轻绳的中点正好在水平轴O点，且此时物块B的速度刚好为零，则下列说
法中正确的是( )
A．物块B一直处于静止状态
B．小球A从图示位置运动到水平轴正下方的过程中机械能守恒
C．小球A运动到水平轴正下方时的速度大于
D．小球A从图示位置运动到水平轴正下方的过程中，小球 A与物块B组成的系
统机械能守恒
11．(多选)重10 N的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a点由静止下滑，到b点
接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a
点，已知ab＝1 m，bc＝0.2 m，那么在整个过程中( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．滑块动能的最大值是6 J
B．弹簧弹性势能的最大值是6 J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J
D．整个过程系统机械能守恒
12．如图所示，质量分别为m、2m、m的三个物体A、B、C通过轻绳与劲度系数
为k的轻弹簧相连接，并均处于静止状态。现在将B、C之间的细绳剪断，弹簧始终在
弹性限度内，不考虑一切阻力，下列说法正确的是（ ）
A．在C落地前，A、B、C三者组成的系统机械能守恒
B．剪断细绳前，弹簧的伸长量为
C．剪断细绳后，当B的速度最大时B增加的重力势能为
D．剪断细绳瞬间，A、B的加速度大小为
13．如图所示，质量为m的小球，用轻软细绳系在边长为a的正方形截面木柱的
边A处（木柱水平放置，图中画斜线部分为其竖直横截面），软绳长4a，质量不计，
它所能承受的最大拉力为6mg。开始绳呈水平状态，若以竖直向下的初速度 抛出小
球，为使绳能绕在木柱上，且小球始终沿圆弧运动，最后击中A点，则小球允许的初
速度 范围为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
14．如图所示，某一斜面与水平面平滑连接，一小木块从斜面由静止开始滑下，
已知小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数相同，取水平面为参考平面，重力势能
E、动能E、机械能E和产生的内能Q与水平位移x的关系图线错误的是（ ）
p k
A． B．
C． D．
15．如图所示，小滑块P、Q的质量均为m，P套在固定光滑竖直杆上，Q放在光
滑水平面上。P、Q间通过铰链用长为L的轻杆连接，轻杆与竖直杆的夹角为α，一水
平轻弹簧左端与Q相连，右端固定在竖直杆上。当α = 30°时，弹簧处于原长，P由静
止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，
弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中（ ）
A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．弹簧弹性势能最大值为
C．竖直杆对滑块P的弹力始终大于弹簧弹力
D．滑块P的动能达到最大时，Q受到地面的支持力大于2mg
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．（多选）如图，轻质弹簧一端与垂直固定在斜面上的板C相连，另一端与物
体A相连。物体A置于光滑固定斜面上，斜面的倾角 。A上端连接一轻质细线，
细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连且始终与斜面平行。开始时托住B，A静止且细线
恰好伸直，然后由静止释放B。已知物体A、B的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，
当地重力加速度为g，B始终未与地面接触。从释放B到B第一次下落至最低点的过程
中，下列说法正确的是（ ）。
A．刚释放物体B时，物体A受到细线的拉力大小为
B．物体A到最高点时，A所受合力大小为
C．物体B下落至最低点时，A和弹簧组成系统的机械能最大
D．物体A的最大速度为
17．（多选）如图，长为 的不可伸长轻绳一端系于固定点O。另一端系
一质量 的小球，将小球从O点左侧与O点等高的A点以一定初速度 水平向
右抛出，经一段时间后小球运动到O点有下方的B点时，轻绳刚好被拉直，此后小球
以O为圆心在竖直平面内做圆周运动。已知O、A的距离为 ，轻绳刚被拉直
时与竖直方向的夹角为 。重力加速度取 。 ，不计空气阻力。
下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．小球抛出时的初速度大小
B．轻绳被拉直前瞬间小球的速度为
C．小球做圆周运动摆到最低点时的动能为
D．小球做圆周运动摆到最低点时，轻绝对小球的拉力大小为
18．（多选）如图所示，有两条位于同一竖直平面内的光滑水平轨道，相距为 ，
轨道上有两个物体 和B，质量均为 ，它们通过一根绕过定滑轮 的不可伸长的轻
绳相连接。在轨道间的绳子与轨道成 角的瞬间，物体 在下面的轨道上的运动速率
为 。此时绳子 段的中点处有一与绳相对静止的小水滴 与绳子分离。设绳长
远大于滑轮直径，不计轻绳与滑轮间的摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．位于图示位置时物体B的速度大小为
B．小水滴 与绳子分离的瞬间做平拋运动
C．在之后的运动过程中当轻绳 与水平轨道成 角时，物体B的动能为
D．小水滴 脱离绳子时速度的大小为
19．如图所示，一个半径为R的圆周的轨道，O点为圆心，B为轨道上的一点，
OB与水平方向的夹角为37°.轨道的左侧与一固定光滑平台相连，在平台上一轻质弹簧
左端与竖直挡板相连，弹簧原长时右端在A点．现用一质量为m的小球(与弹簧不连
接)压缩弹簧至P点后释放．已知重力加速度为g，不计空气阻力．
(1)若小球恰能击中B点，求刚释放小球时弹簧的弹性势能；
(2)试通过计算判断小球落到轨道时速度能否与圆弧垂直；
(3)改变释放点的位置，求小球落到轨道时动能的最小值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】20．如图所示，竖直固定的四分之一粗糙圆轨道下端B点水平，半径R=1m，质
1
量M=1kg的长薄板静置于倾角θ=37°的粗糙斜面CD上，其最上端刚好在斜面顶端C点。
一质量为m=1.5kg的滑块（可看做质点）从圆轨道A点由静止滑下，运动至B点时对
轨道的压力大小为F =39N，接着从B点水平抛出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板
N
最上端，并在薄板上开始向下运动；当小物体落到薄板最上端时，薄板无初速度释放
并开始沿斜面向下运动，其运动至斜面底端时与竖直固定的光滑半圆轨道DE底端粘
接在一起。已知斜面CD长L=7.875m，薄板长L=2.5m，厚度忽略不计，其与斜面的
2 1
动摩擦因数μ=0.25，滑块与长薄板间的动摩擦因数为μ=0.5，滑块在斜面底端的能量
1 2
损失和运动过程中空气阻力均忽略不计，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，试求：
（1）滑块运动至B点时速度大小v及滑块由A到B运动过程中克服摩擦力做的功W；
f
（2）滑块运动到D点时的速度大小；
（3）如果要使滑块不会中途脱离竖直半圆轨道DE，其半径R 需要满足什么条件？
2
21．如图所示，四分之一光滑圆弧轨道和水平传送带固定在同一竖直平面内，圆
弧轨道半径 ，其底端切线水平且通过一段光滑水平轨道与传送带连接，传送
带长度为 ，离地高度为 ，沿逆时针方向转动的速度为 ，在距传
送带右侧水平距离 处有一离地高度 的平台。一质量 的小物
块（可视为质点）从圆弧顶点处由静止释放，物块与传送带间的动摩擦因数 ，
不计物块经过轨道连接处时的动能损失，且传送带转动轮足够小，g取 ，求：
（1）若传送带长度为 ，请通过计算判断物块能否到达右侧平台；
（2）若传送带长度为 ，物块能否返回圆弧轨道？若能，求物块在圆弧轨道能
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】上升的最大高度H。
22．如图所示，倾角θ=37°的斜面固定在水平面上，斜面顶点B处固定一个厚度不
计的挡板，挡板与斜面垂直，挡板上端固定着光滑圆弧轨道EF，O点为圆心，F在O
点正上方，OF=R，OE垂直斜面。在斜面下端A点静置着一块长为2R、质量为m的木
板，木板的厚度与斜面上端挡板的高度相同，在木板左端静置着一可视为质点的、质
量也为m的木块。若同时给木板和木块一个沿斜面向上的相同的初速度 ，
木板和木块将保持相对静止沿斜面减速上滑，木板上端恰好能运动到B点；现对静止
的木板施加沿斜面向上的恒力F=2mg，同时给木块一初速度v，木板运动到斜面上端
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与挡板相撞后粘在一起的同时撤去F，木块恰好能运动到木板上端边缘。已知木板与
斜面间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，
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sin37°=0.6。求：
（1）斜面长度s；
（2）木块与木板间的动摩擦因数μ；
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（3）如果s的大小可以改变，要使木板能在与木块共速前到达B端且木块进入圆弧
EF后不脱离圆弧，试确定s的取值范围。
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