文档内容
考点 25 机械能守恒定律及其应用
（核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2023·全国甲卷·T14、T22
2023·湖南卷·T8
机械能守恒定律 2023·浙江卷6月·T3
2022·全国乙卷·T16
2020·山东卷·T11
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近几年高考主要考查：机械能守恒的判断、机械能守恒定律及其应用
【备考策略】
1.知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容.
2.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题．
【命题预测】
要注意系统机械能守恒定律的综合应用
考向 1 机械能守恒的判断
1.对机械能守恒条件的理解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
（2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
（3）除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个物体的机械能
守恒，而是系统的机械能守恒。
2.机械能是否守恒的三种判断方法
利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能
定义法
守恒
若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则
做功法
机械能守恒
转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒
【特别提醒】判断机械能守恒应注意的“两点”
(1)机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是合力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重
力或弹力作用”。
(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
（2023·全国·统考高考真题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程
中（ ）
A．机械能一直增加 B．加速度保持不变 C．速度大小保持不变D．被推出后瞬间动能最大
【答案】 B
【解析】A．铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A错误；
B．铅球的加速度恒为重力加速度保持不变，B正确；
CD．铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球速度变
大，则动能越来越大，CD错误。
故选B。
（2023·河南开封·统考一模）如图所示，一内外侧均光滑的半圆柱槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一
竖直墙壁。现让一小球（可认为质点）自左端槽口 A点的正上方从静止开始下落，与半圆槽相切并从 A点
入槽内。则下列说法正确的（ ）
A．小球在槽内运动的全过程中机械能守恒
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．小球第二次经过槽最低点时，槽的速度最大
C．小球在槽内运动的全过程中，只有重力对小球做功
D．小球在槽内运动的全过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒、动量守恒
【答案】 B
【解析】AD．小球从下落到最低点的过程中，槽没有动，与竖直墙之间存在挤压，小球的动量不守恒，
小球与槽组成的系统动量也不守恒，小球的机械能守恒，小球与槽组成的系统机械能也守恒；小球经过最
低点往上运动的过程中，斜槽与竖直墙分离，小球与槽组成的系统动量水平方向动量守恒，竖直方向动量
不守恒；该过程小球的机械能不守恒，但是小球与槽组成的系统机械能守恒，选项AD错误；
B．小球第一次到达最低点时槽开始向右运动离开墙壁，此后小球对槽有斜向右下的压力使得槽向右加速
运动，直到小球第二次经过槽最低点时，槽的速度最大，此后小球滑到槽的左侧时对槽有斜向左下的压力
槽做减速运动，选项B正确；
C．小球经过最低点往上运动的过程中，斜槽往右运动，除重力对小球做功之外还有斜槽对小球的支持力
对小球做负功，选项C错误。
故选B。
考向 2 机械能守恒定律的应用
1.机械能守恒的三种表达式
守恒观点 E＝E 要选零势能参考平面
1 2
转化观点 ΔE＝－ΔE
k p
不用选零势能参考平面
转移观点 ΔE ＝－ΔE
A B
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
3．机械能守恒定律的应用技巧
(1)应用机械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒作
出判断。
(2)列方程时，选取的角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．用机械能守恒定律解决非质点问题
(1)在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发
生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
(2)这类物体虽然不能看成质点来处理，但若只有重力做功，则物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物
体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式
求解。一般情况物体各部分速度大小相同，动能用mv2表示。
（多选）（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组
成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨
道的直径2R。小球从A点以初速度v 冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（
0
）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v 增大，小球有可能从B点脱离轨道
0
【答案】 AD
【解析】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为
v = 0
C
则小球从C到B的过程中，有
联立有
F = 3mgcosα－2mg
N
则从C到B的过程中α由0增大到θ，则cosα逐渐减小，故F 逐渐减小，而小球从B到C的过程中，对轨
N
道的压力逐渐增大，A正确；
B．由于A到B的过程中小球的速度逐渐减小，则A到B的过程中重力的功率为
P = －mgvsinθ
则A到B的过程中小球重力的功率始终减小，则B错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．从A到C的过程中有
解得
C错误；
D．小球在B点恰好脱离轨道有
则
则若小球初速度v 增大，小球在B点的速度有可能为 ，故小球有可能从B点脱离轨道，D正确。
0
故选AD。
（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图所示，在竖直平面内距离水平地面高度为 3h处固定一光滑
的半径为R的圆弧形轨道（轨道长度小于四分之一圆弧长），圆弧形轨道右端与一光滑水平轨道相切，在
光滑水平轨道右侧固定一倾角为 的光滑斜面，斜面高度为2h。一质量为m的小球自圆弧形轨道的最高
点由静止滑下，小球刚好从斜面顶端沿切线落入斜面，并沿斜面下滑到斜面底端，不计空气阻力，重力加
速度为g。求：
（1）圆弧形轨道最高点和最低点之间的高度差。
（2）小球运动至圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小。
（3）小球沿斜面运动的时间。
【答案】 （1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）由平抛运动规律，可得
其中
根据动能定理，有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得圆弧形轨道的高度
（2）小球运动到圆弧形轨道最低点时，有
解得
由牛顿第三定律可知，小球运动至圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小
（3）由牛顿第二定律，小球沿斜面运动时，有
小球落在斜面上的速度
斜面长度
根据匀变速直线运动的公式有
解得小球沿斜面运动的时间
考向 3 多物体组成的系统机械能守恒的应用
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻
力和一切摩擦，系统的机械能守恒．
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔE＝－ΔE 或ΔE ＝－ΔE 的形式．
k p A B
2．几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)角速度相等情景
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
②由v＝ωr知，v与r成正比．
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等．
(4)含弹簧的系统机械能守恒问题
①由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他
力不做功，系统机械能守恒.
②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．
③对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相
等．
3．多物体系统机械能守恒问题的分析方法
(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。
(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。
【特别提醒】
1、轻绳连接的物体系统
常见
图例
（1）明确两物体的速度大小相等、还是沿绳方向的分速度大小相等。
解题 （2）用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化的关系。
关键 （3）对于单个物体，一般绳上的力会做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能
守恒
2、轻杆连接的物体系统
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】常见
图例
（1）平动时两物体的线速度相等，转动时两物体的角速度相等。
解题 （2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
关键 （3）对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统的机械
能守恒
3、轻弹簧连接的物体系统
题型 轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能
特点 和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒
解题 （1）对同一弹簧，其弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。
关键 （2）物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关
（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小
球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为 。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹
簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；
垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的 。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度
大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【答案】 （1） ；（2）
【解析】（1）由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知
得小球离开桌面时速度大小为
（2）离开桌面后由平抛运动规律可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第一次碰撞前速度的竖直分量为 ，由题可知
离开桌面后由平抛运动规律得
，
解得小球第一次落地点距桌面上其飞出的水平距离为
（2023·福建福州·福建师大附中校考模拟预测）甲、乙、丙三个物体用不可伸长的轻线通过轻滑轮连接，
甲与地面用轻弹簧连接，如图所示。物体乙与物块丙之间的距离和物体丙到地面的距离相等。已知物体乙
与物块内的质量均为m，物体甲的质量大于m，但是小于2m；弹簧的劲度系数为k。物体在运动过程中不
会与滑轮相碰，且不计一切阻力，物体碰地后不反弹，当地的重力加速度为g。
（1）若已知物体甲的质量为1.5m，将乙与丙间的线剪断，求剪断瞬间乙物体加速度的大小？此时甲、乙
之间轻绳拉力多大？
（2）若将乙与丙间的线剪断，甲下降多大距离时它的速度最大？
（3）若突然弹簧与甲物体脱离接触，要保证物块乙在运动过程中不会着地，求这种情形之下甲物体的质
量的取值范围？
【答案】 （1） ， ；（2） ；（3）
【解析】（1）将乙与丙间的线剪断，对甲乙整体根据牛顿第二定律
解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对乙进行受力分析有
则
（2）设甲物体质量为M，开始时弹簧处于伸长状态，其伸长量 ，有
解得
剪断轻线，甲的加速度为零时，速度达最大，设此时弹簧压缩量 ，有
解得
所以，甲速度最大时，下降的距离
（3）设丙距离地面为L，丙刚好落地时，甲、乙的速度为v
对于甲乙丙三物体组成系统，机械能守恒
若乙恰能着地，此时甲、乙物体速度为零，对甲乙两物体组成系统，其机械能守恒有
联立解得
所以 时，乙物体将不会着地
【基础过关】
1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）如图所示，一根轻杆长为 ，中点A和右端点B各固定一
个小球， ，左端O为光滑水平转轴．开始时杆静止在水平位置，释放后将向下摆动至竖直，在此
过程中以下说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．A、B两球的机械能都守恒
B．A、B两球的机械能不守恒，但它们组成的系统机械能守恒
C．这一过程O、A间轻杆对 球做正功
D．这一过程A、B间轻杆对 球做正功
【答案】 B
【解析】AB．两小球及轻杆组成的系统的机械能守恒，设摆到竖直时角速度为 ， ，则有
解得
即A的动能为
B的动能为
可知A球的机械能减少，B球的机械能增加，故A错误，B正确；
CD．由于A、B两球组成的系统机械能守恒，则下摆的过程 O、A间轻杆的弹力沿杆方向不做功；由于A
球的机械能减少，则A、B之间轻杆对A球做负功，故CD错误。
故选B。
2．（2023·四川成都·校考二模）如图甲所示，航天员在半径为R的某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平
面上，把质量为m的小球P（可看作质点）从弹簧上端h处（h不为0）由静止释放，小球落到弹簧上后继
续向下运动直到最低点。从接触弹簧开始的小球加速度 a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示，其中a、h
0
和x 为已知量，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．星球的第一宇宙速度 B．该弹簧劲度系数k的大小
C．小球在最低点处加速度大于a D．弹簧的最大弹性势能为
0
【答案】 C
【解析】A．根据图像可知小球接触弹簧时的加速度为a，所以星球表面的重力加速度为
0
所以第一宇宙速度为
故A错误；
B．当压缩量为x 时加速度为0，故
0
所以
故B错误；
C．根据
可知，若小球从弹簧原长处释放到最底部时小球的加速度为
在h>0情况下，小球到最低点的加速度大于a，故C正确；
0
D．小球下降到最低点的高度差
根据机械能守恒弹性势能最大值大于 ，故D错误。
故选C。
3．（2023·山东·模拟预测）如图所示，空间中有一处于竖直平面内的半径为R的光滑圆轨道，在圆心O处
固定一个带正电的带电小球，另有一个质量为m、带负电的小球在圆轨道外侧沿着轨道做圆周运动，当小
球以速率 通过最低点B时，轨道对小球的弹力大小为2mg，两小球均可视为质点，重力加速度为
g，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．小球在A点受到的弹力小于在B点受到的弹力
B．两小球之间的库仑力大小为6mg
C．小球能做完整的圆周运动时，在最高点受到的支持力始终比最低点受到的支持力大4mg
D．现将O点小球的电荷量增大一倍，若仍要使另一个小球做完整的圆周运动，小球通过最低点 B的速度
需要满足
【答案】 D
【解析】AB．设两小球之间的库仑力为F，小球在A点的弹力为 ，在B点受到的弹力为 ，在B点，
由牛顿第二定律可得
代入数据得
从A到达B点过程，小球满足机械能守恒，故有
解得
当小球通过A点时，由牛顿第二定律可得
联立解得
即
故AB错误；
C．若小球能做完整的圆周运动，由机械能守恒定律可知小球在A、B两点的动能之差为
在A点由牛顿第二定律可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在B点有
联立解得压力差
故C错误；
D．若O点小球的电荷量增大一倍，则库仑力增大为2F，则小球通过B点有最大速率时，小球与轨道间的
弹力为零，由牛顿第二定律可得
解得小球通过B点的最大速率为
要使小球能做完整的圆周运动，到达A点时的最小速度为0，对应的B点最小速度应满足
解得
所以要使另一个小球做完整的圆周运动，小球通过最低点B的速度需要满足
故D正确。
故选D。
4．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考阶段练习）如图所示，一轻弹簧竖直放置，下端固定
在水平地面上，自然伸长时弹簧上端处于A点。 时将小球从A点正上方O点由静止释放， 时到达A
点， 时弹簧被压缩到最低点B。以O为原点，向下为正方向建立x坐标轴，以B点为重力势能零点，弹
簧形变始终处于弹性限度内。小球在运动过程中的动能 、重力势能 、机械能 及弹簧的弹性势能
变化图像可能正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】A．小球在到达A点前做自由落体运动，速度一直在增大，动能在增大，在到达A点后弹簧弹力
小于小球重力，小球仍然向下做加速运动，经过平衡位置后弹簧弹力大于小球重力，小球做减速运动，动
能在减小，所以 时动能不是最大，故A错误；
B．以B点为重力势能零点，可知小球在下降的过程中有
可知 图像为一条直线，故B正确；
C．小球在到达A点前，只有重力做功，机械能守恒，接触弹簧后，弹力做负功，小球的机械能在减小，
故C错误；
D．设弹簧的劲度系数为k，小球接触到弹簧后，根据弹簧的弹性势能公式有
可知 图像不是直线，故D错误。
故选B。
5．（多选）（2023·黑龙江·统考模拟预测）如图所示，一足够长的圆筒竖直固定放置，物块 A、B、C的
质量均为m，B、C之间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，物块B、C静止。现将A从B的正上方 处静
止释放，之后A、B碰撞时间极短并粘合在一起。已知C与圆筒间最大静摩擦力为 ，最大静摩擦力等
于滑动摩擦力；弹簧的弹性势能表达式为 ，式中x为弹簧的形变量；重力加速度大小为g。下列
说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．A、B碰撞结束时速度的大小为
B．A、B碰后整体第一次达到的最大速率为
C．从A静止释放到最终A、B、C及弹簧组成的系统共损失机械能为
D．A、B碰后整体将做简谐运动
【答案】 AB
【解析】A．根据题意，设A碰撞前瞬间速度为 ，A、B撞后共同速度为 ，对A自由下落过程列动能
定理
解得
A、B碰撞过程满足动量守恒
解得
故A正确；
B．A、B碰撞后整体运动到速度最大处满足加速度为0，既
解得
从A、B撞后到速度最大列能量守恒定律
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得
故B正确；
CD．A、B碰撞过程损失的机械能为
解得
假设C不动，A、B碰撞后整体做简谐运动，关于速度最大的平衡位置下方也有一处速度为 ，根据简谐
运动的对称性，该处的合外力方向向上，大小与碰撞点相等为 ，对A、B整体受力分析得到此处弹簧弹
力应该为 ，此时C物块受力分析知C受到向下的力共为 ，C将开始运动，A、B整体运动不是简
谐运动，C运动后也将有摩擦内能生成，故CD错误。
故选AB。
6．（多选）（2023·天津宁河·天津市宁河区芦台第一中学校考模拟预测）如图所示，竖直固定的光滑细杆
上穿着一个小球B，小球通过一根不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与质量为m的物块A相连，用手将
物块A竖直向上托起至定滑轮左侧细绳与竖直方向的夹角为θ，现突然松手，物块A开始在竖直方向上做
往复运动，小球最高能到达M点。已知定滑轮到细杆的距高为d，Q点和定滑轮的高度相同， ，
，重力加速度大小为g，定滑轮可看作质点，下列说法正确的是（ ）
A．当小球经过Q点时，A物块的加速度为零
B．小球的质量为
C．小球经过Q点时的加速度大小为g
D．A和B组成的系统机械能不守恒
【答案】 BC
【解析】A．小球从P到Q，物块A从静止运动到最低点，此时速度为零，所以物块A先加速后减速，物
块A受到的拉力先小于重力后大于重力，当小球经过Q点时，A物块处于最低点，此时A物块的加速度不
为零，故A错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．小球经过Q点时水平方向受力平衡，在竖直方向仅受到重力作用，则加速度大小为g，故C正确；
BD．A和B组成的系统，整个系统只有重力做功，所以系统机械能守恒，则有
解得
故B正确，D错误。
故选BC。
7．（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，竖直轻弹簧下端固定在地面上，上端与物体
B连接。B物体质量为 ，平衡时，弹簧的压缩量为 。另一个质量也为 的物体A，从物体B正上方相
距 处自由落下，与物体B相撞并立刻一起向下运动，但互不粘连。它们到达最低点后又向上运动，恰
能一起回到 点。重力加速度大小为 ，求：
（1）碰撞前，弹簧的弹性势能；
（2）若将A物体从距离B物体 处重新释放，A上升到达的最高点与 点的距离。
【答案】 （1） ；（2）
【解析】（1）A自由下落过程，有
A、B碰撞过程，满足动量守恒，则有
A、B碰后恰能一起回到 点，则有
联立解得碰撞前，弹簧的弹性势能为
（2）若将A物体从距离B物体 处重新释放，A自由下落过程，有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A、B碰撞过程，满足动量守恒，则有
A、B碰后一起回到 点，则有
A、B在 点之后分离，A继续上升过程有
联立解得
【能力提升】
8．（2023·江苏扬州·扬州市新华中学校考一模）如图所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端 O
点与管口A的距离为2x，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为x，不
0 0
计空气阻力，则（ ）
A．弹簧的最大弹性势能为3mgx
0
B．小球运动的最大速度等于2
C．弹簧的劲度系数为
D．小球运动中最大加速度为g
【答案】 A
【解析】A．小球下落到最低点时重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，此时弹性势能最大，且有
E = 3mgx
pmax 0
故A正确；
C．根据选项A和弹簧弹性势能的表达式有
解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故C错误；
B．当小球的重力等于弹簧弹力时，小球有最大速度，则有
mg = kx
再根据弹簧和小球组成的系统机械能守恒有
解得最大速度为
故B错误；
D．小球运动到最低点时有
kx－mg = ma
0
解得
a = 5g
故D错误。
故选A。
9．（2023春·湖北·高三校联考开学考试）如图（a）所示，一根质量为 、长度为 的均匀柔软细绳置于
光滑水平桌面上，绳子右端恰好处于桌子边缘，桌面离地面足够高。由于扰动，绳从静止开始沿桌边下滑。
当绳下落的长度为 时，加速度大小为 ，绳转折处 点的张力大小为 ，桌面剩余绳的动能为 、动量
为 ，如图（b）所示。则从初态到绳全部离开桌面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，张力 有最大值
B．当 时，动量 有最大值
C．当 时，加速度 有最大值
D．当 时，动能 有最值
【答案】 D
【解析】AC．分析整段绳
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】隔离桌面部分
联立可得
，
故当 时， 有最大值； 时， 有最大值；故A错误，C错误；
B．由机械能守恒定律
可得
故
故当 时，动量 有最大值，故B错误；
D．根据
求导可得，当 时，动能 有最大值，故D正确。
故选D。
10．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）一根劲度系数为k的轻弹簧，上端固定，下端系一质量
为m 的物块。用一水平木板将物块托住，使弹簧处于原长状态，如图所示。现让木板由静止开始向下匀加
速运动，加速度大小 已知重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切阻力。下列说法正确
的是（ ）
A．物块下落的整个过程中，物块、弹簧和木板组成的系统机械能守恒
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．当弹簧的伸长量 时，物块与木板分离
C．物块下落到最低点时的加速度等于g
D．在以后的运动过程中弹簧不会再恢复到原长
【答案】 D
【解析】A．物块下落的整个过程中，受到木板的支持力作用，且支持力对物块做负功，所以物块、弹簧
和地球组成的系统机械能减小，故A错误；
B．当物块与木板之间的弹力为零，加速度为 时，恰好与木板分离，则对物块受力分析有
解得
故B错误；
C．若没有木板的作用，则物块由初态（弹簧处于自然长度）开始下落，到最低点为简谐运动，由对称性
可知最低点时的加速度大小为g，但实际过程中，有木板的作用力，则物块全程不是简谐运动，则最低点
加速度不为g，故C错误。
D．若没有木板的作用，则物块由初态（弹簧处于自然长度）开始下落，到最低点为简谐运动，按照对称
性可知物块做往复运动，还要运动到原来高度，即弹簧原长处，但由于木板对物块做负功，导致物块、弹
簧和地球组成的系统机械能减小，当物块向上运动至速度为零时，回不到原来的高度，则弹簧也就不会恢
复原长，故D正确。
故选D。
11．（多选）（2023·广西南宁·南宁三中校考二模）如图所示，将两个质量分别为m和2m的小球A和B
用一根长为L的轻杆（质量不计）连接，轻杆可绕通过中心O的水平轴无摩擦转动，现让杆处于水平位置
静止释放，在杆转至竖直的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．两球的速度始终相同
B．任意一段时间 内，杆对两球的冲量一定不同
C．任意一段时间 内，杆对两球做的功代数和一定为零
D．B球的机械能保持不变
【答案】 BC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】A．杆转动过程中，两球速度大小相等，方向相反，故A错误；
B．任一时刻，杆对两球的弹力大小相等，方向相反，所以杆对两球的冲量不相同，故B正确；
C．因AB系统机械能守恒，故任意一段时间Δt内，杆对两球做的功代数和一定为零，故C正确；
D．B球从图中位置转到最低点过程中，A球转到最高点，A球的动能和势能都增大，说明杆对A球做正
功，由于杆是质量不计的轻杆，所以杆对B球做负功，此过程B机械能减少，故D错误。
故选BC。
12．（多选）（2023·福建宁德·福建省福安市第一中学校考一模）如图所示，质量为2m，高为h，倾角为
θ的光滑斜面体A放在光滑的水平面上。质量为m的细长直杆B，受固定的光滑套管C约束，只能在竖直
方向上自由运动。初始时，A在水平推力F作用下处于静止状态，此时B杆下端正好压在A的顶端。现撤
去推力F，A、B便开始运动。重力加速度为g，则（ ）
A．推力 的大小为mgsinθ
B．运动过程中，B对A做正功
C．A、B组成的系统，水平方向上动量守恒
D．当杆的下端滑到斜面底端时，斜面体的速度大小
【答案】 BD
【解析】A．静止时A对B只有垂直斜面向上的支持力，C对B有水平向右的作用力，对B受力分析，如
图1所示
由平衡条件可知，竖直方向上有
可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由牛顿第三定律可知，静止时B对A只有垂直斜面向下的压力，大小为
对A受力分析，如图2示，由平衡条件，水平方向上有
故A错误；
B．直杆B对斜面体A的作用力垂直斜面向下，而斜面体A的位移方向为水平向右，所以直杆B对斜面体
A的作用力做正功，故B正确；
C．由于运动过程中直杆B受到光滑套管C的水平作用力，所以杆和斜面体组成的系统水平方向上动量不
守恒，故C错误；
D．当在很短时间 内光滑直杆下落 高度，由几何知识可知，斜面体向右发生的位移大小为 ，所
以光滑直杆与斜面体的速度大小之比为始终为 ，当杆滑到斜面底端时，设杆的速度大小为 ，斜面体
的速度大小为 ，由系统机械能守恒有
由速度关系
解得
故D正确。
故选BD。
13．（多选）（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，柔软的绳索放置在粗䤮水平桌面上， 为绳索
端点， 为绳索中点，且恰好处于桌面边缘。开始时绳索在外力的作用下处于静止状态，由静止释放绳索
后，绳索开始滑动，直至离开桌面，此过程中 点未落至地面。已知质量分布均匀的绳索总质量为 ，总
长度为 ，绳索和桌面间的滑动摩擦因数为 。下列分析正确的有（ ）
A．绳索离开桌面前的过程中重力势能减少了
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．绳索离开桌面时的动能为
C．绳索离开桌面前的过程中， 段的动能增加得越来越快
D．绳索离开桌面前的过程中， 段的机械能减小得越来越慢
【答案】 ACD
【解析】A．绳索离开桌面前的过程中重力势能减少量
故A正确；
B．绳索离开桌面前的过程中，克服摩擦力做功
由动能定理知绳索离开桌面时的动能为 ，故B错误；
C．由题易得绳索下滑过程加速度逐渐增大，速度增加得越来越快，动能增加得越来越快，C正确；
D．对 段利用牛顿第二定律易得 点张力逐渐减小，由功能关系得 段机械能减小得越来越慢，D正确。
故选ACD。
14．（多选）（2023·河北·校联考三模）如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，将质量 的
小球从轻弹簧正上方由静止释放，小球下落过程中受到恒定的空气阻力作用。以小球开始下落的位置为原
点，竖直向下为y轴正方向，取地面处为重力势能零点，在小球下落到最低点的过程中，弹簧的弹性势能
、小球的重力势能 随y变化的关系图像分别如图甲、乙所示，弹簧始终在弹性限度内，取重力加速
度 ，已知弹簧的弹性势能 （k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），下列说法正
确的是（ ）
A．图乙中
B．小球刚接触弹簧时速度大小为
C．小球刚接触弹簧时速度大小为
D．当弹簧的压缩量为 时，小球有最大速度
【答案】 ABD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】A．由甲图可知，小球到最低点时，高度下降 ，则重力势能减少
由乙图可知
解得
a=4
故A正确；
BC．重力势能转化为摩擦热和弹簧的弹性势能，根据
解得
结合图像，可知小球高度下降 内，重力和阻力做功，根据
解得小球刚接触弹簧时速度大小为
故B正确；C错误；
D．当小球高度下降 时，弹簧的压缩量为 ，此时
解得
当小球速度最大时，小球加速度为零，根据平衡条件
又
解得
即当弹簧的压缩量为 时，小球有最大速度。故D正确。
故选ABD。
15．（多选）（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）如图所示，质量均为m的物块A、B
用轻弹簧连接并竖直放置，轻绳绕过分别固定在同一水平面上 O、E两点的定滑轮一端与物块A相连，另
一端与质量为 的小球C相连，小球C套在水平固定、粗细均匀的光滑直杆上。开始时，小球 C锁定在
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直杆的P点，连接小球的轻绳与水平方向的夹角为θ=53°，物块B对地面的压力恰好为零。某时刻解除对
小球C的锁定，同时对小球C施加一个水平向右、大小为F的恒力，小球C运动到直杆Q点时的速度达到
最大，OQ与水平方向的夹角也为θ，D点为P、Q两点的中点，P、Q两点间的距离为L，E点在物块A的
正上方，小球C运动过程中轻绳始终处于拉直状态，弹簧始终在弹性限度内。忽略两定滑轮的大小，已知
重力加速度大小为g，sin53°=0.8，cos53°=0.6，下列说法正确的是（ ）
A．小球C从P点运动到D点的过程中，合外力对物块A做的功不为零
B．小球C从P点运动到D点的过程中，弹簧的弹力和轻绳的拉力对物块A冲量的和为零
C．小球C运动到Q点时物块A的速度大小为
D．小球C运动到Q点时物块A的加速度大小为
【答案】 CD
【解析】A．小球C在P点时物块A的速度为零；小球C运动到D点时物块A的速度也为零，则该过程中，
合外力对物块A做的功为零，故A错误；
B．小球C从P点运动到D点的过程中，物块A的动量变化为零，根据动量定理可知，弹簧的弹力和轻绳
的拉力以及物块A的重力对物块A冲量的和为零，故B错误；
C．小球C运动到Q点时，A回到原来的位置，则弹簧弹性势能不变，设 C的速度为v，则A的速度为
，根据能量守恒可得
解得
所以物块A的速度大小为
故C正确；
D．小球C运动到直杆Q点时的速度达到最大，则此时C受合力为零，对小球C，有
对A，根据牛顿第二定律得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得A的加速度为
故D正确。
故选CD。
16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图所示，质量均为m的重物A、B和质量为M的
重物C（均可视为质点）用不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮（半径可忽略）连接，C与
滑轮等高时，到两定滑轮的距离均为l，现将系统由静止释放，C竖直向下运动，下落高度为 时，速度
达到最大，已知运动过程中A、B始终未到达滑轮处，重力加速度大小为g。
（1）求C下落 时细绳的拉力大小F ；
T
（2）求C下落 时C的速度大小v ；
C
（3）若用质量为 的D替换C，将其静止释放，求D能下降的最大距离d。
【答案】 （1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）设C下落 时，细绳与竖直方向的夹角为θ，由几何关系可得
所以
对C，其速度最大时，加速度为0，合力为0，有
解得
（2）由几何关系，当C下落 时，A和B上升的高度为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对ABC组成的系统，根据机械能守恒定律，有
解得
（3）设D下落至最低点时，细绳与竖直方向的夹角为α，对A、B、D组成的系统，由机械能守恒定律有
由几何关系得
解得
17．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导
轨半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，它经过B点的速度为v ，之后沿半圆
0
形导轨运动，恰好能够到达半圆轨道的最高点C点。重力加速度为g。
（1）求弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）求物体在半圆轨道的最低点B时对轨道的压力；
（3）求物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功。
【答案】 （1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）根据功能关系可得弹簧压缩至A点时的弹性势能
E =
P
（2）在最低点，根据牛顿第二定律可得
解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】物体在半圆轨道的最低点B时对轨道的压力为 ；
（3）物体恰好能够到达半圆轨道的最高点，则有
从B到C的过程中，根据动能定理可得
解得物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功
18．（2023·江苏盐城·统考三模）如图所示，在水平地面上方固定一足够长水平直杆，质量为 M=3m的滑
块套在直杆上，长为H的轻绳一端固定在滑块底部O点，另一端连接质量为m的小球。O点到地面的高度
为2H。现将小球拉至与O点等高处，轻绳伸直后由静止释放。不计小球与滑块所受到的空气阻力，重力
加速度大小为g。
（1）若滑块固定，求轻绳转动30°时重力的瞬时功率P：
（2）若滑块与杆之间无摩擦，小球摆到最低点时，剪断轻绳，求小球落地时与滑块的距离s；
（3）若滑块不固定，小球运动的过程中，滑块始终静止，求滑块与杆之间的动摩擦因数的最小值μ。
【答案】 （1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）设轻绳转过30°时，小球的速度为v，根据机械能守恒定律有
重力的瞬时功率为
所以
（2）设小球摆到最低点时速度大小为v，滑块速度大小为v，根据水平方向系统动量守恒，有
1 2
根据系统机械能守恒，有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】剪断轻绳后，滑块做匀速运动，小球做平抛运动，经时间t落地，有
小球落地时与滑块间的水平距离为
小球与滑块之间的距离
（3）设轻绳转过θ时，小球的速度为v，轻绳中拉力为F，则
0
由牛顿第二定律，有
解得
所以动摩擦因数的最小值为 。
【真题感知】
19．（2023·浙江·统考高考真题）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中
运动时的加速度大小a、速度大小v、动能E 和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是（ ）
k
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】A．由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改
变，故A错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有
则抛出后速度大小为
可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B错误；
C．铅球抛出后的动能
可知动能与时间不是一次函数关系，故C错误；
D．铅球水平抛出后由于忽略空气阻力，所以抛出后铅球机械能守恒，故D正确。
故选D。
20．（2021·全国·高考真题）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一
端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢
底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统
（ ）
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒
D．动量不守恒，机械能不守恒
【答案】 B
【解析】因为滑块与车厢水平底板间有摩擦，且撤去推力后滑块在车厢底板上有相对滑动，即摩擦力做功，
而水平地面是光滑的；以小车、弹簧和滑块组成的系统，根据动量守恒和机械能守恒的条件可知撤去推力
后该系统动量守恒，机械能不守恒。
故选B。
21．（2021·河北·高考真题）一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为 、不可伸长的轻
细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳
刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加
速度为g，不计空气阻力）（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】小球下落的高度为
h = πR - R + R = R
小球下落过程中，根据动能定理有
mgh = mv2
综上有
v =
故选A。
22．（2021·重庆·高考真题）如图所示，竖直平面内有两个半径为 R，而内壁光滑的 圆弧轨道，固定在
竖直平面内，地面水平， 、O'为两圆弧的圆心，两圆弧相切于N点。一小物块从左侧圆弧最高处静止释
放，当通过N点时，速度大小为（重力加速度为g）（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】图中 连线与水平方向的夹角 ，由几何关系可得
可得
设小物块通过N点时速度为v，小物块从左侧圆弧最高点静止释放，由机械能守恒定律可知
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得
故D正确，ABC错误。
故选D。
23．（2022·全国·统考高考真题）北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处
由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点
时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处
这一段圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】运动员从a到c根据动能定理有
在c点有
F c ≤ kmg
N
联立有
故选D。
24．（2022·湖北·统考高考真题）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物 A、B和C
通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两
定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与
水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度
为 时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运
动 距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。
（1）求C的质量；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；
（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。
【答案】 （1） ；（2）6.5mg；（3）
【解析】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知
解得
（2）CD碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度v，根据动量守恒定律可知
解得
CD碰撞后D向下运动 距离后停止，根据动能定理可知
解得
F=6.5mg
（3）设某时刻C向下运动的速度为v′，AB向上运动的速度为v，图中虚线与竖直方向的夹角为α，根据机
械能守恒定律可知
令
对上式求导数可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时解得
即
此时
于是有
解得
此时C的最大动能为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
