文档内容
第 06 讲 机械能守恒定律 能量守恒定律
目录
考点一 机械能及守恒的判断.......................................4
........4
.............4
1. 机械能...............................................................4
2. 机械能是否守恒的三种判断方法...................5
..................5
考向一 机械能转化及守恒的判断.............................5
考点二 机械能守恒定律的应用...................................8
........8
............11
1. 机械能与图象结合的问题...............................11
2. 应用机械能守恒定律解题的一般步骤...........12
3. 系统机械能守恒的三种表示方式...................12
4. 多物体系统的机械能守恒问题.......................12
................13
考向一 机械能的图像类问题...................................13
考向二 单个物体的机械能守恒...............................14
考向三 多个物体(系统)的机械能守恒....................15
考点三 能量守恒定律及其应用.................................16
......16
...........20
1. 涉及弹簧的能量问题.......................................20
2. 摩擦力做功的能量问题...................................20
3. 板块问题...........................................................20
4. 传送带问题.......................................................21
................21
考向一 能量转化及守恒定律的综合应用...............21
考向二 涉及弹簧的能量问题...................................22
考向三 涉及板块、传送带的能量问题...................24考点要求 考题统计
考向一 机械能转化及守恒的判断：2023•全国•高考真题、2023•浙江•高考
机械能转化及守恒的判断 真题、2023•重庆•高考真题、2022•湖南•高考真题、2022•浙江•高考真题、
2021•全国•高考真题、2021•浙江•高考真题、2021•广东•高考真题
考向一 机械能的图像类问题：2023•浙江•高考真题、2022•福建•高考真
题、2022•江苏•高考真题、2021•湖北•高考真题
考向二 单个物体的机械能守恒：2023•辽宁•高考真题、2022•全国•高考真
机械能守恒定律的应用 题、2021•浙江•高考真题、2021•海南•高考真题、2021•河北•高考真题、
2021•重庆•高考真题
考向三 多个物体(系统)的机械能守恒：2022•河北•高考真题、2021•全国•
高考真题
考向一 能量转化及守恒定律的综合应用：2022•浙江•高考真题、2022•浙
江•高考真题、2021•浙江•高考真题、
能量转化及守恒定律的综 考向二 涉及弹簧的能量问题：2022•江苏•高考真题、2022•湖北•高考真
合应用 题、2021•江苏•高考真题、2020•浙江•高考真题、
考向三 涉及板块、传送带的能量问题：2023•全国•高考真题、2020•全国•
高考真题、2021•山东•高考真题
【命题规律及方法指导】
1. 命题重点：机械能守恒定律不单单会考本身知识，会结合匀变速直线运动、平抛运
动、圆周运动邓运动形式进行考察，利用机械能守恒去求解一些物理量，本部分内容中
高考没有做强制性要求，利用动能定理依然可解。另外机械能会与后面的电学结合起
来，机械能与电势能转化问题进行综合考核；能量方面主要涉及弹簧的能量与摩擦力做
功的能量转化问题，借助板块、传送带模型，结合动量等碰撞知识综合考察。在电磁感
应中也经常利用能量守恒求解发热等问题
2.常用方法：微元法、函数法、图像法、比较法、极限法；理解过程与状态、过程量与
考情分析 状态量。
3.常考题型：选择题，计算题．
【命题预测】
1.本专题属于重点、难点内容；
2.高考命题考察方向
①机械能守恒定律的考查：结合物体的典型运动进行考查；在综合问题的某一
过程中遵守机械能守恒定律时进行考查。
①能量及能量守恒定律的考察：结合典型运动考察涉及弹簧能量、摩擦力做功
能量转化等问题考点一 机械能及守恒的判断
1．（2023·全国·高考真题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中
（ ）
A．机械能一直增 B．加速度保持不变 C．速度大小保持不变D．被推出后瞬间动能最大
【考向】机械能
【答案】B
【详解】A．铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A错误；B．铅球的加速度恒为重力加速度保持
不变，B正确；CD．铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成
可知铅球速度变大，则动能越来越大，CD错误。
故选B。
2．（2021·全国·高考真题）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端
与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底
板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统（
）
A．动量守恒，机械能守恒 B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒
【考向】机械能守恒的判断
【答案】B
【详解】因为滑块与车厢水平底板间有摩擦，且撤去推力后滑块在车厢底板上有相对滑动，即摩擦力做功，
而水平地面是光滑的；以小车、弹簧和滑块组成的系统，根据动量守恒和机械能守恒的条件可知撤去推力
后该系统动量守恒，机械能不守恒。
故选B。
1. 机械能
E =mgh
1）重力势能： p .
【技巧点拨】
①重力势能是地球和物体组成的系统共有的，而不是物体单独具有的.
②重力势能的大小和零势能面的选取有关.
③重力势能是标量，但有“+”、“-”之分.1
E = kΔx2
p 2
2）弹性势能： .
1
E = mv2
k 2 1J=1N⋅m=1kg⋅m2 /s2
3）动能： ，单位：焦耳(J). .
【技巧点拨】
①动能是描述物体运动状态的物理量，是个状态量
2. 机械能是否守恒的三种判断方法
1）利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做
功代数和为0)，则机械能守恒．
2）利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能
的转化，则机械能守恒．
3）利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
4）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全
非弹性碰撞过程机械能也不守恒.
考向一 机械能转化及守恒的判断
1．（2024·山西大同·统考模拟预测）北京时间2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱在
东风着陆场成功着陆，神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功。如图所示是神舟十五号载人飞船返回舱返
回地面时的情境，打开降落伞后的一段时间内，整个装置先减速后匀速下降，在这段时间内关于返回舱的
说法正确的是（ ）
A．打开降落伞之后，返回舱仍处于失重状态
B．匀速下降阶段，返回舱的机械能守恒
C．匀速下降阶段，返回舱机械能的减少量等于重力对飞船做的功
D．减速下降阶段，返回舱动能的减少量等于阻力对飞船做的功
【答案】C
【详解】A．打开降落伞后，返回舱减速下降时，加速度方向向上，处于超重状态，故A错误；B．匀速
下降阶段，返回舱的动能不变，重力势能减小，因此机械能减小，故B错误；C．匀速下降阶段，返回舱
机械能的减少量等于飞船克服阻力做功的大小，而重力与阻力的大小相同，所以返回舱机械能的减少量等
于返回舱重力所做的功，故C正确；D．减速下降阶段，由动能定理可知，返回舱动能的减少量等于返回舱所受合力做功的大小，故D错误。
故选C。
2．（2023·上海闵行·统考二模）如图为“Y”型弹弓，先用力拉弹兜（内有弹丸）使皮筋拉伸，然后由静止
释放弹丸，不计空气阻力，弹出的弹丸在空中运动一段时间后击中目标。下列说法不正确的是（ ）
A．拉伸皮筋的过程，皮筋的弹性势能增大
B．释放弹丸后弹丸弹出前，弹兜对弹丸做正功
C．弹出后在空中运动的过程，弹丸的动能一直增大
D．由静止释放后击中目标前，弹丸的机械能先增大后保持不变
【答案】C
【详解】A．拉伸皮筋的过程，皮筋的形变量增大，弹性势能增大，故A正确；B．释放弹丸后弹丸弹出
前，弹兜对弹丸做正功，故B正确；C．若弹丸向上弹出，则弹出后在空中运动的过程，弹丸的重力做负
功，动能先减小，后增大，故C错误；D．由静止释放后弹力对弹丸做正功，弹丸的机械能增大，击中目
标前，只有重力对弹丸做功，弹丸的机械能保持不变，故D正确；
故选C。
3．（2024·甘肃白银·校考二模）高空“蹦极”是勇敢者的游戏。蹦极运动员将专用弹性橡皮绳（质量忽略
不计）的一端系在双脚上，另一端固定在高处的跳台上，运动员无初速地从跳台上落下。若不计空气阻力，
则（ ）
A．弹性绳刚伸直时，运动员开始减速
B．整个下落过程中，运动员的机械能保持不变
C．整个下落过程中，重力对运动员所做的功大于运动员克服弹性绳弹力所做的功
D．弹性绳从伸直到最低点的过程中，运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和先减小后增大
【答案】D
【详解】A．弹性绳刚伸直时，此时运动员的重力大于弹性绳的弹力，加速度向下，运动员仍加速运动，
故A错误；B．整个下落过程中，运动员连同弹性绳的机械能总和不变，但是整个下落过程中随着弹性绳
的弹性势能增大，运动员的机械能在减小，故B错误；C．整个下落过程中，初末状态运动员的速度均为
零，重力对运动员所做的功为 ，运动员克服弹性绳弹力所做的功为 ，由动能定理有 ,可知
,故C错误；D．根据前面分析可知运动员连同弹性绳的机械能总和不变，弹性绳从伸直到最低点
的过程中，运动员的速度先增大后减小，动能先增大后减小，故运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之
和先减小后增大，故D正确。
故选D。考点二 机械能守恒定律的应用
1．（2023·浙江·高考真题）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时
的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考向】机械能与图象结合的问题
【答案】D
【详解】A．由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改
变，故A错误；B．铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有 ，则抛出后速度大小为
，可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B错误；C．铅球抛出后的动能
，可知动能与时间不是一次函数关系，故C错误；D．铅球水平抛出后由于忽
略空气阻力，所以抛出后铅球机械能守恒，故D正确。
故选D。
2．（2022·全国·高考真题）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静
止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ）
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积【考向】机械能守恒定律的应用
【答案】C
【详解】如图所示
设圆环下降的高度为 ，圆环的半径为 ，它到P点的距离为 ，根据机械能守恒定律得 ，由几
何关系可得 ， ，联立可得 ，可得 ，故C正确，ABD错误。
故选C。
3．（2021·浙江·高考真题）如图所示，竖直平面内由倾角α=60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆
管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平
面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O 的连线，以及O、E、O 和B等四点连成的直线与水平线间的
2 2 1
夹角均为θ=30°，G点与竖直墙面的距离 。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小
球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。
(1)若释放处高度h=h，当小球第一次运动到圆管最低点C时，求速度大小v 及在此过程中所受合力的冲量
0 c
的大小和方向；
(2)求小球在圆管内与圆心O 点等高的D点所受弹力F 与h的关系式；
1 N
(3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？
【考向】单个物体的机械能守恒
【答案】(1) ， ，水平向左；(2) （h≥R）；(3) 或
【详解】(1)机械能守恒
解得
动量定理
方向水平向左(2)机械能守恒
牛顿第二定律
解得
满足的条件
(3)第1种情况:不滑离轨道原路返回，条件是
第2种情况：与墙面垂直碰撞后原路返回，在进入G之前是平抛运动
其中 ， ，则
得
机械能守恒
h满足的条件
4．（2021·全国·高考真题）如图，一倾角为 的光滑斜面上有50个减速带（图中未完全画出），相邻减速
带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带L
处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30
个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水
平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为g。
（1）求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
（2）求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
（3）若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应
满足什么条件？
【考向】多个物体(系统)的机械能守恒
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）由题意可知小车在光滑斜面上滑行时根据牛顿第二定律有
设小车通过第30个减速带后速度为v，到达第31个减速带时的速度为v，则有
1 2
因为小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同，故后面过减速带后的速度与到达下一个减速带均为v1和v2；经过每一个减速带时损失的机械能为
联立以上各式解得
（2）由（1）知小车通过第50个减速带后的速度为v1，则在水平地面上根据动能定理有
从小车开始下滑到通过第30个减速带，根据动能定理有
联立解得
故在每一个减速带上平均损失的机械能为
（3）由题意可知
可得
1. 机械能与图象结合的问题
1）解决图象问题的基本步骤
①观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
②根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
③将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、
图线的交点、图线下的面积等所表示的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入
函数关系式求物理量．
2）图象所围“面积”和图象斜率的含义
①v−t图像：图线与横轴围成的面积表示位移（x=vt）
②a−t图像：图线与横轴围成的面积表示速度变化量（ Δv=at ）
③
F−x
图像：图线与横轴围成的面积表示功（
W=Fx
）
E −E
E −x F 合 = kt Δx k0
④ k 图像：图线的斜率表示合外力（ ）
−ΔE
p
E −x
G=
⑤ p 图像：图线的斜率的绝对值表示重力（ Δh ）
⑥
P−t
图像：图线与横轴围成的面积表示功（
W=Pt
）
2. 应用机械能守恒定律解题的一般步骤
1）选取研究对象；
2）进行受力分析，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒；
3）选取参考平面，确定初、末状态的机械能或确定动能和势能的改变量；
4）根据机械能守恒定律列出方程；5）解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．
3. 系统机械能守恒的三种表示方式
1）守恒角度：系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等，即E =E
1 2
【技巧点拨】选好重力势能的参考平面，且初、末状态必须用同一参考平面计算势能
2）转化角度：系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能，即ΔE＝－ΔE
k p
【技巧点拨】分清重力势能的增加量或减少量，可不选参考平面而直接计算初、末状态的势
能差
3）转移角度：系统内A部分物体机械能增加量等于B部分物体机械能减少量，即ΔE ＝ΔE
A增 B减
【技巧点拨】常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
【技巧点拨】解题时究竟选取哪一种表达形式，应根据题意灵活选取;需注意的是:选用1）式时，必须
规定零势能参考面，而选用2）式和3）式时，可以不规定零势能参考面，但必须分清能量的减少量和
增加量.
4. 多物体系统的机械能守恒问题
1）对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计
空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．
2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系(可参考《专题03 考点一中关于牵连速度的讲解)和
位移关系．
3）列机械能守恒方程时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，一般选用 ΔE ＝－ΔE 或ΔE
k p A
＝－ΔE 的形式解决问题．
B
【技巧点拨】几种实际情景的分析
①速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化．
②角速度相等情景
Ⅰ、杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
Ⅱ、由v＝ωr知，v与r成正比．
③某一方向分速度相等情景(关联速度情景)两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等．
考向一 机械能的图像类问题
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）跳台滑雪是运动员以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重
通过助滑坡获得速度，比拼跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目。某次比赛中，滑雪运动员从起跳点
跳起后斜向上飞跃，运动至最高点后，最终下落至水平地面上，忽略运动员在空中运动时受到的阻力，以
起跳点为零势能点，E、E 和E分别表示运动过程中运动员的重力势能、动能和机械能，h表示运动过程
p k
中竖直向上的位移。则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】AB．运动员在空中运动阶段，由动能定理有 ，解得 ， 与 成线
性关系。运动员向上运动到最高点时有水平方向的速度，故最高点有动能，紧接着竖直向下开始加速。竖
直方向位移 在减小， 在增大，故A错误，B正确；C．由 ，可判断 与竖直方向位移成线性
变化，故C错误；D．运动员在空中只受重力作用，机械能守恒，故D错误。
故选B。
考向二 单个物体的机械能守恒
2．（2023·上海虹口·统考二模）如图，一足够长的光滑细杆与水平面成θ角固定放置，杆上套有一质量为
m的小球。对小球施加一沿杆向上的恒定拉力，使其从杆底端O点由静止起匀加速上升。以O点所在水平
面为重力零势能面，在此过程中小球的动能与重力势能始终相等。小球上升到某位置时撤去拉力，此前拉
力共做功W。（重力加速度为g）
（1）求撤去拉力前，小球的加速度a；
（2）求拉力大小F；
（3）通过计算证明：撤去拉力后，小球在继续上升的过程中机械能守恒。
（4）求小球动能为 W时的重力势能E。
p【答案】（1）a=gsinθ，沿斜面向上；（2）F=2mg·sinθ；（3）见解析；（4）
【详解】（1）设小球沿杆向上移动距离为x，因Ek=Ep，
即
解得v2=2gxsinθ
结合匀变速公式可以得到加速度a=gsinθ，沿斜面向上
（2）小球受到三个力的作用，如图
由牛顿第二定律可得F-mg·sinθ=ma
解得F=2mg·sinθ
（3）设撤去拉力时小球的速度为v1，小球沿杆已经上升距离s1，则此时机械能
撤去拉力后，牛顿第二定律-mg·sinθ=ma′
解得a′=-gsinθ，沿斜面向下
此后，小球继续沿杆上升任意距离s时的速度
动能
机械能总量
由于距离s任意，所以，撤去拉力后，小球在任意位置的机械能总量都保持不变，该过程中，杆对小球的
弹力与运动方向垂直，不做功，仅有重力做功。由此可以得出结论：撤去拉力后，小球在继续上升的过程
中，只有重力做功，机械能守恒。
（4）撤去拉力前，动能和重力势能始终相等，故
撤去拉力时小球获得机械能为W。撤去拉力后，机械能守恒
考向三 多个物体(系统)的机械能守恒
3．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图所示，套在光滑竖直细杆上质量为m的小球B，由跨过小定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为2m的重物A相连。杆与定滑轮的距离为l，初始时B与定滑轮等高。静止释放重
物A，全程A、B都未接触滑轮和地面，重力加速度大小为g，求：
（1）小球B最大下落高度；
（2）当小球B下落h=l时，A的速度大小。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）A、B组成的系统机械能守恒，有
解得
（2）A、B组成的系统机械能守恒，有
解得考点三 能量守恒定律及其应用
1.（2021·浙江·高考真题）一辆汽车在水平高速公路上以80km/h的速度匀速行驶，其1s内能量分配情况如
图所示则汽车（ ）
A．发动机的输出功率为70kW
B．每1s消耗的燃料最终转化成的内能是5.7×104J
C．每1s消耗的燃料最终转化成的内能是6.9×104J
D．每1s消耗的燃料最终转化成的内能是7.0×104J
【考向】能量转化及守恒
【答案】C
【详解】A．由图可知，发动机1s内克服转动阻力做功为1.7×104J，则输出功率为
，选项A错误； BCD．每1s消耗的燃料有6.9×104J进入发动机，则最终转化
成的内能的量为6.9×104J，选项C正确，BD错误。
故选C。
2．（2022·浙江·高考真题）风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途径之一。如图所示，风力发电
机是一种将风能转化为电能的装置。某风力发电机在风速为 时，输出电功率为 ，风速在
范围内，转化效率可视为不变。该风机叶片旋转一周扫过的面积为 ，空气密度为 ，风场风
速为 ，并保持风正面吹向叶片。下列说法正确的是（ ）
A．该风力发电机的输出电功率与风速成正比B．单位时间流过面积 的流动空气动能为
C．若每天平均有 的风能资源，则每天发电量为
D．若风场每年有 风速在 范围内，则该发电机年发电量至少为
【考向】能量转化及守恒
【答案】D
【详解】AB．单位时间流过面积A的流动空气体积为 ，单位时间流过面积A的流动空气质量为
，单位时间流过面积A的流动空气动能为 ，风速在 范围内，转化
效率可视为不变，可知该风力发电机的输出电功率与风速的三次方成正比，AB错误；C．由于风力发电存
在转化效率，若每天平均有 的风能资源，则每天发电量应满足
，C错误；D．若风场每年有 风速在 的风能资源，当
风速取最小值 时，该发电机年发电量具有最小值，根据题意，风速为 时，输出电功率为 ，
风速在 范围内，转化效率可视为不变，可知风速为 时，输出电功率为
，则该发电机年发电量至少为 。
D正确；
故选D。
3．（2023·全国·高考真题）（多选）如图，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量
为m的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度v 开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为
0
f，当物块从木板右端离开时（ ）
A．木板的动能一定等于fl B．木板的动能一定小于fl
C．物块的动能一定大于 D．物块的动能一定小于
【考向】板块问题
【答案】BD
【详解】设物块离开木板时的速度为 ，此时木板的速度为 ，由题意可知 ，设物块的对地位移为
，木板的对地位移为 ，CD．根据能量守恒定律可得 ，整理可得
，D正确，C错误；AB．因摩擦产生的摩擦热 ，
根据运动学公式 ， ，因为 ，可得 ，则 ，所以
，B正确，A错误。
故选BD。
4．（2021·山东·高考真题）如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。
现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段
时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩
擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为： ，k为弹簧的劲度
系数，x为弹簧的形变量）
（1）求B、C向左移动的最大距离 和B、C分离时B的动能 ；
（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值 ；
（3）若三物块都停止时B、C间的距离为 ，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力
做的功为W，通过推导比较W与 的大小；
（4）若 ，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在坐标轴
上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐
标原点，水平向右为正方向。
【考向】涉及弹簧的能量问题
【答案】（1） 、 ；（2） ；（3） ；（4）
【详解】（1）从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中，以B、C和弹簧为研究对象，由功能关系得
弹簧恢复原长时B、C分离，从弹簧最短到B、C分离，以B、C和弹簧为研究对象，由能量守恒得
联立方程解得
（2）当A刚要离开墙时，设弹簧得伸长量为 ，以A为研究对象，由平衡条件得若A刚要离开墙壁时B得速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值 ，从弹簧恢复原长到A刚要离开
墙得过程中，以B和弹簧为研究对象，由能量守恒得
结合第（1）问结果可知
根据题意舍去 ，所以恒力得最小值为
（3）从B、C分离到B停止运动，设B的路程为 ，C的位移为 ，以B为研究对象，由动能定理得
以C为研究对象，由动能定理得
由B、C得运动关系得
联立可知
（4）小物块B、C向左运动过程中，由动能定理得
解得撤去恒力瞬间弹簧弹力为
则坐标原点的加速度为
之后C开始向右运动过程（B、C系统未脱离弹簧）加速度为
可知加速度随位移 为线性关系，随着弹簧逐渐恢复原长， 减小， 减小，弹簧恢复原长时，B和C分离，
之后C只受地面的滑动摩擦力，加速度为
负号表示C的加速度方向水平向左；从撤去恒力之后到弹簧恢复原长，以B、C为研究对象，由动能定理
得
脱离弹簧瞬间后C速度为 ，之后C受到滑动摩擦力减速至0，由能量守恒得
解得脱离弹簧后，C运动的距离为
则C最后停止的位移为
所以C向右运动的图象为1. 涉及弹簧的能量问题
从能量的角度看,弹簧是储能元件.处理涉及弹簧的能量问题时,要特别注意:
1）当涉及弹簧的弹力做功时,由于弹簧的弹力是变力,故一般不直接采用功的定义式求解.中学阶段通常
根据动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律来间接求解弹簧弹力做的功或弹簧储存的弹性势能.
2）弹簧的弹性势能与弹簧的规格和形变程度有关,对同一根弹簧而言,无论是处于伸长状态还是压缩状
态,只要形变量相同,其储存的弹性势能就相同.
2. 摩擦力做功的能量问题
1）无论是静摩擦力还是滑动摩擦力都可以对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
2）静摩擦力做功的能量问题
①静摩擦做功只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能。
②一对静摩擦力所做功的代数和总等于零，而总的机械能保持不变。
3）滑动摩擦力做功的能量问题
①滑动摩擦力做功时，一部分机械能从一个物体转移到另一个物体，另一部分机械能转化为内容，
因此滑动摩擦力做功有机械能损失。
W=−F ⋅x
②一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功 f 相对，即发生相对滑动时产生的热量。
3. 板块问题
1）动力学分析：
①分别对滑块和木板进行受力分析（注意摩擦力方向），根据牛顿第二定律求出各自的加速度；
Δv Δv
t= 2 = 1
a a
②从放上滑块到二者速度相等，所用时间相等，由 2 1 ，可求出共同速度v和所用时间
t，
③由位移公式可分别求出二者的位移．
【技巧点拨】要注意区分三个位移：
①求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x ；
滑
②求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x ；
板
③求摩擦生热时用相对位移Δx.
2）功和能分析：对滑块和木板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律．4. 传送带问题
1）动力学分析：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第
二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系．
2）功能关系分析
W=ΔE (+ΔE )+Q
①功能关系分析：电机所做的功 k P
②对W和Q的理解：
W
Ⅰ、因放上物体而使电动机多消耗的电能：
W =F ⋅x
Ⅱ、传送带克服摩擦力做的功： f f 传；
Q=W =−F ⋅x
Ⅲ、产生的内能： f f 相对．
考向一 能量转化及守恒定律的综合应用
1．（2023上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）（多选）如图所示，一滑板爱好者沿着倾角为30°
的斜坡从静止开始自由下滑，下滑过程中的加速度大小恒为 ，已知滑板爱好者连同滑板的总质量为
m，重力加速度为g。在滑板爱好者（含滑板）沿斜坡下滑距离为L的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．滑板爱好者下滑过程中机械能守恒 B．滑板爱好者减少的重力势能为
C．滑板爱好者增加的动能为 D．滑板爱好者减少的机械能为
【答案】CD
【详解】A．滑板爱好者下滑过程中的加速度大小为 ，小于 ，因此滑板受到滑动摩擦力，机械
能不守恒，故A错误；B．滑板爱好者减少的重力势能等于重力所做的功，即减少的重力势能为
，故B错误；C．根据动能定理可知，滑板爱好者增加的动能为
，故C正确；D．根据牛顿第二定律可得 ，解得摩擦力大小
为 ，滑板爱好者减少的机械能等于克服摩擦力所做的功，即为 ，故D正确。
故选CD。2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）如图1所示，一台风力发电机的叶片长度为L，当风吹过叶片时，由
于空气动力的效应带动叶轮转动，叶轮通过主轴连结齿轮箱带动发电机发电。图2是该风力机的扫掠面积
示意图（风叶旋转扫过的面积在垂直于风向的投影面积，是风力发电机截留风能的面积）。已知空气的密
度为ρ，当地风速为v，风的动能转化为电能的效率为η，则该风力发电机的功率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】则t时间内流向风轮机的最大风能为 ,可得发电机的风力发电的
功率为 .
故选A。
考向二 涉及弹簧的能量问题
3．（2023·安徽·校联考二模）（多选）在一座高楼的顶层，工程师们正在安装一个新型的安全装置，来检
测大楼内部的振动情况，以便及时采取措施防止可能的安全隐患。如图为该安全装置的简化模型，竖直放
置的轻质弹簧下端固定在地面上，上端与物块甲连接，初始时物块甲静止于A点。现有质量为m的物块乙
从距物块甲上方h处由静止释放，乙与甲相碰后立即一起向下运动但不粘连，此时甲，乙两物块的总动能
为 ，向下运动到B点时总动能达到最大为 ，继续向下运动到达最低点C（未标出），之后在弹
起过程中将乙抛离甲。整个过程中弹簧始终处于竖直状态，且在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法
正确的是（ ）
A．物块甲的质量为m
B．弹起过程中，物块甲和物块乙一起运动到A点时分离
C．A、B两点间距离与B、C两点间距离之比为D．弹簧弹性势能的最大值为7mgh
【答案】AC
【详解】A．物块乙自由下落h，设碰撞前乙的速度为 ，对物块乙由机械能守恒有 ，而根据
题意，设碰后物块甲和物块乙的共同速度为v，碰后甲、乙的总动能为 ，物块甲和物块
乙碰撞，碰撞过程中动量守恒，根据动量守恒定律有 ，联立解得 ，故A正确；B．
物块甲与物块乙分离时速度、加速度均相等，相互作用的弹力为零，此时刻物块乙只受重力，加速度竖直
向下等于g，因此分离时物块甲的加速度也等于g，合力为mg，即此时弹簧处于原长状态，即物块甲与物
块乙在弹簧恢复原长时分离，故B错误；C．设弹簧劲度系数为k，甲、乙两个物块的质量均为m，设B、
A两点间距离为 ，C、B两点间距离为 ，在A点弹簧形变量 ，在B点弹簧形变量 ，则
可得 ，从A到B，根据动能定理可得 ，解得 ，在C点
弹簧的形变量 ，从B到C，根据动能定理可得 ，解得 ，可知
，故C正确；D．物块甲和物块乙在最低点C时弹性势能最大，又初始时弹簧的压缩量为
，初始时弹簧的弹性势能 ，从物块甲和物块乙在A点碰后到运动至最低点
C，由机械能守恒定律有 ，解得 ，故D错误。
故选AC。
4．（2024·河南信阳·信阳高中校考一模）某款弹射跑车玩具如图。一劲度系数为 的轻弹簧一
端固定，另一端将质量为 的小车沿光滑直轨道弹出，轨道由竖直圆形过山车轨道 和带有外侧
壁的水平圆形轨道 及多段直轨道连接构成，所有轨道均光滑且M、N轨道半径均为 ，忽略小车
的大小及其在轨道连接处的能量损失，若轻弹黄的形变量为 ，其具有的弹性势能为 ，其中 为
劲度系数，重力加速度取 ，求：
（1）若小车恰能沿 轨道做完整圆周运动，求初始弹簧压缩量;
（2）在第（1）问的基础上小车继续运动至 轨道最外侧 点时所受轨道的弹力大小。
【答案】（1）0.2m ；（2）【详解】（1）小球恰能沿M轨道做完整圆周运动，则在轨道最高点有
初态至M轨道最高点，由机械能守恒得
得
（2）由初态至N轨道最外侧C点，由机械能守恒得
C点水平面上有
竖直面上有
联立代入数据得
考向三 涉及板块、传送带的能量问题
5．（2023·全国·校联考模拟预测）（多选）如图所示，水平传送带以恒定速度 顺时针匀速运行，
左、右两端A、B之间距离 。现将一质量m=3kg可看做质点的物块轻轻放到传送带的A端，同时对
物块施加一水平向右的恒力 ．已知物块与传送带之间的动摩擦因数为 ，重力加速度g取
。物块从A端运动到B端的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块先匀加速运动后匀速运动
B．物块从A端运动到B端的时间为2s
C．物块运动到B端时，恒力F的瞬时功率为30W
D．物块与传送带间因克服摩擦产生的焦耳热为12J
【答案】BD
【详解】AB．物块速度加速到与传送带速度相等之前，物块所受传送带的摩擦力水平向右，根据牛顿第二
定律有 ，解得物块的加速度大小 ，此过程加速的时间 ，物块向右运动的
距离 ，摩擦力反向，根据牛顿第二定律有 ，解得物块的加速度大
小 ，由位移时间关系式有 ，解得此过程加速的时间 ，可知物块从A
端运动到B端的过程中，物块一直做匀加速运动，运动的时间为 ，故A错误，B正确；C．物
块运动到B端时的速度大小为 ，恒力F的瞬时功率为 ，故C错误；D．由
能量守恒有 ，故D正确。
故选BD。6．（2024·河南信阳·信阳高中校考一模）（多选）如图所示，质量为 的长木板放在粗糙的水平地
面上，质量 的小物块置于长木板右端，小物块与长木板之间的动摩擦因数 ，长木板与地
面之间的动摩擦因数 。现给小物块施加一个水平向左的恒力 ，给长木板施加一个水平向右
的恒力 时撤掉力 ，小物块始终未从长木板上掉下来。下列说法正确的是（ ）
A． 长木板的加速度
B． 过程中 对小物块做了 的功
C． 的过程中小物块与长木板之间的摩擦生热
D．恒力对小物块、木板系统做的功等于系统机械能的增加量
【答案】BC
【详解】A．对长木板进行受力分析，受力示意图如图所示
A. 根据牛顿第二定律 ， ，故A错误；B．对物块进行受力分析，
小物块先在拉力、摩擦力的作用下做匀加速直线运动，后在摩擦力作用下做匀减速直线运动，加速度大小
分别为 和 ，长木板和小物块在0~4s内的 如图所示，0~2s小物块做匀加速直线运动，位移
，拉力对小物块做功为 ，故B正确；C．两条 图线围成的面积表示小物块相对于木板运
动的长度，由 图像可知 ，小物块与长木板之间的摩擦生热 ，故C正确；
D．恒力对小物块、木板系统做的功等于系统机械能的增加量加上摩擦生热，故D错误。
故选BC。
