文档内容
自主命题卷 全国卷
2021·全国甲卷·T20 动能定理及
2021·山东卷·T3 功和功率 其应用
2021·湖南卷·T3 机车启动问题 2021·全国乙卷·T19 动能定理及
2021·河北卷·T6 动能定理及其应用 其应用
考
2021·浙江1月选考·T11 功和功率 2020·全国卷Ⅰ·T20 功能关系 机
情
2021·北京卷·T8 功和功率 械能守恒定律
分
2020·山东卷·T11 动能定理及应用 2020·全国卷Ⅱ·T25 动能定理在
析
2020·江苏卷·T4 动能定理及其应用 多过程问题中的应用
2019·全国卷Ⅱ·T24 动能定理
2021·浙江6月选考·T17 实验：验证 2016·全国卷Ⅰ·T22 实验：验证
机械能守恒定律 机械能守恒定律
体育运动中功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运
生活实践类 动、过山车等能量问题， 汽车启动问题，生活、生产中
试题 能量守恒定律的应用
情境 变力做功的计算，机车启动问题，单物体机械能守恒，用
学习探究类 绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守
恒问题，传送带、板块模型的能量问题
第 1 讲 功、功率 机车启动问题
目标要求 1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小.2.理解功率的
概念，并会对功率进行分析和计算.3.会分析、解决机车启动的两类问题．
考点一 恒力做功的分析和计算1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力．
(2)物体在力的方向上发生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
3．功的正负
(1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
(2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功．
1．只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功．( × )
2一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．( √ )
3．作用力做正功时，反作用力一定做负功．( × )
4．力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的．( √ )
1．是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移的方向的夹角判断；
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜
α≤180°，力做负功．
2．计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W、W、W…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合外力做的功．
1 2 3 合 1 2 3
方法三：利用动能定理W ＝E －E .
合 k2 k1
例1 (2022·广东惠州一中月考)图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对
手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止．下列关
于做功的判断中正确的是( )A．图甲中支持力对人做正功
B．图甲中摩擦力对人做负功
C．图乙中支持力对人做正功
D．图乙中摩擦力对人做负功
答案 A
解析 题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹
角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持
力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误．
例2 如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生
相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中．g取10 m/s2，求：
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功．
答案 (1)300 J (2)100 J (3)－400 J (4)0
解析 物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图
所示
由平衡条件得Fcos θ－F sin θ＝0，Fsin θ＋F cos θ－G＝0
f N f N
代入数据得F＝10 N，F ＝10 N
f N
x＝vt＝20 m
(1)斜面对物体的支持力所做的功
W ＝F xcos θ＝300 J
N N
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
W＝Fxcos (90°－θ)＝100 J
f f
(3)物体重力做的功W ＝Gxcos 180°＝－400 J
G
(4)合外力对物体做的功
方法一：W ＝W ＋W＋W ＝0
合 N f G方法二：F ＝0，W ＝F xcos α＝0.
合 合 合
考点二 变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法 以例说法
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3 f
等效
转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝
F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x，图线
0
与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x
0
平均
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式
值法
得W＝·Δx
应用动
能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，则有：
F
W －mgL(1－cos θ)＝0，得W ＝mgL(1－cos θ)
F F
考向1 微元法计算变力做功
例3 聂海胜利用太空跑台——动感单车锻炼，如图所示．假设聂海胜锻炼15分钟克服动
感单车阻力而消耗的能量约为900 kJ.假设动感单车的阻力主要来源于距车轴30 cm的阻尼装
置(可视为质点)，宇航员每分钟蹬车90圈，则阻尼装置对车轮的阻力约为( )A．180 N B．350 N C．580 N D．780 N
答案 B
解析 设平均阻力为F，则有F×(15×90×2πr)＝900 kJ，解得F≈354 N，故选B.
f f f
考向2 图像法计算变力做功
例4 如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小 F随位移大
小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则( )
A．物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动
B．运动过程中推力做的功为200 J
C．物体在运动过程中的加速度先变小后不变
D．因推力是变力，无法确定推力做功的大小
答案 B
解析 滑动摩擦力F＝μmg＝20 N，物体先加速运动，当推力减小到20 N时，加速度减小
f
为零，之后推力逐渐减小，物体做加速度增大的减速运动，当推力减小为零后，物体做匀减
速运动，选项 A、C 错误；F－x 图像中图线与横轴所围的面积表示推力做的功，W＝
×100×4 J＝200 J，选项B正确，D错误．
考向3 等效转换法计算变力做功
例5 如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，
以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上
升至C点的过程中拉力F做的功分别为W 和W，图中AB＝BC，则( )
1 2A．W>W
1 2
B．WΔl ，故W>W，A正确．
AB BC 1 2
考点三 功率的分析和计算
1．定义：功与完成这些功所用时间之比．
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢．
(2)P＝Fv
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
1．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率．( × )
2．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率．( √ )
3．当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大．( × )
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．其中F为恒力，α不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与
v的夹角，α可以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度
v在力F方向上的分速度．
考向1 功率的分析和计算
例6 如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球
以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率的变化情况是(
)
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
答案 A
解析 小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点，即小球做匀速圆周运动，那么小
球受到的重力mg、水平拉力F、绳子拉力F 三者的合力必是沿绳子指向O点．对小球受力
T
分析如图，F＝mgtan θ，由P＝Fvcos θ，可得P＝mgvsin θ，θ逐渐增大，则功率P逐渐增
大，A项正确．
例7 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面
足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10
m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为( )
A．48 W 24 W B．24 W 48 WC．24 W 12 W D．12 W 24 W
答案 B
解析 木块所受的合外力
F ＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
合
木块的加速度a＝＝2 m/s2
前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W.
故选项B正确．
考向2 功率和功综合问题的分析和计算
例8 一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方
向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间t的变化规律分别如图甲、乙所示，
则以下说法正确的是( )
A．第1 s内，F对滑块做的功为3 J
B．第2 s内，F对滑块做功的平均功率为4 W
C．第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率为1 W
D．前3 s内，F对滑块做的总功为零
答案 C
解析 由题图可知，第1 s内，滑块位移为1 m，F对滑块做的功为2 J，A错误；第2 s内，
滑块位移为1.5 m，F对滑块做的功为4.5 J，平均功率为4.5 W，B错误；第3 s内，滑块位
移为1.5 m，F对滑块做的功为1.5 J，第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率P＝Fv＝1 W，C
正确；前3 s内，F对滑块做的总功为8 J，D错误．考点四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像
和v－t
图像
过程 a＝不变⇒F不变⇒P＝Fv↑直到
v↑ F＝↓⇒a＝↓
OA 分析 P＝P
额
＝Fv
1
⇒
段 运动
加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t＝
0
性质
过程
F＝F 阻⇒a＝0 v
m
＝ v↑ F＝↓⇒a＝↓
AB 分析
⇒ ⇒
段 运动
以v 做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
m
性质
F＝F 阻⇒a＝0 以v
m
＝做匀速直
BC段
线运动 ⇒
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝.
m
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝
P B．W>W，P＝P
1 2 1 2 1 2 1 2
C．W>W，P>P D．W＝W，P＝P
1 2 1 2 1 2 1 2
答案 A
解析 根据功的定义，两次水平恒力F做的功相等，即W ＝W ；第一次是在光滑水平面上，
1 2
第二次是在粗糙水平面上，第二次受到摩擦力作用，作用同样大小的力F，第一次的加速度
较大，由x＝at2可知，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次需要的时间较短，根据功
率的定义，可知第一次的平均功率较大，即P>P，选项A正确．
1 2
2．(2020·江苏卷·1)质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到的阻力大小为1.8×103 N．此时，汽车发动机输出的实际功率是( )
A．90 W B．30 kW C．36 kW D．300 kW
答案 C
解析 汽车匀速行驶，牵引力 F等于阻力F，实际功率P＝Fv＝Fv＝1.8×103×20 W＝
f f
3.6×104 W＝36 kW，故选项C正确．
3.(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从
A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力F 的大小不变，重力加速度为g，则下列说法正
阻
确的是( )
A．重力做功为mgl
B．绳的拉力做功为零
C．F 做功为－mgl
阻
D．F 做功为－F πl
阻 阻
答案 ABD
解析 小球下落过程中，重力做功为mgl，A正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做
功为零，B正确；空气阻力F 大小不变，方向始终与速度方向相反，故 F 做功为－F
阻 阻 阻
·πl，D正确．
4.(2021·山东卷·3)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为 L的轻质细杆，一端
可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连．木块以水平初速度v 出发，恰
0
好能完成一个完整的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理
－F·2πL＝0－mv2
f 0
可得摩擦力的大小F＝，故选B.
f
5．我国自主研制的绞吸挖泥船“天鲲号”达到世界先进水平．若某段工作时间内，“天鲲号”的泥泵输出功率恒为1×104 kW，排泥量为1.4 m3/s，排泥管的横截面积为0.7 m2，则
泥泵对排泥管内泥浆的推力为( )
A．5×106 N B．2×107 N
C．2×109 N D．5×109 N
答案 A
解析 设排泥管内泥浆的速度为v，由Q＝Sv得v＝＝2 m/s；又由P＝Fv得F＝＝5×106
N，故A正确．
6．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为 2 kg的物体在拉力F作用下由静止向上做
匀加速运动，物体速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．0～4 s内F的平均功率为42 W
答案 C
解析 由题图乙可知，v－t图像的斜率表示物体加速度，即a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可
得：F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末F的作用点的速度大小为v ＝2v ＝4 m/s，故4 s末F
F 物
的功率为P＝Fv ＝42 W，C正确；0～4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l
F
＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故平均功率＝＝21 W，D错误．
7.(多选)如图所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上，并与B保持相对静止，一起
沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )
A．A所受的合力对A做正功
B．B对A的弹力对A做正功
C．B对A的摩擦力对A做正功
D．A对B的作用力对B做正功
答案 AC
解析 A、B作为整体，由牛顿第二定律得(m ＋m )·gsin θ＝(m ＋m )a，解得a＝gsin θ，由
A B A B
牛顿第二定律知，A所受合力方向沿斜面向下，与速度方向相同，故 A所受合力对A做正功，A正确；B对A的弹力竖直向上，与速度方向的夹角大于90°，故B对A的弹力对A做负功，
B错误；B对A的摩擦力方向水平向左，与速度方向的夹角小于 90°，故B对A的摩擦力对
A做正功，C正确；设B对A的摩擦力和支持力沿斜面方向的合力为 F，对A，由牛顿第二
定律得m gsin θ＋F＝m a，解得F＝0，由牛顿第三定律知，A对B的摩擦力和压力沿斜面
A A
方向的合力为零，故A对B的作用力对B不做功，D错误．
8.(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面．某竖井中矿车提升的
速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它
们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等．不考虑摩擦阻力
和空气阻力．对于第①次和第②次提升过程，( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
答案 AC
解析 由题图可得，变速阶段的加速度大小a＝，设第②次所用时间为t ，根据速度－时间
2
图像与时间轴所围的面积等于位移(此题中为提升的高度)可知，×2t×v ＝[t ＋(t －
0 0 2 2
2×)]×v ，解得：t ＝，所以第①次和第②次矿车上升所用时间之比为2t∶＝4∶5 ，选项
0 2 0
A正确；由于两次提升过程变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，
F－mg＝ma，可得电机的最大牵引力之比为1∶1，选项B错误；由功率公式，P＝Fv，电
机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，选项C正确；加速上升过程的加速度
a ＝，加速上升过程的牵引力F ＝ma ＋mg＝m(＋g)，减速上升过程的加速度a ＝－，减速
1 1 1 2
上升过程的牵引力F＝ma ＋mg＝m(g－)，匀速运动过程的牵引力F＝mg.第①次提升过程做
2 2 3
功 W ＝F××t×v ＋F××t×v ＝mgvt ；第②次提升过程做功 W ＝F××t×v ＋
1 1 0 0 2 0 0 00 2 1 0 0
F×t×v＋F××t×v＝mgvt，两次做功相同，选项D错误．
3 0 0 2 0 0 00
9．(2021·湖南卷·3)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量
为m的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功
率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F
阻
＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大
速度为v .下列说法正确的是( )
m
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为v
m
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 t达到最大速度
v ，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mv 2－Pt
m m
答案 C
解析 对动车组由牛顿第二定律有
F －F ＝ma，
牵 阻
动车组匀加速启动，即加速度a恒定，但F ＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增
阻
大而增大，故A错误；
若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为 4P，由牛顿第二定律有－kv＝ma，故可
知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；
若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，动车组匀速行驶时加速度为零，有＝kv，
而以额定功率匀速行驶时，有＝kv ，
m
联立解得v＝v ，故C正确；
m
若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度v ，
m
由动能定理可知4Pt－W ＝mv 2－0
克阻 m
可得动车组克服阻力做的功为
W ＝4Pt－mv 2，故D错误．
克阻 m
10．如图甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车，正以10 m/s的速度向右
匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v－t图像如图乙所
示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持 20 kW不变，
假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小．求：
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力F 的大小；
f1
(2)汽车到达B点时的加速度a的大小；
(3)BC路段的长度．
答案 (1)2 000 N (2)1 m/s2 (3)68.75 m
解析 (1)汽车在AB路段时，有F＝F ，P＝Fv，
1 f1 1 1
联立解得：F ＝2 000 N.
f1(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，
有F＝F ，F ＝，
2 f2 f2
联立解得：F ＝4 000 N.
f2
t＝5 s时汽车开始做减速运动，有F－F ＝ma，
1 f2
解得a＝－1 m/s2，即加速度大小为1 m/s2
(3)在BC段由动能定理得：PΔt－F x＝mv2－mv2，
f2 2 1
解得x＝68.75 m.
11.(多选)质量为2×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F和车速
倒数的关系图像如图所示．已知行驶过程中最大车速为30 m/s，设阻力恒定，则( )
A．汽车所受阻力为6×103 N
B．汽车的车速为5 m/s时，加速度为3 m/s2
C．汽车的车速为15 m/s时，加速度为1 m/s2
D．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104 W
答案 CD
解析 当牵引力等于阻力时，速度最大，由题图可知阻力大小 F＝2 000 N，故A错误；车
f
速为5 m/s时，汽车的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2，故B错误；由题图可知P＝Fv＝2 000×30
f
W＝6×104 W，汽车的最大功率为6×104 W，故D正确；当车速为15 m/s时，牵引力F＝
＝ N＝4 000 N，则加速度a′＝＝ m/s2＝1 m/s2，故C正确．
