文档内容
二模模拟卷02-新题型 数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据偶次根式要求被开方式大于等于零，求得集合 ，解分式不等式求得集合
，之后求交集得到结果.
【详解】由 ，得 ，所以 ，
由 及 ，得 ，解得 ，解得 ，
所有 ，
故选：C
2．已知 为两个不同的平面， 为两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C【分析】根据面面平行的性质定理可得选项A的正误；考虑直线 是否在平面 内可得选项B的正误；选
项C根据面面垂直的判定定理可得正误；选项D考虑直线 与平面 的位置关系可得正误.
【详解】对于选项A，缺少 共面的条件，因此得不到 ，直线 还可以互为异面直线，故A错误；
对于选项B，直线 还可以在平面 内，故B错误；
对于选C，由 得 分别为 的垂线，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面互相垂
直，故C正确；
对于选项D，直线 与平面 或平行，或相交，或直线在平面内，故D错误.
故选：C.
3．设 是两个单位向量，其夹角为 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析： ，
， ， ．
是 的真子集，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．故A正确．
考点：1充分必要条件；2向量的数量积．
【方法点睛】本题主要考查的是充分必要条件，属容易题．当 是 的真子集时，集合 中变量的范围可
以推出集合 中变量的范围，但是集合 中变量范围却推不出集合 中变量的范围．
4．《算法统宗》是中国古代数学名著，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首：
一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要详
推.这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）
A．8岁 B．9岁 C．11岁 D．12岁
【答案】C
试卷第2页，共19页【分析】将年龄从小到大排列成公差为3的等差数列 ，利用公式计算得到答案.
【详解】将年龄从小到大排列成公差为3的等差数列 ，前 项和为 ，
则 ，解得 .
故选：C.
5．已知 ，则 （ ）
A． B．－1 C． D．
【答案】C
【分析】应用诱导公式、商数关系可得 ，再由和角正切公式展开求得 ，最
后由 求值即可.
【详解】由 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，故 ，
由 .
故选：C6．设函数 的定义域为R，若存在常数 ，使 对一切实数x均成立，则称 为
“倍约束函数”.现给出下列函数：① ；② ；③ ；④ 是定义在R
上的奇函数，且对一切 ， 均有 ．其中是“倍约束函数”的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】根据函数的新定义，对于①： 成立；对于②：利用定义得到 ，不存在这样的
；对于③：特殊值代入验证即可；对于④：先利用奇函数的定义得到 ，再令 即可
判断.
【详解】由题意，若存在常数 ，使 对一切实数x均成立，
则称 为“倍约束函数”
对于①中，函数 ，
存在实数 ，
使得 ，
所以是成立的；
对于②中，函数 ，
因为 ，得 对一切实数x均成立，
所以不存在满足条件的实数 ，
使得 ，
所以不是“倍约束函数”；
对于③中，函数 ，
其中 ，
试卷第4页，共19页所以不是“倍约束函数”；
对于④中，由函数 是定义在R上的奇函数，
得 ，
且对一切 均有 ，
当 时，
可得 成立，
这样的 存在，
所以是“倍约束函数”.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的新定义，以及基本初等函数的图象与性质的应用，其中解答中
熟记函数的图象与性质，结合函数的新定义，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的
能力.
7．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项
比赛至少一位同学参加，事件 “甲参加跳高比赛”，事件 “乙参加跳高比赛”，事件 “乙参加
跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件求出 ，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公
式进行逐一判断即可
【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有 不同的安排方法，
事件 “甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有 种方法；
若跳高比赛安排1人，则有 种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有 种，则 ，同理 ，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有
种不同的安排方法，所以 ，
因为 ，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A
与C不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有 种，所以
，所以 ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：C
8．椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们的交点 对两公共焦点 ， 张的角为 .椭圆与双曲线
的离心率分别为 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先将椭圆和双曲线的 、 、 分别设出, 并设 , ,在 中,根据余弦定理可得
试卷第6页，共19页,根据几何意义,整理为 ；再分别根据椭圆与
双曲线的定义,将该式分别整理为 , ,利用 ,对等式两边同除 ,分别得到
, ,建立两式的联系,即可得出结果
【详解】设椭圆的长半轴为 ,双曲线的实半轴为 ,半焦距为 ,设 , , ,椭
圆与双曲线的离心率分别为 ，
,由余弦定理可得， ,即
,即 ①,
在椭圆中，由定义得 , ①化简可得 ,即 ,等式两边
同除 ,得 ,即 ②
在双曲线中，由定义得 ,①化简可得 ,即 ,等式两
边同除 ,得 ,即 ③
联立②③得 ,即 ,
故选B
【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点,椭圆与双曲线的定义,离心率的定义,余弦定理的使用,考查运算能力
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知 为复数，且 为纯虚数，则（ ）
A． B． 的实部为0时，
C． 的最大值为3 D．
【答案】ACD
【分析】首先设 ，代入运算得到 ，直接判断AB，利用三角代换，判断CD.
【详解】设 ，则 ，
因为 是纯虚数，所以 ，所以 ，故A正确；
若 的实部为0，则 ，那么 ，代入 ，故B不正确；
设 ， ， ，
， ，
当 时， 的最大值是3，故C正确；
，
因为 ，所以 ，即 ，故D正确.
故选：ACD
10．如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在 时刻相对于平衡位置的高度
可以田 确定，则下列说法正确的是（ ）
试卷第8页，共19页A．小球运动的最高点与最低点的距离为
B．小球经过 往复运动一次
C． 时小球是自下往上运动
D．当 时，小球到达最低点
【答案】BD
【分析】根据正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】小球运动的最高点与最低点的距离为 ，所以选项A错误；
因为 ，所以小球经过 往复运动一次，因此选项B正确；
当 时， ，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C错误；
当 时， ，所以选项D正确，
故选：BD
11．如图，正三棱柱 中， ，点P在线段 上（不含端点），则（ ）
A．不存在点P，使得B． 面积的最小值为
C． 的最小值为
D．三棱锥 与三棱锥 的体积之和为定值
【答案】BD
【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断AB；把 放置于
同一平面内，计算两点间距离判断C；利用等体积法计算判断D.
【详解】在正三棱柱 中，取BC的中点O，连接OA，
则 ，又 底面ABC，则 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，在平面 内作 ，
以O为原点，直线 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，所以 ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
设 ，则 ，
试卷第10页，共19页所以 ， ，则 .
对于A， ， ，
要使 ，则 ，解得 ，
所以当 时，存在点P，使得 ，故A不正确；
对于B， ， ，
设 ，则 ，
所以 ，
则 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值 ，故B正确；
对于C，将 和 沿 展开在同一平面内，如图，
连接 交 于点T，可知 ，当点P与点T重合时取得最小值 ，
依题意， ， ，
则 ， ，所以 ，
在 中，由余弦定理，得
，
则 ，即 的最小值为 ，故C不正确；
对于D， ，故D正确．
故选：BD.
【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一
平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知平面向量 与 的夹角 ，且 .若平面向量 满足 ，则 .
【答案】
【解析】设平面向量 ，向量 ，则 ，由 ，可建立关于x,y的方程
组，解之可得答案.
【详解】解：设平面向量 ，向量 ，则 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量的数量积运算，属于基础题.
13．已知点 ，其中 ，且 ， ，
若四边形 是矩形，则此矩形绕 轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为 ．
试卷第12页，共19页【答案】
【详解】试题分析：根据题意，作图如下，若四边形 是矩形，则 ．令 ，由条
件， ，所以圆柱体的体积为 ．因为 ， ，所以
可将 和 看作为方程 的两个不同的实数解，则 ， ，所以
，所以 ≤
＝ ，当且仅法 ，即 时等号成立，所以该圆柱的体积的最大值为 ．
考点：1、圆柱体的体积；2、基本不等式．
14．已知函数 ，若 ，则关于 的不
等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】计算出 ，函数 关于点 中心对称，得到 有唯一的
解 ，求出函数的单调性，结合题目条件得到 ，进而得到分段函数解析式，计算出，故 ，结合函数单调性得到不等式.
【详解】由题意，得 ， ，
所以 ，即函数 关于点 中心对称．
因为 恒成立，所以当 时， ，
当 时， ．
所以 有唯一的解 ．
，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递增，
又 ， ，
故 在R上单调递增，
，
由对称性可知 ，
下面证明 ，过程如下：
若 时，则 ，且 ，则 ， ，
，
试卷第14页，共19页此时 ，
同理可得当 时， ，
当 ，即 时， ， ，满足 ，即 ．
故 ，
当 时， ，
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，
又不等式 ，所以 ．
由 ，得 ．由 ，得 ．
所以原不等式的解集为 ．
故答案为：
【点睛】函数的对称性：
若 ，则函数 关于 中心对称，
若 ，则函数 关于 对称
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在圆内接 中，角 所对的边分别为 ，满足 .
（1）求 的大小；
（2）若点 是劣弧 上一点， ，求线段 长.
【答案】（1） ；（2）1.
【分析】（1）利用正弦定理化简 即得B的值；（2）先利用余弦定理求出AC的
长，再利用三角公式求出 ,再利用正弦定理求出AD的值.
【详解】（1） ，
，
因为
，因为 ,
.
（2）在 中，由余弦定理可得 ,
由 可得 ,
，
在 中，由正弦定理可得 .
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解
试卷第16页，共19页掌握水平和分析推理能力.
16．（15分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 个零件，并测量其尺寸.
根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 .假设生产状
态正常，记 表示一天内抽取的 个零件中其尺寸在 之外的零件数.
（1）求 值及 的数学期望 的值；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，检验员判断这条生产线在这一天
的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，检验员的判断是否合理？说明理由.
附： .若 ，则 .
【答案】（1） ， ；（2）检验员的判断是合理的，理由见解析.
【分析】（1）分析可知 ，利用对立事件的概率公式可求得 的值，利用二项分布
的期望公式可求得 的值；
（2）根据一天抽取的 个零件中，出现尺寸在 之外的概率以及 的值可得出结论.
【详解】（1）抽取一个零件尺寸在 之内的概率为 ，
从而零件尺寸在 之外的概率为 ，故 .
因此 ， ；
（2）如果生产状态正常，一天抽取的 个零件中，出现尺寸在 之外的概率为 ，发生
的概率很小，期望值为 ，也很小.
因此这种情况一旦发生，就有理由认为这条生产线在这一天生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生
产过程进行检查，可见检验员的判断是合理的.
17．（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且正方形ABCD边长为2，PA⊥平面ABCD，PA=AB，
E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.
【答案】（1）证明见解析；（2）点F为BC中点.
【分析】（1）先根据线面垂直性质与判定定理得AE⊥BC，再根据等腰三角形性质得AE⊥PB，最后根据
线面垂直判定定理得结果；
（2）先建立空间直角坐标系，利用F坐标，结合空间向量数量积求二面角，再根据条件列方程解得结果.
【详解】（1）∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴PA⊥BC，∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，
又PA∩AB=A，PA，AB 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，∴AE 平面PAB，
∴AE⊥BC，∵PA=AB，E为线段PB的中点，
∴AE⊥PB，又PB∩BC=B，PB，BC 平面PBC，
∴AE⊥平面PBC；
（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设正方形ABCD的边长为2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，0，1)，
∴ ， ， ，
设F(2，λ，0)(0≤λ≤2)，∴ ，
设平面AEF的一个法向量为 ，
试卷第18页，共19页则 ，∴ ，
令y=2，则 ，∴ ，
1
设平面PCD的一个法向量为 ，
则 ，∴ ，
令y=1，则 ，∴
2
∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，
∴ ，解得λ=1，
∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.
【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理、利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属
中档题.
18．（17分）
已知双曲线 的离心率 ，过点 ， 的直线到原点的距离是 .
（1）求双曲线 的方程；（2）已知直线 交双曲线于不同的点 ，且 都在以 为圆心的圆上，求 的值.
【答案】（1）双曲线 的方程为 ；（2） 的值是 ．
【详解】试题分析：（1）由已知离心率 ，根据点到直线的距离公式列方程求出 ，
故所求的双曲线的方程为 ；（2）把 代入双曲线中消去 ，整理得
，设 ， , 的中点是 ，由已知条件列出关于 的方程，
解出即可.
试题解析：（1）因为 ，原点到直线AB： 的距离 ，
所以 .
故所求的双曲线的方程为 .
（2）把 代入 中消去 ，整理得 ①，
设 ， , 的中点是 ，则 ，
.
所以 ，
即 ，
又 ，所以 .
试卷第20页，共19页又因为①式中， ，
当 ， ，
所以 的取值是 .
考点：1、双曲线的性质；2、直线与双曲线的位置关系．
【易错点晴】本题考查的是直线方程、双曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，属于中档题，也是
易错题；根据直线的截距式写出直线方程，结合点到直线的距离公式得到双曲线的方程；直线与圆锥曲线
的位置关系问题是高考中常考题目，一般要：直线与圆锥曲线方程联立，用韦达定理得出关系，再结合已
知条件即可解决问题；此类问题运算量比较大，考生一定要细心．
19．（17分）
定义：对于数列 ，如果存在常数 ，使对任意正整数 ，总有 成立，那么我们称
数列 为“ ﹣摆动数列”．
（1）设 ， ， ，判断数列 、 是否为“ ﹣摆动数列”，并说明
理由；
（2）已知“ ﹣摆动数列” 满足： ， ．求常数 的值；
（3）设 ， ，且数列 的前 项和为 ．求证：数列 是“ ﹣摆动数列”，
并求出常数 的取值范围．
【答案】（1）数列 不是“ ﹣摆动数列”，数列 是“ ﹣摆动数列”，理由见解析；（2）
；（3）证明见解析， 的取值范围是
【分析】(1)根据定义分析是否存在 满足条件，由此判断 、 是否为“ 摆动数列”；
(2)根据定义分析 奇数、偶数项的情况，再根据递推关系构造不等式，从而可求解出 的取值范围；(3)先分析存在 值满足“ 摆动数列”，然后即可分奇偶项讨论 的取值范围.
【详解】（1）假设数列 是“ ﹣摆动数列”，
即存在常数 ，总有 对任意 成立，
不妨取 时则 ，取 时则 ，显然常数 不存在，
∴数列 不是“ ﹣摆动数列”；
由 ，于是 对任意 成立，其中 ．
∴数列 是“ ﹣摆动数列”．
（2）由数列 为“ ﹣摆动数列”， ，
即存在常数 ，使对任意正整数 ，总有 成立；
即有 成立．
则 ，
∴ ．
同理 ．
∴ ，解得 即 ．
同理 ，解得 ；即 ．
综上 ．
（3）证明：由 ，
显然存在 ，使对任意正整数 ，总有 成立，
试卷第22页，共19页∴数列 是“ ﹣摆动数列”；
当 为奇数时 递减，∴ ，只要 即可，
当 为偶数时 递增， ，只要 即可，
综上 ， 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及到数列的递推公式的运用以及数列求和，难度较难.(1)对于存在性
问题，只需找到一个量满足即可完成证明；(2)新定义问题的分析，首先要理解定义，其次才是借助已有方
法解决问题.
