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专题 7.6 向量法求空间角和距离
目录
题型一： 异面直线所成角...............................................................................................................2
题型二： 直线与平面所成角...........................................................................................................4
题型三： 平面与平面的夹角...........................................................................................................7
题型四： 点到平面的距离.............................................................................................................11
知识点总结
知识点一、用空间向量研究距离、夹角问题
分类 图示 计算公式
cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
异面直线所成
的角
＝
sin θ＝|cos〈u，n〉|＝
直线与平面所
夹
成的角
＝
角
cos θ＝|cos〈n，n〉|＝
1 2
两个平面的夹
角
＝
距
点到直线的距 PQ＝＝(u是直线l的单位方向
离 向量)
离PQ＝＝
点到平面的距
离
＝(n是平面α的法向量)
例题精讲
题型一：异面直线所成角
【要点讲解】找出两条异面直线的方向向量，结合数量积的运算，利用向量的夹角公式和
异面直线所成角的范围即可求得答案．
【例1】在长方体 中，已知 ，点 是线段 的中点，则
异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【变式训练1】在正方体 中，点 在 上运动（包括端点），则 与
所成角的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，在直三棱柱 中， ，则异面直线
与 所成角的余弦值等于A． B． C． D．
【变式训练3】如图所示，在正方体 中， 为线段 上的动点，则下列
直线中与直线 夹角为定值的直线为
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【变式训练4】某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，
如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成
的角为 的位置有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5】正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则异面直
线 与 所成角的余弦值为A． B． C． D．
题型二：直线与平面所成角
【要点讲解】利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：①通过平面的法向
量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所
成的角；②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的
夹角(或其补角). 注意：直线与平面所成角的取值范围是.
【例2】如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为
， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
【变式训练1】如图，在三棱台 中， 是等边三角形， ，，侧棱 平面 ，点 是棱 的中点，点 是棱 上的动点（不含端点
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若平面 与平面 所成的锐角的余弦值为 ，试判断 点的位置．
【变式训练2】如图，在多面体 中，四边形 是一个矩形， ，
， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．【变式训练3】如图，已知在四棱锥 中， 平面 ，点 在棱 上，且
，底面为直角梯形， ， 分
别是 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【变式训练4】如图，在三棱锥 中， ，平面 平面 ，平面
平面 ， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ．
（2）求二面角 的余弦值．【变式训练5】如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形，
为线段 的中点， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求平面 与平面 夹角的余弦值．题型三：平面与平面的夹角
【要点讲解】解决平面与平面的夹角问题通常用向量法，具体步骤如下：
(1)建立坐标系，建坐标系的原则是尽可能使已知点在坐标轴上或在坐标平面内．
(2)根据题意正确写出所有“相关点”的坐标以及“相关向量”的坐标．
(3)分别求出二面角所在的两个平面的法向量．
(4)利用夹角公式求得法向量的夹角．
(5)将法向量的夹角“翻译”成为所求两平面的夹角．
【例3】如图，四边形 是边长为1的正方形， 平面 ，若 ，则平面
与平面 的夹角为
A． B． C． D．
【变式训练1】已知二面角 的平面角为 ，
与平面 所成角为 ．记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的取值范围
为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦
值．【变式训练3】如图，四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形，已
知 ， 为 中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求二面角 的余弦值．
【变式训练4】如图，平面 平面 ，点 为半圆弧 上异于 ， 的点，在
矩形 中， ，设平面 与平面 的交线为 ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；（Ⅱ）当 与半圆弧 相切时，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【变式训练5】如图，四棱柱 中，底面 为正方形， 与 交于
点 ，平面 平面 ， 与底面 所成的角为 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．题型四：点到平面的距离
【要点讲解】利用空间向量求距离的基本方法：
①两点间的距离：设点A(x，y，z)，点B(x，y，z)，则AB＝|AB|＝；
1 1 1 2 2 2
②点到平面的距离：如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则
B到平面α的距离为|BO|＝.
【例4】如图，在正四棱柱 中， ， ．点 ， ， 分别
在棱 ， ， 上， ， ， ，则点 到平面 的距离为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截得到的，
其中 ， ， ， ，则点 到平面 的距离为A． B． C． D．
【变式训练2】如图，点 为矩形 所在平面外一点， 平面 ， 为 的
中点， ， ， ，则点 到平面 的距离为
A．1 B． C． D．
【变式训练3】正方体 的棱长为 ，则棱 到面 的距离为
A． B． C． D．
【变式训练4】在平行四边形 中， ， ， ，将 沿 折
起，使得平面 平面 ，则 到平面 的距离为
A． B． C． D．
【例5】正四棱柱 中， ， ， 为 中点， 为下底面正
方形的中心．求：
（1）点 到直线 的距离；（2）点 到平面 的距离．
