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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题5.7分式的混合运算大题专练
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
1．（2020秋•灞桥区校级期中）分式化简：（a2+7a−3 a+4） 2a+3．
− ÷
a2−9 a+3 a−3
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式 a2+7a−3−(a+4)(a−3)• a−3
=
(a+3)(a−3) 2a+3
3(2a+3) a−3
= •
(a+3)(a−3) 2a+3
3
= ．
a+3
2．（2021秋•单县期中）化简：
（1） x2−y2 x−y ；
÷
4x2+12xy x+3 y
（2） x2−4 4x ．
−
x2−4x+4 x2−2x
【分析】（1）先根据分式的除法法则把除法变成乘法，同时把分式的分子和分母分解因式，再根据的
乘法法则进行计算即可；
（2）先把分式的分子和分母分解因式，再约分，最后根据同分母的分式相减法则进行计算即可．
(x+ y)(x−y) x+3 y
【解答】解：（1）原式= •
4x(x+3 y) x−y
x+ y
= ；
4x
（2）原式 (x+2)(x−2) 4x
= −
(x−2) 2 x(x−2)
x+2 4
= −
x−2 x−2x+2−4
=
x−2
x−2
=
x−2
＝1．
3．（2019春•南关区校级月考）计算：
x x+1
（1） ⋅ ；
x2−1 x2
(a+b) 2 a2+b2
（2） − ．
ab ab
【分析】（1）先分解因式，然后再约分．
（2）同分母相减，分母不变，分子相减即可求出答案．
x x+1 1
【解答】解：（1）原式= • = ．
(x+1)(x−1) x2 x(x−1)
a2+2ab+b2−a2−b2 2ab
（2）原式= = =2．
ab ab
15 x−4
4．（2020•福田区校级开学）先化简再求值：（x+1− ）÷ ，且x＝2017．
x−1 x−1
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
x2−16 x−1
【解答】解：原式= •
x−1 x−4
(x+4)(x−4) x−1
= •
x−1 x−4
＝x+4，
当x＝2017时，
∴原式＝2017+4＝2021．
5．（2021春•扬州期末）计算：
（1） y2 1 ；
÷
6x 2x2
b ab
（2） − ．
a−b a2−b2
【分析】（1）将分式除法转化为乘方，然后再计算；
（2）先通分，然后按照同分母分式加减法法则进行计算．y2
【解答】解：（1）原式= ⋅2x2
6x
x y2
= ；
3
b(a+b) ab
（2）原式= −
(a+b)(a−b) (a+b)(a−b)
ab+b2−ab
=
(a+b)(a−b)
b2 ．
=
a2−b2
6．（2020秋•东城区期中）计算：
（1）2x3•（ y ）2；
y3 x2
6 1
（2） + ．
a2−9 a+3
【分析】（1）原式先计算乘方运算，约分即可得到结果；
（2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式 2x3•y2
=
y3 x4
2
= ；
xy
6 a−3
（2）原式= +
(a+3)(a−3) (a+3)(a−3)
a+3
=
(a+3)(a−3)
1
= ．
a−3
7．（2021春•罗湖区校级期末）计算
3x x
（1） −
(x−3) 2 3−x
（2） 1 1 x2+1
+ −
x+1 x−1 x2−1x+1 x x+1
（3）（ + ）÷
x2−1 x−1 x2−2x+1
【分析】（1）直接进行通分运算进而得出答案；
（2）直接进行通分运算进而得出答案；
（3）直接利用分式的性质化简，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
3x x
【解答】解：（1） −
(x−3) 2 3−x
3x x(x−3)
= +
(x−3) 2 (x−3) 2
x2
；
=
(x−3) 2
（2） 1 1 x2+1
+ −
x+1 x−1 x2−1
x−1 x+1 x2+1
= + −
x2−1 x2−1 x2−1
−x2+2x−1
=
(x+1)(x−1)
−(x−1) 2
=
(x+1)(x−1)
x−1
=− ；
x+1
x+1 x x+1
（3）（ + ）÷
x2−1 x−1 x2−2x+1
1+x (x−1) 2
= •
x−1 x+1
＝x﹣1．
8．（2020秋•和平区期末）计算：
6x+3 y 3x
（1） − ；
x2−y2 x2−y23a 1 a b
（2）（ ）2• − ÷ ．
b a−b b 9
【分析】（1）利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；
（2）根据分式的减法和乘除法可以解答本题．
6x+3 y−3x
【解答】解：（1）原式=
x2−y2
3(x+ y)
=
(x+ y)(x−y)
3
= ．
x−y
（2）原式 9a2 1 a 9
= ⋅ − ⋅
b2 a−b b b
9a2 9a
= −
b2 (a−b) b2
9a2−9a(a−b)
=
b2 (a−b)
9ab
=
b2 (a−b)
9a
= ．
ab−b2
9．（2021春•南阳月考）化简：
4a−1 a2−8a+16
（1）（a﹣1− ）÷ ；
a+1 a+1
x+2 x−1 x−4
（2）（ − ）÷ ．
x2−2x x2−4x+4 x
【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．
(a−1)(a+1)−(4a−1) a+1
【解答】解：（1）原式= •
a+1 (a−4) 2
a2−1−4a+1
=
a+1
a2−4a a+1
= •
a+1 (a−4) 2a(a−4) a+1
= •
a+1 (a−4) 2
a
= ；
a−4
x+2 x−1 x
（2）原式＝[ − ]•
x(x−2) (x−2) 2 x−4
(x+2)(x−2)−x(x−1)• x
=
x(x−2) 2 x−4
x2−4−x2+x
=
x(x−2) 2
x−4 x
= ⋅
x(x−2) 2 x−4
1
=
(x−2) 2
1
= ．
x2−4x+4
10．（2021春•沈北新区期末）化简：
2y+x 1
（1）（x2﹣4y2）÷ • ；
xy x(2y−x)
2x 1
（2） − ．
x2−4 x−2
【分析】（1）先算小括号里面的，然后再算括号外面的；
（2）先通分，然后按同分母分式加减法法则进行计算求解．
xy 1
【解答】解：（1）原式＝（x+2y）（x﹣2y）• ⋅
2y+x x(2y−x)
＝﹣y；
2x x+2
（2）原式= −
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
2x−x−2
=
(x+2)(x−2)
1
= ．
x+2
11．（2020秋•沂水县期末）化简：x 3x−1
（1） + ；
x−1 1−x2
2m m m
（2）（ − ）÷ ．
m−1 m+1 m2−1
【分析】（1）先通分，再根据同分母分式相加法则求出答案即可；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．
x 3x−1
【解答】解：（1） +
x−1 1−x2
x(x+1) 3x−1
= −
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
x2+x−3x+1
=
(x+1)(x−1)
x2−2x+1
=
(x+1)(x−1)
(x−1) 2
=
(x+1)(x−1)
x−1
= ；
x+1
2m m m
（2）（ − ）÷
m−1 m+1 m2−1
2m(m+1)−m(m−1) (m+1)(m−1)
= •
(m+1)(m−1) m
m2+3m (m+1)(m−1)
= •
(m+1)(m−1) m
m(m+3) (m+1)(m−1)
= •
(m+1)(m−1) m
＝m+3．
12．（2021•九龙坡区校级开学）分式化简：
（1） 16−x2 x x+2；
÷ ⋅
x2+4x+4 2x+4 x+4
（2） 1 3−a a2+a．
− ÷
a+1 a2−6a+9 a−3【分析】（1）根据分式的乘除法可以解答本题；
（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．
【解答】解：（1） 16−x2 x x+2
÷ ⋅
x2+4x+4 2x+4 x+4
(4+x)(4−x) 2(x+2) x+2
= ⋅ ⋅
(x+2) 2 x x+4
2(4−x)
=
x
8−2x
= ；
x
（2） 1 3−a a2+a
− ÷
a+1 a2−6a+9 a−3
1 3−a a−3
= − ⋅
a+1 (a−3) 2 a(a+1)
1 1
= +
a+1 a(a+1)
a+1
=
a(a+1)
1
= ．
a
13．（2020秋•昆明期末）计算与化简
3 2m−n
（1） − ；
2m−n (2m−n) 2
5 3−a
（2）（a+2− ）÷ ．
a−2 2a−4
【分析】（1）先约分，再根据分式的减法法则进行计算即可；
（2）先算括号内的加减，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出答案即可．
3 1
【解答】解：（1）原式= −
2m−n 2m−n
3−1
=
2m−n
2
= ；
2m−n(a+2)(a−2)−5 −(a−3)
（2）原式= ÷
a−2 2(a−2)
a2−9 2(a−2)
= •
a−2 −(a−3)
(a+3)(a−3) 2(a−2)
= •
a−2 −(a−3)
＝﹣2（a+3）
＝﹣2a﹣6．
14．（2021•万州区模拟）计算：
（1）（x﹣2）（x+2）﹣（x﹣2）2；
（2）（ 3 a+1） a2−4 ．
− ÷
a+1 a2+2a+1
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣4﹣x2+4x﹣4
＝4x﹣8．
（2）原式 4−a2• (a+1) 2
=
a+1 (a−2)(a+2)
(a−2)(a+2)• (a+1) 2
=−
a+1 (a−2)(a+2)
＝﹣a﹣1．
15．（2020秋•天津期末）计算：
2y2 y
（1）（﹣3xy）÷ •（ ）2；
3x x
x 2y x−2y 1 1
（2）（ − ）÷ •（ + ）．
x+ y x+ y xy x y
【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则求出答案即可；
（2）先算括号内的加减，再把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣3xy） 2y2•y2
÷
3x x2＝（﹣3xy）• 3x •y2
2y2 x2
9 y
=− ；
2
x−2y x−2y x+ y
（2）原式= ÷ •
x+ y xy xy
x−2y xy x+ y
= • •
x+ y x−2y xy
＝1．
16．化简求值：
x+2 1 2
（1）（ − ）÷ ，其中x＝﹣6；
x2−2x x−2 x
（2） a2 1 2−a ，其中a＝4．
− ÷
a2−4a+4 a−3 9−a2
【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
x+2 x x
【解答】解：（1）原式＝[ − ]•
x(x−2) x(x−2) 2
2 x
= •
x(x−2) 2
1
= ，
x−2
当x＝﹣6时，
1 1
原式= =− ；
−6−2 8
（2）原式 a2 1 •(a+3)(a−3)
= −
(a−2) 2 a−3 a−2
a2 a+3
= −
(a−2) 2 a−2a2 a2+a−6
= −
(a−2) 2 (a−2) 2
6−a
=
，
(a−2) 2
当a＝4时，
6−4 2 1
= = =
原式 ．
(4−2) 2 4 2
17．（2021春•沙坪坝区校级月考）计算：
2y−x y x
（1） + + ；
x−y y−x x−y
（2）（x+1 8 ） x3−9x ．
− ÷
x−1 x2−2x+1
【分析】（1）先变形为同分母分式的加减运算，再根据法则计算即可；
（2）先计算括号内分式的减法、将除式的分子、分母因式分解，继而将除法转化为乘法，然后约分即
可．
2y−x y x
【解答】解：（1）原式= − +
x−y x−y x−y
2y−x−y+x
=
x−y
y
= ；
x−y
（2）原式＝（x2−1 8 ） x(x+3)(x−3)
− ÷
x−1 x−1 (x−1) 2
(x+3)(x−3)• (x−1) 2
=
x−1 x(x+3)(x−3)
x−1
= ．
x
18．（1）若a 1，求（ a2−4 1 ） a+1的值；
= − ÷
2 a2−4a+4 a−2 a+24xy 4xy
（2）若x＝100，y＝99，求（x﹣y+ ）（x+y− ）的值．
x−y x+ y
【分析】（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a的值代入化简后的式子即可解
答本题；
（2）根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1） a2−4 1 a+1
( − )÷
a2−4a+4 a−2 a+2
＝[(a+2)(a−2) 1 ]•a+2
−
(a−2) 2 a−2 a+1
a+2 1 a+2
＝（ − ）•
a−2 a−2 a+1
a+2−1 a+2
= •
a−2 a+1
a+1 a+2
= •
a−2 a+1
a+2
= ，
a−2
1
+2
1 2 5
当a= 时，原式= =− ；
2 1 3
−2
2
4xy 4xy
（2）（x﹣y+ ）（x+y− ）
x−y x+ y
(x−y) 2+4xy (x+ y) 2−4xy
= ⋅
x−y x+ y
x2−2xy+ y2+4xy x2+2xy+ y2−4xy
= ⋅
x−y x+ y
(x+ y) 2 (x−y) 2
= ⋅
x−y x+ y
＝（x+y）（x﹣y）
＝x2﹣y2，
当x＝100，y＝99时，原式＝1002﹣992＝（100+99）×（100﹣99）＝199×1＝199．
19．先化简，再求值：x−1 x 5x−1
（1） ÷（ − ），其中x＝5；
x2−9 x−3 x2−9
x+1 1 x+2
（2）（ − ）÷ ，其中x＝2；
x2−1 1−x x2−x
a−b 2ab−b2
（3） ÷（a− ），其中2a﹣2b＝5．
a a
【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可；
（3）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
x−1 x 5x−1
【解答】解：（1） ÷（ − ）
x2−9 x−3 x2−9
x−1 x(x+3)−(5x−1)
= ÷
(x+3)(x−3) (x+3)(x−3)
x−1 x2−2x+1
= ÷
(x+3)(x−3) (x+3)(x−3)
x−1 •(x+3)(x−3)
=
(x+3)(x−3) (x−1) 2
1
= ，
x−1
1 1
当x＝5时，原式= = ；
5−1 4
x+1 1 x+2
（2）（ − ）÷
x2−1 1−x x2−x
x+1 1 x(x−1)
＝（ + ）•
x2−1 x−1 x+2
x+1+x+1 x(x−1)
= •
(x+1)(x−1) x+2
2(x+1) x(x−1)
= •
(x+1)(x−1) x+2
2x
= ，
x+2
2×2
当x＝2时，原式= =1；
2+2a−b 2ab−b2
（3） ÷（a− ）
a a
a−b
a2−(2ab−b2
)
= ÷
a a
a−b a
= •
a (a−b) 2
1
=
a−b
2
= ，
2a−2b
2
当2a﹣2b＝5时，原式= ．
5
20．（1）计算： b b3 ab+b2；
+ ÷
a−b a3−2a2b+ab2 b2−a2
3 b2 a a2
（2）已知：|2a﹣b+1|+（3a+ b）2＝0，求 ÷[（ −1）（a− ）]的值．
2 a+b a−b a+b
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．
（2）先根据分式的运算法则进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式 b b3 •(b−a)(a+b)
= +
a−b a(a2−2ab+b2 ) b(a+b)
b b2
= +
a−b a(b−a)
ab b2
= −
a(a−b) a(a−b)
b(a−b)
=
a(a−b)
b
= ．
a
b2 ab2
（2）原式= ÷
a+b (a+b)(a−b)
b2 (a+b)(a−b)
= •
a+b ab2
a−b
= ，
a{2a−b+1=0
由题可知： 3 ，
3a+ b=0
2
1
{a=−
解得： 4，
1
b=
2
1 1
− −
4 2 3
∴原式= =− ．
1 2
2
21．（2020秋•荔湾区期末）计算：
a−1 1+b
（1） − ；
a−b b−a
4−a2 a2−16
（2）（ +a）÷ ．
a−1 a−1
【分析】（1）原式变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到
结果．
a−1 1+b
【解答】解：（1）原式= +
a−b a−b
a+b
= ；
a−b
4−a2+a2−a a−1
（2）原式= •
a−1 (a+4)(a−4)
a−4 a−1
=− •
a−1 (a+4)(a−4)
1
=− ．
a+4
3 x2−4x+4
22．（2021•龙岩模拟）化简求值：（ −x+1）÷ ，其中x从0、2、﹣1中任意取一个数求
x+1 x+1
值．
【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
3 x2−4x+4
【解答】解：（ −x+1）÷
x+1 x+13−(x−1)(x+1) x+1
= •
x+1 (x−2) 2
−(x+2)(x−2) x+1
= •
x+1 (x−2) 2
x+2
=− ，
x−2
∵从分式知：x+1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1且x≠2，
取x＝0，
0+2
当x＝0时，原式=− =1．
0−2
3−a 5
23．（2021•宁津县一模）先化简： ÷(a+2− )，再从2，﹣2，3，﹣3中选一个合适的数作为
2a−4 a−2
a的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出a的值，继而
代入计算即可．
−(a−3) a2−4 5
【解答】解：原式= ÷（ − ）
2(a−2) a−2 a−2
−(a−3) a−2
= •
2(a−2) (a+3)(a−3)
1
=− ，
2(a+3)
∵a﹣2≠0，a﹣3≠0，a+3≠0，
∴a≠2，a≠±3，
1 1
∴当a＝﹣2时，原式=− =− ．
2×(−2+3) 2
24．（2020秋•昌平区期末）已知：x2+x﹣4＝0，求代数式（ x ） x3−x 的值．
−1 ÷
x−1 x2−2x+1
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2+x＝4，代入计算即可．
【解答】解：原式 1 x3−x
= ÷
x−1 x2−2x+11 (x−1) 2
= ⋅
x−1 x(x+1)(x−1)
1
= ，
x2+x
∵x2+x﹣4＝0，
∴x2+x＝4，
1
把x2+x＝4代入，原式= ．
4
