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专题 16 妙解离心率问题
目 录
01 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题..................................................................2
02 焦点三角形顶角范围与离心率........................................................................................................6
03 共焦点的椭圆与双曲线问题............................................................................................................8
04 椭圆与双曲线的4a通径体............................................................................................................11
05 椭圆与双曲线的4a直角体............................................................................................................14
06 椭圆与双曲线的等腰三角形问题..................................................................................................19
07 双曲线的4a底边等腰三角形........................................................................................................21
08 焦点到渐近线距离为b...................................................................................................................25
09 焦点到渐近线垂线构造的直角三角形...........................................................................................29
10 以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题.......................................................................................32
11 渐近线平行线与面积问题..............................................................................................................36
12 数形结合转化长度角度.................................................................................................................3801 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
1．（2024·安徽宣城·高三统考期末）已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为点 ，
为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意设椭圆的左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形，再根据
椭圆的定义化简得 ，得到离心率关于 的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数
的单调性求得离心率的范围.由题意椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B，F为
其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．
根据椭圆的定义： ，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，
所以 ，
利用 ，∵ ，∴ ， ，即椭圆离心率 的取值范围是 ，
故选B.
2．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为点 ，
为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆 的左焦点为： ,根据 ，得到四边形为 为矩形，再由
，结合椭圆的定义得到 ，然后由 求解.设椭圆
的左焦点为： ,
因为 ，
所以四边形为 为矩形，
所以
因为 ，
所以
由椭圆的定义得： ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知椭圆 上一点 关于原点的对称点
为 点， 为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 和 关于原点对称， 也在椭圆上，
设左焦点为 ，根据椭圆的定义： ，
又 ， （1）
又原点是 的斜边中点， ，
又 （2）
（3）
将（2）（3）代入（1） ，
，即
，所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以椭圆的离心率的取值范围为 ，
故选：A
4．（2024·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知双曲线 ： （ ， ）右支上非顶
点的一点 关于原点 的对称点为 ， 为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则双曲
线 离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ．
， 四边形 为矩形．
所以 ．
则 ， ．
．
．
即 ，
则 ，
，
，
则 ，
, ，则 ，
即 ，
故双曲线离心率的取值范围是 ，
故选：D．
02 焦点三角形顶角范围与离心率
5．（2024·河南南阳·高三郑州一中阶段练习）已知 ， 是椭圆 的左右两
个焦点，P为椭圆上的一点，且 ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点 ，则 ，由 得： ，
而 ，即 ，因此有 ，即 ，
因 ，于是得 ，即 ，解得 ，所以椭圆的离心率的取值范围为 .
故选：D
6．（2024·黑龙江·校联考）已知 ， ， ，是双曲线 的两个焦点，若点Р为椭
圆 上的动点，当P为椭圆的短轴端点时， 取最小值，则椭圆 离心率的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】假设点 在 轴上方，设 ，则 ，
由已知得 ， ，
设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，
∴ ， ，
∴
考虑对勾函数 ，
由于 为椭圆的短轴端点时， ， 取最小值，即 取最小值，也取最小值，此时 ，
∵函数在 上单调递减，
∴ ，即 ，解得 .
即椭圆 离心率的取值范围为 .
故选： .
7．（2024·贵州·高三凯里一中校考期末）已知椭圆 ， ， 分别为椭圆的左右
焦点，若椭圆 上存在点 使得 ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ，
若椭圆 上存在点 使得 ，
，
，
即 ，
，
即 ，.
故选D
8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 ， ， 分别为椭圆的左右焦点，若椭
圆C上存在点 （ ）使得 ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意作图如下：
由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时， 最大，
要满足椭圆C上存在点 （ ）使得 ，则 ，
∴ ，即： ，整理得： ，
又 ，∴得到： ，∴ ，
∴椭圆离心率的取值范围为 ，
故选:B．
03 共焦点的椭圆与双曲线问题9．（2024·安徽·校联考）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 、 ，且两条曲
线在第一象限的交点为 ， 是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆与双曲线的离心率分
别为 、 ，则 与 满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由椭圆与双曲线定义得 ，所以 ，选B.
10．（多选题）（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆 ：
与双曲线 ： （ ， ）有公共焦点 ， ，且两条曲线在第一象限的交点为 ，若
是以 为底边的等腰三角形， ， 的离心率分别为 和 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设 ， 的焦距为 ，由 ， 共焦点知 ，故 正确；
△ 是以 为底边的等腰三角形知 ，由 在第一象限知： ，
即 ，即 ，即 ，故 ， 错；由 ，得 ，又 ，得 ，所以 ，
从而 ，故 正确．
故选： ．
11．（2024·湖北孝感·高三统考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 、 ， 是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】不妨设 为第一象限的点， 为左焦点，
设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，
则根据椭圆及双曲线的定义可得 ，
，所以 ， ，
，在△ 中， ，
由余弦定理得 ，
化简得 ，即 ．
所以 ，从而 ，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时等号成立．
故答案为：
12．（2024·江苏苏州·高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则 等于 ．
【答案】
【解析】设椭圆长半轴长为 ，双曲线实半轴长为 ， ， ， 为两曲线在第一象限的交点，
为两曲线在第三象限的交点.
由椭圆和双曲线定义知： ， ，
， ，
由椭圆和双曲线对称性可知：四边形 为平行四边形，
， ， ，
即 ，
.
故答案为： .
13．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 、 ， 是它们的一
个交点， ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为 ， ，设两曲线的焦距为 ，
设 ， ，则 ， ，所以， ，
，
化为 ， ，
，
，
当且仅当 时，取等号，则 的最小值是 .
故答案为： .
04 椭圆与双曲线的4a通径体
14．（2024·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为
、 ，过 的直线与椭圆 交于 、 两点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，椭圆的焦距为 ，由题意得出 ，椭圆的离心率为 ， .由椭圆的定义可得 ，
由余弦定理得 ，
设 ，由椭圆的定义可得 ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 .
所以， ， ，因此， .
故选D.
15．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ， (如
图)，过 的直线交 于 ， 两点，且 轴， ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ， ，
将 代入椭圆方程知 ，解得： ，即
过点 作 轴，则 ，又
，得 ，
所以点 的坐标为 ，即
又点 在椭圆上， ，即
又 ， ， ，即
故选：D16．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， （如
图），过 的直线交 于 ， 两点，且 轴， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆 的半焦距为 ，
由题意可得： ，则 ，
因为 ，则 ，解得 ，
即 ，且点 在椭圆 上，
则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故选：A.
17．（2024·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知椭圆E: 的左，右焦点分别
为 ， （如图），过 的直线交E于P，Q两点，且 轴， ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意设 ，则 ，所以 ；
由于 ，所以
由 得 ，化为 ，所以 ，得
故选：A
05 椭圆与双曲线的4a直角体
18．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，过 的直线交 于 ， 两
点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】运用特殊值法进行求解. 不妨设 ，利用勾股定理、余弦定理，结合椭圆的定义和离心率公
式进行求解即可.不妨设 ，则 ， ，
∴ ， ，∴由 得 或 （舍），
∴ ，∴ ，
又由 得 ，
∴ .
故选：C
19．（2024·重庆·校联考）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线交
双曲线C的左支于P，Q两点，若 ，且 的周长为 ，则双曲线C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义知 ，
则 ， ，所以 ，
∴ 的周长为 ，
∴ ， ，由 ，
所以 ，故 ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
在 中， ，故 .
故选：A.
20．（2024·广西桂林·高三统考期末）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过点
的直线交椭圆 于 ， 两点， ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
在 中，由余弦定理，得： ，
∴ ，
化简可得 ，而 ，
故 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴椭圆的离心率 .
故选：D.
21．（2024·湖南·校联考）已知 ， ， 是双曲线 上的三个点，直线 经过原点 ，
经过右焦 ，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，因为 ，所以四边形 为矩形，设 ，则 ，又 ，所以
， ，所以 ，得 ，所以 ，又因为
，即 ，所以得离心率 ，选择A
22．（2024·湖北·高三开学考试）已知 是双曲线 上的三个点， 经过原点 ，
经过右焦点 ，若 且 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设左焦点为 ， ，连接
则 ， ， ，
因为 ，且 经过原点
所以四边形 为矩形
在Rt△ 中， ，代入
化简得
所以在Rt△ 中， ，代入
化简得 ，即
所以选B
23．（2024·山东聊城·统考）已知A，B，C是双曲线 上的三点，直线AB经过原点
O，AC经过右焦点F，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为 ，连接
由题意知∴四边形 为矩形，令
∵ ，
∴在 中，
将 带入可得
∴
∴在 中，
即
可得
故选：D
06 椭圆与双曲线的等腰三角形问题
24．（2024·江西上饶·高三阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过
的直线与双曲线 的右支相交于 两点，若 ，且 ，则双曲线的离心率
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 且 ，所以 为等腰直角三角形，所以 ,
由双曲线定义可得 ， ，
两式相加得 ，所以 ，又 ，
在 中，由余弦定理，可得 ，解得 .故选：A.
25．（2024·北京海淀·校考模拟预测）双曲线 ： 的左、右焦点分别为F、F，过
1 2
F 的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且 ABF 为等边三角形，则双曲
1 2
线的离心率为（ ） △
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 为等边三角形，则 ，设 为原点，
中， ，故 ，故 .
故选：B
26．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知 ， 分别为双曲线 ： 的左
右焦点，过 的直线与双曲线 的左支交于 、 两点，连接 ， ，在 中， ，
，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．C． D．
【答案】D
【解析】设 ，由双曲线的定义可得 ，
由 ，可得 ，即有 ，
因为 为等腰三角形，
所以 ，
解得 ，
在△ 中， ，
化为 ，即有 ．
故选： ．
07 双曲线的4a底边等腰三角形
27．（2024·四川成都·石室中学校考）已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，过点
作斜率为 的直线 与双曲线的左，右两支分别交于 ， 两点，以 为圆心的圆过 ， ，则双曲
线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】取MN中点A，连AF，由已知令 ，则 ，如图：
2因点M，N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得 ，
，
则 ，令双曲线半焦距为c，
中， ， 中， ，
则有 ，即 ，
因直线 的斜率为 ，即 ，而 ，即 ，
，于是有 ， ， ，
所以双曲线 的离心率为 .
故选：B
28．（2024·江西九江·统考）设双曲线 的左、右焦点分别为F，F，过点F 的直
1 2 2
线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，F 都在以M为圆心的圆上，且
1
，则双曲线C的离心率为（ ）A． B．2 C． D．2
【答案】C
【解析】以PQ为直径的圆经过点F，则 ，又 ，
1
可知PQ⊥MF ，则|PF|＝|QF|，故三角形PFQ是等腰直角三角形，
1 1 1 1
设|PF|＝t，则|PQ| t，
1
由双曲线的定义可知：|PF|＝t+2a，|QF|＝t﹣2a，可得|PQ|＝4a，
2 2
则 t＝4a，即t＝2 a，则：|PF| ，
2
在Rt△MF F 中，|MF | 2a，|MF |＝|PF|﹣|PM|＝2 a，
1 2 1 2 1
由勾股定理可知|FF|＝2 a＝2c，
1 2
则双曲线C的离心率为：e ．
故选：C．
29．（2024·安徽合肥·校联考模拟预测）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过
的直线 与双曲线左右两支交于 ， 两点，以 为直径的圆过 ，且 ，则双曲线
C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为
即
所以
在三角形 中，有余弦定理可得：
所以
即
因为以MN为直径的圆经过右焦点F，
2
所以 ，又|MF |＝|NF |，
2 2
可得△MNF 为等腰直角三角形，
2
设|MF |＝|NF |＝m，则|MN| m，
2 2
由|MF |﹣|MF |＝2a，|NF |﹣|NF |＝2a，
2 1 1 2
两式相加可得|NF |﹣|MF |＝|MN|＝4a，
1 1
即有m＝2 a，
在直角三角形HFF 中可得
1 2
4c2＝4a2+（2a+2 a﹣2a）2，
化为c2＝3a2，
即e ．
故选：B．30．（2024·河北石家庄·统考）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆上
位于第一象限内的点，延长 交椭圆于点 ，若 ，且 ，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ， ， ，
因为 ，故 .
因 ，故 ，
整理得到 ，即 ，故选A.
31．（2024·山东烟台·统考）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在
的右支上， 与 交于点 ，若 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 且 知：△ 为等腰直角三角形且 、 ，即，
∵ ，
∴ ，故 ，则 ，
而在△ 中， ，
∴ ，则 ，故 .
故选：B.
08 焦点到渐近线距离为b
32．（2024·四川泸州·高三统考期末）已知F，F 为双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，
1 2
过F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且与C的右支交于点Q，若 （O为坐标原点），则C
2
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据对称性不妨设P为第一象限的点，
∵O为FF 的中点，又 ，∴Q为PF 的中点，
1 2 2
又F（c，0）到 的距离 ，
2
∴|PF|＝b，∴|QF|＝ ，
2 2连接 ，所以 ，又|FF|＝2c，
1 2
∵PO的斜率为 ，又QF⊥PO，
2
∴QF 的斜率为 ，∴ ，∴ ，
2
在 QFF 中，由余弦定理可得：
2 1
△
，化简可得a＝b，
∴双曲线C的离心率为 ＝ .
故选：A.
33．（2024·安徽滁州·高三统考期末）设F，F 分别是双曲线 的左、右焦点，过
1 2
F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF|=3|HF|，则双曲线的离心率为（ ）
2 1 2
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设条件推导出 ， ，可得 的坐标，由两点间的距离公式得 ，计算求出
离心率 ．由题设知双曲线C： 的一条渐近线方程为 ： ，∵右焦点 ，且 ，
∴ ，
∴ ，由 ，解得 ，
∴ ，∴ ，
平方化简得 ，
又 ，
∴ ，即 ，
，即 ，
所以 ，故得 ，
故选：D.
34．（2024·辽宁葫芦岛·统考）设F，F 是双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标
1 2
原点．过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF|＝3|OP|，则C的离心率为（ ）
2 1
A． B．2 C． D．
【答案】A【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为 ，
则 ， ，
，
在 中， ，
在 中， ，
，即 ，
所以
故选：A ．
35．（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知双曲线 的焦点在 ，过点 的直线与
两条渐近线的交点分别为M､N两点(点 位于点M与点N之间)，且 ，又过点 作 于
P(点O为坐标原点)，且 ，则双曲线E的离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，可得如下示意图：其中， 知： ，又 ， ，即 且
，
∴ 中，有 ，得 ，
∴在 中， ，若 与x轴夹角为 ，即 ，
∴ ，由 ，即可得 .
故选：C
09 焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
36．（2024·安徽宣城·统考）设 是双曲线 的一个焦点，过 作双曲线的一条渐近线
的垂线，与两条渐近线分别交于 两点．若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】C
【解析】不妨设 ，过 作双曲线一条渐近线的垂线方程为 ，
与 联立可得 ；与 联立可得 ，
∵ ，∴ ，
整理得， ，即 ，
∵ ，∴ ．
故选：C．
37．（2024·浙江台州·高三台州一中校考阶段练习）如图，已知双曲线 ，过其右焦
点F作渐近线的垂线，垂足为H，交另一条渐近线于点A，已知O为原点，且 ，则该双曲线的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意直线 方程为 ，
由 ，解得 ，即 ，
由 ，解得 ，即 ，
由图知， 在第二象限， ，所以 ，
，
代入 可得 ，
化简得 ， ，
因为 ，所以 ，即 ， ．
故选：D．
38．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知双曲线 ，过其右焦点 作
渐近线的垂线，垂足为 ，交 轴于点 ，交另一条渐近线于点 ，并且点 位于点 ， 之间．已知
为原点，且 ，则双曲线离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】双曲线 的右焦点 ，渐近线 的方程为 ，即 ，
渐近线OA的方程为 ，即 ．所以 ， ，
．
所以 ， ．
解得 或 （舍去），所以双曲线的离心率为 ，
故选：C．
39．（2024·四川巴中·统考模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ），过 的右焦点 作垂
直于渐近线的直线 交两渐近线于 ， 两点， ， 两点分别在一、四象限，若 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据点到直线距离公式求得 ，再由 用 表示出 .根据双曲线的渐近线方程
及正切二倍角公式，即可求得 与 的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.双曲线 ： （
， ），右焦点 ，渐近线方程为 .
将渐近线方程化为一般式为 ，双曲线满足 ，
过 的右焦点 作垂直于渐近线的直线 交两渐近线于 ， 两点， ， 两点分别在一、四象限，如下
图所示:由点到直线距离公式可知 ，
根据题意 ，则 ，
设 ，由双曲线对称性可知 ，
而 ， ，
由正切二倍角公式可知 ，
即 ，化简可得 ，
由双曲线离心率公式可知 ，
故选：B.
10 以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
40．（2024·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考开学考试）已知双曲线C： （ ， ）的
左、右焦点分别为 、 ，过 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ，
，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图示，
因为 ， ， 是 中点，
所以 是 中点且 ，则 ， ，
因为直线 是双曲线 的渐近线，
所以 ， ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，整理得 ，
因为 ，所以 ， .
故选：A
41．（2024·江苏徐州·统考模拟预测）已知 是双曲线 的左焦点，圆 与双曲
线在第一象限的交点为 ，若 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可设右焦点为 ，因为 ，且圆 ： ，所以点 在以焦距为直径的圆上，则 ，
设 的中点为点 ，则 为 的中位线，所以 ，则 ，又点 在渐近线上，
所以 ，且 ，则 ， ，所以 ，所以
，
则在 中，可得， ，即 ，解得 ，所以 ，
故选：A．
42．（2024·山东烟台·统考）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作倾斜角
为 的直线与 轴和双曲线的右支分别交于点 、 ，若 ，则该双曲线的离心率为
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：由题意求出直线方程，再根据 ，可得 为 的中点，根据中点坐标公
式求出 的坐标，代入双曲线方程可得 ，化简整理即可求出
∵ ，∴ 为 的中点，由题意可得直线方程为 当 时，
设
∴ ，即即 整理可得 即
解得 ．故选C．
43．（2024·甘肃兰州·校联考）(2017·兰州模拟)已知F，F 为双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦
1 2
点，以FF 为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF 与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF|，则该双
1 2 1 1
曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接 .由 |，可设 则| ；由
，得| 由 得 点 在
以 为直径的圆上，
由 ，得 解得
，化简得 双曲线的离心率
故选A.
44．（2024·福建莆田·统考）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以线段 为
直径的圆与 的渐近线在第一象限的交点为 ，且 .设 的离心率为 ，则 =
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由 得 ，结合已知 可求得 ，由渐近线上
点 满足 可得 （ 为双曲线右顶点）且 ，利用面积可建立 的关系式，变形
后可求得 ．由题意 ，则 ①，又 ②， 得
＝ ，∵ 在渐近线上且 ，设 为双曲线右顶点，如图，则 ，且 ，由
得 ，于是 ，变形为 ，解得 （
舍去），故选B．
11 渐近线平行线与面积问题
45．（2024·安徽芜湖·统考）设 为双曲线 上任意一点，过点 作双曲线两渐近线的
平行线，分别与两渐近线交于 ， 两点．若 的面积为4，则双曲线D的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．【答案】D
【解析】设 ，设过点 与双曲线渐近线 平行的直线交双曲线渐近线 于 点，过
点 与双曲线渐近线 平行的直线交双曲线渐近线 于 点，
因此 是平行四边形，因为 的面积为4，所以平行四边形 的面积为8，过点 与双曲
线渐近线 平行的直线为 ，于是有：
，
过点 与双曲线渐近线 平行的直线为：
，与直线 的距离为：
，而 ，
于是有： ，
而 ，所以
因为 在双曲线 上，所以 ，
解得 ，因此 ，
故离心率为
46．（2024·浙江·校联考模拟预测）过双曲线 上的任意一点 ，作双曲线渐近线的
平行线，分别交渐近线于点 ， ，若 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线 的渐近线方程： ，
即 ，
设点 ，可得 ，
分别联立两组直线方程可得 ， ，
，
∵ ，∴ ，
∴ ，由题意 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即
∴ .
故选：B.
47．（2024·福建·）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过双曲线C上任意一点
P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， 等于 展开式的常数项，则双曲线C的离心率为
A．3 B．3或 C． D． 或
【答案】B
【解析】根据二项展开式求得 的值，再根据点到直线的距离公式结合 ，可求得 的值，再
代入离心率公式，即可得答案；由已知可得， 展开式的常数项为 ，
设双曲线半焦距为c， .
设 ，得 ， .
P到两条渐近线 的距离分别为 ， ，
.
①.又 ②，由①②可得 或 ，
或 .
故选：B
12 数形结合转化长度角度
48．（2024·山东泰安·统考）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，椭圆C在第
一象限存在点M，使得 ，直线 与y轴交于点A，且 是 的角平分线，则椭圆C
的离心率为 .
【答案】【解析】由题意得 ，
又由椭圆的定义得 ，
记 ，则 ， ，
则 ，所以 ，
故 ，
则 ，则 ，即
等价于 ，得： 或 （舍）
故答案为：
49．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆 的左、右顶点分别为
， ，右焦点为 ， 为椭圆上一点，直线 与直线 交于点 ， 的角平分线与直线 交
于点 ，若 ， 的面积是 面积的6倍，则椭圆 的离心率是 .
【答案】
【解析】由题意知， ， ， ，当 时， .
由 ，得 ， .
又 的角平分线与直线 交于点 ，可知 ，所以 .
，解得 ，椭圆 的离心率是 .
故答案为： .50．（2024·四川凉山·高三统考期末）已知椭圆 ，左、右焦点分别为 、 ，若过
的直线与圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 垂直于x轴，则椭圆的离心率
为 ．
【答案】 /
【解析】如图，设过 的直线与圆 相切于点 ，则 ，
由于 ，所以 ，
因为 垂直于x轴，
所以 ，所以 ，则 ，
因为 ，
所以 ，化简得 ，
所以离心率 ，
故答案为：
