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专题 6.15 平行四边形存在性问题（专项练习）
1．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．
(1)尺规作图：作线段AC的垂直平分线l（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)直线l分别交AB，AC，CD于点E，F，G．猜想DG与BE存在的数量关系，并证明你
猜想的结论．
2．如图1，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一动点，连接BE交对角线AC于点F，
点M为线段BF上一点，连接AM．
(1)如图1，若对角线AC⊥AB，点M是BF的中点， ， ，求BC的长；
(2)如图2，若 ， ，AC的垂直平分线交BE的延长线于点G，连接
AG，CG，AM平分∠BAC交BE于点M，求证： ；
(3)如图3，当点E在运动过程中满足 BCE为等边三角形时，若 ；在 BCE内部是
否存在一点P使 有最小值，若存在，直接写出 的最小值，若不
存在，请说明理由．
3．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；
（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结
论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点E是BC边上的任意一点，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF
是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
4．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．
动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A
出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当
点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形？若存在，请求出所
有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存
在，请直接写出t的值．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，CD＝10cm．
点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AD向点D运动；同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿BC向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
设P、Q运动时间为t秒，回答下列问题：
（1）BC＝_______cm．
（2）求t为何值时四边形PQCD是平行四边形．
（3）求t为何值时四边形PQBA是矩形．
（4）是否存在t的值，使得 DQC是等腰三角形．若存在请直接写出t的值，若不存在，
请说明理由． △
6．如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ， ．
（1）求AB的长；
（2）动点P从点B出发，沿射线BC以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点A
出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度运动，当点Q运动到点D时，两点同时停止
运动，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形？
②是否存在点P，使 是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t的
值；若不存在，请说明理由．
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，
动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当
点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0 t 10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有
满足要求的OA，
（1）求B点的坐标．
（2）把 ABC沿AC对折，点B落在点 处，线段 与x轴交于点D，在平面上是否存
在点P，使D、C、B、P四点形成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；
若不存在，请说明理由．
12．如图，在平行四边形 中， ， ． ．点 在 上由
点 向点 出发，速度为每秒 ；点 在边 上，同时由点 向点 运动，速度为每
秒 ．当点 运动到点 时，点 ， 同时停止运动．连接 ，设运动时间为 秒．（1）当 为何值时，四边形 为平行四边形？
（2）设四边形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式．
（3）当 为何值时，四边形 的面积是四边形 的面积的四分之三？求出此时
的度数．
（4）连接 ，是否存在某一时刻 ，使 为等腰三角形？若存在，请求出此刻 的值；
若不存在，请说明理由．
13．如图，在 中， ， ， ，点 从点 出发沿 方
向以 /秒的速度向点 匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以 /秒的速度向点
匀速运动，设点 、 运动的时间是 秒（ ），过点 作 于点 ，连
接 、 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当 为何值时，动点 恰好在 的垂直平分线上；
（3）点 、 在运动过程中是否存在 的值，使 是直角三角形，若存在求出 的值，
若不存在，说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，点C的坐标是 ．
（1）求 的度数；
（2）若第一象限内存在点D，使四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标．
15．综合与探究
如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，点B在x轴负半轴上，点D在第一象限，
A，C两点的坐标分别为（0，4），（3，0），边AD的长为6．
（1）点B的坐标为 ；
（2）若E为x轴正半轴上的点，且S△AOE ＝ ，求经过D，E两点的直线的解析式；
（3）若点N在平面直角坐标系内，则在x轴上是否存在点F使以A，C，F，N为顶点的四
边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，连接CD，
∠ADC＝120°，把△ADC绕点A逆时针旋转得到 （旋转后点C、D的对应点分别为 、 ），设旋转的度数为m（0°≤m≤360°）．
（1）当m＝30°时，如图2，连接C 并延长，交AB于点E．请直接写出∠AC 的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断△DCE的形状，并说明理由；
（3）①小明在探究的过程中发现：当m＝90°时，如图3，四边形ACB 为平行四边形，
请证明小明的结论的正确性；
②请你再探究：在△ADC绕点A逆时针旋转过程中，是否存在其他的情形，使以A、B、
C、 四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请在备用图中画出旋转后的图形，并请
直接写出m的值；若不能，请说明理由．
17．问题探究：
（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC
上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 ．
（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
问题解决
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且
AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求
出最小值．
参考答案
1．(1)见解析 (2)DG=BE，理由见解析
【分析】
（1）利用基本作图，作AC的垂直平分线即可；
（2）由EG垂直平分AC得到FA=FC，根据平行四边形的性质得到CD∥AB，CD=AB，然后证明△CFG≌△AFE得到CG=AE，从而得到结论．
(1) 解：如图，直线l为所作；
(2) 解：DG=BE，理由如下：
证明：标注如图字母，
∵EG垂直平分AC，
∴FA=FC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∴∠DCA=∠BAC，
在△CFG和△AFE中，
，
∴△CFG≌△AFE（ASA），
∴CG=AE，
∴CD-CG=AB-AE，
即DG=BE．【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（过一点作已知直线的垂线）．也
考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
2．(1) ；(2)见解析；(3)存在，
【分析】
（1）由已知条件根据勾股定理求出AB，由 求出AC，由勾股定理求出BC的长；
（2）连接并延长MC，过点C作CQ⊥BC交BE于点Q，分别过点G作GH⊥MC于点H，
作GP⊥AM于点P．证明△ABM≌△ACM（SAS），推出 ，∠MCQ＝∠BCQ－
∠BCM＝60°．∠MQC＝∠MCQ＝∠CMQ＝60°．得到 ．证明△AGP≌OCGH
（HL）推出 ，∠ACM＝∠GCQ．证明△ACM≌△GCQ（SAS），推出 ，
由此得到结论；
（3）取任意点P，连接PB、PC、PE，以BP为边作等边三角形BPP，作点E关于BC的
1
对称点C ，连接B C，C C ，当点E、P、P1、C1四点共线时， 有最小值，
1 1 1
连接BP、CC 相交于点Q，连接EQ，由轴对称的性质求出C Q=2BC =2BC=8，根据等边三
1 1 1
角形的性质得到∠EQB=∠CQB=30°，证得∠PCQ=90°，同理∠PEQ=90°，推出
BQ=PB+PC+PE，由勾股定理求出BQ即可．
(1) 解：∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°；
∵点M为BF的中点，
∴ ，
∴BF=6，
∴
∵ ，
∴∵在Rt ABC中，∠BAC＝90°
△
∴
(2) 解：连接并延长MC，过点C作CQ⊥BC交BE于点Q，
分别过点G作GH⊥MC于点H，作GP⊥AM于点P．
∵ ，AM平分∠BAC，
∴△ABM≌△ACM（SAS）；
∴ ，∠AMB＝∠AMC，
∵∠CBE＝30°，BM＝MC，
∴∠BCM＝∠CBE＝30°，
∴∠CMQ＝∠BCM＋∠CBE＝60°，∠BMC＝120°，
∴∠AMB＝∠AMC＝120°，
∴∠AMG＝∠CMG＝60°．
∵CQ⊥BC，∠MCB＝30°，
∴∠MCQ＝∠BCQ－∠BCM＝60°．
∴∠MQC＝∠MCQ＝∠CMQ＝60°．
∴ ．
∴ ．
∵GH⊥MC，GP⊥AM，∠AMG＝∠CMG．
∴∠MPG＝∠MHG＝90°， ．
∴ ，
∵点G在AC的垂直平分线上，
∴ ．
在Rt AGP与Rt CGH中，
△ △，
∴△AGP≌OCGH（HL）
∴∠AGP＝∠CGH，
∴∠AGC＝∠PGH＝60°，
∴△AGC为等边三角形，
∴ ，∠ACM＝∠GCQ．
在 ACM与 GCQ中，
△ △
，
∴△ACM≌△GCQ（SAS），
∴ ．
∵ ，
∴ ．
(3) 解：存在， 的最小值为 ．
取任意点P，连接PB、PC、PE，以BP为边作等边三角形BPP，作点E关于BC的对称点
1
C ，连接B C，C C ，当点E、P、P1、C1四点共线时， 有最小值，
1 1 1
连接BP、CC 相交于点Q，连接EQ，
1
∵△BPP 是等边三角形，
1
∴∠PBP=60°，
1
由轴对称可得∠EBP=∠C BP=30°，∠BC C=60°，△BCC 是等边三角形，
1 1 1 1
∴∠C BQ=90°，∠BQC=30°，
1
∴C1Q=2BC =2BC=8，
1
∴CQ=BC=4=CE，
∵∠ECQ=60°，
∴△ECQ是等边三角形，
∴∠EQB=∠CQB=30°，
∵点E、P、P1、C1四点共线，∴C E垂直平分BC，
1
∴∠ECP=∠EBP= =30°，
∴∠PCQ=90°，
同理∠PEQ=90°，
∴PQ=2PC=2PE，
∴PQ=PC+PE，
∴BQ=PB+PC+PE，
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
【点拨】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边
一半的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，这是一道图形类
的综合题，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
3．（1）证明见详解；（2）AE＝EF应然成立，证明见详解；（3）存在，理由见详解．
【解析】
【分析】
（1）在BA上截取BG=BE，连结GE，由四边形ABCD为正方形，可得AB=BC，
∠B=90°，∠BCD=90°，由BG=BE，可得AG=EC，∠AGE=135°，再证△AGE≌△ECF
（ASA）即可；
（2）AE＝EF应然成立，由四边形ABCD为正方形，可得AB=BC，∠ABE=90°，延长BA
到G，使BG=BE，先证∠BAE=∠HEF，再证 AGE≌ ECF（ASA）即可；
（3）存在，理由如下，在AB上截取AM=BE△，AE与△MD交于N，先证 ABE≌ DAM
（SAS），再证MD∥EF，由 AGE≌△ECF，可证DM=EF即可． △ △
△【详解】
（1）证明：在BA上截取BG=BE，连结GE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，∠BCD=90°，
∵BG=BE，
∴AB-BG=BC-BE，即AG=EC，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠1+∠BEA=∠BEA+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∵CF平分∠DCB的外角，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
在 AGE和 ECF中，
△ △
∴ AGE≌ ECF（ASA），
∴△AE＝EF△；
（2）AE＝EF应然成立
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABE=90°，
延长BA到G，使BG=BE，
∴BG-AB=BE-BC，即GA=CE，∠AGE=45°，∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠HEF=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
∴180°-∠BAE=180°-∠HEF即∠GAE=∠CEF，
∵CF平分∠HCB的外角，
∴∠ECF=45°，
∴∠AGE=∠ECF，
在 AGE和 ECF中，
△ △
∴ AGE≌ ECF（ASA），
∴△AE＝EF△；
（3）存在，理由如下，
证明：在AB上截取AM=BE，AE与MD交于N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAM=∠ABE=90°，AD=AB，
在 ABE和 DAM中，
△ △
∴ ABE≌ DAM（SAS），
∴△AE=DM△，∠ADM=∠BAE，
∵∠AMD+∠ADM=∠BAE+∠AMD=90°，即∠AMN+∠MAN=90°，∴∠ANM=180°-90°=90°，
∴AE⊥MD，
∵AE⊥EF，
∴MD∥EF，
∵△AGE≌△ECF，
∴AE=EF，
∴DM=EF，
∵MD EF，且MD=EF，
∴四边形DMEF是平行四边形．
【点拨】本题考查正方形的性质，三角形全等判定与性质，平行四边形的判定，掌握正方
形的性质，三角形全等判定方法与性质，平行四边形的判定方法，利用辅助线画出准确图
形是解题关键．
4．（1）存在，当 秒时，四边形 是平行四边形，理由见解析；（2） 或15
秒，理由见解析；（3）当 秒或 秒时， 是等腰三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意已知， ，要使四边形 是平行四边形，则只需要让 即可，
列出等式可求解．
（2）要使以 、 、 、 为顶点的梯形面积等于 ，可以分为两种情况，点 、
分别沿 、 运动或点 返回时，再利用梯形面积公式，即 ，因为
、 点的速度已知， 、 、 的长度已知，用 可分别表示 、 的长，即可
求得时间 ；（3）使 是等腰三角形，可分三种情况，即 、 ，可利用等腰三角形
及直角梯形的性质，分别用 表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间 ．
解：（1） 四边形 是平行四边形，
，
当 从 运动到 时，
，
解得
当 秒时，四边形 是平行四边形；
（2）若点 、 分别沿 、 运动时，
，
即 ，
解得 （秒
若点 返回时， ，
则
解得 （秒 ．
故当 或15秒时，以 ， ， ， 为顶点的梯形面积等 ；
（3）当 时
作 于 ，则 ，，
秒；
当 时， ， ，
解得 （秒 ，
综上可知，当 秒或 秒时， 是等腰三角形．
【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的性质，梯形的
面积，等腰三角形的性质，解题的关键是注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
5．（1）26；（2）t＝4；（3）t＝5.2；（4）存在，t的值为：4或 或
【解析】
【分析】
（1）过D作DH⊥BC于H，在Rt DHC中，勾股定理求得CH，根据BC＝BH+CH，即可
求得； △
（2）根据平行四边形的性质，利用PD＝CQ，即可求得；
（3）根据矩形的性质，利用AP＝BQ，即可求得；
（4）分类讨论①若CD＝DQ，过D作DH⊥BC于H，②若CD＝CQ，③若DQ＝CQ，过D
作DH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质求即可．
【详解】
解：（1）过D作DH⊥BC于H，如图：∵AD∥BC，∠B＝90°，DH⊥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH＝AB＝8，BH＝AD＝20，
在Rt DHC中，CH＝ ＝ ＝6，
△
∴BC＝BH+CH＝20+6＝26（cm），
故答案为：26；
（2）如图：
根据题意可得：AP＝2t，CQ＝3t，
∵AD∥BC，
∴四边形PQCD是平行四边形，只需PD＝CQ，即20﹣2t＝3t，
解得t＝4，
（3）如图：
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴四边形PQBA是矩形，只需AP＝BQ，即2t＝26﹣3t，
解得t＝5.2；
（4）存在，理由如下：
①若CD＝DQ，过D作DH⊥BC于H，如图：由（1）可知：CH＝6，
∵CD＝DQ，DH⊥BC，
∴CQ＝2CH＝12，
∴3t＝12，
∴t＝4，
②若CD＝CQ，如图：
∴3t＝10，
∴t＝ ，
③若DQ＝CQ，过D作DH⊥BC于H，如图：
在Rt DQH中，QH＝CQ﹣CH＝3t﹣6，DH＝8，DQ＝CQ＝3t，
由勾股△定理得：（3t﹣6）2+82＝（3t）2，
∴t＝ ，
综上所述， DQC是等腰三角形，t的值为：4或 或 ．
△
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，掌
握以上性质，根据等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键．
6．（1）12；（2）①当 秒或 秒时，以P、Q、D、C为顶点的四边形是平行四边形；②存在，当 秒或 秒时， 是以PQ为腰的等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）过点D作DE⊥BC于点E，求出CE=5，由勾股定理可求出DE的长，则答案可得出；
（2）①由题意已知，AD∥BC，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需
要让QD=PC即可，列出等式可求解；②使 PQD是等腰三角形，可分三种情况，即
PQ=PD、PQ=QD；可利用等腰三角形及直角△梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰
长，再利用两腰相等即可求得时间t．
【详解】
解：（1）如图1，过点D作 于点E，则四边形ABED为矩形，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ；
（2）①如图2，
∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当P从B运动到C时，且P在BC上，∵DQ=AD-AQ=16-t，CP=21-2t，
∴16-t=21-2t，
解得：t=5，
∴当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
当点P在BC延长线上时，
∴16-t=2t-21，
解得：t= ，
∴t=5秒或 秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形；
②当PQ=PD时，
如图3，作PH⊥AD于H，则HQ=HD，
∵QH=HD= QD= （16-t），
∵AH=BP，
∴2t= （16-t）+t，
∴t= ；
当PQ=QD时，QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t，
∵QD2=PQ2=t2+122，
∴（16-t）2=122+t2，
解得：t= ．
综上可知，当t= 秒或 秒时， PQD是等腰三角形．
△
【点拨】本题是四边形综合题，考查了直角梯形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与
性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
7．（1）t＝5或 ；（2）9或15；（3）存在，t＝ 秒或
【解析】
【分析】
（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，
利用时间＝路程÷速度，即可求出时间；
（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况，点P、Q分
别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD＋PC）×AB÷2＝60，因
为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求
得时间t；
（3）当0 t 10.5时，点P向点C运动，使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ
＝PD、PQ<＝OA，故OA=4，OC=8，故B（8，4）．
1 2
（2）由对折可知，∠DAC=∠BAC，故∠DAC=∠ACO，AD=CD，设AD=x，则OD=8-x，在中，满足 ，解得x=5，故D点坐标为（3，0），由平行四边形性
质可知P（3，4），P（13，4），P（3，-4）时D、C、B、P四点形成的四边形为平行
1 2 3
四边形．
【详解】
（1）x2﹣12x+32＝0，
解得x=4，x=8，
1 2
∵OC>OA，
∴OA=4，OC=8，
故B点坐标为（8，4）
（2）由对折可知，∠DAC=∠BAC，
又∵四边形OABC为矩形，
∴AB//OC，∠BAC=∠ACO
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD=CD，
设AD=x，则OD=8-x，
在 中，满足 有
化简得
解得x=5，
故OD=8-5=3
故D点坐标为（3，0）
由平行四边形性质可知P（3，4），P（13，4），P（3，-4）时D、C、B、P四点形成
1 2 3
的四边形为平行四边形．【点拨】本题考查了勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质，求出D点坐标，再根据
平行四边形两对边分别平行且相等即可求得P点坐标．
12．（1） ；（2）y＝S ABPQ＝2t＋32（0＜t≤8）；（3）t＝8， ；
四边形
（4）当t＝4或 或 时， 为等腰三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用平行四边形的对边相等AQ＝BP建立方程求解即可；
（2）先构造直角三角形，求出AE，再用梯形的面积公式即可得出结论；
（3）利用面积关系求出t，即可求出DQ，进而判断出DQ＝PQ，即可得出结论；
（4）分三种情况，利用等腰三角形的性质，两腰相等建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵在平行四边形 中， ， ，
由运动知，AQ＝16−t，BP＝2t，
∵四边形ABPQ为平行四边形，
∴AQ＝BP，
∴16−t＝2t
∴t＝ ，即：t＝ s时，四边形ABPQ是平行四边形；
（2）过点A作AE⊥BC于E，如图，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝8，
∴AE＝4，
由运动知，BP＝2t，DQ＝t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝16，
∴AQ＝16−t，
∴y＝S ABPQ＝ （BP＋AQ）•AE＝ （2t＋16−t）×4＝2t＋32（0＜t≤8）；
四边形
（3）由（2）知，AE＝4，
∵BC＝16，
∴S ABCD＝16×4＝64，
四边形
由（2）知，y＝S ABPQ＝2t＋32（0＜t≤8），
四边形
∵四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三
∴2t＋32＝ ×64，
∴t＝8；
如图，
当t＝8时，点P和点C重合，DQ＝8，
∵CD＝AB＝8，∴DP＝DQ，
∴∠DQC＝∠DPQ，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠DQP＝75°；
（4）①当AB＝BP时，BP＝8，
即2t＝8，t＝4；
②当AP＝BP时，如图，
∵∠B＝30°，
过P作PM垂直于AB，垂足为点M，
∴BM＝4， ，
解得：BP＝ ，
∴2t＝ ，
∴t＝
③当AB＝AP时，同（2）的方法得，BP＝ ，
∴2t＝ ，
∴t＝
所以，当t＝4或 或 时，△ABP为等腰三角形．【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，含30°的直角三角形的性
质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是利用AQ＝BP建立方程，解（2）的关键是求出
梯形的高，解（3）的关键是求出t，解（4）的关键是分类讨论的思想思考问题．
13．（1）见解析；（2）5；（3）t=3或
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得：AD=4tcm，BE=2tcm，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜
边的一半，可得AE=DF，由 ，可得到 ，即可求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得到关于t的方程，即可求解；
（3）根据 是直角三角形，可分两种情况讨论：当∠FDE=90°时和当∠DEF=90°时，
即可求解．
【详解】
（1）证明：根据题意得：AD=4tcm，BE=2tcm，
∵ ，
∴CD=（60-4t）cm，
∵ ， ，
∴∠C=30°，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴AE=（30-2t）cm，
∴AE=DF， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解： 若点 恰好在 的垂直平分线上，则AD=DF，
∴4t=30-2t，
解得：t=5，
即当 为5秒时，动点 恰好在 的垂直平分线上；
（3）解：存在，理由如下：
如图，当∠FDE=90°时，∵∠DFC=∠B=∠FDE=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF=BE=2t，DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE=60-4t，
又∵AD=4t，
∴4t=60-4t，
解得： ；
如图，当∠DEF=90°时，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，即30-2t=2×4t，
解得：t=3；
综上所述，当t=3或 时， 是直角三角形．
【点拨】本题主要考查了动点问题，平行四边形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，
直角三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．14．（1）90°；（2）
【解析】
【分析】
（1）作CE⊥y轴，求出A、B两点坐标后，再根据C点坐标，得到BE= CE，求出
∠CBE=∠ABO=45°，即可求出∠ABC的度数；
（2）作DF⊥x轴，构造直角三角形后，证明 ，求出 AF和DF，即可得出D
点的坐标．
【详解】
解：（1）如图，作 轴，垂足为点E．
∵直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴当 时， ，当 时， ．
∴点A，B的坐标分别是 ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵点C的坐标是 ，
∴ ， ．
∴ ．
∴
∵ ，
∴ ．
∴ ，
即∠ABC的度数是90°．
（2）如图，四边形ABCD是平行四边形，作 轴，垂足为点F．
∴ ，∠AFD=90°．
∵ ，
∴四边形ABCD是矩形．∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∴点D的坐标是 ．
【点拨】本题综合考查了一次函数的图像、全等三角形的判定与性质、等边对等角、平行
四边形的性质等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与性质并能灵活运用，能通过作辅
助线构造直角三角形、能通过全等和等边对等角得到相等的角等，本题蕴含了数形结合的
思想方法．
15．（1）B（﹣3，0）；（2）y＝ x﹣ ；（3）存在；N的坐标为（﹣5，4）或（5，
4）或（0，-4）或（ ，4）．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形对边相等的性质，解得BC的长，继而得到点B的坐标；
（2）由平行四边形的性质得到D（6，4），通过解S AOE得到OE＝ ，再利用待定系数
△法解得经过D、E两点的直线解析式即可解题；
（3）分两种情况讨论，以AC为边或以AC为对角线，作出适当的图形，结合菱形的性质，
即可解题．
【详解】
解：（1）平行四边形ABCD中，
AD=6
BC=6，
C（3，0），
B（﹣3，0）
故答案为：B（﹣3，0）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，
∵OA＝4，
∴D（6，4），
∵S AOE＝ ×4×OE＝ ，
△
∴OE＝ ，
∴E（ ，0），
设经过D、E两点的直线解析式为：y＝kx+b，
把点D（6，4），E（ ，0）代入得： ，
解得：k＝ ，b＝﹣ ，
∴经过D、E两点的直线解析式为：y＝ x﹣ ；
（3）存在；N的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（0，-4）或（ ，4），理由如下：
分两种情况讨论，
①若以AC为边，CF为边，如图，当点F在点C的右侧时，
四边形 是菱形，
A（0，4），
（5，4）
当点F在点C的左侧时，
四边形 是菱形，
A（0，4），
（-5，4）；
若以AC为边，CF为对角线，如图，
四边形 是菱形，
，且
A（0，4），
（0，-4）；②若以AC为对角线，如图，
此时菱形 中， ，
在 中
（ ，4）综上所述，存在点F使以A，C，F，N为顶点的四边形为菱形，N的坐标为（﹣5，4）或
（5，4）或（0，-4）或（ ，4）．
【点拨】本题考查直角坐标系中点的坐标、待定系数法求一次函数解析式、菱形的性质、
勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16．（1）75°；（2）等边三角形，理由见解析；（3）①见解析；②存在，画图见解析，
m＝90°或m＝270°
【解析】
【分析】
（1）由旋转知AC＝A ，根据∠CA ＝30°得∠AC ＝ ＝75°；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AC知∠ABC＝∠BAC＝45°，结合∠AC ＝75°
知∠BCE＝90°﹣∠AC ＝15°，继而知∠AEC＝∠ABC＋∠BCE＝60°，根据∠ADC＋
∠CDE＝180°，∠ADC＝120°得∠CDE＝60°，继而知∠CDE＝∠DEC＝∠ECD＝60°，即
可得证；
（3）①m＝90°时，由∠ACB＝90°，∠BA ＝90°知∠ACB＋∠BA ＝180°，据此得
，再由A ＝AC，AC＝BC知A ＝BC，即可得四边形ACB 为平行四边形；
②m＝270°时，由∠ AC＝90°知∠ AC＝∠ACB，从而得A ＝BC，结合A ＝CB证
得四边形A CB为平行四边形．
【详解】解：（1）由旋转知AC＝A ，
∵∠CA ＝30°，
∴∠AC ＝ ＝75°；
（2）△DCE是等边三角形，
理由：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
由（1）知，∠AC ＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠AC ＝15°，
∴∠AEC＝∠ABC＋∠BCE＝60°，
∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∠ADC＝120°，
∴∠CDE＝60°，
∴∠CDE＝∠DEC＝∠ECD＝60°，
∴△DCE是等边三角形；
（3）①当m＝90°时，四边形ACB 为平行四边形，如图3所示：
∵∠ACB＝90°，∠BA ＝90°，
∴∠ACB＋∠BA ＝180°，
∴ ，
∵A ＝AC，AC＝BC，
∴A ＝BC，
∴四边形ACB 为平行四边形；
②当m＝270°时，四边形ACBC′为平行四边形，如图4所示：当m＝270°时，∠ AC＝90°，
∴∠ AC＝∠ACB，
∴A ＝BC，
∵A ＝CB，
∴四边形A CB为平行四边形，
综上所述，当m＝90°或m＝270°时，以A、B、C、 四点组成的四边形为平行四边形．
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、平行四边形的判定定理、等腰直角
三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分
类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
17．（1） ；（2）存在，4+2 ；（3）不是，周长之和的最小值为15
【解析】
【分析】
（1）先求出平行四边形 的面积，利用面积和差关系可得四边形 的面积
，则当 有最小值时，四边形 的面积有最大值，即可求解；
（2）在 中，由勾股定理可求 的长，由线段的和差关系可求解；
（3）如图3，过点 作 ，交 的延长线于 ，过点 作 于 ，可证四
边形 是平行四边形，可 ， ，则 与 的周长之和为
，由直角三角形的性质可求 的长，即可求解．
【详解】
解：（1）过点 作 ，交 延长线于 ，过点 作 ，交 的延长线于
，四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
， ，
，
， ，
， ，
四边形 的面积 ，
，
，
∴
四边形 的面积
，
四边形 的面积 ，
则当 有最小值时，四边形 的面积有最大值，
，
，
，
，
，
当 时，四边形 的面积 ，故答案为 ；
（2）存在，
设 ，
，
，
，
的周长 ，
当 时， 的周长的最小值为 ；
（3） 与 的周长之和不是定值，
理由如下：如图3，过点 作 ，交 的延长线于 ，过点 作 于 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，，
，
与 的周长之和不是定值，
当 时， 与 的周长之和的最小值为15．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，
添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
