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专题 6.18 多边形的内角和与外角和（知识讲解）
【学习目标】
1.理解多边形的概念；
2.掌握多边形内角和与外角和公式；
3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的
推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.
【要点梳理】
知识点一、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．
其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同
一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫
凹多边形．如图：
凹多边形
凸 多 边 形
特别说明：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
n(n3)
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 2 ；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
知识点二、多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
特别说明：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边(n2) 180°
数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于 n ；
知识点三、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
特别说明：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形
的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
360°
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多
边形边数求各相等外角的度数．
知识点四、镶嵌的认识
知识点1、
1.镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做多边形
覆盖(或平面镶嵌).
2.实现镶嵌的条件:用多边形拼地板,即能拼成一个既不留下一丝空白,又不互相重叠的平面
图形的条件是:围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于3600
.
平面密铺的含义:⑴平面图形的形状、大小完全相同;⑵拼接后彼此之间不留空隙，不能重
叠;⑶若在每个拼接点处几个平面图形的内角和构成3600
,则这些平面图形就能密铺.
知识点2、:实现平面镶嵌的常用方法
探究一:用一种正多边形镶嵌
设所用正多边形的边数为n,且在一个顶点处有k个正n边形.
n,k皆为正整数,
进而限用一种正n边形的镶嵌有三种情况:
正多边形的边数 一个顶点处正多边形的个数
3 6
4 4
6 3
探究二:用多种正多边形镶嵌
以正三角形和正四边形为例,设正三角形有x个,正四边形有y个,
根据限定条件 整理,得2x+3y=12,即:用3个正三角形和2个正方形可以镶嵌.
类似可讨论出:用4个正三角形和1个正六边形可以镶嵌;用2个正三角形和2个正六边形
可以镶嵌;用2个正五边形和1个正十边形可以镶嵌,等
探究三：任意多边形的平面镶嵌
取一些形状、大小相同的多边形也可以作平面镶嵌，此时要相等的边重合，且同一个顶点
处的各个内角之和为3600。用任意多边形作平面镶嵌，符合条件的有任意三角形或任意四
边形。
【典型例题】
类型一、多边形的内角和问题
1．证明：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
【分析】在n边形内任取一点O，连接O与各顶点的线段把n边形分成了n个三角形，
然后利用n个三角形的面积减去以O为公共顶点的n个角的和，即可求证．
已知： n边形AA……A，
1 2 n
求证： ，
证明：如图，在n边形内任取一点O，连接O与各顶点的线段把n边形分成了n个三
角形，
∵n个三角形内角和为n·180°，以O为公共顶点的n个角的和360°(即一个周角)，
∴n边形内角和为 ．
【点拨】本题主要考查了多边形的内角和，做适当辅助线，得到n边形的内角和等于
n个三角形的面积减去以O为公共顶点的n个角的和是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 求下列图中的x的值（1）
（2）
【答案】（1）65；（2）60．
【分析】
（1）根据四边形内角和等于360°，列方程即可求出x的值；
（2）根据五边形内角和等于(5-2) 180°，列方程即可求出x的值．
解：（1）∵四边形内角和等于360°，
∴x+x+140+90=360，
解得：x=65；
（2）∵五边形内角和等于(5-2) 180°=540°，
∴x+2x+150+120+90=540，
解得：x=60．
【点拨】本题考查了四边形和五边形的内角和，熟练掌握n边形的内角和等于(n-2)
180°是解题的关键．①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程
（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；②求角的度数常常要用到“n边形的内角和等
于(n-2) 180°”这一隐含的条件．
【变式2】 如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正几边形？它
的对角线的总条数是多少？
【答案】这个正多边形是正七边形，总对角线的条数为14条
【分析】根据多边形的内角和公式求解即可，从一个n边形的某个顶点出发，可以引
条对角线，则总对角线的条数为 条．解：设这个多边形为 边形，根据多边形内角和公式可得，
解得
总对角线的条数为 （条）
这个正多边形是正七边形，总对角线的条数为14条
【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，对角线的条数，牢记多边形的内角和公式
是解题的关键．
类型二、正多边形的内角问题
2．（1）一个多边形的内角和与外角和相加后的结果是2520度，试求这个多边
形的边数．
（2）一个正n边形的每个内角的度数为144度，求n的值．
【答案】（1）14；（2）10．
【分析】
（1）由多边形内角和公式、外角和等于360°，然后列式进行计算，即可得到答案；
（2）先求出每个外角的度数，然后即可求出n的值．
解：（1）根据题意，设这个多边形的边数为x，则
，
解得： ，
∴这个多边形的边数是14；
（2）∵一个正n边形的每个内角的度数为144度，
∴每个外角为： ，
∴n的值为： ；
【点拨】本题考查了多边形的内角和、外角和定理，解题的关键是熟练掌握内角和公
式进行解题．
举一反三：
【变式1】 在一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角的度数等于与它相邻的
内角度数的 ，求这个多边形的边数及内角和．
【答案】这个多边形的边数为5，内角和为540°【分析】根据正多边形的一个内角与一个外角的和为180°，一个外角等于与它相邻的
内角的 ，列出方程组，从而求得外角的度数，最后根据任意正多边形的外角和是360°求
解即可．
解：设这个多边形的一个内角为x，则外角为 x．
根据题意得：x+ x=180°．
解得：x=108°， x=72°，
360°÷72°=5，
108°×5=540°．
答：这个多边形的边数为5，内角和为540°
【点拨】本题主要考查的是多边形的内角与外角，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式2】如图，在 中， ， ，点 在边 上，且
， 平分 .
(1)求 和 的度数；
(2)以 为边，在 的左侧作正五边形 ，求 的度数.
【答案】(1) 的度数为 ， 的度数为 ；(2) 的度数为 .
【分析】
（1）首先根据三角形内角和定理求出∠C，然后根据外角性质得出∠CAD，进而得出
∠BAD，再根据角平分线性质得出∠MAD，即可得解；
（2）首先根据正五边形的内角和定理得出其内角，然后即可求得∠BAG．解：(1)在 中， ， ，
，
，
平分 ，
，
综上可知， 的度数为 ， 的度数为 ；
(2)∵五边形 是正五边形，
正五边形 的内角和为 ，
，
，
即 的度数为 ．
【点拨】此题主要考查三角形外角性质、角平分线性质以及正多边形内角和性质，熟
练掌握，即可解题．
类型三、多边形截角后的内角和问题
3．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为
2520°的新多边形，求原多边形的边数．
【答案】15
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多
1条边，可得答案．
解：设新多边形是n边形，
由多边形内角和公式得： ，
解得： ，则原多边形的边数是： ．
原多边形的边数是15．
【点拨】本题主要考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是要熟练掌握多边形的
内角和公式．
举一反三：
【变式1】 如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1
＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝400°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠BGD的度数．
【答案】（1）720°；（2）40°．
【分析】
（1）直接根据多边形的内角和公式进行求解；
（2）先求出∠GBC+∠C+∠CDG的度数，然后根据∠BGD＝360°﹣
(∠GBC+∠C+∠CDG)进行求解．
解：（1）六边形ABCDEF的内角和为180°×(6﹣2)＝720°；
（2）由（1）知六边形ABCDEF的内角和为720°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣400°＝320°，
∴∠BGD＝360°﹣(∠GBC+∠C+∠CDG)＝360°﹣320°＝40°．
∴∠BGD的度数是40°．
【点拨】本题考查多边形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式和运用整体代
入的思想是解题的关键．
【变式2】如图是一个凹多边形， ， ， ， ；求
的值．【答案】 ．
【分析】连接FB构建直角三角形可知 ，在利用五边形内角和为
减去其他内角以及 和 ，即可求解 的值．
证明：连接
∵ ，
∴ ，
∵ ，
， ， ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查多边形的内角和，以及直角三角形两锐角互余．找到要求角度
和与多边形内角和的关系是本题关键．多边形的内角和公式：n边形内角和等于
．
类型四、正多边形的外角问题
4．一个多边形除一内角外，其余内角和与外角和之和为1560°．
（1）求该多边形的边数；
（2）若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数．【答案】（1）9； （2）
【分析】
（1）设该多边形的边数为n，一内角为x，根据题意，列出方程，可得
，再根据 ，n为正整数，即可求解；
（2）由（1）可得该正多边形为正九边形，用 除以9，即可求解．
解：（1）设该多边形的边数为n，一内角为x，根据题意得：
，
解得： ，
因为 ，
所以 ，
解得： ，
又因为n为正整数，
所以 ，
即该多边形的边数为9；
（2）由（1）可得该正多边形为正九边形，
所以每一个外角的度数为 ．
【点拨】本题主要考查了多边形的内角和和外角和定理，熟练掌握n边形（ ）
的内角和为 和外角和等于 是解题的关键．
举一反三：
【变式】一个正多边形的周长为 ，边长为 ，一个外角为 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）36；（2）5
【分析】
（1）根据周长公式，可得多边形的边数，再根据多边形的外角和，可得答案．
（2）根据多边形的外角和，可得多边形的边数，根据周长公式，可得答案．
解：（1）∵正多边形的周长为 ，边长为 ， ，
∴正多边形的边数=60÷6=10，∵正多边形的一个外角为
∴b=360÷10=36，
（2）∵正多边形的一个外角为 ， ，
∴正多边形的边数=360÷30=12，
∵正多边形的周长为 ，边长为 ，
∴a=60÷12=5，
【点拨】本题考查了多边形的外角和以及正多边形的性质，利用多边形的外角和得出
多边形的边数是解题关键．
类型五、多边形的外角和实际运用
5.一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它是几边形？
【答案】九边形．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和定理和外角和等于360度得到（
n-2）×180°-360°×3=180°，然后解方程即可．
解：设多边形的边数为n，
根据题意得：（ n-2）×180°-360°×3=180°，
解得：n=9．
答：它是九边形．
举一反三：
【变式1】小刚从点A出发，前进10米后向右转60°，再前进10米后又向右转60°，
按照这样的方式一直走下去，他能回到A点吗？当他第一次回到A点，他走了多少米？
【答案】60米
【分析】先确定小刚所走路径为正多边形，然后再利用外角和定理计算出多边形的边
数，进而可得答案．
解：∵前进10米后向右转60°，多边形的边相等，每个内角=180°-60°=120°，每个内
角都相等，
∴小刚所走路径为正多边形，
设这个正多边形的边数为n，则60n＝360，
解得n＝6，
故他第一次回到出发点A时，共走了：10×6＝60（m）．
答：他能回到A点，当他第一次回到A点，他走了60米．
【点拨】本题考查生活的正多边形，掌握正多边形的定义是解题关键．
【变式2】如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返
回P市，这辆小汽车共转了多少度角？
【答案】360°
【分析】分别记 的外角为 ，用 即可得出答案．
解：
如图，当小汽车从P出发行驶到B市，由B市向C市行驶时转的角是 ，由C市向A
市行驶时转的角是 ，由A市向P市行驶时转的角是 ．
小汽车从P市出发，经B市、C 市、A市，又回到P市，共转 ．
【点拨】本题考查外角和定理的应用，掌握多边形的外角和为 是解题的关键．
类型六、多边形内角和与外角和综合
6.已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，求这个多边形的边数．
【答案】这个多边形的边数是10．
【分析】
多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的4倍，则内角和为4×360=1440度．n
边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，即可得到方程，从而求出边数．
解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：(n－2)×180°＝4×360°，
解得n＝10，
故这个多边形的边数是10．
【点拨】此题主要考查了多边形的外角和，内角和公式，做题的关键是正确把握内角
和公式为：（n-2）•180°，外角和为360°．
举一反三：
【变式1】一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？（要求：列方程求解，
要有解题过程）
【答案】八边形．
【分析】设这个多边形是 边形，再根据多边形的内角和与外角和建立方程，解方程
即可得．
解：设这个多边形是 边形，
由题意得： ，
，
，
，
故这个多边形是八边形．
【点拨】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和是
解题关键．
【变式2】如图， ， ， 是 的三个外角，它们的和是多少？
【答案】
【分析】根据 ， ， ，则
，然后根据三角形内角和定理即可得到结论．
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，得，
，
，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、外角和定理、三角形的外角性质，解题的关
键是灵活运用所学知识点解决问题．
类型七、多边形的镶嵌问题
7.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌
成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下
空隙，又不互相重叠(在几何里叫作平面镶嵌)．这显然与正多边形的内角大小有关．当围
绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一
个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格．
（2）如图所示，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形．
（3）不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么？
（4）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用
这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成
几种不同的平面图形？说明你的理由．
【答案】（1）60°，90°，108°，120° ， ；（2）正三角形、正四边形(或正方
形)、正六边形；（3）理由见解析；（4）选正方形和正八边形，图见解析，符合条件的图
形只有一种，理由见解析．【分析】
（1）根据正多边形的性质、多边形的内角和即可得；
（2）根据正多边形的几个内角加在一起能否等于 即可得；
（3）根据题（2）的求解过程可知，当 时， 不为整数，即可说明
问题；
（4）选正方形和正八边形；然后根据“几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角”
列出方程，根据其整数解的个数即可得出答案．
解：（1）当正多边形的边数为3时，正三角形每个内角的度数为
当正多边形的边数为4时，正四边形每个内角的度数为
当正多边形的边数为5时，正五边形每个内角的度数为
当正多边形的边数为6时，正六边形每个内角的度数为
当正多边形的边数为n时，正n边形每个内角的度数为
故答案为： ； ； ； ； ；
（2）设这个正多边形的边数为n
由题意、（1）的结论得，当 为正整数时，求出的n值即符合题意
要使 为正整数，则4为 的倍数
因此， 或2或4，即 或4或6
故如果限于用一种正多边形镶嵌，正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能
镶嵌成一个平面图形；
（3）由（2）知，当 时， 不为整数故不能用正五边形形状的材料铺满地面；
（4）选正方形和正八边形，画图结果如下所示：
设在一个顶点周围有 个正方形的角， 个正八边形的角
则 ， 应是方程 的正整数解
即 的正整数解
解得只有 一组
故符合条件的图形只有一种．
【点拨】本题考查了正多边形的内角和及应用，较难的是题（4），读懂新定义，正确列出
方程是解题关键．
举一反三：
【变式1】某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多
边形做平面密铺的情形时用了以下方法：用2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形
和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）（3）．请你
仿照此方法解决下面问题：
（1）研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，求出x和y的值
（2）按图（4）中给出两个边长相等的正方形和正三角形画出一个密铺后图形的示意图．
【答案】（1）x=3，y=2（2）见解析
【解析】
【分析】
1）正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，能进行密铺，说明一个顶点处
的各内角之和为360°，依此列出方程求出x和y的值；（2）作出3个正三角形和2个正方形进行平面密铺的图形．
解：（1）依题意，可有60·x+90•y=360，
化简得2x+3y=12，
∵x、y为正整数，
∴x=3，y=2；
（2）如图．
【点拨】本题考查平面镶嵌（密铺），解体的关键是结合平面镶嵌（密铺）的特点列出方
程求出x和y的值.
【变式2】在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖
铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不
留一丝空隙，又不互相重叠(在数学上叫做平面镶嵌)．这显然与正多边形的内角大小有关，
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了
一个平面图形．
(1)请你根据图中的图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …… n
正多边形每个内角度数 60° 90° 108° 120° ……
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
【答案】(1) (2) 正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形
【分析】（1）利用正多边形一个内角=180- 求解；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验
证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；
解：（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…
正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，… ；
（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四
边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；
【点拨】求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多
边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键
是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
