文档内容
专题 13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................4
............................................................................................................................................10
考点一：正方体、长方体外接球...........................................................................................................................10
考点二：正四面体外接球......................................................................................................................................12
考点三：对棱相等的三棱锥外接球.......................................................................................................................14
考点四：直棱柱外接球..........................................................................................................................................17
考点五：直棱锥外接球..........................................................................................................................................20
考点六：正棱锥与侧棱相等模型...........................................................................................................................22
考点七：侧棱为外接球直径模型...........................................................................................................................26
考点八：共斜边拼接模型......................................................................................................................................28
考点九：垂面模型.................................................................................................................................................32
考点十：二面角模型..............................................................................................................................................34
考点十一：坐标法.................................................................................................................................................38
考点十二：圆锥圆柱圆台模型..............................................................................................................................42
考点十三：锥体内切球..........................................................................................................................................45
考点十四：棱切球.................................................................................................................................................49
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全
国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中
等难度．
考点要求 考题统计 考情分析
2022年乙卷第12题，5分 【命题预测】
2022年II卷第7题，5分 预测2024年高考，多以小题形式出现，也
外接球
2022年I卷第8题，5分 有可能会将其渗透在解答题的表达之中，
2021年甲卷第11题，5分 相对独立．具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式出现，考查
内切球 2020年III卷第16题，5分
学生的综合推理能力．
（2）热点是锥体内切球与棱切球问题．
棱切球 2023年 I卷第1题，5分
1、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体 可以补形为正方体且正方体的棱长 ，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1 图2 图3 图4
1．（2022•乙卷）已知球 的半径为1，四棱锥的顶点为 ，底面的四个顶点均在球 的球面上，则当该
四棱锥的体积最大时，其高为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于圆内接四边形，如图所示，
，
当且仅当 ， 为圆的直径，且 时，等号成立，此时四边形 为正方形，
当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，
则 ，
该四棱锥的高 ，
该四棱锥的体积 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
该四棱锥的体积最大时，其高 ，
故选： ．2．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面
上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为 ，下底面所在平
面截球所得圆的半径为 ，如图，
设球的半径为 ，则轴截面中由几何知识可得 ，解得 ，
该球的表面积为 ．
当球心在台体内时，如图，
此时 ，无解．
综上，该球的表面积为 ．
故选： ．
3．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 ，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，【答案】
【解析】如图所示，正四棱锥 各顶点都在同一球面上，连接 与 交于点 ，连接 ，则
球心 在直线 上，连接 ，
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
在 中， ，即 ，
球 的体积为 ， 球 的半径 ，
在 中， ，即 ，
， ，
，又 ， ，
该正四棱锥体积 ，
，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
（4） ，
又 ， ，且 ，
，
即该正四棱锥体积的取值范围是 ， ，
故选： ．
4．（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥
的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，设球 的半径为 ，由题意， ，
可得 ，则球 的直径为4，
两个圆锥的高之比为 ， ， ，
由直角三角形中的射影定理可得： ，即 ．
这两个圆锥的体积之和为 ．
故选： ．
5．（2021•甲卷）已知 ， ， 是半径为1的球 的球面上的三个点，且 ， ，则三棱
锥 的体积为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以底面 为等腰直角三角形，
所以 所在的截面圆的圆心 为斜边 的中点，
所以 平面 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，
故三棱锥 的体积为 ．
故选： ．6．（2023•甲卷）在正方体 中， ， 为 的中点，若该正方体的棱与球 的球
面有公共点，则球 的半径的取值范围是 ．
【答案】 ， ．
【解析】设球的半径为 ，
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，
若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径 为体对角线长 ，
即 ， ，故 ，
分别取侧枝 ， ， ， 的中点 ， ， ， ，
则四边形 是边长为4的正方形，且 为正方形 的对角线交点，
连接 ，则 ，
当球的一个大圆恰好是四边形 的外接圆，球的半径最小，
即 的最小值为 ，
综上，球 的半径的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
7．（2023•甲卷）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则以 为直径的球面
与正方体每条棱的交点总数为 ．【答案】12．
【解析】在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，
设正方体 中棱长为2， 中点为 ，
取 ， 中点 ， ，侧面 的中心为 ，
连接 ， ， ， ， ，如图，
由题意得 为球心，在正方体 中， ，
，
则球心 到 的距离为 ，
球 与棱 相切，球面与棱 只有一个交点，
同理，根据正方体 的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点，
以 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．
故答案为：12．
8．（2020•新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
【答案】
【解析】因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，
如图，圆锥母线 ，底面半径 ，
则其高 ，
不妨设该内切球与母线 切于点 ，
令 ，由 ，则 ，
即 ，解得 ，
，
故答案为： ．考点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
例1．（2023·四川·高三统考学业考试）若球的表面积为 ，则顶点均在该球球面上的正方体体积为
（ ）
A．256 B．64 C．27 D．8
【答案】B
【解析】因为球的表面积为 ，
所以 ，解得 ，
设正方体的棱长为 ，
因为正方体外接球的直径为正方体的体对角线，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：B
例2．（2023·四川巴中·统考一模）已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方
体外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】令长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，由 ，则 ，
而长方体外接球半径 ，故 ，其表面积 .
故答案为：
例3．（2023·重庆渝北·高三重庆市南华中学校校考阶段练习）在长方体 中， ，
， ，则长方体外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】由题意，根据长方体 外接球的性质，可得
，
，该长方体的外接球的表面积 .
故答案为： .
考点二：正四面体外接球
如图，设正四面体 的的棱长为 ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 ，显然正四面体
和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为 ，即正四面体外接球半径为 ．
例4．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）已知正四面体 的外接球的体
积为 ，则该正四面体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设外接球半径为 ，则 ，解得 ，
将正四面体放入正方体中，设正方体边长为 ，如图所示：则 ， ，正四面体的棱长为 .
故选：C.
例5．（2023·天津北辰·统考三模）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的
意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他
把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大
师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所
有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，
则该球半径 ，如图：
可知 为外接球球心， ， 平面 ， 为底面等边 的中心，
设正四面体的棱长为 ，则 ， ，
在 中，则 ，即 ，解得 ，即 ．
故选：A
例6．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知正四面体的各棱长均为 ，各顶点均在同一球面上，则该球
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图， 是正四面体 的高， 是外接球球心，设外接球半径为 ，
∵正四面体棱长为 ，∴ ， ， ， ，
由 得 ，
解得 ，∴ ．
故选：D．
考点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以
．
例7．（2023·四川凉山·二模）在四面体 中， ，则
四面体 外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，此四面体 可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为 ，
， ，四面体 如图所示，
所以此四面体 的外接球的直径为长方体的体对角线，即 ,解得 .
所以四面体 外接球表面积是 .
故答案为：B.
例8．（2023·广东揭阳·高三校联考期中）在三棱锥 中， ， ，
，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以可以将三棱锥 如图放置于一个长方体中，如图所示：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则有 ，整理得 ，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有 ，
所以所求的球体表面积为： ．
故选：A．
例9．（2023•五华区校级期中）如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”
等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人
以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院
批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的
四个点 ， ， ， 满足 ， ， ，则该“鞠”的表面
积为
A． B． C． D．
【解析】解：因为鞠表面上的四个点 ， ， ， 满足 ，
， ，
所以可以把 ， ， ， 四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是鞠的直径，
设该长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，鞠的半径为 ，则 ，
由题意得 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以该鞠的表面积为 ，
故选： ．
考点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1 C1 C1
A1 O2
B1
F A1
O2 B1
A1
O2
F
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O1 B A O1 E
B B
图1 图2 图3
第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ；
第二步：算出小圆 的半径 ， （ 也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理： ，解出例10．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）在直三棱柱 中， 为等边三角形，若三棱柱
的体积为 ，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直三棱柱的高为 ，外接球的半径为 ， 外接圆的半径为 ，则 ，所
以 ，又 ，令 ，则 ，易知 的最小值为
，此时 ，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为 .
故选：A.
例11．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）在直三棱柱 中， 为等腰直角三角形，若三棱柱
的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
【答案】C
【解析】设 为等腰直角三角形的直角边为 ，三棱柱 的高为 ，
则 ，所以 ，则 ，
外接圆的半径为 ，
所以棱柱外接球的半径为 ，
令 ，则 ，则 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
则该三棱柱外接球表面积最小值为 .
故选：C.
例12．（2023·陕西咸阳·统考一模）在直三棱柱 中， ， ，若该直三棱
柱的外接球表面积为 ，则此直三棱柱的高为（ ）．
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】由题意将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，利用直三棱柱的外接球表面积为 ，可求出外接球的半径，从而可求得直三棱柱的高
因为 ，所以将直三棱柱 补成长方体 ，则直三棱柱的外接球就是长
方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，
设球的半径为 ，则 ，解得 ，
设直三棱柱的高为 ，则 ，即 ，
解得 ，所以直三棱柱的高为 ，
故选：D
例13．（2023·广东·统考一模）如图，在直三棱柱 的侧面展开图中， ， 是线段 的三等
分点，且 ．若该三棱柱的外接球 的表面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由展开图可知，直三棱柱 的底面是边长为 的等边三角形，
其外接圆的半径满足 ，所以 ．
由 得 ．
由球的性质可知，球心 到底面 的距离为 ，
结合球和直三棱柱的对称性可知， ，故选D．
考点五：直棱锥外接球
如图， 平面 ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
解题步骤：
第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必
过球心 ；
第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 (三角形的外接圆直
径算法：利用正弦定理，得 )， ；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ；
② ．
例14．（2023·江西萍乡·高三统考期末）三棱锥A-BCD中， 平面BCD， ，
，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由 平面BCD， ，知三棱锥A-BCD可补形为以AD，DC，BD为三条棱的长方体，
如图所示，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R，
则 ，所以该三棱锥的外接球表面积为 .
故选：C．
例15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥 中， 平面 ，
底面 为边长为 的正方形， ，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 四边形 为边长为 的正方形， 四边形 的外接圆半径 ，
又 平面 ， ， 四棱锥 的外接球半径 ，
四棱锥 的外接球表面积 .
故选：D.
例16．（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥 中， ， 平面ABC， ，
，则三棱锥 外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意三棱锥 可以补成分别以 为长、宽、高的长方体，其中 为长方体
的对角线，则三棱锥 的外接球球心即为 的中点，要使三棱锥 的外接球的体积最小，则 最小．
设 ，则 ， ， ，
所以当 时， ，则有三棱锥 的外接球的球半径最小为 ，
所以 ．
故选：A
考点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， 的射影是 的外心
三棱锥 的三条侧棱相等
三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点．P
O
C
A O1 B
解题步骤：
第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；
第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 ．
例17．（2023·重庆·高三重庆八中校考期末）已知球O为三棱锥S﹣ABC的外接球，
，则球O的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取SC中点M，连接AM、MB，
因为△SAC是等边三角形，且SB＝BC，
∴AM⊥SC，MB⊥SC，
∴SC⊥平面AMB，
∴球心O在平面AMB上，作 ⊥平面SAC，可得 为等边三角形SAC的中心，
所以 ＝ ，取AB中点N，连接ON，∴ON⊥AB，
∴ 四点共圆，AO为这四点共圆的直径，也是三棱锥S−ABC外接球的半径，连接 ，
在△ABM中： ，
，
∴∠MAB＝90°，
∴在直角三角形 中，
由勾股定理，得 ＝ ，
∴三棱锥S−ABC外接球的半径长为AO= = ，
．
故选：A．
例18．（2023·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，
且顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图设底面 的中心为 ，连接 ，则球心在直线 上，
由几何关系可知， ，先将三角形 转化成平面三角形，
如图：
因为 ，由勾股定理可得 ，设球心为 ，
则 在 的延长线上，且 ，则 ，
由勾股定理可得 ，即 ，
解得 ，所以球体的表面积 ．故答案为： ．
例19．（2023·福建福州·高三福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥 的顶点都在球O的球
面上，其侧棱与底面所成角为 ，且 ，则球O的表面积为
【答案】
【解析】如图，正三棱锥 中，设点Q为 的中心，则PQ⊥平面ABC，
∴ ，∴ ，PQ＝3．
球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，
则 ， ，
在 中， ，即 ，解得 ，
∴球O的表面积为 ．
故答案为： .
例20．（2023·河南·模拟预测）已知正四棱锥 的底面边长为 ，高为 ，且 ，该四棱
锥的外接球的表面积为 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】连接 相交于点 ，连接 ，则 ⊥平面 ，
球心 在 上，连接 ，则 ， ，
因为正四棱锥 的底面边长为 ，所以 ，
在直角三角形 上，由勾股定理得 ，即 ， ，解得 ，
由 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 取得极小值，也是最小值，此时 ，
又当 和 时， ，
所以 ，则 .
故答案为：
考点七：侧棱为外接球直径模型
找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
例21．（2023·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考期末）在三棱锥P-ABC中，已知 ABC是边长为2的等
边三角形，PA为此三棱锥外接球O的直径，PA＝4，则点P到底面ABC的距离为（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点P到底面ABC的距离为 ，点 到底面ABC的距离为 ，则 .
连接 、 ，则三棱锥 是棱长为2的正四面体，
取 的中点 ，连接 ，作 ，则 平面 ，
即 ，在正 中， ，
在 中， ，
即 ，即点P到底面ABC的距离为 .
故选：D.
例22．（2023•云南校级月考）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为2的
正三角形， 为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为
A． B． C． D．
【解析】解：因为 是边长为2的正三角形，所以 外接圆的半径 ，
所以点 到平面 的距离 ，
为球 的直径，点 到平面 的距离为 ，
此棱锥的体积为 ，
故选： ．
例23．（2023•防城港模拟）体积为 的三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，已知 是边长为1的正三角形， 为球 的直径，则球 的表面积为
A． B． C． D．
【解析】解：根据题意作出图形：
设球心为 ，球的半径 ．过 三点的小圆的圆心为 ，则 平面 ，
延长 交球于点 ，则 平面 ．
，
，
高 ，
是边长为1的正三角形，
，
，
．则球 的表面积为
故选： ．
考点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体 中， ， ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形
拼接而形成的， 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点 为公共斜边 的中点，根
据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知， ，即点 到 ， ， ， 四点
的距离相等，故点 就是四面体 外接球的球心，公共的斜边 就是外接球的一条直径．例24．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角
线AC把 折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（ ）
A． B． C． D．不确定的实数
【答案】B
【解析】设矩形 的边长分别为 、 ，则 ，
所以矩形周长 ，
，
，当且仅当 时取等号，
矩形周长最小时， ，
，
，
因为
外接球的半径 ，
外接球表面积 ．
故选：B．例25．（2023·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥 中， ， ， ， ，
，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，则 ，所以 ，
又因为 ， ， ，则 ，所以 ，
由 ， ， ，则 ，所以 ，
又由 ， ， ，则 ，所以 ，
可得 为三棱锥 的外接球的直径，
又由 ，
所以此三棱锥的外接球半径为 ，
所以球的表面积为 ．
故选：C．
例26．（2023·江西赣州·高二期中）在三棱锥 中，
若该三棱锥的体积为 ，则三棱锥 外球的体积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD，
因为 ，
所以 ，
则 ，
所以O为其外接球的球心，设球的半径为R，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 平面AOB，
所以 ，
解得 ，
所以其外接球的体积为 ，
故选：D
考点九：垂面模型
如图1所示为四面体 ，已知平面 平面 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．
图1 图2
例27．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在三棱锥 中、平面 平面 ，
，且 ，则三棱维 的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， 为直角三角形，故 在三棱维 的外接球的一个切面圆上， 为该圆
直径；
又平面 平面 ，故外接球的球心 在 所在的平面内，又 ，故
为等腰三角形，球心O在BD边中线所在直线上 ， 点到线段 的距离为 ，
设外接球的半径为 ，则 ，
解得 ，则外接球的表面积为 .
故选：C.例28．（2023·全国·模拟预测）如图1，平面五边形 ， ， ， ，
，将 沿 折起至平面 平面 ，如图2，若 ，则四棱锥 的
外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，易得 ，由题可知四边形 为等腰梯形，过点 作 ，
在 中， ， ，由三角函数知 ，所以 ，取 中点 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ， ，又因为平面 平面 ，所以 平面 ，
易求 ，所以 为 中点，且外接球球心在平面 的垂线 上，又因为 中，
， ，所以 ；同理可得 ，所以在平面 内，
，即 就是外接球球心，所以半径 ，所以四棱锥 外接球体积为
.
故选：A.
例29．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥 的体积是 ，
底面 是正方形， 是等边三角形，平面 平面 ，则四棱锥 外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设正方形 的边长为 ，在等边三角形 中，过 点作 于E，
由于平面 平面 ，∴ 平面 ．
由于 是等边三角形，则 ，
∴ ，解得 ．
设四棱锥外接球的半径为 ， 为正方形ABCD中心， 为等边三角形PAB中心，
O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知 为矩形，
则 ， ，
，
∴外接球表面积 ．
故选：C．
考点十：二面角模型
如图1所示为四面体 ，已知二面角 大小为 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．例30．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知在菱形 中， ，把 沿
折起到 位置，若二面角 大小为 ，则四面体 的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 的外接圆圆心为 ， 的外接圆圆心为 ，
过这两点分别作平面 、平面 的垂线，交于点O，则O就是外接球的球心；
取 中点E，连接 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 和 是正三角形，
所以 ，
由 得 ，所以 由 ，即球半径为 ，
所以球体积为 ．
故选：C.
例31．（2023·广东·统考模拟预测）在三棱锥 中， 为等腰直角三角形， ，
为正三角形，且二面角 的平面角为 ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示， 为直角三角形，又 ，
所以 ，
因为 为正三角形，所以 ，
连接 ， 为 的中点，E为 中点，
则 ，所以 为二面角 的平面角
所以 ．
因为 为直角三角形，E为 中点，
所以点 为 的外接圆的圆心，
设G为 的中心，则G为 的外接圆圆心．过E作面 的垂线，过G作面 的垂线，设
两垂线交于O．
则O即为三棱锥 的外接球球心．设 与 交于点H，，
所以 , ，
∴ ．
所以 ，
故选：C.
例32．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）如图，在三棱锥 ， 是以AC
为斜边的等腰直角三角形，且 ， ，二面角 的大小为 ，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，作出图形，如图所示，因为 是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以 的
外心在 中点，设为 ，设 的外心为 ， 中点为 ， ，因为 ，所以
必在 连线上，则 ，即 ，因为两平面交线为 ， 为平面 所在圆面中心，
所以 ， ，
又因为二面角 的大小为 ， ，所以 ，所以
，锥体 外接球半径 ，则三棱锥 的
外接球表面积为 ，
故选：B考点十一：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
例33．（2023·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体 的棱长为2，点 是
线段 上的动点，则三棱锥 的外接球半径的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
设 为 的中点， 为三棱锥 外接球的球心，
则 为 外接圆的圆心， 平面 ， ，
设 ，
则 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 ，所以球的半径 .
故答案为： .
例34．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）空间直角坐标系 中，
则四面体ABCD外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取 ，则 是长方体，
其对角线长为 ，
∴四面体 外接球半径为 ．
，
故选：B．
例35．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知四棱锥 ，底面 是边长为3的正方形，面 ， ， ， ，若 ，则四棱锥 外接球表面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，设
，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
于是 ，
则 ，∴ ，四棱锥 外接球直径为 ，故其表面积为
．
故选：B.
例36．（2023·浙江金华·模拟预测）三棱锥 中， ，
则三棱锥 的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，将三棱锥 画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系 ，
由 ，由 面 ，可知P点在面 上，
又 ， 面 ，所以 为直角三角形，
故 ，即P点轨迹为以D为圆心，半径为4，在 上的圆，
设点 ，则 —①，
因为 为等腰直角三角形，所以三棱锥 的外接球的球心 在直线 上，
设点 ，由 ，得 —②，
联立①②得： ，
设过点 和点 的直线斜率为 ，则 ，
由直线与圆相切，可得 ，
则 ，所以 ，所以 ．
故选：C
考点十二：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图 ，设圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，球的半径为 ．通常在 中，由勾股定理建立方程
来计算 ．如图 ，当 时，球心在圆锥内部；如图 ，当 时，球心在圆锥外部．和本专
题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图 、图 可知， 或 ，故 ，所以 ．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，其外接球的半径为 ，三者之间满足 ．
3、球内接圆台
，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．
例37．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台 中，
， ， ，则正三棱台 的外接球表面积为（ ）
A．64 B． C． D．
【答案】B【解析】设外接球球心为 ，等边三角形 的外心为 ，等边三角形 的外心为 ，
三点共线，则 是正三棱台 的高，
设台体的高为 ，设外接球的半径为 ，
过 作 ，垂足为 ，根据正棱台的性质可知 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
设等边三角形 的外接圆半径为 ，由正弦定理得 .
设等边三角形 的外接圆半径为 ，由正弦定理得 .
在直角三角形 中， ，
所以 .
当球心O在 线段上，则 ，解得 ，
当球心O在 的延长线上时，则 ，无解，
所以正三棱台 的外接球表面积为 .
故选：B
例38．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的顶点和底面圆周均在球 的球面上.若该圆锥的底面半径为
，高为6，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，故球心在圆锥的内部且在高上，
设球心到圆锥底面的距离为 ，
则有 ，解得 ，则圆半径 ，
表面积 .
故选：C例39．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积
之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径为 ，因母线与轴的夹
角为60°，可得圆台高为1，则 ；
设圆台外接球的半径为 ，球心到下底面的距离为 ，易得圆台两底面在球心同侧，则 ，
且 ，
解得 ，则该圆台外接球的表面积为 .
故选：C.
例40．（2023·全国·高三专题练习）如图，半径为4的球 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球
的表面积与圆柱的表面积之差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图.设圆柱底面半径为 ，球的半径与圆柱底面夹角为 ，则 ，
，
圆柱的高 ，
圆柱的侧面积为 ，
当且仅当 时， ，圆柱的侧面积最大，为 ，
球的表面积与圆柱的表面积之差为 .
故选：D．
考点十三：锥体内切球
等体积法，即
例41．（2023·浙江温州·统考一模）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台
的上下底面半径为 ， ，且 ，则它的内切球的体积为 .
【答案】
【解析】由题意，画出圆台的直观图，其中 为圆台的母线长， ， 分别为上、下底面的圆心，点
为内切球的球心，点 为球 与圆台侧面相切的一个切点.
则由题意可得： ，
.
因此可得：内切球半径 ，即得内切球的体积为 .
故答案为：
例42．（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥 的棱长均为4，先在三棱锥 内放入一个内
切球 ，然后再放入一个球 ，使得球 与球 及三棱锥 的三个侧面都相切，则球 的表面
积为 .【答案】 /
【解析】如图所示：
依题意得 ，
底面 的外接圆半径为 ，
点 到平面 的距离为 ，
所以 ，
所以
设球 的半径为 ，所以
则 ，得
设球 的半径为 ，则 ，又 得
所以球 的表面积为
故答案为： .
例43．（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，
则该圆锥的内切球表面积为 .
【答案】
【解析】如图，作出该圆锥与其内切球的轴截面图形，设该内切球的球心为 ，内切球的半径为 ， 为切点，
所以， ，
由已知得 ， ，
所以，在 中， ，即 ，解得 ，
所以，该圆锥的内切球表面积为
故答案为： .
例44．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形 为平行四边形， ， ，
，现将 沿直线 翻折，得到三棱锥 ，若 ，则三棱锥 的内切
球表面积为 ．
【答案】 /
【解析】 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
则折成的三棱锥 中， ，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为 ，
则 ，解得 ，
又因为三棱锥 是长方体切掉四个角的余下部分，
故三棱维 的体积为 ，
又三棱锥 四个侧面是全等的，
故三棱锥 的表面积为 ，
设内切球半径为 ，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱
锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，
故 ，故内切球表面积为 .
故答案为：
考点十四：棱切球
找切点，找球心，构造直角三角形
例45．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知球 的表面积为 ，若球 与正四面体 的六条棱
均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ， ，将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱
均相切， ， 正方体的棱长为 ，则正四面体棱长为 ，高 ，
，
故选:A．
例46．（2023·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是 ．
【答案】
【解析】过正方体的对角面作截面如图，故球的半径 ，
其表面积 ．
故答案为： .
例47．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知三棱锥 的棱长均为 ，则与其各条棱都相切的
球的体积为 .
【答案】
【解析】将三棱锥 补全为正方体，如下图所示：
则正方体的内切球即为与三棱锥 各条棱均相切的球，
设正方体棱长为 ，则 ，解得： ，
所求的球的半径 ， 球的体积 .
故答案为： .
