专题12双曲线中的离心率问题(解析版)_2024年新高考资料_3.2024专项复习_2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

专题12 双曲线中的离心率问题 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作 轴的垂线与 相交于 、 两点，若 为正三角形，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【解析】设 ，因为 轴，则点 、 关于 轴对称，则 为线段 的中点， 因为 为等边三角形，则 ，所以， ， 所以， ，则 ， 所以， ，则 ， 因此，该双曲线 的离心率为 .故选：D. 2．若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的离 心率为（ ） A． B． C． D． 【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，直线 被圆 所得截得的弦长为 ，则圆心 到直线 的距离为 ， 由点到直线的距离公式可得 ，解得 ，则 ， 因此，双曲线 的离心率为 .故选：B. 3．已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ， 、 两点在双曲线的左、右两支上，且 ， ， ，且点 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【解析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， 因为 ，所以 ，因为 ，所以 ， 因为 ，所以四边形 为矩形， 设 （ ），则 ， ， 在 中， ， 所以 ，化简得 ，解得 ， 在 中， ，所以 ，所以 ， 所以 ，得 ，所以离心率 ，故选：B4．如图，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，直线 过点 与双曲线的两条渐近线分 别交于 两点．若 是 的中点，且 ，则此双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 【解析】因为 ，则 ，所以 是直角三角形，又因为 是 的中点， 所以 是直角 斜边中线，因此 ，而点 是线段 的中点， 所以 是等腰三角形，因此 ，由双曲线渐近线的对称性可知中： ，于是有： ， 因为双曲线渐近线的方程为： ，因此有： ，故选：B. 5．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若在 上存在点 不是顶点 ，使 得 ，则 的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D．【解析】设 与y轴交于Q点，连接 ，则 ， 因为 ，故P点在双曲线右支上，且 ， 故 ，而 ，故 ， 在 中， ，即 ，故 ， 由 ，且三角形内角和为 ， 故 ，则 ， 即 ，即 ，所以 的离心率的取值范围为 ，故选：A 6．已知双曲线 的两个焦点为 ，点 在 上，且 ， ， 则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【解析】由于 ，所以 ， 则 ，解得 ， 由于 ，所以 ， 整理得 ，两边除以 得 ，由于 ，故解得 . 故选：B7．已知双曲线 的上下焦点分别为 ，点 在 的下支上，过点 作 的一 条渐近线的垂线，垂足为 ，若 恒成立，则 的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】如图，过点 作渐近线的垂线，垂足为 ， 设 ，则点 到渐近线 的距离 . 由双曲线的定义可得 ，故 ， 所以 ，即 的最小值为 ， 因为 恒成立，所以 恒成立，即 恒成立， 所以， ，即 ，即 ， 所以， ，即 ，解得 .故选：A. 8．已知双曲线 的左顶点为 ，过 的直线 与 的右支交于点 ，若线段 的中 点在圆 上，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）A． B． C．2 D．3 【解析】设线段 的中点为 ，双曲线的右顶点为 ，左右焦点为 ，连接 ， 因为线段 的中点 在圆 上，所以 ， 所以 ≌ ，所以 ，因为 ，所以 ， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，过 作 轴于 ，则 ， 所以 ，所以 ，得 ，所以 ， ，所以 ， 所以离心率 ，故选：A 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符 合题目要求的. 9．双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则 的值不可能是（ ） A． B． C． D． 【解析】 ，当且仅当 即 时取等号，所以 故选：CD. . 10．双曲线 的离心率为e，若过点 能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（ ）． A． B． C． D．2 【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在， 设切线方程是 ，由 得 ， 显然 时，所得直线只有一条，不满足题意，所以 ， 由 得 ，整理为 ， 由题意此方程有两不等实根，所以 ， ， 则 为双曲线的半焦距 ， ，即 ， 代入方程 ，得 ，此时 ， 综上，e的范围是 故选：AC 11．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线 与圆 相切， 且与 交于 两点，若 ，则 的离心率可能为（ ） A． B． C． D． 【解析】当点 同时在双曲线 的左支上时，设切点为 ，则 ， .作 交 于点 ，则 ，而O为 的中点，则P为 的中点，故 ， 因为 ， 为锐角，故 所以 ， ，所以 ，则 ， 故双曲线 的离心率 . 当点 在双曲线的两支上时，仍有 ， 因为 ， 为锐角，故 所以 ， ，所以 ，则 ， 故双曲线 的离心率 ，故选：AD 12．已知 、 是双曲线 ( ， )的左、右焦点，过 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点 ，交另一条渐近线于点 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）. A． B． C． D． 【解析】当 时，设 ，则 ，设 ，如图， 双曲线的渐近线方程为 ，即 ，在 中， ，设 ， 又 ，则 ，又双曲线中 ，即有 ， 于是 ， ， ， ，则 ， ， ， 代入得 ，即 ，解得 ，则 ，A 正确；当 时，设 ， ，设 ，如图， 则 ， ，在 中， ，设 ， 又 ，则 ，又双曲线中 ，即 ， 于是 ， ， ， ，则 ， ， ， 而 ，即 ， 因此 ，即 ，解得 ，则 ，C正确.故选：AC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．双曲线 的一条渐近线方程为 ，则其离心率是 . 【解析】由题意知 ，又因为在双曲线中， ， 所以 ，故 （负舍） 14．已知双曲线方程为 ，左焦点 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则 该双曲线的离心率为 . 【解析】如图：设 关于渐近线 对称的点 在渐近线 上， 的中点 在渐近线 上，则 ，又 ， 所以 ， 所以 ，所以 . 15．已知双曲线 的右焦点为 ，直线 与双曲线 交于 两点，与双曲 线 的渐近线交于 两点，若 ，则双曲线 的离心率是 ． 【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为： ， 直线 ， 为双曲线的通径，则由 得 ，则 ， 由 得 ，则 ，由 得：即 ，所以 ，所以离心率 16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线的左顶点为A，以 为直径的 圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若 ，则该双曲线的离心率的取 值范围是 . 【解析】依题意可得，以 为直径的圆的方程为 ， 不妨设双曲线的这条渐近线方程为 ， 由 ，得： 或 ，所以 ， 双曲线的左顶点为 ，则 ， 所以 ， ， 因为 ，所以 ，化简得 ， 所以 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 . 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当 取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围． 【解析】 双曲线 的左右焦点分别为 为双曲线右支上的任意一点，， ， 当且仅当 ，即 时取等号， ， ， ， ， 故双曲线的离心率e的取值范围为： . . 18．已知椭圆 与双曲线 ，有相同的左、右焦点 ， ，若点 是 与 在第一象限内的交点，且 ，设 与 的离心率分别为 ， ，求 的取值范围. 【解析】设 ， ， ，由椭圆的定义可得 ， 由双曲线的定义可得 ，解得 ， ， 由 ，可得 ，即 ，由 ， ，可得 ， 由 ，可得 ，可得 ，即 ， 则 ，设 ，则 ， 由于函数 在 上递增，所以 ，即 的取值范围为 . 19．已知双曲线T： 离心率为e，圆O： ． (1)若e=2，双曲线T的右焦点为 ，求双曲线方程； (2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求 的值； (3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有 ，求 离心率e的取值范围． 【解析】（1）因 ，双曲线T的右焦点为 ，则 ， ， ， ， 则双曲线方程为 . （2）如图所示， 因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则 ， ， 则 ，代入双曲线方程 ，可得 ， 令 ，则 ，解得 ，即 . （3）由题知，作图如下， 因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且 ，则圆心到直线 距离为 ， 化简得 ，①又 ，设 ，则 ，即 ， 则 ，② 联立 得 ， 则 ， ，③ 联立①②③，得 ，则 ， 又 ，则 ，则 ， 即离心率e的取值范围为 . 20．已知点 是双曲线 右支上一点， 、 是双曲线的左、右焦点， ， ． (1)求双曲线的离心率； (2)设 、 分别是 的外接圆半径和内切圆半径，求 ． △ 【解析】（1）由 为双曲线的右支上一点，可得 ， 又 ，可得 ， ， 在 中， ，由余弦定理可得 △ ，即 ，可得 ； （2）由 ，即 ； 因为 ，又 ， 所以 ，所以 ． 21．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，A为双曲线C左支上一点， ． (1)求双曲线C的离心率； (2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线 与x轴交点的横坐标分别为 ， 且 ，求双曲线C的方程． 【解析】（1）由于A为双曲线C左支上一点，由双曲线的定义可知 ， 所以 ．整理，得 ，所以 ， 所以双曲线C的离心率为 ． （2）由（1）可设双曲线C的标准方程为 ． 设 ， ， ．直线AD的方程为 ． 令 ，则 ．直线BD的方程为 ， 令 ，则 ．所以 ．因为 ， 满足方程 ， 所以 ， ,所以 , 所以双曲线C的方程为 ． 22．已知双曲线 ，若直线 与双曲线 交于 两点，线段 的中点为 ，且 （ 为坐标原点）. (1)求双曲线 的离心率； (2)若直线 不经过双曲线 的右顶点 ，且以 为直径的圆经过点 ，证明直线 恒过定点 ，并 求出点 的坐标. 【解析】（1）设 ，则 ，由题意得 所以 ， ， ，即 ， ， ； （2） 因为双曲线的右顶点 ，所以双曲线 的标准方程为 ，因为 ，所以直线 的斜率一定存在，并且 （如果 ，则 ，这不可能），设直线 的方程为 ，联立方程 得： ，所以 ， 即 ，所以 . 因为以 为直径的圆经过点 ，所以 ，所以 ， 又因为 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ， 即 ， 化简得 ，即 ， 解得 或 ，且均满足 ， 当 时， ，因为直线 不过定点 ，故舍去； 当 时， ，所以直线 恒过定点 ； 综上， ，直线 恒过定点 .