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专题5.6 求解二元一次方程组-代入法（专项练习）（巩固篇）
一、单选题
1．已知方程组 ，若 ， 的值相等，则 （ ）
A． B． C．2 D．
2．已知 ，则b的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
3．用代入法解方程组 使得代入后，化简比较容易的变形是（ ）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得
4．若 ，则实数b等于（ ）
A． B．2 C． D．
5．二元一次方程 与 的公共解是（ ）
A． B． C． D．
6．已知2x2y3a与﹣4x2ay1+b是同类项，则ab的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
7．设 的三边长分别为 ，其中 ，满足 ，则第三边 的
长度取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．以方程组 的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若 ，则m-n等于（ ）．
A．0 B．2 C．4 D．无法确定
10．已知二元一次方程组 的解为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是( )
A． B． C． D．
12．由方程组 可得出x与y的关系式是（ ）
A．x+y=9 B．x+y=3
C．x+y=－3 D．x+y=－9
二、填空题
13．已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：① ；②当k＝ 时，
x，y的值互为相反数；③2x÷8y＝2z，则z＝1；④若方程组的解也是方程x+y＝2﹣k的解，
则k＝0．其中正确的是___．（填写正确结论的序号）
14．对于平面直角坐标系 中的点 ，若 （其中 为常数，且
），则称点 为点 的“ 属派生点”．例如： 的“ 属派生点”为
，即 ．
（1）点 的“ 属派生点” 的坐标为________；若点 的“ 属派生点” 的坐标为 ，则点 的坐标为________；
（2）若点 在 轴的正半轴上，点 的“ 属派生点”为 点，且线段 的长度为线段
长度的 倍，则 的值为________．
15．若实数x，y满足 ，则 =_____
16．在关于x，y的二元一次方程组 的下列说法中，正确的有_______．
①当 时，方程的两根互为相反数；②当且仅当 时，解得x与y相等；③不论a
为何值，x，y满足关系式 ；④若 ，则 ．
17．若关于 ， 的方程 是二元一次方程，则 ______．
18．在平面内，已知 与 的一组边平行，另一组边垂直，且 则 的度
数为_______________________．
19．对于实数x，y我们定义一种新运算 （其中m，n均为非零常数），等
式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如 时，
．若 ，则 _______．
20．已知方程 ，用含 的代数式表示 ，则 ________．
21．已知 ，则 ___．
22．如果最简二次根式 和 是同类二次根式，则 ____________．
23．设 a、b是有理数，且满足等式 ,则a+b=___________．
24．若（x﹣y+3）2+ =0，则x+y的值为______．
三、解答题
25．（1）观察发现：材料：解方程组
将①整体代入②，得3×4+y=14，
解得y=2，
把y=2代入①，得x=2，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组 的解为
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组
（3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＞ ，请
直接写出满足条件的m的所有正整数值 ．
26．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就
可以运用整体代入法．
如解方程组：
解：把②代入①，得x＋2×1＝3，解得x＝1.
把x＝1代入②，得y＝0.
所以方程组的解为
请用同样的方法解方程组：
.27．已知关于 的方程组 ，
（1）若用代入法求解，可由①得： = ③，把③代入②解得 = ，将其
代入③解得 = ，∴原方程组的解为 ；
（2）若此方程组的解 互为相反数，求这个方程组的解及 的值．
28．[阅读材料]
善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程 变形： ，
即 ，
把方程 代入 得： ，
所以 ，
将 代入 得 ，
所以原方程组的解为 ．
[解决问题]
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组 ，
（2）已知x，y满足方程组 ，求 的值．29．对于两个不相等的实数 、 ，我们规定符号 表示 、 中的较大值，
表示 、 中的较小值.如： ， ，
按照这个规定，解方程组： .
参考答案
1．B
【分析】
先根据方程组中x、y相等用y表示出x把原方程组化为关于y、n的二元一次方程组，再用
n表示出y的值，代入方程组中另一方程求出n的值即可．
【详解】
解：∵方程组 中的x，y相等，
∴原方程组可化为： ，
由①得， ，
代入②得， ，解得n=-4，
故选择：B．
【点拨】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的代入消元法是解答此
题的关键．2．B
【分析】
按照多项式乘以多项式的运算法则将 进行化简得到 ，然后分别让
和 一次项系数和常数项相等即可得到关于 、 的二元一次方程
组，解方程组可以得到 、 的值，从而得到结果．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算，解二元一次方程组，化简过后令次数
相同的项系数相等是解题的关键．
3．B
【分析】
根据代入消元法解二元一次方程组，尽量选择两个方程中系数的绝对值是1的未知数，然
后用另一个未知数表示出这个未知数．
【详解】
解：观察可知，由①得 代入后化简比较容易．
故选：B．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，主要是对代入消元法转化方程的考查，需熟记．
4．B
【分析】
等式左边去括号后两边经过比对可以得解 ．
【详解】
解：原等式可变为：
，∴可得： ，
解之得：a=-1,b=2，
故选B．
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用和多项式的乘法，熟练掌握代数式相等的意义、
多项式的乘法法则及二元一次方程组的解法是解题关键．
5．D
【分析】
直接解二元一次方程组即可．
【详解】
解：由题意得： ,解得 ．
故答案为D．
【点拨】本题主要考查了公共解及解二元一次方程组，由公共解列出二元一次方程组成为
解答本题的关键．
6．A
【分析】
根据同类项的定义列出二元一次方程组求出a、b的值，最后代入运算即可．
【详解】
解：∵2x2y3a与﹣4x2ay1+b是同类项
∴ ，即
∴ab=12=1．
故答案为A．
【点拨】本题主要考查了同类项的定义、乘方运算以及解二元一次方程组，根据同类项的
定义列方程组求出a、b的值是解答本题的关键．
7．D
【分析】
根据非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b，再根据三角形的三
边关系解答即可．【详解】
解：∵ ，
，解得 ，
，即 ．
故选： ．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系、非负数的性质和二元一次方程组的解法，属于常
见题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
8．A
【分析】
先根据代入消元法解方程组，然后判断即可；
【详解】
，
把 代入 中，得： ，
解得： ，
∴ ，
∴点 在第一象限．
故选A．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组及象限与点的坐标，准确计算判断是解题的关
键．
9．B
【分析】
根据同底数幂的乘法法则运算，再结合等式性质，即可列出m和n的二元一次方程组，求
解方程组即可得到答案．
【详解】
∵∴
∴
∴
∴
故选：B．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法、等式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练
掌握同底数幂乘法法则、等式和二元一次方程组的性质，从而完成求解．
10．B
【分析】
先运用代入消元法解方程组，进而可求得a、b的值，代入计算即可．
【详解】
解：
由①，得x＝9﹣ y，
代入②，得
解得：y＝16．
将y＝16代入①得x＝5．
∵ ，
∴ ，
∴|a﹣b|＝|5﹣16|＝11．
故选：B．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，当二元一次方程组的两个方程里有一个未知
数的系数的绝对值为1的时候，可选择用代入法求解．11．C
【分析】
先将 化简为 ，然后用“整体代换”法，求出方程组的
解即可；
【详解】
解： ，
，
设 ，
，
方程组 的解是 ，
方程组 的解为 ，
，
解得： ．
故选C．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的
关键．12．A
【解析】
分析：由①得m=6-x，代入方程②，即可消去m得到关于x，y的关系式．
解答：解： 由①得：m=6-x
∴6-x=y-3
∴x+y=9．
故选A．
13．①②③④
【分析】
直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
【详解】
解：①把 代入 得： ，
解两方程得：k=2，故①结论正确；
②当k＝ 时，原方程组变为 ，
解得： ，
故x，y的值互为相反数，故②结论正确；
③∵2x÷8y=2z，
∴2x÷23y=2z，
则x-3y=z，
∵ ，解得： ，
∴3k-2-3(k-1)=z，
解得：z=1，故此③结论正确；
④若方程组的解也是方程x+y=2-k的解，解方程组 ，
得 ，
∵x+y＝2﹣k
∴3k-2+k-1=2-k，
解得：k=1，故④结论正确，
综上所述，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方，以及解二元一次方程组的能力，熟
练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程解的定义是解答本题的关键．
14．
【分析】
（ ）根据“ 属派生点”的定义计算可得；设点 的坐标为 ，根据“ 属派生
点”定义及 的坐标列出关于a、b的方程组，解之可得；
先得出点 的坐标为 ，由线段 的长度为线段 长度的 倍列出方程，
解之可得．
【详解】
解： 由题意可得，点 的“ 属派生点”的坐标为：
即 ．
设 ，根据题意可得，
解得
所以点 的坐标为 ．
故答案为： ， ；因为点 在 轴的正半轴上，
所以 ， ，
所以点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
因为线段 的长度为线段 长度的 倍，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，则 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查新定义下的实数运算、坐标与图形、解二元一次方程，理解新定义，正
确列出相关的方程和方程组是解答的关键．
15．16
【分析】
根据平方式和绝对值的非负性求出x、y值，代入所求代数式中求解即可．
【详解】
解：∵实数x，y满足 ，且 ， ，
∴2x﹣y+9=0且x+4=0，
解得：x=﹣4，y=1，
∴ =16，
故答案为：16．
【点拨】本题考查代数式求值、平方式和绝对值的非负性、解二元一次方程组、有理数的
乘方运算，利用非负性求出x、y是解答的关键．
16．①②④
【分析】
用代入消元法先求出方程组的解，①根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出
即可判断；②根据 列出方程，求出 即可判断；③在原方程中，我们消去 ，即可得
到 ， 的关系；④把底数统一化成 ，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到 ，的方程，把方程组的解代入求出 ．
【详解】
解： ，
由①得： ③，
把③代入②中，得： ④，
把④代入③中，得： ，
原方程组的解为 ．
① 方程的两根互为相反数，
，
即 ，
解得： ，
①正确；
②当 与 相等时， ，
即 ，
解得： ，
②正确；
③在原方程中，我们消去 ，得到 ， 的关系，
，
② ① 得： ，
③错误；
④ ，
，
，，
，
将方程组的解代入得： ，
解得： ，
④正确．
综上所述，①②④都正确．
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解法，考核学生的计算能力，解方程组的关键是消元，
消元的常用方法是代入消元法和加减消元法．
17．0
【分析】
根据二元一次方程的定义，建立方程组计算即可．
【详解】
∵关于 ， 的方程 是二元一次方程，
∴ ，
解得 ，
∴mn=0，
故答案为：0．
【点拨】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程组的解法，根据方程的定义构造
方程组是解题的关键．
18． 或
【分析】
如图，分别作两条平行线作为 与 的一边，另一组边互相垂直，分情形讨论，①
② 结合已知条件，解方程组即可
【详解】
①如图，过点 作 平行于已知 与 的一组边平行即 ，另一组边垂直即
，
，
又
解得：
②如图 与 的一边，另一组边互相垂直交于点 ,
解得：综合①② 或
故答案为： 或
【点拨】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，解二元一次方程组，正确的作出图形是
解题的关键．
19．11
【分析】
已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m与n的值，代入F（x，y），再把x=3，y=
2代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵F（1， 3）=6，F（2，5）=1，
∴根据题中的新定义化简得：
，
解得： ，
即F（x，y）=3x y，
则F（3， 2）=9+2=11．
故答案为：11．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的新定义运算，弄清题中的新定义是解
本题的关键．
20．
【分析】
把含y的项放到方程左边，移项，化系数为1，求y即可【详解】
解：
，即
故答案为：
【点拨】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁
就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含y
的式子表示x的形式．
21．4
【分析】
直接利用非负数的性质得出关于 ， 的方程，求解，进而得出答案．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：4．
【点拨】本题考查算术平方根的非负性，熟知非负数的常见形式是解题关键，初中阶段非
负数的常见形式为一个数的绝对值，一个数的偶次方，二次根式．
22．0
【分析】
根据最简二次根式及同类二次根式的定义得 ，求出a、b的值代入计算即可．
【详解】由题意得 ，
解得 ，
∴ab=0，
故答案为：0．
【点拨】此题考查最简二次根式及同类二次根式的定义，解二元一次方程组，熟记定义是
解题的关键．
23．1或﹣11
【分析】
根据实数相等的条件可求出a、b的值，然后代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵a、b是有理数，且满足等式 ，
∴ ，
解得： ，
当a=6，b=﹣5时，a+b=6－5=1；
当a=﹣6，b=﹣5时，a+b=﹣6－5=﹣11；
故答案为：1或﹣11．
【点拨】本题考查了实数的相关知识，正确理解题意、得到关于a、b的方程组是解题的关
键．
24．1
【解析】
试题分析：根据非负数的性质，可得二元一次方程组 ，解方程组可得 ，
故x+y=-1+2=1.
故答案为：1.
25．(1) (2) ;(3)1，2．【解析】
试题分析: （1）由第一个方程求出x-y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的
值，即可确定出方程组的解．
（2）由第一个方程求出2x-3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可
确定出方程组的解．
（3）方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出正整数值即可．
试题解析:
(1)由①得：x−y=1③，
将③代入②得：4−y=5，即y=−1，
将y=−1代入③得：x=0，
则方程组的解为 .
故答案为 .
(2)由①得：2x−3y=2③，
将③代入②得：1+2y=9，即y=4，
将y=4代入③得：2x−12=2，
解得x=7，
则方程组的解为 .
(3) ，
①+②得：3(x+y)=−3m+6，即x+y=−m+2，
代入不等式得：−m+2>− ，
解得：m< ，
则满足条件m的正整数值为1，2.
故答案为1，2.26．
【解析】
分析：仿照已知整体代入法求出方程组的解即可.
详解：由①得， ③
把③代入②得， ，
，
把 代入③得，
∴
点睛：考查了解二元一次方程组，利用了消元思想，常用的方法有代入消元法和加减消元
法，根据题目选择合适的方法.
27．（1） ； ； ； ；（2） ；
【解析】
试题分析：（1）观察方程组中未知数的系数可得①中x的系数为1，可将①转化为用含y
的式子表示x得③，然后把③代入另一个方程②中，消去x，得到关于y的一元一次方程，
解之得y的值，再将y的值代入③即可求出x的值，最后用大括号的形式写出原方程组的解；
（2）根据方程组的解互为相反数可得x＝－y，代入方程①求出y，进而求出x，再代入方
程②求出m即可．
试题解析：
解：（1）若用代入法求解，可由①得 ，
把③代入②解得 ，
将其代入③解得 ，∴原方程组的解为 ．
故答案为： ； ； ； ；
（2）解：∵方程组的解 互为相反数，
∴ ，
将③代入①得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴方程组的解是 ， ．
点睛：本题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握代入法的操作方法是解题的关
键．
28．（1）原方程组的解为 ；（2）
【分析】
（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；
（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．
【详解】
解：
将方程 变形得:
把方程 代入 得: ，
所以
将 代入 得 ，所以原方程组的解为 ；
，
把方程 变形，得到 ，
然后把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ；
【点拨】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方
程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出
一个未知数，再代入求出另一个未知数．
29． 或
【解析】
分析： ，需要分类讨论，当x≥－x时，x＝ ；当x＜－x时，－x＝ ；
因为3x＋9＜3x＋11，所以 所表示的方程为3x＋9＝4y，则可得到两
个二元一次方程组.
详解：当x≥－x时，x＝ ，原方程组变形为：
，解得 .
当x＜－x时，－x＝ ，原方程组变形为：
，解得 .
点睛：本题考查了新定义及二次一次方程组的解法，对于新定义，要理解它所规
定的运算规则，再根据这个规则，列式或列方程(组)，解二元一次方程组的基本
思路是消元，通过消元化二元一次方程组为一元一次方程，解一元一次方程求出
其中的一个未知数，再代入原方程组中的一个方程中，求另一个未知数，消元的
方法有两种：代入消元法和加减消元法，用加减消元法时，尽量消系数的最小公
倍数比较小的字母.
