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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题5.4利用轴对称进行设计
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022春•海淀区校级月考）北京2022年冬奥会的举办，再次点亮了北京这座千年古都．在下列北京
建筑的简笔画图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． 国家体育场
B． 国家游泳中心
C． 天安门
D． 国家大剧院
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【解答】解：选项A，B，D不是轴对称图形，选项C是轴对称图形，
故选：C．
2．（2020秋•鼓楼区校级期中）小明从镜中看到电子钟示数 ，则此时时间是（ ）
A．12：01 B．10：51 C．11：59 D．10：21
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称即可得
出答案．
【解答】解：此时实际时间是10：21．
故选：D．
3．（2020•奎文区二模）如图，方格纸上有两条线段，若再画一条线段，使方格图中的 3条线段组成一个轴对称图形，这样的线段共有（ ）条．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用轴对称图形的性质得出答案．
【解答】解：如图所示：使方格图中的3条线段组成一个轴对称图形，这样的线段共有4条．
故选：A．
4．（2020春•渝中区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，D是边BC上的点，连接
AD．如果将△ABD沿直线AD翻折后，点B恰好在边AC的中点处，则点D到AC的距离是（ ）
A．2 B． C． D．3
【分析】如图，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，利用面积法求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠DAB＝∠DAE＝45°，
∴DE＝DF，
由题意AB＝AB′＝CB′＝4，
∴S△ABC ＝ AB•AC＝ •（AB+AC）•DE，∴DE＝ ，
∴点D到AC的距离是 ．
故选：C．
5．（2021•鼓楼区校级开学）如图，在四边形 ABCD中，∠A＝110°，∠C＝80°，将△BMN沿MN翻折，
得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为（ ）
A．75° B．85° C．95° D．100°
【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF＝110°，∠FNB＝80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN
＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°，进而求出∠B的度数即可得出∠D的度数．
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝110°，∠C＝80°，
∴∠BMF＝110°，∠FNB＝80°，
∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°，
∴∠F＝∠B＝180°﹣55°﹣40°＝85°，
∴∠D＝360°﹣110°﹣80°﹣85°＝85°，
故选：B．
6．（2021春•乾县期末）如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正
方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共
有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【解答】解：如图，共有10种符合条件的添法，
故选：D．
7．（2020秋•青田县期末）如图，点A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点A、
B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有4个．
故选：D．
8．（2022•临潼区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD平分∠ABC的外角，CE平分
∠ACB的外角，BD与CE的反向延长线相交于点F，则∠F＝（ ）A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝70°，根据邻补角的定义和
角平分线的定义可得∠ABD＝∠ACE＝55°，根据三角形外角性质求出∠FBC＝∠FCB＝55°，再根据三
角形内角和定理得出即可．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠A）＝70°，
∴∠ABG＝∠ACH＝180°﹣70°＝110°，
∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB的外角，
∴∠ABD＝∠ACE＝55°，
∴∠FBC＝∠FCB＝180°﹣70°﹣55°＝55°，
∴∠F＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
故选：B．
9．（2022•瑶海区一模）在等边△ABC中，AB＝4、AD是中线，点E是BD上点（不与B、D重合），点
F是AC上一点，连接EF交AD于点G，CF＝2BE，以下结论错误的是（ ）
A．当EF∥AB时，BE＝ B．当EF⊥AC时，CE＝4BE
C．EG≠FG D．点G不可能是AD的中点【分析】A、正确，证明△ECF是等边三角形，可得结论；
B、正确．证明EC＝2CF，可得结论；
C、错误，如图3中，过点F作FJ⊥BC于点J．证明DE＝DJ，可以推出EG＝FG；
D、正确．利用反证法证明即可．
【解答】解：A、如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝CB＝4，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠B＝60°，∠CFE＝∠BAC＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CE＝CF，
∵CF＝2BE，
∴CE＝2BF，
∴BE＝ BC＝ ，故选项A正确，不符合题意．
B、如图2中，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC＝90°，∵∠C＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴EC＝2CF，
∵CF＝2BE，
∴EC＝4CF，故选项B正确，不符合题意；
C、如图3中，过点F作FJ⊥BC于点J．
在Rt△CFJ中，∠CFJ＝30°，
∴CF＝2CJ，
∵CF＝2BE，
∴BE＝CJ，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥CB，
∴DE＝DJ，
∵DG∥FJ，
∴EG＝FG，故选项C错误，本选项符合题意．
D、正确，若点G是AD的中点，
∵EG＝FG，
∴四边形AEDF是平行四边形，显然不可能，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
10．（2021秋•西城区校级期中）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组
成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分
合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法．A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形即可．
【解答】解：如图，满足条件的三角形有三个．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2021秋•兴化市期末）如图，在3×3的正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方
形任意一个涂黑，使得整个图形构成一个轴对称图形，那么涂法共有 5 种．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形，共有5种情形，故答案为：5．
12．（2021春•大洼区月考）在4×4的方格中，有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中的小正方形
A到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形．这样的移法共有 1 3 种．
【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
【解答】解：如图所示：
故一共有13种移法，
故答案为：13．
13．（2021秋•丹阳市期中）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余
13个白色小方格选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的
白色小正方形有 4 ．【分析】利用轴对称的定义可得答案．
【解答】解：如图所示：
，
共4个，
故答案为：4．
14．（2021秋•江都区月考）在4×4正方形网格中，已有3个小方格涂黑，要从13个白色小方格中选出一
个也涂黑，使所有黑色部分组成的图形为轴对称图形，这样的白色小方格有 4 个．
【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形即可．
【解答】解：如图，这样的小正方形有4个，故答案为：4．
15．（2020秋•松江区期末）如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三
角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出 4 个不同的格点三角形与
△ABC成轴对称．
【分析】根据轴对称图形的概念，画出图形即可．
【解答】解：与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示，
在图中最多能画出4个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．
最后一个图的三角形BNC和三角形ANC都与三角形ABC成轴对称，
故答案为：4．
16．（2020秋•历城区期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠CBD＝34°，则∠ABC＝ 73 °
．【分析】根据折叠的性质得出∠ABC即可．
【解答】解：如图，由折叠的性质可得：∠ABC'＝∠ABC，
∵∠ABC'+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠ABC＝73°，
故答案为：73°．
17．（2022•建湖县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、
E，若AC＝5cm，BC＝12cm，则△ACD的周长为 1 8 cm．
【分析】由勾股定理先求解AB的长，再根据线段垂直平分线的性质，可得CD＝BD，继而可得△ACD
的周长为：AC+AB，则可求得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，
∴AB＝ （cm），
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18（cm），
故答案为：18．
18．（2021秋•绵阳期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝a，CE＝b，∠BAC和∠ABC的平分线分别
为AD，BE相交于点O，AD交BC于点D，BE交AC于点E，过点O作OF⊥AB于F，若OF＝c，则
△ABC的面积为 a c + b c ．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知 OE⊥AC，AC＝2CE＝2b，根据角平分线的性质得到OF
＝OE＝OG，再利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：如图，作OG⊥BC，连接OC，
∵AB＝BC，BE平分∠ABC，
∴OE⊥AC，AC＝2EC＝2b，
∵∠BAC和∠ABC的平分线分别为AD，BE相交于点O，且OF⊥AB，
∴OE＝OF＝OG＝c，
∴S△ABC ＝S△ABO +S△ACO +S△BCO
＝
＝
＝ac+bc．
故答案为：ac+bc．
三．解答题（共6小题）
19．（2020秋•巩义市期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为 1．在方格纸内将△ABC经过一次
轴对称变换后得到△A'B'C'，图中标出了点C的对应点C'．
（1）在给定方格纸中画出变换后的△A'B'C'；（2）画出AC边上的中线BD和BC边上的高线AE；
（3）求△A'B'C'的面积．
【分析】（1）连接CC′，线段CC′的垂直平分线即为对称轴，作出A，B的对应点A′，B′即可．
（2）根据三角形中线，高的定义画出图形即可．
（3）求出△ABC的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作．
（2）如图，线段BD，AE即为所求作．
（3）S△A′B′C′ ＝S△ABC ＝ ×5×3＝7.5．
20．（2020秋•宝应县期末）图1、图2、图3都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，
A、B、C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图1中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点；
（2）在图2中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P、Q为格点；
（3）在图3中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，符合条件
的三角形共有 4 个．
【分析】根据要求利用轴对称的性质作出图形即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图，线段MN即为所求作（答案不唯一）．
（2）如图，线段PQ即为所求作（答案不唯一）．
（3）如图，△DEF即为所求作（答案不唯一），符合条件的三角形有4个．
故答案为：4．
21．（2020春•凌海市期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB
对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5．
（1）求线段QM、QN的长；
（2）求线段QR的长．
【分析】（1）利用轴对称的性质求出MQ即可解决问题．
（2）利用轴对称的性质求出NR即可解决问题．
【解答】解：（1）∵P，Q关于OA对称，∴OA垂直平分线段PQ，
∴MQ＝MP＝4，
∵MN＝5，
∴QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1．
（2）∵P，R关于OB对称，
∴OB垂直平分线段PR，
∴NR＝NP＝4，
∴QR＝QN+NR＝1+4＝5．
22．（2020春•竞秀区期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点
是D，连接CD交OA于M，交OB于N．
（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝ 12 0 °；
②若∠AOB＝ ，求∠COD的度数．
（2）若CD＝4α，则△PMN的周长为 4 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；
（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长；
【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC＝∠AOP，
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD＝∠BOP，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
②∵点C和点P关于OA对称．
∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD＝∠BOP，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2 ．
α
（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，
所以△PMN的周长为：PM+PN+MN＝CM+DN+MN＝CD＝4，
故答案为：4
23．（2021秋•新抚区期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝4∠A，点 D是AC 边的中点，
DE⊥AC交AB于点E，连接CE．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BE＝2AE．
【分析】（1）设∠A的度数为x，则∠ACB＝4∠A＝4x，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠A＝x，根
据三角形的内角和定理得出x+x+4x＝180°，再求出x即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，求出∠ECA＝∠A＝30°，求出∠BCE，再根据直角三角
形的性质得出即可．
【解答】（1）解：设∠A的度数为x，则∠ACB＝4∠A＝4x，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝x，
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴x+x+4x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，
答：∠A的度数是30°；
（2）证明：∵点D是AC边的中点，DE⊥AC，
∴AE＝CE
∴∠ECA＝∠A＝30°
又∠ACB＝4∠A＝120°，
∴∠BCE＝90°，
又∵∠B＝30°
∴BE＝2CE，
∴BE＝2AE．
24．（2021秋•湖里区期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等
腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．
例如，如图，△ABC中，点D在AB边上，若AD＝DC＝CB，则称△ABC是“钻石三角形”，直线CD
是△ABC的“钻石分割线”．
（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，则Rt△ABC 是 “钻石三角形”（填“是”或者“不
是”）；
（2）已知，△ABC是“钻石三角形”，∠A＞∠B＞∠C，直线BD是△ABC的“钻石分割线”，探求
∠ABC与∠C之间的关系．【分析】（1）如图，取BC的中点D连接AD，根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD，求得△ACD
和△ABD是等腰三角形，于是得到结论；
（2）根据题意得到△BCD与△ABD是等腰三角形，且腰相等，求得CD＝BD，设∠C＝x，则∠DBC＝
∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．在△ABD当AB＝BD时，如图1，根据等腰三角形的性质得到∠A
＝∠ADB＝2x．求得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，于是得到结论，在△ABD当AB＝AD时，如
图2，推出△ADB是等边三角形，得到∠ADB＝∠ABD＝2x＝60°，∠C＝x＝30°，求得∠ABC＝180°﹣
∠A﹣∠C＝90°，是得到结论．
【解答】解：（1）是，
理由：如图，取BC的中点D连接AD，
∵∠A＝90°，
∴AD＝CD＝BD，
∴△ACD和△ABD是等腰三角形，
∴Rt△ABC“钻石三角形”，
故答案为：是；
（2）∵△ABC是钻石三角形，直线BD是钻石分割线，
∴△BCD与△ABD是等腰三角形，且腰相等，
∵BC＞AC＞AB，
∴在△BCD中，BC最大，不可能为腰．
∴CD＝BD，
设∠C＝x，则∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．
在△ABD当AB＝BD时，如图1，
∴∠A＝∠ADB＝2x．∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，
即3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°；
在△ABD当AB＝AD时，如图2，
∵AB＝AD，BD＝CD，
∴∠ADB＝2∠C＝2x，∠ABD＝∠ADB＝2x，
∴∠ABC＝3x，
∴∠ABC＝3∠C，
在△ABD中，当AD＝BD时，如图3，
∴∠A＝∠ABD＝ ＝90°﹣x，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴AC是最大边，这与BC是最大边矛盾，
∴不合题意，舍去；
综上所述，∠ABC＝3∠C或3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°．
解法二：∵△ABC是钻石三角形，直线BD是钻石分割线，
∴△BCD与△ABD是等腰三角形，且腰相等，
∵BC＞AC＞AB，
∴在△BCD中，BC最大，不可能为腰．
∴CD＝BD，
∴△ABD的一条腰为BD．
设∠C＝x，则∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．①在△ABD的另一条腰为AB时，即AB＝BD，如图1，
∴∠A＝∠ADB＝2x．
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，
即3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°，
②在△ABD的另一条腰为AD时，即AD＝BD，如图3，
∴∠A＝∠ABD＝ ＝90°﹣x，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴AC是最大边，这与BC是最大边矛盾，
∴不合题意，舍去．
综上所述，∠ABC＝3∠C或3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°．
