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专题 5.4 分式方程
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2020·全国初二课时练习）下列方程：① ；② ；③ ；④ ．
其中是分式方程的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【解析】① 的分母中不含未知数，故不是分式方程；
② ，③ ，④ 是分母中含未知数的方程，
故②③④是分式方程．
故选：D．
2．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）解分式方程 时，去分母化为一元一次方程，
正确的是( )
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x﹣2＝3(2x﹣1) D．x+2＝3(2x﹣1)
【答案】C
【解析】方程两边都乘以(2x﹣1)，得
x﹣2＝3(2x﹣1)，
故选C．
3．（2020·山东东明·期末）若代数式 的化简结果为 ．则整式Ａ为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵代数式 的化简结果为
∴
∴
∴故选：A．
4．（2020·福建漳州·初二期末）甲，乙两个工程队，甲队修路 米与乙队修路 米所用的时间相等，
乙队每天比甲队多修 米．若可列方程 表示题中的等量关系，则方程中 表示（ ）
A．甲队每天修路的长度 B．乙队每天修路的长度
C．甲队修路 米所用天数 D．乙队修路 米所用天数
【答案】A
【解析】根据题意和所列方程得知：根据时间相等列出的分式方程，
等量关系是：甲队修路300米所用时间=乙队修路400米所用时间，
∴方程中x表示甲队每天修路的长度，
故选：A．
5．（2020·四川省成都列五中学初三三模）方程 的解是（ ）
A．x＝﹣ B．x＝ C．x＝﹣ D．x＝1
【答案】A
【解析】解：分式方程整理得： ，
去分母得：3x＝﹣2+x﹣1，
解得：x＝ ，
经检验x＝ 是分式方程的解．
故选：A．
6．（2020·浙江上城·初三一模）“杭州城市大脑”用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．
数据表明，杭州上塘高架路上共22km的路程，利用城市大脑后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时
间5分钟，设提速前车辆平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：设提速前车辆平均速度为xkm/h，由题意得：
﹣ ，故选：B．
7．（2020·陕西西安·高新一中期中）若分式 的值为0，则x应满足的条件是( )
A．x = -1 B．x ≠ -1 C．x = ±1 D．x = 1
【答案】D
【解析】由题意得：x2-1=0 且x+1≠0，解得：x=1，故选D
8．（2020·河北泊头·初二期末）某班学生到距学校12km的烈士陵园扫墓，一部分同学骑自行车先行，经
h后，其余同学乘汽车出发，由于□□□□□□，设自行车的速度为xkm/h，则可得方程为
，根据此情境和所列方程，上题中□□□□□□表示被墨水污损部分的内容，其内容应该是
（ ）
A．汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达
B．汽车速度是自行车速度的3倍，后部分同学比前部分同学迟到 h
C．汽车速度是自行车速度的3倍，前部分同学比后部分同学迟到 h
D．汽车速度比自行车速度每小时多3km，结果同时到达
【答案】A
【解析】解：由方程 可知汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达．
故选：A
9．（2020·江苏射阳·期中）已知关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值范围是（
）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【解析】方程两边同时乘以 得， ，
解得 ．
∵ 为正数，
∴ ，解得 ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ 的取值范围是 且 ．
故选：D．10．（2019·湖南广益实验中学初二月考）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出
售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本
进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共赢利
（ ）元．
A．1220元 B．1225元 C．1230元 D．1235元
【答案】C
【解析】设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书2x本
依题意得：
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意
∴利润为 （元）
故选：C．
11．（2020·四川郫都·期末）若关于x的方程 有增根，则m的值是（ ）
A．7 B．3 C．4 D．0
【答案】A
【解析】分式方程去分母得：x+4=m+2x−6，
由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=7，
故选A.
12．（2020·四川开江·期末）已知关于x的分式方程 的解为正数，则k的取值范围为
（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【解析】解：解分式方程可得：
由已知可得：
所以，k的取值范围为：k<2且k≠1．
故选D．
13．（2020·广东揭阳·期末）关于x的方程 无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
【答案】A【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：
﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．
14．（2020·温州育英国际实验学校初二月考）若关于x的方程 的解为整数解，则满足条
件的所有整数m的和是（ ）．
A．8 B．9 C．－5 D．0
【答案】A
【解析】去分母得
∴
∵x是整数
∴m－2＝1或m－2＝－1或m－2＝7或m－2＝－7
∴m＝3，m＝1，m＝9，m＝－5．
∴3＋1＋9－5＝8．
故选：A．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·江苏月考）已知 = ，则 =_____．
【答案】4
【解析】解：在等式两边同时乘 得：
，
，
= =4，
故答案为4．
16．（2020·山西平定·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城
市的文明程 度．如图，某路口的斑马线路段 横穿双向行驶车道，其中 米，在绿
灯亮时，小敏共用 秒通过 ，其中通过 的速度是通过 速度的 倍，求小敏通过 时的速
度．设小敏通过 时的速度是 米/秒， 根据题意列方程为______．【答案】
【解析】解：设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意得：
故答案为 .
17．（2020·福建闽侯·开学考试）学校为进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批篮球和足球．已知购
买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4000元，购买篮球用了2800元，篮球单价比足球贵16元．若可
列方程 表示题中的等量关系，则方程中 表示的是__________．
【答案】篮球的数量
【解析】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个．
根据题意可得： ，
故答案为篮球的数量．
18．（2020·山东青州·期中）观察分析下列方程：
① 的解是 或 ；
② 的解是 或 ；
③ 的解是 或 ；
……
利用它们所蕴含的规律，则关于 的方程 ( 为正整数)的解是_____．
【答案】x=n+3或x=n+4
【解析】①中，方程的解为x=1或x=2，1×2=2，1+2=3，
②中，方程的解为x=2或x=3，2×3=6，2+3=5，
③中，方程的解为x=3或x=4，3×4=12，3+4=7，……
∴关于x的方程x+ =2a+1(a为正整数)的解为x=a或x=a+1，
把 变形得： ，
∴x-3=n或x-3=n+1，
∴x=n+3或x=n+4，
∴关于 的方程 ( 为正整数)的解是x=n+3或x=n+4，
故答案为：x=n+3或x=n+4
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·山西阳城·初二期末）解方程： ．
【答案】无解
【解析】解：去分母得： ，
去括号得：1+2x-4=x-1，
移项合并得：x=2，
经检验：x=2是原方程的增根，
故方程无解．
20．（2020·河南洛宁·期中）某服装厂“双十一”前接到一份加工4500件服装的订单，应客户要求，需提
前供货．该服装厂决定提高工作效率，实际每天加工的件数是原计划的1.5倍，结果提前10天完工．求原
计划每天加工服装的件数．
【答案】原计划每天加工服装150件．
【解析】设原计划每天加工服装x件，
，
解得：x=150，
经检验x=150是原方程的解且符合题意，
答：原计划每天加工服装150件．
21．（2019·河北泊头·初二期中）已知方程 的解与方程 的解相同，求a的
值．
【答案】
【解析】解：化为整式方程得：x（x﹣1）+2（x+1）=x2﹣1，
化简得：x=﹣3，经检验x=﹣3是原方程的解，
∴原方程的解是x=﹣3，
将x=-3代入 ，
解得a= ，
经检验a= 是原方程的解，
∴a= ．
22．（2020·浙江东阳·初一期末）小明在解一道分式方程 ，过程如下：
第一步：方程整理 ，
第二步：去分母
（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 、 ；
（2）请把以上解分式方程过程补充完整．
【答案】（1）分式的基本性质；等式的基本性质；（2）过程补充完整见解析；x＝3是原方程的解．
【解析】（1）第一步方程变形的依据是分式的基本性质；第二步方程变形的依据是等式的基本性质．
故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质；
（2）去分母得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5，
去括号得：x﹣1﹣x+2＝2x﹣5，
移项得：x﹣x﹣2x＝1﹣2﹣5，
合并得：﹣2x＝﹣6，
系数化为1得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
23．（2019·吉林吉林·初二期末）已知方程 ① ．
（1）若x=1是方程的解，则m的值为______；
（2）若m=1，解方程．
【答案】（1）3；（2）无解
【解析】解：（1） ，
去分母，得解得
令 ，解得m=3
故答案为m=3．
（2）把 代入 ，得
去分母，得
解得
经检验： 不是原方程的解．
∴原方程无解．
24．（2020·河北高阳·初二期末）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是 ，原分式方程无解”，请你求出原分式方
程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1） ;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.
【解析】（1）方程两边同时乘以 得
解得
经检验， 是原分式方程的解.
（2）设？为 ，
方程两边同时乘以 得
由于 是原分式方程的增根，
所以把 代入上面的等式得所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
25．（2018·山东阳信·初二期末）阅读下列材料：
在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程
a
=1的解为正数，求a的取值范围．
x-a
经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：
小杰说：解这个关于x的分式方程，得x=a+4．由题意可得a+4＞0，所以a＞﹣4，问题解决．
小哲说：你考虑的不全面，还必须保证x≠4，即a+4≠4才行．
（1）请回答： 的说法是正确的，并简述正确的理由是 ；
（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：
m x
若关于x的方程 - =2的解为非负数，求m的取值范围．
x-3 3-x
【答案】（1）小哲；分式的分母不为0；（2）m≥﹣6且m≠﹣3．
【解析】解：（1）小哲的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0；
故答案为：小哲；分式的分母不为0；
（2）去分母得：m+x=2x﹣6，
解得：x=m+6，
由分式方程的解为非负数，得到m+6≥0，且m+6≠3，
解得：m≥﹣6且m≠﹣3．
26．（2020·四川开江·期末）每年的6,7月，各种夏季水果相继成熟，也是水果销售的旺季，某商家抓住商
机，在6月份主推甲、乙两种水果的销售．已知6月份甲种水果的销售总额为12000元，乙种水果的销售
总额为9000元，乙种水果的售价是甲种水果售价的1.5倍，乙种水果的销售数量比甲种水果的销售数量少
1000㎏．
（1）求6月份甲种水果的售价是多少元？
（2）7月份，该商家准备销售甲、乙两种水果共5000kg．为了加大推销力度，将甲种水果的售价在6月份
的基础上下调了30％，乙种水果在6月份的基础上打六折销售．要使7月份的总销售额不低于23400元，
则商家至多要卖出甲种水果多少kg？
（3）在（2）的条件下，若甲种水果进价为2.7元/kg，乙种水果的进价为3.5元/kg，7月份，该商家可获
利多少元？
【答案】（1）6月份甲水果的售价是6元；（2）该商店至多要卖出甲水果3000kg；（3）8300元
【解析】（1）假设6月份甲水果售价是 元，则6月份乙种水果的售价是 元．
根据题意得： ，
解得： ，
经检验 符合题意．
答：6月份甲水果的售价是6元．（2）假设该商家至多要卖出甲水果 kg，则商家至少卖出乙水果 kg．
由题意得： ，
解得： ．
答：该商店至多要卖出甲水果3000kg．
（3） ．
答：该商家至少获利8300元．
