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专题 5.4 分式方程典例体系
（本专题共 5 8 题 2 5 页）
一、知识点
分式方程
1.分式方程：指含分式，且分母中含有未知数的方程
2.解分式方程的步骤：
（1）能化简的先化简
（2）去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
（3）解整式方程，得到整式方程的解。
（4）检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数
的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
注意：产生增根的条件是①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
列分式方程——基本步骤：审，设，列，解，答（跟一元一次不等式组的应用题解法一样）
① 审—仔细审题，找出等量关系。
② 设—合理设未知数。
③ 列—根据等量关系列出方程（组）。
④ 解—解出方程（组）。注意检验
⑤ 答—答题。
二、考点点拨与训练
考点1:解分式方程
典例：（2020·扬州市梅岭中学月考）解下列方程（1） ；
（2） ．
方法或规律点拨
本题考查了解分式方程，在解题过程中一定要注意检验所求解是否为增根，这是本题的关键，如果是增根，
则分式方程无解．
巩固练习
1．（2020·河南孟津·期中）将方程 去分母化简后，得到的方程是（ ）
A．x﹣4＝3﹣2 B．x﹣4＝3﹣2x+1
C．x﹣4＝3﹣2x+2 D．x﹣4＝3﹣2x﹣2
2．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）方程 ＝ 的解为( )
A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝﹣5
3．（2019·广东郁南·月考）把分式方程 + 2 = 化为整式方程，得（ ）
A．x+2=2x（x+2） B．x+2（x2﹣4）=2x（x+2）
C．x+2（x﹣2）=2x（x﹣2） D．x+2（x2﹣4）=2x（x﹣2）
4．（2019·广西玉林·期末）解分式方程 ，分以下四步，其中错误的一步是( )
A．方程两边各分式的最简公分母是
B．方程两边都乘以 ，得整式方程：
C．解这个整式方程，得
D．原方程的解为
5．（2020·甘肃七里河·期末）解分式方程： ．
6．（2020·江苏丹阳·期末）（1）
（2）
7．（2020·河南孟津·期中）解方程： + ＝1．8．（2020·江西寻乌·期末）解方程：
9．（2020·广西其他）符号“ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： ．请你根
据上述规定，求出下列等式中 的值： ．
10．（2020·辽宁灯塔·期末）解方程： ＝1+ ．
11．（2020·广西其他）解方程： ．
12．（2020·吉林期末）解方程： ．
13．（2020·安徽临泉·期末）解分式方程： ．
考点2：根据分式方程解得情况求参数取值
典例：（2020·安徽全椒·初二）若关于x的分式方程 的解为正数，则满足条件的非负整数
k的值为____．
方法或规律点拨
此题考查分式方程的解，解题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程
中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
巩固练习
1．（2021·重庆巴蜀中学开学考试）若数 a使关于 x的分式方程 有整数解，且关于y 的
不等式组 恰 好有两个奇数解，则符合条件的所有整数 a的和是（ ）
A．7 B．5 C．2 D．1
2．（2020·重庆北碚·西南大学附中期末）若整数 使得关于 的方程 的解为非负整数，
且关于 的不等式组 至少有2个整数解，则所有符合条件的整数 的和为（ ）A．6 B．9 C．13 D．16
3．（2020·陕西横山·期末）关于 的分式方程 解为 ，则常数 的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2020·山东青州·期中）已知关于x的分式方程 + =1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
5．（2020·山东博山·二模）已知关于 的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若关于x的方程 =3的解为正数，则
m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＜ 且m≠
C．m＞﹣ D．m＞﹣ 且m≠﹣
7．（2020·湖北荆门·初三学业考试）已知关于x的分式方程 的解满足
，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
8．（2020·陕西城固·初二期末）已知关于x的方程 的解是负数，那么m的取值范围是( )
A． 且 B． C． 且 D． 且
9．（2020·甘肃其他）已知关于x的分式方程 有一个正数解，则k的取值范围为________.
10．（2020·景泰县第四中学期末）若关于若关于x的分式方程 的解为正数，那么字母a的取值
范围是___．
11．（2020·扬州市梅岭中学月考）已知关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围为
__________．
12．（2020·福建省泉州实验中学期末）若关于x的分式方程 的解为负数，则k的取值范围为__．13．（2020·淮阳第一高级中学初中部期末）若方程 的解小于零，则a的取值范围是
__________．
14．（2020·安徽省安庆市外国语学校期末）若分式方程 的解为正数，则m的取值范围是
__________．
15．（2020·四川郫都·期末）若方程 的根为负数，则k的取值范围是______。
16．（2019·张掖市育才中学期末）关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是_________．
17．（2020·内蒙古昆都仑·初二期末）已知关于x的分式方程 ﹣2＝ 的解是正数，则m的取值范
围是_____．
18．（2020·四川巴中·初二期末）关于x的分式方程 有一个正数解，则a的取值范围是
___________
考点3：列分式方程
典例：（2020·云南昆明·其他）为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长 米的道路进
行改造，为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了 ，结果提前 天完成，设施工队
原计划每天铺 米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
方法或规律点拨
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·景泰县第四中学期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．
已知第一次捐款总额为4 800元，第二次捐款总额为5 000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两
次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·江西寻乌·期末）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要
尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果
用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为
A． B．
C． D．
3．（2020·河北灵寿·期末）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了
20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学
生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A． - =20 B． - =20 C． - = D． =
3．（2020·广东深圳·其他）某口罩生产企业最近要紧急完成1000万只口罩生产的任务，在生产完400万
只口罩后，新的生产线安装完毕，可以加入生产了；新的生产线加入后，每天口罩的生产总量比原来增加
了 ，结果共用了8天完成了任务设新生产线加入前，每天生产口罩 万只，则根据题意可得方程为（
）
A． B．
C． D．
4．（2020·安徽临泉·期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家
小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90
个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣 个物件，则可列
方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·福建省泉州实验中学期末）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人
每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设
B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·河南遂平·期中）某煤矿原计划x天生存120 t煤，由于采用新的技术，每天增加生存3 t，因此
提前2天完成，列出的方程为( )
A． B．C． D．
7．（2020·广西百色·期末） ， 两地航程为48千米，一艘轮船从 地顺流航行至 地，又立即从 地
逆流返回 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 千米/时，则可
列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·衡阳县井头镇大云中学期末）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完
成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·四川巴州·期末）为响应“科技扶贫”，我区某单位向一贫困村赠送1080本农村实用书籍，现
用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱多用6个；已知每个B
型包装箱比每个A型包装箱可少装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方
程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020·广东禅城·期末）轮船顺流航行60千米后返回，共用了5小，己知水流速度是3千米/时，如果
轮船在静水中的速度为x千米/时，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020·四川南江·期末）某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书
平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比
用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校
购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．C． D．
12．（2021·浙江瑞安·开学考试）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大
产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口
罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方
程（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
13．（2020·江苏宿迁·二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全
程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提
高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据
题意，可列分式方程______．
14．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，
也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段 横穿双向行驶车道，其中
米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过 ，其中通过 的速度是通过 速度的1.2倍，
求小明通过 时的速度．设小明通过 时的速度是 米/秒，根据题意列方程得：
_____________________．
15．（2018·河北邢台·一模）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，
这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月．总工程全部完成，设乙队单独施1个月能完成总工程的 ，
根据题意，得方程_____．
16．（2020·北京海淀·人大附中其他）一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，
为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是
特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，设特快列
车的平均速度为 千米/时，则可列方程为______．
17．（2020·四川开江·期末）疫情期间，某工厂一生产车间获得150000只口罩的生产订单，加工60000 个
口罩后，采用了新的生产工艺，效率调高到原来的2倍，任务完成后，发现比原计划少用了10小时．设采
用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程_________________．
考点4：分式方程应用题
典例：（2020·扬州市梅岭中学月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠
状病毒感染.某药店用4000元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用 元钱购进第二批这种
口罩，所进的包数比第一批多 ，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多 元，请解答下列问题：求购进的第一批医用口罩有多少包；
政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致.若售完这两批口罩的总利润不高于
元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
方法或规律点拨
此题主要考查列分式方程和一元一次不等式解应用题，理解题意，找出实际问题中的等量关系和不等关系
是解题关键．
巩固练习
1．（2019·河北南宫·期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为6400米．甲同学先步行400米，然后乘
公交车去学校（由步行改乘公交车的时间忽略不计），乙同学骑自行车去学校，已知甲步行速度是乙骑自
行车速度的 ，公交车的速度是乙骑自行车速度的3倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学
比乙同学早到8分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
2．（2020·广西右江·一模）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力
行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电
做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
(1)求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
3．（2019·四川南充·一模）某水果经销商看准商机，第一次用 元购进某种水果进行销售，销售良好，
于是第二次用了 元购进同种水果，但此次进价比第一次提高了 ，所购数量比第一次购进数量的
倍还多 千克．
（1）求第一次所购水果的进货价是每千克多少元？
（2）在实际销售中，两次售价开始均相同，但第一次购进的水果在销售过程中，消费者挑选后，由于水
果品相下降，最后 千克八折售出；第二次购进的水果由于同样的原因，最后 千克九折售出，若售完
这两批水果的毛利不低于 元，则每千克开始售价至少为多少元？
4．（2019·广东潮州·其他）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队
单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，
甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单
独施工多少天?
5．（2020·海东市教育研究室期末）枇杷肉质厚实，鲜甜微酸，营养价值很高，是初夏里受人们喜爱的水
果之一．枇杷一上市，某水果店的老板就用1350元购进一批枇杷，很快售完．老板又用1900元购进第二
批枇杷，所购箱数是第一批的 倍，但进价比第一批每箱多了5元．
（1）求第一批枇杷的每箱进价．
（2）老板以每箱145元的价格销售第二批枇杷，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩下的打折促销．要
使得第二批枇杷的销售利润不少于855元，剩余的枇杷每箱售价至多打几折？
6．（2020·广西其他）荔枝是某地的特色时令水果．荔枝一上市，水果店的老板用2400元购进一批荔枝，
很快售完：老板又用3700元购进第二批荔枝，所购件数是第一批的 倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批荔枝每件进价是多少元？
（2）老板以每件225元的价格销售第二批荔枝，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使
得第二批荔枝的销售利润不少于530元，剩余的荔枝每件售价至少打几折？
7．（2020·江西寻乌·期末）列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活
经验去判断，北平之秋便是天堂”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少，小宇家附近
新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树，他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速
度为60千米/时，走了约3分钟
（1）由此估算这段路长约____千米；
（2）然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米，小宇计从路的起点开始，
每a米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了一种方案，将原计划的a扩大一倍，
则路的两侧共计减少400棵树，请你求出a的值
