文档内容
专题 5.4 分式方程
典例体系 （本专题共 5 8 题 2 5 页）
一、知识点
分式方程
1.分式方程：指含分式，且分母中含有未知数的方程
2.解分式方程的步骤：
（1）能化简的先化简
（2）去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
（3）解整式方程，得到整式方程的解。
（4）检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数
的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
注意：产生增根的条件是①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
列分式方程——基本步骤：审，设，列，解，答（跟一元一次不等式组的应用题解法一样）
① 审—仔细审题，找出等量关系。
② 设—合理设未知数。
③ 列—根据等量关系列出方程（组）。
④ 解—解出方程（组）。注意检验
⑤ 答—答题。
二、考点点拨与训练
考点1:解分式方程
典例：（2020·扬州市梅岭中学月考）解下列方程（1） ；
（2） ．
【答案】（1）x＝6；（2）分式方程无解．
【解析】（1）去分母得：2x＝3（x﹣2），
去括号得：2x＝3x﹣6，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解；
（2）去分母得：（x+1）2﹣（x2﹣1）＝4，
整理得：x2+2x+1﹣x2+1＝4，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，
∴该分式方程无解．
故答案为（1）x＝6；（2）该分式方程无解
方法或规律点拨
本题考查了解分式方程，在解题过程中一定要注意检验所求解是否为增根，这是本题的关键，如果是增根，
则分式方程无解．
巩固练习
1．（2020·河南孟津·期中）将方程 去分母化简后，得到的方程是（ ）
A．x﹣4＝3﹣2 B．x﹣4＝3﹣2x+1
C．x﹣4＝3﹣2x+2 D．x﹣4＝3﹣2x﹣2
【答案】D
【解析】分式方程去分母得：x﹣4＝3﹣2（x+1），
去括号得：x﹣4＝3﹣2x﹣2．
故选D．
2．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）方程 ＝ 的解为( )
A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝﹣5
【答案】C
【解析】方程两边同乘（x-1）(x+3)，得
x+3-2(x-1)=0，
解得：x=5，
检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0，
所以x=5是原方程的解，故选C.
3．（2019·广东郁南·月考）把分式方程 + 2 = 化为整式方程，得（ ）
A．x+2=2x（x+2） B．x+2（x2﹣4）=2x（x+2）
C．x+2（x﹣2）=2x（x﹣2） D．x+2（x2﹣4）=2x（x﹣2）
【答案】B
【解析】解：去分母得：x+2（x2-4）=2x（x+2）．
故选：B．
4．（2019·广西玉林·期末）解分式方程 ，分以下四步，其中错误的一步是( )
A．方程两边各分式的最简公分母是
B．方程两边都乘以 ，得整式方程：
C．解这个整式方程，得
D．原方程的解为
【答案】D
【解析】解：分式方程的最简公分母为(x−1)(x+1)，
方程两边乘以(x−1)(x+1)，得整式方程2(x−1)+3(x+1)=6，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选D．
5．（2020·甘肃七里河·期末）解分式方程： ．
【答案】分式方程无解．
【解析】去分母得：x(x+1)﹣x2+1=2，
去括号得：x2+x﹣x2+1=2，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
6．（2020·江苏丹阳·期末）（1）
（2）
【答案】（1）无解；（2）x=0
【解析】（1）解：方程两边同时乘以（x－2），得： ，
解得： ，检验：当 时， ，
所以 是方程的增根，原方程无解；
（2）解：原方程即为： ，
方程两边同时乘以 ，得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
是原方程的解．
7．（2020·河南孟津·期中）解方程： + ＝1．
【答案】x＝1．
【解析】解：方程整理得： + ＝1，
去分母得：9x﹣7+4x﹣5＝3x﹣2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
8．（2020·江西寻乌·期末）解方程：
【答案】x=-1
【解析】解：方程两边都乘以x(x-1)得3x-(x-2)=0
解这个方程得x=-1
当x=-1时x(x-1)≠0，
:.x=-1是原分式方程的解，．
9．（2020·广西其他）符号“ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： ．请你根
据上述规定，求出下列等式中 的值： ．
【答案】
【解析】解： 由 ，
可得 ，∴ ，
∴ ，
经检验： 是原方程的解．
10．（2020·辽宁灯塔·期末）解方程： ＝1+ ．
【答案】x＝﹣3
【解析】去分母得：2x＝x﹣2﹣1，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
11．（2020·广西其他）解方程： ．
【答案】无解．
【解析】解：去分母得：15x-12=4x+10-3x+6，
移项合并得：14x=28，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
12．（2020·吉林期末）解方程： ．
【答案】x＝1．
【解析】解： ，
，
1+2（x﹣2）＝﹣x，
1+2x﹣4＝﹣x，
2x+x＝4﹣1，
3x＝3，
x＝1，
经检验，x＝1是原方程的根．
13．（2020·安徽临泉·期末）解分式方程： ．
【答案】
【解析】解：2(x-1)+(x+2)(x-1)=x(x+2)
x=4检验：x=4是原方程的解
所以方程的解是x=4．
考点2：根据分式方程解得情况求参数取值
典例：（2020·安徽全椒·初二）若关于x的分式方程 的解为正数，则满足条件的非负整数
k的值为____．
【答案】0．
【解析】∵ ，
∴ ．
∵x＞0，
∴ ，
∴ ，
∴满足条件的非负整数 的值为0、1，
时，解得：x=2，符合题意；
时，解得：x=1，不符合题意；
∴满足条件的非负整数 的值为0．
故答案为：0．
方法或规律点拨
此题考查分式方程的解，解题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程
中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
巩固练习
1．（2021·重庆巴蜀中学开学考试）若数 a使关于 x的分式方程 有整数解，且关于y 的
不等式组 恰 好有两个奇数解，则符合条件的所有整数 a的和是（ ）
A．7 B．5 C．2 D．1
【答案】C
【解析】解：解分式方程，得
x= ，
当a=-1时，x=2，原方式方程分母为0，
∴符合条件的整数a为：-3，0，2，3，5，解不等式组，得 ，
∵恰好有两个奇数解，
∴-1≤ ＜1，
解得：-3≤a＜5，
符合条件的整数a为：-3，0，2，3，
∴符合条件的所有整数a的和为2，
故选C．
2．（2020·重庆北碚·西南大学附中期末）若整数 使得关于 的方程 的解为非负整数，
且关于 的不等式组 至少有2个整数解，则所有符合条件的整数 的和为（ ）
A．6 B．9 C．13 D．16
【答案】C
【解析】解：分式方程去分母得：2(x-2)-3=-a，
去括号得：2x-4-3=-a，
解得： ，
检验，分母不为0，即 ，即
由分式方程的解为非负整数，得到7-a=0或2或6或8或…，
解得：a=7或5或1或-1或…，
解不等式组整理得： ，即-1＜y≤a，
由不等式组至少有2个整数解，得到a≥1，
综上，a=1，5，7，其和为13．
故选：C．
3．（2020·陕西横山·期末）关于 的分式方程 解为 ，则常数 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵关于 的分式方程 解为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
经检验， 是方程 的解，
故选：A.
4．（2020·山东青州·期中）已知关于x的分式方程 + =1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
【答案】C
【解析】分式方程去分母得：m-3=x-1，
解得：x=m-2，
由方程的解为非负数，得到m-2≥0，且m-2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选C.
5．（2020·山东博山·二模）已知关于 的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
方程两边同乘以 ，得
，
移项及合并同类项，得
，
分式方程 的解是非正数， ，
，
解得， ，
故选A．
6．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若关于x的方程 =3的解为正数，则
m的取值范围是（ ）A．m＜ B．m＜ 且m≠
C．m＞﹣ D．m＞﹣ 且m≠﹣
【答案】B
【解析】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x= ，
已知关于x的方程 =3的解为正数，
所以﹣2m+9＞0，解得m＜ ，
当x=3时，x= =3，解得：m= ，
所以m的取值范围是：m＜ 且m≠ ．
故答案选B．
7．（2020·湖北荆门·初三学业考试）已知关于x的分式方程 的解满足
，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
【答案】A
【解析】关于x的分式方程
得x= ，
∵
∴
解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3
∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,
故选A．8．（2020·陕西城固·初二期末）已知关于x的方程 的解是负数，那么m的取值范围是( )
A． 且 B． C． 且 D． 且
【答案】C
【解析】解：去分母：
解得：
∵解是负数
∴
∴
又分母不为0，∴
即
∴m的取值范围是： 且 .
故答案为：C.
9．（2020·甘肃其他）已知关于x的分式方程 有一个正数解，则k的取值范围为________.
【答案】k<6且k≠3
【解析】解： ，
方程两边都乘以（x-3），得
x=2（x-3）+k，
解得x=6-k≠3，
关于x的方程程 有一个正数解，
∴x=6-k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为k＜6且k≠3．
10．（2020·景泰县第四中学期末）若关于若关于x的分式方程 的解为正数，那么字母a的取值
范围是___．
【答案】a＞1且a≠2
【解析】分式方程去分母得：2x﹣a=x﹣1，解得：x=a﹣1，
根据题意得：a﹣1＞0，解得：a＞1．
又当x=1时，分式方程无意义，∴把x=1代入x=a﹣1得a=2．
∴要使分式方程有意义，a≠2．∴a的取值范围是a＞1且a≠2．
11．（2020·扬州市梅岭中学月考）已知关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围为
__________．
【答案】 且
【解析】解关于x的方程 得x＝m＋6，
∵x−2≠0，解得x≠2，
∵方程的解是正数，
∴m＋6＞0且m＋6≠2，
解这个不等式得m＞−6且m≠−4．
故答案为：m＞−6且m≠−4．
12．（2020·福建省泉州实验中学期末）若关于x的分式方程 的解为负数，则k的取值范围为__．
【答案】k＜3且k≠1．
【解析】解：去分母得： 解得：
由分式方程的解为负数，得到 且 即
解得： 且
故答案为： 且
13．（2020·淮阳第一高级中学初中部期末）若方程 的解小于零，则a的取值范围是
__________．
【答案】 且
【解析】 ,
（a-2）(1-x)=x+1，
(1-a)x=3-a，
x= ，
∵方程的解小于零，
∴ <0，∴ 或 ，
解得 且
故答案为： 且 .
14．（2020·安徽省安庆市外国语学校期末）若分式方程 的解为正数，则m的取值范围是
__________．
【答案】m＞1且m≠3
【解析】解：方程两边同乘以x-1，得，m-3=2(x-1)，
解得 ，
∵分式方程 解为正数
∴ 且x-1≠0，
即m＞1且 ，
∴m＞1且m≠3，
故答案为：m＞1且m≠3．
15．（2020·四川郫都·期末）若方程 的根为负数，则k的取值范围是______。
【答案】k＞2且k≠3
【解析】解：方程两边都乘以（x+3）（x+k）得，
3（x+k）=2（x+3），
解得x=-3k+6，
∵方程的解是负数，
∴-3k+6＜0，
解得k＞2，
又∵x+3≠0，x+k≠0，
∴x≠-3，x≠-k
∴-3k+6≠-3, -3k+6≠-k
∴k≠3，
∴k＞2且k≠3．
故答案为：k＞2且k≠3．
16．（2019·张掖市育才中学期末）关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是_________．【答案】a>-1
【解析】解：去分母得2x+a=x-1，
解得x=-a-1，
∵关于x的方程 ＝1的解是正数，
∴x＞0且x≠1，
∴-a-1＞0且-a-1≠1，解得a＜-1且a≠-2，
∴a的取值范围是a＜-1且a≠-2．
故答案为a＜-1且a≠-2．
17．（2020·内蒙古昆都仑·初二期末）已知关于x的分式方程 ﹣2＝ 的解是正数，则m的取值范
围是_____．
【答案】m＞﹣2且m≠﹣1
【解析】方程两边同时乘以x﹣1得，x﹣2（x﹣1）＝﹣m，
解得x＝m+2．
∵x为正数，
∴m+2＞0，解得m＞﹣2．
∵x≠1，
∴m+2≠1，即m≠﹣1．
∴m的取值范围是m＞﹣2且m≠﹣1．
故答案为m＞﹣2且m≠﹣1．
18．（2020·四川巴中·初二期末）关于x的分式方程 有一个正数解，则a的取值范围是
___________
【答案】a＞-3且a≠1
【解析】解：去分母，得 ，
解得：x= ，
∵方程有一个正数解，
∴ ＞0，且 ≠2，
解得：a＞-3且a≠1，
故答案为：a＞-3且a≠1．
考点3：列分式方程
典例：（2020·云南昆明·其他）为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长 米的道路进
行改造，为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了 ，结果提前 天完成，设施工队原计划每天铺 米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：设施工队原计划每天铺 米，则
故选
方法或规律点拨
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·景泰县第四中学期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．
已知第一次捐款总额为4 800元，第二次捐款总额为5 000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两
次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设第一次有x人捐款，那么第二次有（x+20）人捐款，由题意，有
= ，
故选B．
2．（2020·江西寻乌·期末）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要
尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果
用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根
据题意可得方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据等量关系可列出方程：
．故选B．
3．（2020·河北灵寿·期末）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学
生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A． - =20 B． - =20 C． - = D． =
【答案】C
【解析】由题意可得，
- = ，
故选：C．
3．（2020·广东深圳·其他）某口罩生产企业最近要紧急完成1000万只口罩生产的任务，在生产完400万
只口罩后，新的生产线安装完毕，可以加入生产了；新的生产线加入后，每天口罩的生产总量比原来增加
了 ，结果共用了8天完成了任务设新生产线加入前，每天生产口罩 万只，则根据题意可得方程为（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：设新生产线加入前，每天生产口罩x万只，则根据题意可得：
．
故选B．
4．（2020·安徽临泉·期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家
小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90
个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣 个物件，则可列
方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意可得，
，
故选B．
5．（2020·福建省泉州实验中学期末）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人
每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设
B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，则A型机器人每小时搬运化工原料（x+40）千克，由
A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，可得方程 = ．故
选A．
6．（2020·河南遂平·期中）某煤矿原计划x天生存120 t煤，由于采用新的技术，每天增加生存3 t，因此
提前2天完成，列出的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为原计划x天生产120吨煤,所以原计划每天生产 吨,因为采取新的技术,提前2天 ,所以现在
每天生产 吨,因为现在每天比原计划每天增加3吨,所以可列方程是 ,故选D.
7．（2020·广西百色·期末） ， 两地航程为48千米，一艘轮船从 地顺流航行至 地，又立即从 地
逆流返回 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 千米/时，则可
列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意可得，
，
故选：C.
8．（2020·衡阳县井头镇大云中学期末）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完
成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为： ，根据“因客户要求
提前5天交货”，用原有完成时间 ，减去提前完成时间 ，可以列出方程：
故选：D．
9．（2020·四川巴州·期末）为响应“科技扶贫”，我区某单位向一贫困村赠送1080本农村实用书籍，现
用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱多用6个；已知每个B
型包装箱比每个A型包装箱可少装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设每个A型包装箱可以装书 本，则每个B型包装箱可以装书( )本，
根据题意，得： ，
故选：B．
10．（2020·广东禅城·期末）轮船顺流航行60千米后返回，共用了5小，己知水流速度是3千米/时，如果
轮船在静水中的速度为x千米/时，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，
由题意，得： ，
故选：C．
11．（2020·四川南江·期末）某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书
平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比
用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校
购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，可得：
故选B．
12．（2021·浙江瑞安·开学考试）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大
产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口
罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方
程（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【答案】B
【解析】解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，
依题意，得： ＝ ；
故选：B．
13．（2020·江苏宿迁·二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全
程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提
高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据
题意，可列分式方程______．
【答案】
【解析】解：设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为（1+60%）x千米/小时，
依题意，得： ．
故答案为： .
14．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，
也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段 横穿双向行驶车道，其中
米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过 ，其中通过 的速度是通过 速度的1.2倍，
求小明通过 时的速度．设小明通过 时的速度是 米/秒，根据题意列方程得：
_____________________．【答案】
【解析】解：设小明通过 时的速度是 米 秒，可得： ，
故答案为 ，
15．（2018·河北邢台·一模）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，
这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月．总工程全部完成，设乙队单独施1个月能完成总工程的 ，
根据题意，得方程_____．
【答案】 ．
【解析】解：设乙队单独施1个月能完成总工程的 ，
根据题意得： ．
故答案为 ．
16．（2020·北京海淀·人大附中其他）一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，
为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是
特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，设特快列
车的平均速度为 千米/时，则可列方程为______．
【答案】 ；
【解析】解：设特快列车的平均速度为 千米/时，则高铁列车的平均速度是 千米/时，
则乘坐高铁列车所用时间为 小时，乘坐特快列车所用时间为 小时，
所以： ，
故答案为： ．
17．（2020·四川开江·期末）疫情期间，某工厂一生产车间获得150000只口罩的生产订单，加工60000 个
口罩后，采用了新的生产工艺，效率调高到原来的2倍，任务完成后，发现比原计划少用了10小时．设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程_________________．
【答案】
【解析】解：设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，则采用新工艺之后每小时可生产口罩2x个，
依题意，得： ．
考点4：分式方程应用题
典例：（2020·扬州市梅岭中学月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠
状病毒感染.某药店用4000元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用 元钱购进第二批这种
口罩，所进的包数比第一批多 ，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多 元，请解答下列问题：
求购进的第一批医用口罩有多少包；
政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致.若售完这两批口罩的总利润不高于
元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
【答案】(1) 购进的第一批医用口罩有 包；(2) 该药店销售该医用口罩每包最高售价为 元
【解析】 解：设购进的第一批医用口罩有 包，
根据题意得：
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
答：购进的第一批医用口罩有 包.
解：设该医用口罩每包的售价为 元，
购进的第二批医用口罩为 (包) .
根据题意得：
解得：
答：该药店销售该医用口罩每包最高售价为 元.
方法或规律点拨此题主要考查列分式方程和一元一次不等式解应用题，理解题意，找出实际问题中的等量关系和不等关系
是解题关键．
巩固练习
1．（2019·河北南宫·期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为6400米．甲同学先步行400米，然后乘
公交车去学校（由步行改乘公交车的时间忽略不计），乙同学骑自行车去学校，已知甲步行速度是乙骑自
行车速度的 ，公交车的速度是乙骑自行车速度的3倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学
比乙同学早到8分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【答案】（1）乙骑自行车的速度为400m/min；（2）乙同学离学校还有3200m
【解析】解：（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是 xm/
min，
由题意得： ．
解得：x=400．
经检验x=400原方程的解
答：乙骑自行车的速度为400m/min．
（2）当甲到达学校时，乙同学还要继续骑行8分钟，所以 8×400=3200（m）．
答：乙同学离学校还有3200m．
2．（2020·广西右江·一模）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力
行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电
做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
(1)求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
【答案】(1)每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是100千米；(2)至少需要用电行驶60千米．
【解析】解：(1)设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为(x+0.5)元，
可得： ，
解得：x=0.3，
经检验x=0.3是原方程的解，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3=100千米；至少需要用电行驶60千米．
(2)汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5=0.8元，
设汽车用电行驶ykm，
可得：0.3y+0.8(100-y)≤50，解得：y≥60，
所以至少需要用电行驶60千米．
3．（2019·四川南充·一模）某水果经销商看准商机，第一次用 元购进某种水果进行销售，销售良好，
于是第二次用了 元购进同种水果，但此次进价比第一次提高了 ，所购数量比第一次购进数量的
倍还多 千克．
（1）求第一次所购水果的进货价是每千克多少元？
（2）在实际销售中，两次售价开始均相同，但第一次购进的水果在销售过程中，消费者挑选后，由于水
果品相下降，最后 千克八折售出；第二次购进的水果由于同样的原因，最后 千克九折售出，若售完
这两批水果的毛利不低于 元，则每千克开始售价至少为多少元？
【答案】（1）2元；（2）3元
【解析】解：（1）设第一次所购水果的进货价是每千克 元．由题意，得
约简，得
即
检验，是原方程的根，
答：第一次所购水果的进货价是每千克2元．
（2）由（1）第一次购进的数量为 （千克）
第二次购进的数量为 （千克）
每千克开始售价至少为 元．由题意，得
即
即 ．
．即每千克开始售价至少为 元．
4．（2019·广东潮州·其他）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队
单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?
(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，
甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单
独施工多少天?
【答案】（1）甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此颊任务需20天（2）甲队至少再单独施工
3天
【解析】解：（1）设乙队单独完成此项任务需x天，则甲队单独完成此项任务需(x+10)天，
根据题意得 ，
解得，x=20，
经检验x=20是原方程的解．
∴x+10=30．
答：甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此颊任务需20天．
（2）设甲队再单独施工a天 ，解得 ≥3，
答：甲队至少再单独施工3天．
5．（2020·海东市教育研究室期末）枇杷肉质厚实，鲜甜微酸，营养价值很高，是初夏里受人们喜爱的水
果之一．枇杷一上市，某水果店的老板就用1350元购进一批枇杷，很快售完．老板又用1900元购进第二
批枇杷，所购箱数是第一批的 倍，但进价比第一批每箱多了5元．
（1）求第一批枇杷的每箱进价．
（2）老板以每箱145元的价格销售第二批枇杷，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩下的打折促销．要
使得第二批枇杷的销售利润不少于855元，剩余的枇杷每箱售价至多打几折？
【答案】（1）第一批枇杷每箱进价为90元；（2）剩余的枇杷每箱售价至多打七五折
【解析】解：（1）设第一批枇杷每箱进价x元．
由题意得 ，
解得 ．
经检验， 是原方程的根，且符合题意．答：第一批枇杷每箱进价为90元．
（2）第二批购进枇杷的箱数为
设剩余的枇杷每箱售价打y折．
由题意可知， ，
解得 ．
答：剩余的枇杷每箱售价至多打七五折．
6．（2020·广西其他）荔枝是某地的特色时令水果．荔枝一上市，水果店的老板用2400元购进一批荔枝，
很快售完：老板又用3700元购进第二批荔枝，所购件数是第一批的 倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批荔枝每件进价是多少元？
（2）老板以每件225元的价格销售第二批荔枝，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使
得第二批荔枝的销售利润不少于530元，剩余的荔枝每件售价至少打几折？
【答案】（1）180元；（2）至少打7折
【解析】解：(1)设第一批荔枝每件进价x元，则 ，
解得 x＝180，
经检验，x＝180是原方程的根，
答：第一批荔枝每件进价为180元；
(2)设剩余的荔枝每件售价打y折，
由题意知：
解得 y≥7，
答：剩余的荔枝每件售价至少打7折．
7．（2020·江西寻乌·期末）列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活
经验去判断，北平之秋便是天堂”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少，小宇家附近
新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树，他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速
度为60千米/时，走了约3分钟
（1）由此估算这段路长约____千米；
（2）然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米，小宇计从路的起点开始，
每a米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了一种方案，将原计划的a扩大一倍，
则路的两侧共计减少400棵树，请你求出a的值【答案】（1）3；（2）7.5
【解析】（1）这段路长约60 （千米）．
故答案为：3．
（2）设原计划每a米种一棵树，则现设计每2a米种一棵树，
依题意，得：
由愿意可得 ，
解方程得 ，
经检验， 满足方程且符合题意．
答： 的值是 ．
