文档内容
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题5.5分式方程
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
x
1．（2019春•双流区期末）分式方程 =1的解为（ ）
2x+1
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
x
【解答】解： =1，
2x+1
去分母得：x＝2x+1，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，2x+1≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1．
故选：A．
x2−1
2．（2021•郯城县模拟）分式方程 =0的解是（ ）
x−1
A．1 B．﹣1 C．±1 D．无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
【解答】解：去分母得：x2﹣1＝0，
解得：x＝1或x＝﹣1，
检验：把x＝1代入得：x﹣1＝0；
把x＝﹣1代入得：x﹣1≠0，
∴x＝1是增根，x＝﹣1是分式方程的解．
故选：B．2 6−x
3．（2022•海淀区校级开学）方程 = 的解为（ ）
x−2 x2−2x
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x＝1 D．该方程无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
【解答】解：去分母得：2x＝6﹣x，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
故选：D．
2 3
4．（2021秋•澄海区期末）若关于x的分式方程 − =0的解为x＝3，则常数a的值为（ ）
x−a x
A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝﹣1 D．a＝1
【分析】方程两边同乘以x（x﹣a）将分式方程化为整式方程，再根据分式方程的解的定义把x＝3代入
可得到关于a的方程，然后求解即可．
【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣a）可得2x﹣3（x﹣a）＝0，
当x＝3时，2×3﹣3×（3﹣a）＝0，
解得：a＝1，
经检验a＝1是方程的解，
故选：D．
2x−5 m
5．（2021•岳麓区校级模拟）若解关于 x 的方程 + =1 时产生增根，那么常数 m 的值为
x−2 2−x
（ ）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，x＝3+m，由分式方程有增根，得到3+m＝2，求出x的值，
代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：2x﹣5﹣m＝x﹣2，
x＝3+m
∵方程有增根，
∴3+m＝2，
m＝﹣1，
故选：D．3x m
6．（2020•齐齐哈尔）若关于x的分式方程 = +5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
x−2 2−x
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），
m+10
解得：x= ，
2
由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，
则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，
故选：D．
1
7．（2021•罗湖区校级模拟）对于实数a和b，定义一种新运算“ ”为：a b= ，这里等式右边是
a−b2
⊗ ⊗
1 1 2
实数运算．例如：1 3= =− ．则方程x 2= −1的解是（ ）
1−32 8 x−4
⊗ ⊗
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
【分析】根据新定义运算列出分式方程，计算即可求出解．
1 2
【解答】解：已知等式整理得： = −1，
x−4 x−4
去分母得：1＝2﹣x+4，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故选：B．
8．（2021春•梁平区期末）现有A、B两工厂每小时一共能做9000个N95口罩，两个工厂运作相同的时间
后．得到A工厂做的960个口罩，B工厂做的840个口罩，设A工厂每小时能做x个口罩，根据题意列
出分式方程正确的是（ ）
960 840 840 960
A． = B． =
x 9000−x x 9000−x
960 840 840 960
C． = D． =
x 9000+x x 9000+x
【分析】设A工厂每小时能做x个口罩，则B工厂每小时能做（9000﹣x）个口罩，根据工作时间＝工
作总量÷工作效率结合A工厂做960个口罩和B工厂做840个口罩所用时间相同，即可得出关于x的分
式方程，此题得解．【解答】解：设A工厂每小时能做x个口罩，则B工厂每小时能做（9000﹣x）个口罩，
960 840
依题意，得： = ．
x 9000−x
故选：A．
9．（2021•泉州模拟）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，某工程队承担一条4800米
长的河道整治任务．开工后，实际每天比原计划多整治 200米，结果提前4天完成任务，若设原计划每
天整治x米，那么所列方程正确的是（ ）
4800 4800 4800 4800
A． + =4 B． − =200
x x+200 x x+4
4800 4800 4800 4800
C． − =4 D． − =200
x x+200 x−4 x
【分析】根据本题的关键描述语是：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划用时﹣实际用时＝4
天．
4800 4800
【解答】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为： 天，实际用时为： 天．
x x+200
4800 4800
所列方程为： − =4，
x x+200
故选：C．
3x a−5
10．（2021春•沙坪坝区校级月考）若整数a使关于x的分式方程 − =1的解为正数，且使关于y
x−2 2−x
{y+a＞7 y−4
的不等式组 y−1 2y−1有且只有两个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
≤
2 3
A．﹣2 B．﹣3 C．1 D．4
【分析】解关于x的不等式组，然后根据“该不等式组有且仅有2个整数解”，确定a的取值范围，解
分式方程并根据分式方程解的情况，结合a为整数，取所有符合题意的整数a，即可得到答案．
{y+a＞7 y−4①
【解答】解： y−1 2y−1 ，
≤ ②
2 3
a+4
解不等式①，得：y＜ ，
6
解不等式②，得：y≥﹣1，
∵该不等式组有且仅有两个整数解，a+4
∴0＜ ≤1，
6
解得：﹣4＜a≤2，
分式方程去分母，得：3x+a﹣5＝x﹣2，
3−a
解得：x= ，
2
∵分式方程有正数解，且x≠2，
∴满足条件的整数a可以取﹣3，﹣2，0，1，2，
其和为﹣3+（﹣2）+0+1+2＝﹣2，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
x−1 1
11．（2019秋•静安区期末）方程 = 的根为 x ＝ 3 ．
x+1 2
【分析】根据分式方程的解法，方程两边同时乘以2（x+1），将分式方程化为整式方程求解即可．
【解答】解：方程两边同时乘以2（x+1），得
2（x﹣1）＝x+1，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的根，
∴原方程的解为x＝3，
故答案为x＝3．
x−5 4−2x
12．（2021春•淮阳区校级期末）当x的值是 3 时，代数式 和 的值互为相反数．
x−8 8−x
【分析】根据相反数的概念列出方程，然后将分式方程转化为整式方程，解方程，注意结果要进行检验．
x−5 4−2x
【解答】解：由题意可得： + =0，
x−8 8−x
去分母，得：x﹣5﹣（4﹣2x）＝0，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣8≠0，
∴x＝3是原分式方程的解，
故答案为：3．
m 2
13．（2021春•高邮市期末）若关于x的分式方程方程 = −3有增根，则m的值为 ﹣ 2 ．
x−1 1−x
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣1＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：m＝﹣2﹣3（x﹣1），
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程，可得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
k x
14．（2020秋•福山区期末）关于x的方程 −1= 的解为正数，则k的取值范围是 k ＞﹣ 4 且
2x−4 x−2
k ≠ 4 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出 k的范
围即可．
k x
【解答】解： −1= ，
2x−4 x−2
去分母得：k﹣2（x﹣2）＝2x，
去括号得：k﹣2x+4＝2x，
1
解得：x= k+1，
4
1 1
由分式方程的解为正数得 k+1＞0且 k+1≠2，
4 4
解得：k＞﹣4且k≠4．
故答案为：k＞﹣4且k≠4．
15．（2021•岱岳区三模）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的
城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度
900 900
是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为 2× = ．
x+1 x−3
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由
题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，
900 900
由题意得：2× = ，
x+1 x−3
900 900
故答案是：2× = ．
x+1 x−3
x+k k 1
16．（2019秋•天心区校级月考）若关于x的方程 −1= 的解为非负数，则k的取值范围是 k≤
x+1 x−1 2且 k ≠ 0 ．
【分析】首先解分式方程用含k的式子表示x，再根据解是非负数即可求得结果．
x+k k
【解答】解：方程 −1= ，
x+1 x−1
（x+k）（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝k（x+1）
x2﹣x+kx﹣k﹣x2+1＝kx+k
x＝﹣2k+1
∵x≥0且x≠1，
∴﹣2k+1≥0且﹣2k+1≠1
1
解得k≤ 且k≠0．
2
1
故答案为k≤ 且k≠0．
2
a
17．（2021秋•石阡县期末）对于实数a、b，定义一种新运算“*”为：a*b= ，这里等式右边是实数
a−b
1 1
运算．例如1*3= =− ．则方程x*4＝﹣1的解是 x ＝ 2 ．
1−3 2
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
x
【解答】解：根据题中的新定义得： =−1，
x−4
去分母得：x＝4﹣x，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x﹣4＝2﹣4＝﹣2≠0，
∴x＝2是分式方程的解．
故答案为：x＝2．
b
{ ，a≥b
18．（2019秋•延庆区期末）对于任意实数a，b，我们规定：a b 4a−b ．
=
a
⊗ ，a＜b
4a+b
根据上述规定解决下列问题：
1
（1）计算：（− ） （﹣1）＝ 1 ．
2
⊗3
（2）若（x﹣3） （x+3）＝1，则x＝ ．
2
⊗
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
−1
1 = =
【解答】解：（1）由− ＞−1，根据题中的新定义得：原式 1 1；
2 4×(− )+1
2
x−3
（2）由x﹣3＜x+3，根据题中的新定义化简得： =1，
4(x−3)+x+3
去分母得：x﹣3＝5x﹣9，
3
解得：x= ，
2
3
经检验x= 是分式方程的解，
2
3
故答案为：（1）1；（2）
2
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•鼓楼区期末）解方程：
9 8
（1） = ；
x x−1
x−1 1
（2） −3= ．
x−2 x−2
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程
的解．
【解答】解：（1）方程两边同乘x（x﹣1）得：
9（x﹣1）＝8x，
解得：x＝9，
经检验x＝9是分式方程的解；
（2）方程两边同乘x﹣2得：
x﹣1﹣3（x﹣2）＝1，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
20．（2021•北碚区校级开学）解分式方程：2x 3
（1） − =2；
x+1 x−1
x 4
（2） −1= ．
x−2 2x−x2
【分析】（1）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），转化为整式方程，解整式方程即可；
（2）将2x﹣x2变形为﹣x（x﹣2），方程两边都乘以x（x﹣2），转化为整式方程，解整式方程即可．
【解答】解：（1）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：2x（x﹣1）﹣3（x+1）＝2（x+1）（x﹣1），
1
解得x=− ，
5
1
检验：当x=− 时，（x+1）（x﹣1）≠0，
5
1
∴x=− 是原方程的根；
5
x 4
（2）原方程变形为 −1=− ，
x−2 x(x−2)
方程两边都乘以x（x﹣2）得：x2﹣（x2﹣2x）＝﹣4，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x（x﹣2）≠0，
∴x＝﹣2是原方程的根．
a b−x
21．（2021•广东模拟）已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5
（1）当a＝1，b＝0时，求分式方程的解；
a b−x
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解为整数时，求b的值．
2x+3 x−5
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即
可；
（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正
整数确定b的取值．
【解答】解：
a b−x
（1）把a＝1，b＝0代入分式方程 − =1中，得
2x+3 x−51 −x
− =1
2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）+x（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）
x﹣5+2x2+3x＝2x2﹣7x﹣15
10
x=−
11
10 10
检验：把x=− 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x=− ．
11 11
10
答：分式方程的解是x=− ．
11
a b−x
（2）把a＝1代入分式方程 − =1得
2x+3 x−5
1 b−x
− =1
2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15
（11﹣2b）x＝3b﹣10
11
①当11﹣2b＝0时，即b= ，方程无解；
2
3b−10
②当11﹣2b≠0时，x=
11−2b
3 3b−10 3
x=− 时，分式方程无解，即 =− ，b不存在；
2 11−2b 2
3b−10
x＝5时，分式方程无解，即 =5，b＝5．
11−2b
11 a b−x
综上所述，b= 或b＝5时，分式方程 − =1无解．
2 2x+3 x−5
a b−x
（3）把a＝3b代入分式方程 − =1，得：
2x+3 x−5
3b x−b
+ =1
2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）整理得：（10+b）x＝18b﹣15
18b−15
∴x=
10+b
18b−15 18(b+10)−195 195
∵ = =18− ，且b为正整数，x为整数
10+b 10+b 10+b
∴10+b必为195的因数，10+b≥11
∵195＝3×5×13
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
22．（2021•商河县校级模拟）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改
造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天
数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则
甲乙两队合作完成该工程需要多少天？
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x
天完工，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量＝总工作量（单位1），即可得出关于x的分式方程，
解之经检验后即可得出结论；
（2）由（1）可求出甲、乙单独施工所需天数，再利用两队合作完工所需时间＝总工作量÷（甲队一天
完成的工作量+乙队一天完成的工作量），即可求出结论．
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要
1.5x天完工，
15+5 15
依题意，得： + =1，
x 1.5x
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，1 1
1÷（ + ）＝18（天）．
30 45
答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．
23．（2019秋•樊城区期末）已知有两辆玩具车进行30米的直跑道比赛，两车从起点同时出发，A车到达
终点时，B车离终点还差12米，A车的平均速度为2.5米/秒．
（1）求B车的平均速度；
（2）如果两车重新比赛，A车从起点退后12米，两车能否同时到达终点？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若调整A车的平均速度，使两车恰好同时到达终点，求调整后A车的平均速度．
【分析】（1）根据时间＝路程÷速度可求出A车到达终点所需时间，再利用速度＝路程÷时间可求出B
车的平均速度；
（2）利用时间＝路程÷速度，可分别求出A，B车到达终点的时间，比较后即可得出结论；
（3）设调整后A车的平均速度为x米/秒，根据时间＝路程÷速度结合两车同时到达终点，即可得出关
于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）A车到达终点所需时间为30÷2.5＝12（秒），
B车的平均速度为（30﹣12）÷12＝1.5（米/秒）．
答：B车的平均速度为1.5米/秒．
（2）A车到达终点所需时间为（30+12）÷2.5＝16.8（秒），
B车到达终点所需时间为30÷1.5＝20（秒），
∵16.8＜20，
∴两车不能同时到达终点．
（3）设调整后A车的平均速度为x米/秒，
30+12 30
依题意，得： = ，
x 1.5
解得：x＝2.1，
经检验，x＝2.1是原方程的解，且符合题意．
答：调整后A车的平均速度为2.1米/秒．
24．（2020秋•沙坪坝区期末）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商
平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．
2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商
品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11
月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000
元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份
进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价
不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商
品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？
【分析】（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据题意列出二元一次
方程组，解之即可得出结果；
（2）根据题意列出分式方程，求出m，进一步求出11月份、12月份购进的A商品数量，即可得出结果．
【解答】解：（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，
{40x+60 y=8400
由题意得： ，
50x+30 y=6900
{x=90
解得： ，
y=80
答：该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；
49000 61200
（2）由题意可得： ×1.2= ，
90+m 90+m+0.5m
解得：m＝8，
经检验，m＝8是原分式方程的解，
49000
故11月份购进的A商品数量为： =500（件），
90+8
12月份购进的A商品数量为500×1.2＝600（件），
（500+600﹣50）×150+150×0.8×50＝163500（元）．
答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．
