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专题 5.4 应用二元一次方程-增收节支（专项训练）
1.某粮食加工厂收购玉米150吨，准备加工后销售，该公司的加工能力是：每天可以精加
工8吨和粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天
粗加工？设安排x天精加工，y天粗加工．所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
2．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500克）和小瓶装（250克）两种产品的销售数
量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22500000克，这些消毒液应该分
装大，小瓶两种产品各多少瓶？设这些消毒液应该分装大瓶x瓶，小瓶y瓶．依题意可
列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵该消毒液的大瓶装（500克）和小瓶装（250克）两种产品的销售数量
（按瓶计算）比为2：5，
∴5x＝2y；
∵该厂每天生产这种消毒液22500000克，
∴500x+250y＝22500000．∴依题意可列方程组 ．
故选：D．
3．天虹商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价 500元．若将上衣价格下调
5%，将裤子价格上调8%，则这样一套运动套装的售价提高0.2%．设上衣和裤子在调价
前单价分别为x元和y元，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：根据题意可列方程组为 ，
故选：C．
4．长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利
润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯
利润为（ ）
A．562.5元 B．875元 C．550元 D．750元
【答案】B
【解答】解：设该商品的进价为x元，标价为y元，由题意得
，
解得：x＝2500，y＝3750．
则3750×0.9﹣2500＝875（元）．
故选：B．5．春节期间，某品牌服装店按标价打折销售，张某去该店买了两件衣服，第一件打 6折，
第二件打5折，共计230元，付款后，店主发现两件衣服的标价牌恰好挂反了，又找给
了张某20元，设第一件衣服的原标价为x元，第二件衣服的原标价为y元，根据题意可
列方程组为 ．
【答案】
【解答】解：设第一件衣服的原标价为x元，第二件衣服的原标价为y元，
∴当店主发现两件衣服的标价牌恰好挂反了，又找给了张某20元时，
可得：0.6x+0.5y＝210；
顾客按照标价牌挂反了时，购买第一件打6折，第二件打5折，共记230元，
得方程0.6y+0.5x＝230；
由此可得方程组 ，
故答案为： ．
6．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和3辆B型车，
销售额为96万元．本周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．若设每辆A
型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，根据题意可列出方程组 ．
【答案】
【解答】解：设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，
根据题意可列出方程组
故答案为： ．
7．2005年某省荔枝总产量为50000吨，销售收入为61000万元．已知“妃子笑”品种售价
为1.5万元/吨，其它品种平均售价为0.8万元/吨，求“妃子笑”和其它品种的荔枝产量
各多少吨．如果设“妃子笑”荔枝产量为x吨，其它品种荔枝产量为y吨，那么可列出
方程组为 ．【答案】
【解答】解：根据荔枝总产量为50000吨，则x+y＝50000；
根据销售收入为61000万元，则1.5x+0.8y＝61000．
列方程组为 ．
8．为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出 180元
钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种
奖品每件15元，乙种奖品每件10元，问该校的购买方案共有多少种？
【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：15x+10y＝180，
∴x＝12﹣ y．
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 或 或
9．某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和3辆B型车，
销售额96万元，本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各是多少？
（2）随着汽车限购限号政策的推行，预计下周起A，B两种型号的汽车价格在原有的基
础上均有上涨，若A型汽车价格上涨m%，B型汽车价格上涨3m%，则同时购买一台A
型车和一台B型车的费用比涨价前多12%，求m的值．
【解答】解：（1）设每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则
，
解得 ．
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；
（2）根据题意，得：18×m%+26×3m%＝（18+26）×12%，
解得：m＝5.5，答：m的值为5.5．
10．小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水
污染的条件和第一个方程，并求解这道应用题．
应用题：小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，由于
该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售 ，于是小东
在促销期间购买了同样的电视一台，空调两台，共花费7200元，求“五一”前同样的
电视和空调每台各多少元？
解：设“五一”前同样的电视每台 x 元，空调每台 y 元，根据题意，得
．
被墨水污染的条件是： ．
被墨水污染的第一个方程是： ．
【解答】解：∵设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，方程②为0.8x+2
（y﹣400）＝7200，
∴（y﹣400）表示每台空调在“五一”促销活动中的售价，
∴被墨水污染的条件是：同样的空调每台降价400元．
∵小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，
∴被墨水污染的第一个方程是：x+y＝5500．
故答案为：同样的空调每台降价400元；x+y＝5500．
11．在当地农业技术部门指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余
12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少10%，结余今年预计比去年多
11400元．
请计算：（1）今年结余 元；
（2）若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为 元，支出为 元．
（以上两空用含x、y的代数式表示）
（3）列方程组计算小明家今年种植菠萝的收入和支出．
【解答】解：（1）由题意可得，
今年结余：12000+11400＝23400（元），
故答案为：23400；
（2）由题意可得，今年的收入为：x（1+20%）＝1.2x（元），支出为：y（1﹣10%）＝0.9y（元），
故答案为：1.2x，0.9y；
（3）由题意可得，
，
解得， ，
则1.2x＝1.2×42000＝50400，0.9y＝0.9×30000＝27000，
答：小明家今年种植菠萝的收入和支出分别为50400元、27000元．
12．在上海新冠疫情防控期间，从仓储中心向市区转运居民必需物资，已知 2辆A型车和
1辆B型车载满货物一次可运货13吨，1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货14
吨．某仓储中心现有45吨物资，计划租用A型车a辆B型车b辆（一种或两种车型均
可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
（1）求1辆A型车和1辆B型车载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）若A型车每辆需租金110元/次，B型车每辆需租金150元/次，请选出最省钱的租
车方案，并求出最少租车费．
【解答】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可
运货y吨，
依题意得： ，
解得： ．
答：1辆A型车载满货物一次可运货4吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨．
（2）依题意得：4a+5b＝45，
∴b＝9﹣ a，
又∵a，b均为自然数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆B型车，所需租车费为150×9＝1350（元）；
方案2：租用5辆A型车，5辆B型车，所需租车费为110×5+150×5＝1300（元）；方案3：租用10辆A型车，1辆B型车，所需租车费为110×10+150×1＝1250（元）．
∵1350＞1300＞1250，
∴最省钱的租车方案为：租用10辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1250元．
13．某校组织七年级师生进行秋游，学校联系旅游公司提供车辆，该公司现有 50座与35
座两种车型，如果用35座的车，会有5人没座；如果全部换乘50座的车，则可少用2
辆车，而且多出15个座位．
（1）问该校一共有多少名师生参加了这次活动？
（2）若35座车的日租金为250元/辆，50座车的日租金为320元/辆，在几种租车方案
中，有哪种方案能使得座位刚好？用这种方案学校要出多少日租金？
【解答】解：（1）设参加互动师生共x人，
由题意得： +2，
即：10x﹣7x＝105+50+700，
解得：x＝285．
所以，参与本次师生互动的人共有285人．
（2）假设租了35座汽车y辆，其余人乘坐50座客车，则所花租金等于：
（285﹣35y）÷50×320+250y＝（285﹣35y）× +250y＝1724+26y，
若要使租金最少，即要使（1724+26y）值最小，
∴当y＝1时，租金为1750元时为最低．
故租了35座汽车1辆，50座客车5辆最合算．
14．商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商
场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利
润＝（售价﹣进价）×销售量]
A B
进价（万元/套） 1.5 1.2
售价（万元/套） 1.65 1.4
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？
【解答】解：（1）设购进A品牌的教学设备x套，B品牌的教学设备y套，依题意得： ，
解得： ．
答：购进A品牌的教学设备20套，B品牌的教学设备30套；
（2）设可以购进m套A品牌的教学设备，n套B品牌的教学设备，
依题意得：1.5m+1.2n＝30，
∴m＝20﹣ n．
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 或 或 ，
∴共有4种进货方案，
方案1：购进16套A品牌的教学设备，5套B品牌的教学设备；
方案2：购进12套A品牌的教学设备，10套B品牌的教学设备；
方案3：购进8套A品牌的教学设备，15套B品牌的教学设备；
方案4：购进4套A品牌的教学设备，20套B品牌的教学设备．
15．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工
具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆A型汽车、3辆B
型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）问A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车
均购买），销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，假如
这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b
万元，
由题意可得 ，
解得 ，
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；
（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，由题意可得25m+10n＝200且m＞0，n＞0，
解得 或 或 ，
∴该公司共有三种购买方案，
当m＝2，n＝15时，获得的利润为：8000×2+5000×15＝91000（元），
当m＝4，n＝10时，获得的利润为：8000×4+5000×10＝82000（元），
当m＝6，n＝5时，获得的利润为：8000×6+5000×5＝73000（元），
由上可得，最大利润为91000元．
16．某班准备购买篮球和足球作为期末奖品．据了解，8个篮球和10个足球的进价共计
2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元．
（1）求篮球和足球每个进价分别是多少元．
（2）该班恰好用3500元购进篮球和足球（两种均购买），求该班共有哪几种采购方
案．
【解答】解：（1）设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每个篮球的进价是150元，每个足球的进价是80元．
（2）设采购m个篮球，n个足球，
依题意得：150m+80n＝3500，
∴m＝ ．
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴该班共有3种采购方案，
方案1：采购18个篮球，10个足球；
方案2：采购10个篮球，25个足球；
方案3：采购2个篮球，40个足球．
17．某运输公司有A、B两种货车，4辆A货车与2辆B货车一次可以运货110吨，6辆A
货车与4辆B货车一次可以运货180吨．（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运
完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费600元，每辆B货车一次
运货花费500元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【解答】解：（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨，
依题意得： ，
解得： ．
∴1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨．
（2）设安排m辆A货车，n辆B货车，
依题意得：20m+15n＝190，
∴n＝ ．
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排2辆A货车，10辆B货车；
方案2：安排5辆A货车，6辆B货车；
方案3：安排8辆A货车，2辆B货车．
选择方案1所需总运费为600×2+500×10＝6200（元）；
选择方案2所需总运费为600×5+500×6＝6000（元）；
选择方案3所需总运费为600×8+500×2＝5800（元）．
∵6200＞6000＞5800，
∴运输方案3费用最少．
答：（1）1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨；（2）共有3
种运输方案，方案1：安排2辆A货车，10辆B货车；方案2：安排5辆A货车，6辆B
货车；方案3：安排8辆A货车，2辆B货车，运输方案3费用最少．
18．某校初二年级两个班的学生要到航天科普教育基地进行社会大课堂活动，其中初二
（1）班有40多人，初二（2）班有50多人，教育基地门票价格如下：
购票张数 1～50张 51～100张 100张以上每张票的价格 12元 10元 8元
原计划两班都以班为单位分别购票，则一共应付1106元，诸回答下列问题：
（1）初二（2）班有多少人？
（2）你作为组织者如何购票最省钱？比原计划省多少钱？
【解答】解：（1）设初一（1）班x人，初一（2）班y人，
根据题意得：12x+10y＝1106，
∴x＝ ，
∵x，y都是整数，且40＜x＜50，50＜x＜100，
∴ 或 ，
答：初一（2）班共有53人或59人；
（2）两个班一起买票更省钱，理由如下：
①8×（48+53）＝808，1106﹣808＝298（元）．
②8×（43+59）＝816，1106﹣816＝290（元）．
这样比原计划节省298元或290元．
19．某地政府急灾民之所需，立即组织12辆汽车，将A、B、C三种救灾物资共92吨一次
性运往灾区，甲、乙、丙三种车型的汽车分别运载A、B、C三种物资，每辆车按运载
量满装物资．假设装运A、B品种物资的车辆数分别为x、y，根据下表提供的信息解答
下列问题：
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
（1）装运C品种物资车辆数为 辆（用含x与y的代数式表示）；
（2）试求A、B、C三种物资各几吨．
【解答】解：（1）装运C品种物资车辆数为（12﹣x﹣y）辆，
故答案为：（12﹣x﹣y）；
（2）依题意，得：5x+8y+10（12﹣x﹣y）＝92，
整理得：5x+2y＝28，
∵x、y为正整数，
∴ 或 ，∴装运C品种物资车辆数为：12﹣2﹣9＝1（辆）或12﹣4﹣4＝4（辆），
∴A、B、C三种物资分别为10吨、72吨、10吨或20吨、32吨、40吨．
20．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000
元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千
米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运
费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：
乙：
根据甲、乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式
右边的方框内补全甲、乙
两名同学所列方程组，
甲：x表示 ，y表示 ；
乙：x表示 ，y表示 ．
（2）甲同学根据他所列方程组解得x＝300，则y＝ ，并解决该实际
问题： ．
【解答】解：（1）甲：x表示产品的重量，y表示原料的重量，
乙：x表示产品销售额，y表示原料费，
甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙方程组右边方框内的数分别为：
15000，97200．
故答案为：产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费．
（2）将x＝300代入原方程组解得y＝400，∴产品销售额为300×8000＝2400000（元），
原料费为400×1000＝400000（元），
∴运费为15000+97200＝112200（元），
∴2400000﹣（400000+112200）＝1887800（元）
答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．
故答案为：400，这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．
21．某通讯器材商场，计划从一厂家购进若干部新型手机以满足市场需求，已知该厂家生
产三种不同型号的手机，出厂价分别是甲种型号手机 1800元/部，乙种型号手机600
元/部，丙种型号手机1200元/部．商场在经销中，甲种型号手机可赚200元/部，乙种型
号手机可赚100元/部，丙种型号手机可赚120元/部．
（1）若商场用6万元同时购进两种不同型号的手机共40部，并恰好将钱用完，请你通
过计算分析进货方案；
（2）在（1）的条件下，求盈利最多的进货方案；
（3）若该商场同时购进三种手机，且购进甲，丙两种手机用了 3.9万元，预计可获得
5000元利润，问这次经销商共有几种可能的方案？最低成本（进货额）多少元？
【解答】解：设甲种型号手机x部，乙种手机y部，丙种手机z部．
（1）根据题意得：① ．
解得 ．
② ．
解得 ．
③ ．
解得 （不合题意，舍去）．
答：有两种购买方案：甲种型号手机30部，乙种手机10部；或甲种型号手机20部，丙
种手机20部；
（2）方案一盈利：200×30+100×10＝7000（元）
方案二盈利：200×20+120×20＝6400（元）所以购买甲种型号手机30部，乙种手机10部所获盈利较大；
（3）由题意建立方程组为： ，
由①得：z＝ ，
由②×10﹣①得：y＝11﹣ x，
∵11﹣ x≥0且x、y、z都是自然数，
∴x可以是15，5，
∴这次经销商共有2种可能的方案，
当x＝15时，y＝8，z＝10，
1800x+600y+1200z＝1800×15+600×8+1200×10＝43800（元）．
当x＝5时，y＝10，z＝25，
1800x+600y+1200z＝1800×5+600×10+1200×25＝45000（元）．
