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专题 5.4 二元一次方程与一次函数
1. 知识与技能：阐述二元一次方程与一次函数的内在联系，能将二元一次方程转化
为一次函数形式，理解方程的解与函数图象上点的坐标的对应关系。
2. 过程与方法：经历从代数到几何的转化过程，掌握用一次函数图象求二元一次方
教学目标
程组近似解的方法，培养数形结合与逻辑推理能力。
3. 情感态度：感受数学知识的关联性与统一性，激发学习兴趣，增强运用数学解决
实际问题的自信心与成就感。
1.重点
（1）核心关系理解：透彻掌握二元一次方程与一次函数在“数”（方程的解）与
“形”（函数图象）上的对应关系。
（2） 图象解法掌握：学会利用一次函数图象求二元一次方程组的近似解，建立
“数”与“形”的转化思维。
教学重难点
2.难点
（1）抽象关系转化：难以深度理解二元一次方程的解集与一次函数图象（直线）之
间的本质对应，数形结合意识薄弱。
（2）方法灵活应用：在实际问题中，无法熟练结合图象法与代数法解决问题，对近
似解的理解与运用存在困难。
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学科网（北京）股份有限公司知识点01 二元一次方程组与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于
考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确
定两条直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象
的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直
线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.
【即学即练1】
1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 和 的图
象如图所示，则关于 的方程组 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，根据
两个一次函数的交点坐标即可得出答案．
【详解】解：由函数图象可知，一次函数 与 的交点坐标为 ，
所以关于 的方程组 的解是 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
2．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，直线 与直线 相交于点 ，
与x轴分别交于A，B两点．
(1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组 的解；
(2)垂直于x轴的直线 与直线 ， 分别交于点C，D，若线段 的长为2，求a的值．
【答案】(1) ， ，
(2) 或
【分析】（1）将点 代入 ，求出点 的坐标，再将点 代入直线 ，求出 的值，即可得到
答案；
（2）根据题意求出 的坐标，结合 的长为2，得到关于 的含绝对值符号的一元一次方程，解方程
即可．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得 ，
．
把点P坐标代入 ，得 ，
，
直线 的表达式为 ，
则方程组 的解为 ；
（2）解：直线 与直线 ： 的交点C为 ，
与直线 ： 的交点D为 ．
，
，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
∴ 或 ，
或 ．
知识点02 二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法）
1) 两点法:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于
k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
【即学即练2】
3．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系 中，一次函数的图像经过点 与点
．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若 为此一次函数图像上一点，且 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与面积问题，熟练掌握以上知识点是解题的
关键．
（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）设点 ，根据 ， ，易得 ，由 可得 ，
解得 或 ，即可确定点 的坐标．
【详解】（1）设一次函数的表达式为 ，
将 ， 代入，
得 ，
解得 ，
一次函数的表达式为 ；
（2）设点 ，
， ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
，即 ，
解得 或 ，
点 的坐标为 或 ．
4．（21-22八年级下·湖南长沙·期中）4月23日是“世界读书日”，甲书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：“与书相伴，遇见更好的为自己”，一次购书中标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元
的部分5折．以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额．
(1)文文购买标价总额50元的书需付款 元；购买标价总额100元的书需付款 元；
(2)求支付金额y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当天，隔壁的乙书店：“阅读改变生活，共创文明长沙”活动：同样标价的书籍均按标价7折出售；若
文文需买250元书，选择哪家书店去购书更省钱？说明你的理由．
【答案】(1)50，90
(2)y关于x的函数解析式为
(3)选择甲书店去购书更省钱，见解析
【分析】本题考查一次函数的应用和有理数的混合运算．
（1）根据题意结合文文购买标价总额直接求得购书款；
（2）根据已知条件分别列出关系式化简即可；
（3）根据书店的活动分别求出两家书店购书所需费用，从而可判断哪家书店省钱．
【详解】（1）解： ，
文文购买标价总额50元的书需付款50元；
∵
，
∴
∵购买标价总额100元书需付款 （元）．
∴故答案为：50，90．
（2）解：当 时， ；
当 时， ；
y关于x的函数解析式为 ．
∴
（3）解：选择甲书店去购书更省钱．理由如下：
在甲书店购买应支付的金额 （元），
在乙书店购买应支付的金额 （元），
，
∵
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学科网（北京）股份有限公司选择甲书店去购书更省钱．
∴
题型01 利用两点式求一次函数的解析式
【典例1】已知一次函数的图象经过 两点．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)判断点 是否在该函数的图象上．
【答案】(1)
(2)点 在一次函数 的图象上
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数的图象和性质，求出一次函数解析式是关键．
（1）利用待定系数法进行解答即可；
（2）根据一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式进行解答即可．
【详解】（1）解：设该一次函数的表达式为 ，
把 代入，
得
解得
所以该一次函数的表达式为 ．
（2）由（1）可知一次函数的表达式为 ．
当 时， ，
所以点 在一次函数 的图象上．
【变式1】已知一次函数的图象经过点 、 ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如果点 在这个一次函数图像上且它的纵坐标为 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数解析式的求解以及函数图像上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法
求一次函数解析式，并将点的坐标代入解析式求解．
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学科网（北京）股份有限公司（1）利用待定系数法，将已知点 、 的坐标代入一次函数 ，求解 和 的值，得到函数解析式；
（2）设出点 的坐标，将其纵坐标代入已求得的一次函数解析式，求解横坐标，得到点 的坐标．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为
把 ， 分别代入 后得：
解得
∴所求一次函数解析式为 ；
（2）解：设
把 代入 ：
，
∴ 点坐标是 ．
【变式2】已知一次函数 的图象经过点 和点 ．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若点 向右平移3个单位后恰好落在直线 上，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征；
（1）先由题意将点 和点 代入 ，从而得到 进而写出函数解析式；
（2）由点的平移特征知点 向右平移3个单位后坐标为 ，再代入表达式 即可．
【详解】（1）解：将点 和点 代入 ，
得 ，解得： ，
一次函数的表达式为 ；
（2）解：点 向右平移3个单位后坐标为 ，
点 在直线 上，
．
【变式3】如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过原点，且与直线 交于点 ，直线
与 轴交于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求直线 的函数解析式；
(2)点 在 轴上，过点 作平行于 轴的直线，分别与直线 交于点 ．若 ，求 的
值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数综合，关键是注意绝对值方程的解法．
（1）设直线 为 ，首先求出点 坐标，然后将点 坐标代入 ，求得 的值，即可获得直线的
函数解析式；
（2）首先求点 的坐标，然后用 表示出点 和点 的坐标，用 表示出 的长，然后解方程即可．
【详解】（1）解： 过点 ，
，
，
，
设直线 为 ，
直线 经过原点，且与直线 交于点 ，
，
直线 为 ；
（2）解：当 时，代入 ，得到 ，
，
，
点 在 轴上，过点 作平行于 轴的直线，分别与直线 交于点 ，
， ，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司或 ．
题型02 图形中求一次函数的解析式
【典例2】如图，已知一次函数 的图象交正比例函数 于 ，交y轴于点 ，交x
轴于点A．
(1)求该一次函数解析式；
(2)求 的面积．
【答案】(1) ；
(2)4
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式；
（1）先求得 ，把 ， 代入 ，再建立方程组求解即可；
（2）先求得 点坐标为 ，结合三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：把 代入 得， ，
解得 ，
∴ ，
把 ， 代入 得，
解得 ，
所以一次函数解析式为 ；
（2）解：把 代入 得 ，
∴ 点坐标为 ，
∴ 的面积 ．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相交于点 ，动点 沿路
线 运动．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求直线 的表达式；
(2)当 的面积是 的面积的 时，求出相应点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关
键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点B的坐标，进而求出 的面积，则可得到 的面积，再分点P在 上和点P在
上两种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：设直线 的表达式为 ，
∵ 和 都在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积是 的面积的 ，
∴ 的面积是9；
设直线 的表达式为 ，则 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴直线 的表达式为 ；
如图所示，当点P在 上时，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
如图所示，当点P在 上时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
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学科网（北京）股份有限公司综上所述，点P的坐标为 或 ．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的另一直
线与x轴交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)若点G是直线 上的动点且在y轴右侧，过点G作x轴的垂线交x轴于点M，与直线 交于点
H，且满足 ．求点G的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等，理解题意，结合图形求解是解
题关键．
（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线 的解析式即可；
（2）分两种情况分别进行解答即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ；
点
，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
（2）解：设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司点G在第一象限时， ，
，
，
解得 ；
∴ ，
∴
点G在第四象限时， ，不合题意，舍去，
综上， ．
【变式3】在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 是线段 上任意一点（
， 两点除外）．
(1)求直线 的解析式；
(2)过点 分别作 于点 ， 于点 ，当点 在 上运动时，你认为四边形 的
周长是否发生变化？并说明理由；
【答案】(1)
(2)不发生变化，理由见解析
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数和几何综合题，求出一次函数解析式是关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设 点的坐标为 ，四边形 的周长 即可得到结论．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解；设直线 的解析式为 ，
由题意可得 ，
解得 ，
的解析式为 ；
（2）不发生变化．理由如下：
设 点的坐标为 ，
， ．
四边形 的周长
四边形 的周长不发生变化
题型03 两直线的交点与二元一次方程组的解
【典例3】如图，函数 与 的图象的交点坐标可以看作方程组 的解．
【答案】
【分析】根据题意分别求出两个一次函数图象的解析式即可得解．
【详解】解：将点 、 代入 得 ，
解得 ，
所以 ，
将点 ， 代入 得 ，
解得 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【变式1】若一次函数 与 的图象交点为 ，则二元一次方程组 的解为
．
【答案】
【分析】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满
足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此联立两函数所得方程组的解，即为两函数
图象的交点坐标．
【详解】解：一次函数 与 的图象交点为 ，
所以 ， 就可以同时满足两个函数解析式，
则 是二元一次方程组 的解，
故答案为： ．
【变式2】在同一平面直角坐系中，直线 与 相交于点 ，则关于x，y的方程组
的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握函数图象交点的坐标是对应方程组的解．
将点 代入直线 上，求出m的值，再代入求出b的值，再利用加减消元法求出二元一次方程
组的解即可．
【详解】解： 直线 过点 ，
，
，且过 ，
，
，
方程组为 ，
得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
将 代入②，解得：
方程组的解为 ，
故答案为：
【变式3】已知一次函数 与 的图象的交点为 ，则关于 的二元一次方程组
的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组解的关系，根据一次函数的交点坐标就是以一次函
数解析式所构成的二元一次方程组的解，即可求解，掌握一次函数的交点与二元一次方程组解的关系是解
题的关键．
【详解】解：∵一次函数 与 的图象的交点为 ，
∴关于 的二元一次方程组 的解为 ，
故答案为： ．
题型04 图象法解二元一次方程组
【典例4】如图，直线 与直线 交于点 ，则关于x，y二元一次方程组 的
解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键，
根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程
组的解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵直线 与直线 交于点 ，
∴二元一次方程组 的解是 ，
故答案为： ．
【变式1】如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则方程组 的解是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的交点坐标就是对应
的二元一次方程组的解是解题的关键．先将点 代入 求出 的值，再根据一次函数图象交点
与二元一次方程组解的关系得出方程组的解．
【详解】解：把 代入 ，得 ，解得 ，
所以点 的坐标为 ．
因为一次函数 与 的图象相交于点 ，
所以方程组 的解是 ．
故答案为： ．
【变式2】如图，一次函数 与 的图象交于点P，则关于x，y的方程组 的解是
．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标是由两条直线的解析式组
成的二元一次方程组的解，进行求解即可．
【详解】解：由图可知： ，
{y=x+1,)
∴关于x，y的方程组 的解是 ；
y=kx+b
故答案为：
【变式3】如图，正比例函数 （ ，且 为常数）的图象与一次函数 （ ，且 、
为常数）的图象交于点 ，则关于 ， 的方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程
组的解，所以只需确定交点 的坐标即可．本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握
两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题的关键．
【详解】解： 正比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，且由图可知点 的坐标为
， ∵
关于 ， 的方程组 的解是 ．
∴
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
题型05 已知两直线求围成的图形面积
【典例5】在平面直角坐标系 中，直线 与y轴交于点C，与x轴交于点B．直线 与直线
相交于点 ，点A的坐标为 ．
(1)求n的值及直线 的解析式；
(2)求 的面积；
(3)点 是直线 上的一点（不与点 重合），且点 的横坐标为 ，求 的面积S与m之间的关
系式．
【答案】(1) ，
(2)24
(3) ．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解
题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线 的解析式；（2）（3）利用三角形的面积公式求值．
（1）将 代入直线 即可求出 值，由此即可得出点 的坐标，由点 、 的坐标利用待定系数法
即可求出直线 的解析式；
（2）令直线 解析式中 求出 值，由此即可得出点 的坐标，再由点 、 的坐标，利用三角形的
面积公式即可得出结论；
（3）过点 作 轴，交 于点 ，由点 的横坐标即可得出点 、 的坐标，进而可得出线段
的长度，再利用三角形的面积公式结合点 、 的纵坐标即可得出 的面积 与 之间的关系式．
【详解】（1）解：∵点 在直线 上，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司设直线 的解析式为 ，
将点 代入 中，
得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
（2）解：令 中 ，则 ，解得： ，
，
，
，
∴ ．
（3）解：过点 作 轴，交 于点 ，如图所示．
∵点 是直线 上的一点（不与点 重合），且点 的横坐标为 ，
，
，
，
．
【变式1】如图，函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，函数 的图象与x轴、
y轴分别相交于点D、点C，直线 ， 相交于点M．
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学科网（北京）股份有限公司(1)请直接写出点M的坐标；
(2)求 的面积；
(3)点N在直线 上，使得 ，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)2
(3) 或 ．
【分析】本题主要考查了求一次函数的交点坐标，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知识是解题
的关键．
（1）联立两条直线的表达式构造方程组，解答即可；
（2）先求出点C和点B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）连接 ，首先求出 ，然后求出 ，然后根据
得到 ，求出 或 ，进而求解即可．
【详解】（1）解：联立 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：把 代入 得， ，
∴点C的坐标为 ，
把 代入 得， ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
∴ 的面积 ；
（3）解：连接 ，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
当 时， ，此时点N的坐标为 ，
当 时， ，此时点N的坐标为 ．
综上可知， 或 ．
【变式2】如图，直线 的解析式为 ，且 与 轴交于点 ，直线 经过点 、 ，直线 ， 交
于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)求直线 的解析式；
(3)求 的面积；
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学科网（北京）股份有限公司(4)在直线 上存在异于点 的另一点 ，使得 是 的面积的 倍，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 的坐标为 或
【分析】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式
是解题关键．
（1）已知 的解析式，令 求出 的值即可；
（2）设 的解析式为 ，由图联立方程组求出 ， 的值；
（3）联立方程组，求出交点 的坐标，继而可求出 ；
（4） 与 底边都是 ，根据 的面积是 面积的 倍，可得点 的坐标．
【详解】（1）解：由 ，令 ，得 ，
，
；
（2）解：设直线 的解析式表达式为 ，
把 ， ； ， 代入表达式 得 ，
解得 ，
直线 的解析式表达式为 ；
（3）解：由 ，
解得 ，
，
，
；
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学科网（北京）股份有限公司（4）解： 与 底边都是 ， 的面积是 面积的 倍，
高就是点 到直线 的距离的 倍，
即 纵坐标的绝对值 ，则 到 距离 ，
点 纵坐标是 ，
， ，
，
解得 ，
，
， ，
，
解得 ，
，
综上所述， 的坐标为 或 ．
【变式3】如图，在平面直角坐标系 中，直线 与直线 交于点 ，直线 与 轴正半轴交于点
B，与y轴交于点 ，直线 与 轴负半轴交于点D，与y轴交于点E，且 ．
(1)分别求出直线 与 的表达式．
(2)已知P是直线 上位于 轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a．
①用含a的式子表示 的面积；
②是否存在点P恰好使得 ?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线 的表达式为 ，直线 的表达式为 ；
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学科网（北京）股份有限公司(2)① ；②点P的坐标为 或 ．
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式．
（1）先求出点B，D的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解；
（2）①由题意求得点P的纵坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
②先求得 ，再利用三角形面积公式列式求解即可．
【详解】（1）解：设直线 的表达式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
令 ，则 ，
解得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）解：①∵P是直线 上位于 轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a且 ，
∴点P的纵坐标为 ，
∴ 的面积 ；
②令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ，
∴点P的坐标为 或 ．
题型06 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题
【典例6】某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次
租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）：
大货车的车辆数（辆） 小货车的车辆数（辆） 累计运货台数（台）
第一次 2 3 21
第二次 5 6 48
(1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？
(2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，
小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你
列出所有货车租用方案．
(3)在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用．
【答案】(1)每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备
(2)共有两种方案：方案一：租大货车6辆，小货车6辆；方案二：租大货车7辆，小货车5辆
(3)租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组应用、方案问题(二元一次方程组的应
用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用，读懂
题意，正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组，以及熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）设每辆大货车能装 台教学设备，每辆小货车能装 台教学设备，根据表格列出二元一次方程组，解
方程组即可得到答案；
（2）设租用大货车 辆，则租用小货车 辆，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（3）设运输费用为 元，则 ，根据一次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设每辆大货车能装 台教学设备，每辆小货车能装 台教学设备，
根据题意可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备；
（2）解：设租用大货车 辆，则租用小货车 辆，
根据题意可得： ，
解得： ，
为整数，
或7，
共有两种方案：
方案一：租大货车6辆，小货车6辆，
方案二：租大货车7辆，小货车5辆；
（3）解：设运输费用为 元，
由（2）可得运输费用为： ，
，
运输费用 随着 的增大而增大，
，
当 时， 最小，为 ，
租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元．
【变式1】某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．已知用 辆 型车和 辆 型车载满货物一次可运货
10吨；用 辆 型车和 辆 型车载满货物一次可运货 吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资，
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 辆 型车和 辆车 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若 型车每辆需租金 元/次， 型车每辆需租金 元/次．物流公司计划共租用 辆车，请写出总租
车费用 （元）与租用 型车数量 （辆）的函数关系式．
(3)如果汽车租赁公司的 型车只剩了 辆， 型车还有很多．在（ ）的条件下，请选出最省钱的租车车
方案，并求出最少租车费用．
【答案】(1) 辆 型车载满货物一次可运货 吨， 辆 型车载满货物一次可运货 吨；
(2) ；
(3)最省钱的租车方案为租 辆 型车， 辆 型车，租车费用最少，最少费用为 元．
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（ ）设 辆 型车载满货物一次可运货 吨， 辆 型车载满货物一次可运货 吨，根据题意列出
方程组，解之即可求解；
（ ）用 型车和 型车的总费用相加即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（ ）求出 的范围，根据一次函数的性质求解即可；
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确列出方程组和一次函数表达式．
【详解】（1）解：设 辆 型车载满货物一次可运货 吨， 辆 型车载满货物一次可运货 吨，
由题意得 ，
解得 ，
答： 辆 型车载满货物一次可运货 吨， 辆 型车载满货物一次可运货 吨；
（2）解：由题意得， ；
（3）解：在一次函数 中，
，
随 的增大而小；
由题意知， ，则当 时，总租车费用最少，
∴最少费用为： 元，
∴ 辆，
答：最省钱的租车方案为租 辆 型车， 辆 型车，租车费用最少，最少费用为 元．
【变式2】列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进 两种树苗共17棵，已知 种树苗每棵
80元， 种树苗每棵60元．
(1)若购进 两种树苗刚好用去1220元，求购进 两种树苗各多少元？
(2)若购进 种树苗 棵，所需总费用为 元．
①求 与 的函数关系式（不要求写出 的取值范围）；
②若购进 种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】(1)购进 种树苗10棵，购进 种树苗7棵
(2)① ；②当购进 种树苗9棵， 种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题
的关键．
（1）设购进 种树苗 棵，购进 种树苗 棵，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）①根据所需总费用 中树苗的费用 中树苗的费用列式可得；②根据一次函数的性质即可得出答
案．
【详解】（1）解：设购进 种树苗 棵，购进 种树苗 棵，
由题意得： ，
解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司购进 种树苗10棵，购进 种树苗7棵；
（2）解：①由题意得： ；
② ，
随 的增大而增大，
购进 种树苗的数量不低于9棵，
当 时， 最小，且最小值为 （元），
此时 ，
∴当购进 种树苗9棵， 种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元．
【变式3】为落实立德树人的根本任务，培养有理想、有本领、有担当的新时代好少年，某校组织八年级
师生开展以“寻根河南 生生不息”为主题，为期一天的“只有河南之旅”研学实践活动，学校计划租用
甲、乙两种不同型号的客车，已知2辆甲型客车和3辆乙型客车可乘坐270人，3辆甲型客车和2辆乙型客
车可乘坐255人．
(1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？
(2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客
车，请写出总租车费用 （元）与租用甲型客车数量 （辆）的函数关系式；
(3)如果客车租赁公司的甲型客车只剩下8辆，乙型客车还有很多．在（2）的条件下，请选出最省钱的租
车方案，并求出最少租车费用．
【答案】(1)每辆甲型客车可载45人，每辆乙型客车可载60人．
(2)
(3)租8辆甲型客车，租4辆乙型客车，最少费用为 元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式；
（3）利用一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设每辆甲型客车可载 人，每辆乙型客车可载 人，
依题意得： ，
解得： ．
答：每辆甲型客车可载45人，每辆乙型客车可载60人．
（2）解：设租甲型客车 辆，则租乙型客车 辆，
依题意得： ．
（3）解：由（2）知： ，
，
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学科网（北京）股份有限公司随着 的增大而减小，
，
当 时，有最小值为 ，
即最省钱的租车方案为：租8辆甲型客车，租4辆乙型客车，最少费用为 元；
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）直线 与直线 交于点 ，则下列各方程组中满
足解为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握两直线的交点是方程组的解是解题的关键．
根据两个函数图象交点的坐标就是二元一次方程组的解，再将两个函数变形即可得出答案．
【详解】解： 可变形为 ， 可变形为 ，
方程组的解为 的是 ，
故选：B．
2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点
A，B，与正比例函数 的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足 ，
则点D的坐标为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 或 B． C． D． 或
【答案】D
【分析】这是一道关于一次函数的综合题，考查了一次函数的交点问题，一次函数与一元一次不等式，求
三角形的面积等，应用割补法表示出不规则三角形的面积是解题的关键．
先将 代入 ，求出点C的坐标；可得一次函数关系式为 ．再求出分别求出点A，B的坐
标，再分两种情况，根据 求出坐标即可．
【详解】解：根据题意，将 代入 ，得 ，
解得 ，
∴点C的坐标是 ；
将点 代入 ，得 ，
解得 ，
∴一次函数关系式为 ．
∵当 时， ；当 时， ，
∴ ， ；
如图，当点D在直线 上方时，设点 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
解得 ，
∴ ；
如图，当点D在直线 下方时，设点 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
综上，点D的坐标是 或 ．
故选：D．
3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线 与直线 的图象，则二元一次方程组
的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方
程组的解．
直接根据图象作答即可．
【详解】解：由图象可知直线 与直线 有公共点 ，
∴二元一次方程组 的解为 ，
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学科网（北京）股份有限公司即二元一次方程组 的解为 ，
故选：A．
4．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象分别为直线 ， ，① ；② ；③关于x，y的方程组
的解为 ．关于①、②和③正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】依据题意，根据直线 经过一、二、三象限，判断 ， ；直线 经过一、二、四象限，
判断 ， ，进而可以判断①②；依据题意，由一次函数 与 的图象
的交点为 ，进而可以判断③．
本题考查了一次函数与二元一次方程 组 ，解题的关键是根据图象确定一次函数中k和b的值．
【详解】解：由题意得，直线 经过一、二、三象限，判断 ， ；直线 经过一、二、四象限，
判断 ， ，
又 结合图象可得， ，
， ，故①正确，②错误；
又 一次函数 与 的图象的交点为 ，
方程组 的解为 ，故③正确．
故选：C．
二、填空题
5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数 的图象经过点 和 ，则此函数的
表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式．把A、B两点的坐标代入函数解析式，就可得到一个关
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学科网（北京）股份有限公司于k、b的方程组，解方程组即可求出k、b的值，从而得到解析式．
【详解】解：把 和 代入 ，
得 ，
解得 ，
则此函数的解析式为： ．
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·全国·周测）如图，一次函数 的图象经过 两点，与x轴交于点
C，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根
据点 ， 的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式是解题的关键．
根据点 ， 的坐标，利用待定系数法可求出直线 的解析式，代入 求出与之对应的 值，进而可
得出点 的坐标及 的长，再利用三角形的面积公式即可求出 的面积．
【详解】解：将 ， 代入 ，
得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
当 时 ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司7．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，函数 与 为常数，且 的图象交
于点 ，则关于 ， 的方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，根据函数图象的交点坐标，即可求出方程组的解．
【详解】解：∵函数 与 为常数，且 的图象交于点 ，
∴关于 ， 的方程组 的解是 ，
故答案为： ．
8．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线 与直线 交于点 ，直线 的解析式为
，直线 的解析式为 ，点 为直线 上的点，且 ，则点 的坐标为
．
【答案】 或
【分析】本题考查一次函数的性质以及一次函数与坐标轴围成的三角形面积问题，注意分类讨论是解题关
键．
根据一次函数的性质求出交点 ， ，结合题意，设点 ，分三种情况分析：
当点D在线段 上时，当点D在 的延长线上时，当点D在 的延长线上时，结合图形，列出方程求
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学科网（北京）股份有限公司解即可．
【详解】解：∵ 直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
，当 时， ，
，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，
当点D在线段 上时，如图所示：
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
当点D在 的延长线上时，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
当点D在 的延长线上时，不符合题意；
综上可得：点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题
9．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点 、 ．
(1)求直线l所对应的函数表达式．
(2)若 过点B，交y轴于点C，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式、一次函数上的点的坐标特征，熟练掌握运用待定系
数法求函数解析式是解决本题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司（1）运用待定系数法求函数解析式．
（2）先确定 点的位置，再求 的面积．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ．
由题意得
直线 的表达式为： ．
（2）解： 过点 ，
．
．
．
当 时， ．
．
， ， ，
， ．
．
10．（2025八年级上·全国·专题练习）某水果经销商从水果种植户购进甲、乙两种水果进行销售，因长期
合作的关系，水果种植户对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出
售．经销商购进甲种水果所需支付金额 （元）与质量 （千克）之间的函数关系如图所示．
(1)请写出当 时， 与 之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于20千克，但又不超过30千克．
如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商支付的总金额 （元）最少？
【答案】(1) ；
(2)购进甲种水果20千克，乙种水果80千克，才能使经销商支付的总金额最少．
【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解
题关键．
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学科网（北京）股份有限公司（1）结合函数图象，利用待定系数法即可得；
（2）根据题意可得，购进乙种水果 千克，表示出 ，然后利用一
次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当 时，设 与 之间的函数关系式为 ，
将 代入，得 ，
解得 ，
所以当 时， 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：根据题意可得，购进乙种水果 千克，
因为当 时， ，
所以当 时， ．
因为 ，
所以 随 的增大而增大，
所以当 时， 最小，此时 ．
答：购进甲种水果20千克，乙种水果80千克，才能使经销商支付的总金额最少．
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线 与直线 相交于点 ．
(1)求出关于 的方程组 的解；
(2)直线 能否也经过点 ？若能，求出 的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线 能经过点 ．
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组的关系：
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学科网（北京）股份有限公司（1）把 代入 可求出 的值；由直线 与直线 相交于点
可得结论；
（2）把 分别代入 和 ，然后联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：将点 代入 ，得 ，
解得 ．
∴直线l和直线m的交点坐标为 ，
即方程组 的解为 ；
（2）解：直线 也经过点P．
理由如下：将点 代入直线 ，得
，
将点 代入直线 ，得
，
联立 解得
∴当 时，直线 也经过点P．
12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ．点 的坐标为
，连接 ．
(1)求 所在直线的函数表达式；
(2)若直线 与 所在直线交于一点 ，并将 分成面积相等的两部分，求点 的坐标．
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)点 的坐标为
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是利用待定系数法求函数表达式以及根据三角形面
积关系确定点的坐标．
（1）先求出点 的坐标，再利用待定系数法求 所在直线的函数表达式；
（2）先求出 的面积，再根据直线 将 分成面积相等的两部分，确定点 的纵坐标，进而
求出点 的坐标．
【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
设 所在直线的函数表达式为 ，
把点 代入，得 ，
解得 ，
所以直线 的函数表达式为 ；
（2）解：因为 ，
所以 ．
当 时，如答图，直线 交 于点 ，且 ，
过点 作 于点 ，所以 ，
即 ，解得 ．
在 中，令 ，得 ，
所以 ；
当 时，直线 经过第二、四象限，与线段 交于一点，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以不存在 的值，使直线 将 分成面积相等的两部分．
综上所述，点 的坐标为 ．
13．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线 的表达式为 ，直线 与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ，且经过点 ，直线 ， 交于点 ．
(1)求直线 的表达式；
(2)写出关于 ， 的二元一次方程组 的解；
(3)求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点坐标，
掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）把点 代入 ，得 ，求出点 ，根据点 ， ，利用待定系数
法即可求出直线解析式；
（ ）根据两条直线交点坐标为 ，即可确定方程组的解；
（ ）两个直线解析式分别令 ，即可求出点 和点 ，即可求出 ，结合点的坐标利
用三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得 ，
解得 ，
∴点 ，
把点 ， 代入 ，得
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）解：∵直线 与 的交点 的坐标为 ，
∴ 的解为 ；
（3）解：在 中，令 ，得 ，
解得 ，
∴点 ，
在 中，令 ，得 ，
解得 ，
∴点 ，
∴ ，
∴ ．
14．（2025八年级上·全国·专题练习）一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出
发，当客车行驶的时间为 时，客车到甲地的距离为 ，轿车到甲地的距离为 与x之
间的函数关系如图所示．
(1)分别求出 与x之间的函数表达式；
(2)当两车相遇时，求客车行驶的时间；
(3)两车相距 时，求客车行驶的时间．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，解一元一次方程，熟练掌握以上知
识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）由题意可知， ，然后解方程即可得出答案；
（3）分2种情况进行讨论， 或 分别解方程即可．
【详解】（1）解：（1）设 ，代入
得到： ，
解得： ，
∴ ，
设 ，代入 ， ，
那么有， ，解得
∴ ；
（2）解：两车相遇时， ，那么有
解得：
故客车行驶的时间为 ；
（3）解：两车相距 时，那么有
或
解得 或
故客车行驶的时间为 或 ．
15．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，直线 与y轴交于点A，直线 与y轴
交于点B，两直线交于点C，且点C的横坐标为2．
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学科网（北京）股份有限公司(1)关于x，y的方程组 的解是______．
(2)求直线的 关系式
(3)求 的面积．
(4)在直线 的图像上存在异于点C的另一点P，使得 与 的面积相等，请求出点P的坐
标．
【答案】(1)
(2)
(3)8
(4)
【分析】本题考查了两直线交点与对应二元一次方程组的解，两直线围成的三角形面积等知识，理解两直
线交点的坐标是对应方程组的解，掌握直线与坐标轴交点的求法是解题的关键；
（1）由点C的横坐标为2求出C的坐标，即可求解；
（2）将C的坐标代入 ，即可求解；
（3）由 和 求出 、 的坐标，由三角形的面积公式即可求解；
（4）由三角形面积公式得 ，由面积相等，即可求解；
【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2，
∴把 代入 ，解得： ，
∴ ，
∴方程组 的解是 ，
故答案为： ；
（2）解：由（1）得： ，
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学科网（北京）股份有限公司把 代入 ，
即 ，
把 代入 ，
即 ；
（3）解：对于直线 ，把 代入得： ，
∴ ，
对于直线 ，把 代入得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴通过观察图像可得 以 为底边的高 ，
∴ ；
（4）解：由题意得： ，
∵ 与 的面积相等，
∴ ，
解得： ，
∵点 是异于点 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，解得： ，
∴ ；
16．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数 ，当 时， ；当 时， ．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若 是该一次函数图象上的两点，且 ，求m的取值范围；
(3)当 时，y的最小值是________；
(4)将一次函数 的图象向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度就可得到正比例
函数 的图象．
【答案】(1)
46 / 50
学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)
(4)上，3
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式和一次函数解析式图象的性质等知识点，解决此题
的关键是熟练掌握一次函数图象的性质；
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据一次函数图象的性质的增减性即可得到答案；
（3）根据一次函数图象的性质的增减性即可得到答案；
（4）根据图象平移的规律得到答案即可；
【详解】（1）解：由题意可知： ，
解得： ，
∴该一次函数的表达式为 ；
（2）解：由（1）可知：一次函数的表达式为 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大；
当 ，
∴ ；
（3）解：由（2）可知： 随 的增大而增大，
∴当 时，其中 时， 有最小值为 ；
故答案为： ．
（4）解：由（1）可知： ，由 的图象向上移动3个单位长度变成 的图象；
故答案为：上，3．
17．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择
了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360
元，购进8件A商品和6件B商品共需270元．
(1)请你算出A，B两种商品每件的进价；
(2)店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品 件，B商品 件．
①求 与 之间的关系式：
②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价
为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与 之间的关系式和该店所获利润的最大
值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元；
(2)① ( ，且 为5的正整数倍)；②W与 之间的关系式为 ( ，且
为5的正整数倍)；该店所获利润的最大值为1900元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程
组，利用一次函数的性质求最值是解题的关键；
（1）设每件A商品的进价是 元，每件B商品的进价是 元，根据题中等量关系可列出关于 ， 的二元
一次方程组，解之即可得出结论；
（2） 根据各数量之间的关系，找出 与 之间的关系式，再结合 ， 均为正整数，即可得出 的取值
范围；
根据各数量之间的关系，找出 与 之间的关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）设每件A商品的进价是 元，每件B商品的进价是 元，
根据题意，得 ，
解方程组，得 ．
答：每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元．
（2）（2） 根据题意，得 ，
，
，
，
，
又 ， 为正整数，
，
与 之间的关系式为 ( ，且 为5的正整数倍) ．
根据题意，得
，
，
，
随 的增大而减小，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 取得最大值，最大值为 ，
答： 与 之间的关系式为 ( ，且 为5的正整数倍)，该店所获利润的最大值为
1900元．
18．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）如图（1），在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴
于 两点，直线 交直线 于 点，交 负半轴于 点，交 轴正半轴于点 ．且 ．
(1)求出点 坐标并求直线 解析式；
(2)如图2，点 是线段 上一动点（不与点 重合）， 交 于点 ，连接 ．
①点 移动过程中，求证： ；
②求 面积的最小值．
【答案】(1) ：
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）求出A、B的坐标，从而求出 的长度，根据 求出 的长度，从
而可求C、E的坐标，利用待定系数法即可求出直线 的解析式；
（2）①证明 即可；② ，其最小值即为 取得最小值时取得，而 时，
取得最小值，根据等面积法 即可求得答案．
本题考查了一次函数、三角形全等的判定与性质、勾股定理、熟练掌握相关定理或性质是解题关键．
【详解】（1）解：对于直线 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为
，
∵ ，
∴
∴
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学科网（北京）股份有限公司设 为 ，则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）①证明：
，
∴在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
②由①知 ．
∵
的面积是 ，
∴当 取得最小值时， 面积取得最小值．
∵
．
当 时， 取得最小值，
利用等面积法： ，
∴ ，
∴ 面积的最小值是 ．
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