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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题5.4分式的加减
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．x2 4
1．（2020•河北区二模）化简 + 的结果是（ ）
x−2 2−x
A．x+2 B．x+4 C．x﹣2 D．2﹣x
4 4
【分析】将 写成− ，则可以按照同分母分式的加减法法则计算，分子进行因式分解，再与分
2−x x−2
母约分即可．
x2 4
【解答】解： +
x−2 2−x
x2 4
= −
x−2 x−2
x2−4
=
x−2
(x−2)(x+2)
=
x−2
＝x+2．
故选：A．
4 a+2
2．（2021春•宁明县期末）计算 + 的结果为（ ）
a−2 2−a
a+2 a+2
A．1 B．﹣1 C． D．
a−1 2−a
【分析】先把分母2﹣a变形为﹣（a﹣2），即通分，再按分式的加减运算法则计算即可．
4 a+2 4−a−2 2−a
【解答】解：原式= − = = =−1．
a−2 a−2 a−2 a−2
故选：B．
x y
3．（2020•临沂）计算 − 的结果为（ ）
x−1 y−1
−x+ y x−y
A． B．
(x−1)(y−1) (x−1)(y−1)
−x−y x+ y
C． D．
(x−1)(y−1) (x−1)(y−1)
【分析】直接通分运算，进而利用分式的性质计算得出答案．
x(y−1) y(x−1)
【解答】解：原式= −
(x−1)(y−1) (x−1)(y−1)
xy−x−xy+ y
=
(x−1)(y−1)−x+ y
= ．
(x−1)(y−1)
故选：A．
1 x2+2x+1
4．（2019秋•章丘区期末）计算：x（1− ）÷ 的结果是（ ）
x2 x
1 x−1 x+1
A． B．x+1 C． D．
x+1 x+1 x
【分析】直接利用分式的性质化简进而得出答案．
(x+1)(x−1) x
【解答】解：原式= •
x (x+1) 2
x−1
= ．
x+1
故选：C．
x−2 2x−1
5．（2019•宁波模拟）化简 + 的结果是（ ）
x−1 1−x
x+3 x+1
A．− B．− C．﹣x﹣1 D．3
x−1 x−1
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
x−2−2x+1
【解答】解：原式=
x−1
−x−1
=
x−1
x+1
=− ，
x−1
故选：B．
a2
6．（2021•商河县校级模拟）计算 −a+1的正确结果是（ ）
a−1
2a−1 2a−1 1 1
A． B．− C． D．−
a−1 a−1 a−1 a−1
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
a2 (a−1) 2
【解答】解：原式= −
a−1 a−1
2a−1
= ，
a−1
故选：A．1 1 2m−mn−2n
7．（2019•扬州一模）已知 − =1，则代数式 的值为（ ）
m n m+2mn−n
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
1 1 2(m−n)−mn
【分析】由 − =1利用分式的加减运算法则得出m﹣n＝﹣mn，代入原式= 计算可得．
m n m−n+2mn
1 1
【解答】解：∵ − =1，
m n
n m
∴ − =1，
mn mn
n−m
则 =1，
mn
∴mn＝n﹣m，即m﹣n＝﹣mn，
2(m−n)−mn
则原式=
m−n+2mn
−2mn−mn
=
−mn+2mn
−3mn
=
mn
＝﹣3，
故选：D．
a 1
8．（2021•河东区一模） − 化简的结果是（ ）
(a−1) 2 (a−1) 2
1 1
A．1 B． C． D．a﹣1
a+1 a−1
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
a−1
=
【解答】解：原式
(a−1) 2
1
= ，
a−1
故选：C．
S −S
9．（2020•宁波模拟）已知公式u= 1 2（u≠0），则公式变形后t等于（ ）
t−1
S −S −u S −S +u u u
A． 1 2 B． 1 2 C． D．
u u S −S −u S −S +u
1 2 1 2
【分析】先两边都乘以t﹣1，再将左边的﹣u移到右边，最后两边都除以u即可得．S −S
【解答】解：∵u= 1 2（u≠0），
t−1
∴ut﹣u＝S ﹣S ，
1 2
∴ut＝S ﹣S +u，
1 2
S −S +u
则t= 1 2 ，
u
故选：B．
1−3x M N
10．（2017秋•旌阳区校级期末）若 = + ，则M、N的值分别为（ ）
x2−1 x+1 x−1
A．M＝﹣1，N＝﹣2 B．M＝﹣2，N＝﹣1 C．M＝1，N＝2 D．M＝2，N＝1
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出M与N
的值．
1−3x M N (M+N)x+N−M
【解答】解： = + = ，
x2−1 x+1 x−1 x2−1
∴M+N＝﹣3，N﹣M＝1，
解得：M＝﹣2，N＝﹣1．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
2 8 2
11．（2021•河南模拟）计算： − = ．
x+2 4−x2 x−2
【分析】先找最简公分母，通分后，再加减．
2 8
【解答】解：原式= +
x+2 x2−4
2 8
= +
x+2 (x+2)(x−2)
2(x−2) 8
= +
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
2x−4+8
=
(x+2)(x−2)
2(x+2)
=
(x+2)(x−2)
2
= ．
x−2
2
故答案为： ．
x−22m 1 1
12．（2020•江岸区校级模拟）计算 − 的结果是 ．
m2−16n2 m+4n m−4n
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
2m m−4n
【解答】解：原式= − ，
(m+4n)(m−4n) (m+4n)(m−4n)
2m−(m−4n)
= ，
(m+4n)(m−4n)
1
= ．
m−4n
1
故答案为： ．
m−4n
2 1 3
13．（2019秋•长白县期末） ， ， 的最简公分母是 1 2 （ x ﹣ y ） x 2 y ．
3x2 (x−y) 2x−2y 4xy
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
2 1 3
【解答】解： ， ， 的公分母是12（x﹣y）x2y．
3x2 (x−y) 2x−2y 4xy
故答案为：12（x﹣y）x2y．
x+1 1 2x
14．（2020•武汉模拟）计算： + 的值为 ．
x2−1 x+1 (x−1)(x+1)
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案
x+1 1
【解答】解： +
x2−1 x+1
x+1 x−1
= +
(x−1)(x+1) (x+1)(x−1)
x+1+x−1
=
(x−1)(x+1)
2x
= ，
(x−1)(x+1)
2x
故答案为 ．
(x−1)(x+1)
−1 2 a
15．把 ， ， 通分后，各分式的分子之和为 2 a 2 + 7 a +1 1 ．
3a+6 a2+2a+1 a2+3a+2【分析】先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行解答即可．
−1 2 a
【解答】解： ， ， 的分母分别为3（a+2）、（a+1）2、（a+1）（a+2），
3a+6 a2+2a+1 a2+3a+2
−1 2 a
所以 ， ， 的最简公分母为：3（a+1）2（a+2），
3a+6 a2+2a+1 a2+3a+2
所 以 −1 −1 −(a+1) 2 ， 2 6(a+2) ，
= = =
3a+6 3(a+2) 3(a+1) 2 (a+2) a2+2a+1 3(a+1) 2 (a+2)
a 3a(a+1) ，
=
a2+3a+2 3(a+1) 2 (a+2)
−1 2 a
所以把 ， ， 通分后，各分式的分子之和为﹣（a+1）2+6（a+2）+3a
3a+6 a2+2a+1 a2+3a+2
（a+1）＝2a2+7a+11，
故答案是：2a2+7a+11．
3x+4 A B
16．（2019秋•垦利区期中）已知 = − ，则4A﹣B的值是 1 3 ．
x2−x−2 x−2 x+1
A B A(x+1)−B(x−2) (A−B)x+A+2B
【分析】先通分得到 − = = ，再根据对应项相等得
x−2 x+1 (x−2)(x+1) x2−x−2
到关于A、B的方程，解方程即可求解．
3x+4 A B A(x+1)−B(x−2) (A−B)x+A+2B
【解答】解：∵ = − = = ，
x2−x−2 x−2 x+1 (x−2)(x+1) x2−x−2
{ A−B=3①
∴ ，
A+2B=4②
①×3+②得4A﹣B＝3×3+4＝13．
故答案为：13．
1 1 5a+7ab+5b 22
17．（2020秋•郧西县期末）已知 + =3，求 = − ．
a b a−6ab+b 3
1 1 a+b 5(a+b)+7ab
【分析】由 + =3知 =3，即a+b＝3ab，整体代入到原式 ，计算可得．
a b ab (a+b)−6ab
1 1
【解答】解：∵ + =3，
a b
a+b
∴ =3，
ab
则a+b＝3ab，5(a+b)+7ab
所以原式=
(a+b)−6ab
5×3ab+7ab
=
3ab−6ab
22ab
=
−3ab
22
=− ，
3
22
故答案为：− ．
3
1 1 1 1 1 1 n
18．（2020秋•大洼区期末）计算： + + + +⋯+ + = ．
2 2×3 3×4 4×5 (n−1)n n(n+1) n+1
【分析】首先把每个加数分成两个数的差的形式；然后应用加法结合律，求出算式的值是多少即可．
1 1 1 1 1 1
【解答】解： + + + +⋯+ +
2 2×3 3×4 4×5 (n−1)n n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − + − +⋯+ − + −
2 2 3 3 4 4 5 n−1 n n n+1
1
＝1−
n+1
n
= ．
n+1
n
故答案为： ．
n+1
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
1 1
（1） +
R R
1 2
2 3
（2） −
12a2 8ab
x+2 x+1
（3） −
x+1 x+2
a−1 1
（4） −
a+1 a
【分析】（1）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的加法法则求出即可；
（2）（1）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可；
（3）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可；（4）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可．
1 1
【解答】解：（1） +
R R
1 2
R2+R
；
= 1
R R
1 2
2 3
（2） −
12a2 8ab
2×2b 3×3a
= −
24a2b 24a2b
4b−9a
= ；
24a2b
x+2 x+1
（3） −
x+1 x+2
(x+2)(x+2)−(x+1)(x+1)
=
(x+1)(x+2)
2x+3
=
(x+1)(x+2)
2x+3
= ；
x2+3x+2
a−1 1
（4） −
a+1 a
(a−1)a−(a+1)
=
(a+1)a
a2−2a−1．
=
a2+a
20．化简下列式子：
x2
（1） −x﹣1；
x−1
1 1
（2） + +1．
x2−x x2+x
【分析】（1）先变形，再通分，最后根据同分母分式相减法则求出答案即可；（2）先分解因式，再通分，最后根据同分母分式相减法则求出答案即可．
x2
【解答】解：（1）原式= −（x+1）
x−1
x2 (x+1)(x−1)
= −
x−1 x−1
x2−(x2−1)
=
x−1
1
= ；
x−1
1 1
（2）原式= + +1
x(x−1) x(x+1)
x+1+(x−1)+x(x+1)(x−1)
=
x(x+1)(x−1)
x3+x
=
x(x+1)(x−1)
x(x2+1)
=
x(x+1)(x−1)
x2+1．
=
x2−1
21．计算：
2a+b a−2b a−b
（1） + − ；
3a2b 3a2b 3a2b
3x 2x−5 3x+1
（2） − − ；
(x−2) 2 (x−2) 2 (2−x) 2
4 y 5x x
（3） + + ；
(x+ y)(x−y) x2−y2 y2−x2
x y
（4） − ．
(x−y) 3 (y−x) 3
【分析】（1）根据同分母的分式减法法则求出即可；
（2）先变形，再根据同分母的分式减法法则求出即可；
（3）先变形，再根据同分母的分式减法法则求出即可；
（4）先变形，再根据同分母的分式减法法则求出即可．(2a+b)+(a−2b)−(a−b)
【解答】解：（1）原式=
3a2b
2a+b+a−2b−a+b
=
3a2b
2a
=
3a2b
2
= ；
3ab
3x 2x−5 3x+1
（2）原式= − −
(x−2) 2 (x−2) 2 (x−2) 2
3x−(2x−5)−(3x+1)
=
(x−2) 2
−2x+4
=
(x−2) 2
2(x−2)
=−
(x−2) 2
2
=− ；
x−2
4 y 5x x
（3）原式= + −
(x+ y)(x−y) (x+ y)(x−y) (x+ y)(x−y)
4 y+5x−x
=
(x+ y)(x−y)
4x+4 y
=
(x+ y)(x−y)
4(x+ y)
=
(x+ y)(x−y)
4
= ；
x−y
x y
（4）原式= +
(x−y) 3 (x−y) 3
x+ y
=
．
(x−y) 34x−4 A B 2A+3B
22．（2019秋•浦东新区期末）已知 = − ，求 的值．
x2+2x−15 x+5 x−3 A−B
【分析】根据分式的运算法则以及待定系数法即可求出答案．
A B A(x−3)−B(x+5) (A−B)x+(−3A−5B) 4x−4
【解答】解：∵ − = = = ，
x+5 x−3 x2+2x−15 x2+2x−15 x2+2x−15
{ A−B=4
∴ ，
−3A−5B=−4
解得：A＝3，B＝﹣1，
2A+3B 2×3−3 3
∴ = = ．
A−B 4 4
23．观察下列各式；
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= − ； = − ； = − ，
(x−1)(x−2) x−2 x−1 (x−2)(x−3) x−3 x−2 (x−3)(x−4) x−4 x−3
1 1 1
①你归纳出的一般结论是 = − ．
(x−n)(x−n−1) x−n−1 x−n
②利用上述结论计算：
1 1 1
+ +⋯+ ．
(x−1)(x−2) (x−2)(x−3) (x−2014)(x−2015)
【分析】①归纳总结得到一般性结论，写出即可；
②利用得出的结论将原式变形，计算即可得到结果．
1 1 1
【解答】解：①根据题意得： = − ；
(x−n)(x−n−1) x−n−1 x−n
② 原 式
1 1 1 1 1 1 1 1 2014
= − + − +⋯− + = − = ．
x−2 x−1 x−3 x−2 x−2014 x−2015 x−2015 x−1 (x−1)(x−2015)
1 1 1
故答案为：① = − ．
(x−n)(x−n−1) x−n−1 x−n
24．（2020秋•渠县校级月考）深化理解：阅读下列材料，并解答问题：
x2−x+3
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
x+1
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意x上述等式成立，{a+1=−1 {a=−2
∴ 解得： ．
a+b=3 b=5
x2−x+3 (x+1)(x−2)+5 5
∴ = =x﹣2+ ．
x+1 x+1 x+1
x2−x+3 5
这样，分式 就拆分成一个整式x﹣2与一个分式 的和的形式．
x+1 x+1
x2+6x−3 4
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 x + 7+ ；
x−1 x−1
2x2+5x−20
（2）已知整数x使分式 的值为整数，则满足条件的整数x的值．
x−3
【分析】（1）利用题干中的方法进行变形即可得出结论；
2x2+5x−20
（2）利用（1）中的方法将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，
x−3
利用整除性质即可得出结论．
【解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b，
则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
{ a−1=6
∴ ，
−a+b=−3
{a=7
解得： ．
b=4
x2+6x−3 (x−1)(x+7)+4 4
∴ = =x+7+ ．
x−1 x−1 x−1
4
故答案为：x+7+ ．
x−1
（2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b，
则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b
＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b
＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，
∵对于任意x上述等式成立，
{ a−6=5
∴ ，
−3a+b=−20
{a=11
解得： ．
b=132x2+5x−20 (x−3)(2x+11)+13 13
∴ = =2x+11+ ．
x−3 x−3 x−3
2x2+5x−20
∵x为整数，分式 的值为整数，
x−3
13
∴ 为整数，
x−3
∴x＝4或16或2或﹣10．
