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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
4 y2 2y
1．（2020春•沙坪坝区校级月考）若x+2y﹣1＝0，则（x− ）÷（1− ）的值为（ ）
x x
1
A．﹣1 B．1 C．2 D．
2
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最
简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
x2−4 y2 x−2y
【解答】解：原式= ÷
x x
(x+2y)(2x−y) x
= •
x x−2y
＝x+2y，
由x+2y﹣1＝0，得到x+2y＝1，
则原式＝1．
故选：B．
a
2．（2019秋•浦东新区期末）若分式 的值总是正数，a的取值范围是（ ）
2a−1
1 1
A．a是正数 B．a是负数 C．a＞ D．a＜0或a＞
2 2
【分析】根据题意列出不等式即可求出a的范围．
【解答】解：由题意可知：a＞0且2a﹣1＞0，或a＜0且2a﹣1＜0，
1
∴a＞ 或a＜0，
2
故选：D．
1
3．（2020秋•北碚区校级期中）已知非零实数x满足x2﹣3x﹣1＝0，则x2+ 的值为（ ）
x2A．11 B．9 C．7 D．5
【分析】根据分式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣3x﹣1＝0，
1
∴x− =3，
x
1 1
∵（x− ）2＝x2+ −2，
x x2
1
∴x2+ −2＝9，
x2
1
∴x2+ =11，
x2
故选：A．
1 1
4．若a+b＝5，ab＝6，则 + 的值是（ ）
a b
5 6 1 1
A． B． C． D．
6 5 11 30
【分析】先通分，再把a+b＝5，ab＝6代入求出答案即可．
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝6，
1 1 a+b 5
∴ + = = ，
a b ab 6
故选：A．
2m+1 m+1
5．（2019•丰台区二模）如果m2+m−√2=0，那么代数式（ +1）÷ 的值是（ ）
m2 m3
A．√2 B．2√2 C．√2+1 D．√2+2
【分析】先化简分式，然后将m2+m的值代入计算即可．
2m+1 m+1
【解答】解：（ +1）÷
m2 m3
2m+1+m❑ 2 m+1
= ÷
m2 m❑ 3
(m+1) 2 m3
= ⋅
m2 m+1
＝m2+m，
∵m2+m−√2=0，∴m2+m=√2，
∴原式=√2，
故选：A．
x−y
6．（2020秋•河北区期末）已知x＝2y．则分式 （x≠0）的值为（ ）
x
1 1
A．− B． C．﹣1 D．1
2 2
【分析】把x＝2y代入分式，再约分计算即可求解．
【解答】解：∵x＝2y，
x−y 2y−y 1
∴ = = ．
x 2y 2
故选：B．
7．（2021•北京二模）若a+b﹣1＝0，则代数式 a2 3b2 的值为（ ）
( −1)⋅
b2 a−b
A．3 B．﹣1 C．1 D．﹣3
【分析】先化简分式，然后将a+b﹣1＝0代入求值．
【解答】解： a2 3b2 a2−b2• 3b2
( −1)⋅ =
b2 a−b b2 a−b
(a+b)(a−b) 3b2
= •
b2 a−b
＝3（a+b）．
∵a+b﹣1＝0，
∴a+b＝1，
∴原式＝3×1＝3．
故选：A．
1
8．（2020秋•鼓楼区校级期末）已知x2﹣3x﹣1＝0，x≠0，那么x2+ =（ ）
x2
A．9 B．10 C．11 D．12
1
【分析】由x≠0，可将方程两边都除以x得出x− =3，再两边平方，继而得出答案．
x
【解答】解：∵x2﹣3x﹣1＝0，且x≠0，1 1
∴x﹣3− =0，即x− =3，
x x
1 1
∴（x− ）2＝9，即x2﹣2+ =9，
x x2
1
∴x2+ =11，
x2
故选：C．
2x−2
9．（2020秋•增城区期末）已知x为整数，且分式 的值为整数，满足条件的整数x可能是（ ）
x2−1
A．0、1、2 B．﹣1、﹣2、﹣3 C．0、﹣2、﹣3 D．0、﹣1、﹣2
【分析】根据分式有意义的条件得到x≠±1，把分式化简，根据题意解答即可．
【解答】解：由题意得，x2﹣1≠0，
解得，x≠±1，
2x−2 2(x−1) 2
= = ，
x2−1 (x+1)(x−1) x+1
2
当 为整数时，x＝﹣3、﹣2、0、1，
x+1
∵x≠1，
∴满足条件的整数x可能是0、﹣2、﹣3，
故选：C．
1 1
10．已知：m2+n2+mn+m﹣n+1＝0，则 + 的值等于（ ）
m n
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】等式左右两边同时乘以2，可化为3个完全平方式的和为0的形式，然后利用非负数的性质求
m、n的值，代入即可求出分式的值．
【解答】解：m2+n2+mn+m﹣n+1＝0变形，得
2m2+2n2+2mn+2m﹣2n+2＝0
即（m+1）2+（n﹣1）2+（m+n）2＝0
∴m+1＝0，n﹣1＝0
解得m＝﹣1，n＝1．
1 1
∴ + =−1+1＝0．
m n
故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上a−3 5 1
11．已知a2+3a﹣1＝0，化简求值： ÷（ −a﹣2）＝ − ．
3a2−6a a−2 3
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后利用整体思想代入求值．
a−3 5 (a+2)(a−2)
【解答】解：原式= ÷[ − ]
3a(a−2) a−2 a−2
a−3 5−a2+4
= ÷
3a(a−2) a−2
a−3 a−2
= ⋅
3a(a−2) (3+a)(3−a)
1
=− ，
3a2+9a
∵a2+3a﹣1＝0，
∴a2+3a＝1，
∴3a2+9a＝3，
1
∴原式=− ，
3
1
故答案为：− ．
3
3m−n 1
12．如果n＝4m≠0，那么代数式 •（2m+n）的值是 ．
4m2−n2 2
【分析】利用平方差公式先将分母分解因式，然后即可将所求式子化简，再将 n＝4m≠0代入化简后的
式子即可解答本题．
3m−n
【解答】解： •（2m+n）
4m2−n2
3m−n
= •（2m+n）
(2m+n)(2m−n)
3m−n
= ，
2m−n
3m−4m −m 1
当n＝4m≠0时，原式= = = ，
2m−4m −2m 2
1
故答案为： ．
2
1 1 xy 1
13．（2021春•沭阳县期末）已知 − =3，则分式 的值等于 − ．
x y x−y 3
【分析】根据已知条件可得y﹣x＝3xy，然后整体代入即可求解．1 1
【解答】解：因为 − =3，
x y
所以y﹣x＝3xy，
xy xy 1
则分式 = =− ．
x−y −3xy 3
1
故答案为：− ．
3
1
14．（2018秋•丹棱县期中）已知x2+2x+1＝0，则x2+ = 2 ．
x2
1
【分析】先根据方程得出x+ =−2，再两边平方即可得出答案．
x
【解答】解：∵x2+2x+1＝0，
1 1
∴x+2+ =0，即x+ =−2，
x x
1
∴x2+2+ =4，
x2
1
∴x2+ =2，
x2
故答案为：2．
2a−1 a−1
15．（2021•海淀区校级模拟）如果a2﹣a﹣1＝0，那么代数式（1− ）÷ 的值是 1 ．
a2 a3
【分析】首先计算括号里面的加法，然后再算括号外的除法，化简后可得答案．
【解答】解：原式＝（a2 2a−1）• a3
−
a2 a2 a−1
(a−1) 2 • a3
=
a2 a−1
＝a（a﹣1）
＝a2﹣a，
∵a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1，
∴原式＝1，
故答案为：1．3x2−2
16．（2020秋•襄城区期末）若x2﹣x﹣1＝0，则 −x＝ 2 ．
x
1
【分析】根据x2﹣x﹣1＝0，可以得到x− =1，然后将所求式子变形，即可求得所求式子的值．
x
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
1
∴x﹣1− =0，
x
1
∴x− =1，
x
3x2−2
∴ −x
x
2
＝3x− −x
x
2
＝2x−
x
1
＝2（x− ）
x
＝2×1
＝2，
故答案为：2．
1 1 1 q p
17．（2020秋•罗庄区月考）已知 + = ，则 + = ﹣ 1 ．
p q p+q p q
【分析】利用分式的基本性质进行通分运算，然后整体代入进行化简求值．
q2+p2 (p+q) 2−2pq
【解答】解：原式= = ，
pq pq
1 1 p+q 1
∵ + = =
p q pq p+q
∴（p+q）2＝pq，
pq−2pq
∴原式= =−1，
pq
故答案为：﹣1．
2 2 7 n m 3
18．（2020秋•崇川区校级月考）已知 + = ，则 + 的值等于 ．
m n m+n m n 2
【分析】先将已知等式利用等式的性质和分式加法运算法则进行变形，然后利用整体思想代入求值．2n+2m 7
【解答】解：由题意： = ，
mn m+n
∴2（m+n）2＝7mn，
7
（m+n）2= mn，
2
7
m2+n2= mn−2mn，
2
3
即m2+n2= mn，
2
3
mn
原式 n2+m2 2 3，
= = =
mn mn 2
3
故答案为： ．
2
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•江油市期末）先化简，再求值： 8 x2 ，其中 1．
÷( −x−2) x=
x2−4x+4 x−2 2
1
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x= 代入化简后的式子即可解答本题．
2
【解答】解： 8 x2
÷( −x−2)
x2−4x+4 x−2
8
x2−(x+2)(x−2)
= ÷[ ]
(x−2) 2 x−2
8 x2−x2+4
= ÷
(x−2) 2 x−2
8 4
= ÷
(x−2) 2 x−2
8 x−2
= ⋅
(x−2) 2 4
2
= ，
x−22 4
1 = =−
当x= 时，原式 1 3．
2 −2
2
20．（2021秋•永定区期末）化简式子（ m2−2m 1） m2−1，并在﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个
+ ÷
m2−4m+4 m2+m
合适的数作为m的值代入求值．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个使得原
分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（ m2−2m 1） m2−1
+ ÷
m2−4m+4 m2+m
＝[m(m−2) ] m(m+1)
+1⋅
(m−2) 2 (m+1)(m−1)
m m
＝（ +1）⋅
m−2 m−1
m+m−2 m
= ⋅
m−2 m−1
2(m−1) m
= ⋅
m−2 m−1
2m
= ，
m−2
∵当m＝﹣1，0，1，2时，原分式无意义，
2×(−2)
∴当m＝﹣2时，原式= =1．
−2−2
21．（2021秋•海淀区期末）已知a2+2a﹣1＝0，求代数式（ a2−1 1 ） 1 的值．
− ÷
a2−2a+1 1−a a2−a
【分析】原式小括号内的式子先进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式＝[(a+1)(a−1) 1 ]•a（a﹣1）
+
(a−1) 2 a−1
a+1 1
＝（ + ）•a（a﹣1）
a−1 a−1
a+1+1
= •a（a﹣1）
a−1＝a2+2a，
∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
∴原式＝1．
22．（2019春•西湖区校级月考）已知（x2+mx+13）（x2﹣4x+n）的展开式中不含x2和x3项．
（1）求m、n的值；
1 1
（2）在（1）的条件下，若a+ =m，求an+ 的值．
a an
【分析】（1）根据（x2+mx+13）（x2﹣4x+n）的展开式中不含x2和x3项，可以求得m、n的值；
1
（2）根据（1）中m、n的值和a+ =m，可以求得所求式子的值．
a
【解答】解：（1）（x2+mx+13）（x2﹣4x+n）
＝x4﹣4x3+nx2+mx3﹣4mx2+mnx+13x2﹣52x+13n
＝x4+（m﹣4）x3+（n﹣4m+13）x2+（mn﹣52）x+13n，
∵（x2+mx+13）（x2﹣4x+n）的展开式中不含x2和x3项，
{ m−4=0
∴ ，
n−4m+13=0
{m=4
解得， ，
n=3
即m的值是4，n的值是3；
（2）由（1）知m的值是4，n的值是3，
1
则a+ =4，
a
1 1 1 1 1 1
an+ =a3+ =（a+ ）（a2−1+ ）＝（a+ ）[（a+ ）2﹣3]＝4×（42﹣3）＝52．
an a3 a a2 a a
23．（2018秋•天河区期末）已知A x2+2x x ，B＝（x+2）（x+4）+1．
= −
x2−1 x−1
（1）化简A，并对B进行因式分解；
（2）当B＝0时，求A的值．
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则可化简 A，再根据多项式乘多项式法则与合并同类
项法则化简B，继而依据完全平方公式可分解B；
（2）由B＝0得出x的值，代入化简后的A的代数式计算可得．x(x+2) x(x+1)
【解答】解：（1）A= −
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
x2+2x−x2−x
=
(x+1)(x−1)
x
=
(x+1)(x−1)
x
= ，
x2−1
B＝x2+4x+2x+8+1
＝x2+6x+9
＝（x+3）2；
（2）当B＝0时，（x+3）2＝0，
解得x＝﹣3，
x
则A=
x2−1
−3
=
(−3) 2−1
3
=− ．
8
24．（2016秋•如皋市期末）（1）化简（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+（a+b）（2a﹣b）；
（2）先化简（ x 1） x2−1 ，然后从﹣1≤x 中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
− ÷ ≤√5
x2+x x2+2x+1
1 1 2
（3）已知 + = ，a+b≠0，求证：ab＝1．
1+a 1+b 1+ab
【分析】（1）先算乘法和除法，再合并同类项．
（2）先将分式化简，根据分母不能为0，可知：x≠0，x≠±1，再取合适的x值代入即可．
（3）将等式进行化简即可求出ab＝1．
【解答】解：（1）（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+（a+b）（2a﹣b）；
＝b2﹣2ab+2a2﹣ab+2ab﹣b2，
＝﹣ab+2a2，
（2）（ x 1） x2−1 ，
− ÷
x2+x x2+2x+1x−x2−x• (x+1) 2 ，
=
x(x+1) (x−1)(x+1)
−x2 x+1
= • ，
x(x+1) x−1
x
=− ，
x−1
∵x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0，
∴x≠±1，
∴可以取x＝2，
2
∴原式=− =−2；
2−1
1 1 2
（3）∵ + = ，a+b≠0，
1+a 1+b 1+ab
1+b+1+a 2+a+b 2
∴ = = ，
(1+a)(1+b) (1+a)(1+b) 1+ab
∴（2+a+b）（1+ab）＝2（1+a）（1+b），
∴2+2ab+a+a2b+b+ab2＝2（1+b+a+ab）＝2+2b+2a+2ab，
∴a2b+ab2＝a+b，
∴ab（a+b）＝a+b，
∵a+b≠0，
∴ab＝1．
