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专题 8.1 直线的方程
目录
题型一： 直线倾斜角、斜率大小判断..........................................................................................5
题型二： 直线的倾斜角和斜率关系..............................................................................................7
题型三： 线段公共点.......................................................................................................................9
题型四： 选择合适的形式确定直线方程....................................................................................12
题型五： 两条直线的平行与垂直................................................................................................14
题型六： 两条直线相交.................................................................................................................16
题型七： 距离问题.........................................................................................................................17
题型八： 对称问题.........................................................................................................................21
题型九： 直线方程的综合应用....................................................................................................24
知识点总结
知识点一、直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所
成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.
(3)范围：直线倾斜角的取值范围是 [0° ， 180°)( 或 [0 ， π)) .
知识点二、直线的斜率
(1)定义：当直线的倾斜角不等于 90°时，我们把这条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直
线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ t an _α. 倾斜角等于90°的直线没有斜率．
(2)过两点直线的斜率公式：过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)的直线的斜率公式为k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
(3)直线的方向向量坐标：若P(x ，y)，P(x ，y)，则直线PP 的方向向量P1P2的坐标为
1 1 1 2 2 2 1 2(x －x ，y －y). 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝，特别地，
2 1 2 1
(1 ， k ) 是l的一个方向向量.
知识点三、斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角 0°＜α 90°＜α
α＝0° α＝90°
(范围) ＜90° ＜180°
斜率
k＝0 k＞0 不存在 k＜0
(范围)
知识点四、直线方程的五种形式
名称 方程的形式 常数的几何意义 局限性
点斜 y － y ＝
0
(x ，y)是直线上一定
0 0 不垂直于x轴(k存在)
点，k为斜率
式 k ( x － x )
0
斜截
k为斜率，b是直线的纵
y ＝ kx ＋ b 不垂直于x轴(k存在)
截距，是点斜式的特例
式
两点
(x ，y)，(x ，y)是直线 不垂直于 x 轴和 y 轴
＝ 1 1 2 2
上两个定点 (x≠x，y≠y)
1 2 1 2
式
截距
a 为横截距，b 为纵截 不垂直于x轴和y轴，且
＋＝1
距，是两点式的特例 不过原点(ab≠0)
式
一般 Ax＋By＋C＝0 A，B，C为系数 任何位置的直线式 (A2＋B2≠0)
特殊地，横截式x＝my＋n表示直线横截距为n，斜率不为零的直线．
知识点五、两条直线的特殊位置关系
(1)平行：对于两条不重合的直线l ，l ，其斜率分别为k ，k ，有l∥l⇔k ＝ k ，特别地，
1 2 1 2 1 2 1 2
当直线l，l 的斜率都不存在时，l 与l 的关系为l ∥ l.
1 2 1 2 1 2
(2)垂直：如果两条直线l，l 的斜率都存在，且分别为k，k，则有l⊥l⇔kk ＝－ 1，特别
1 2 1 2 1 2 1 2
地，若直线l：x＝a，直线l：y＝b，则l 与l 的关系为l ⊥ l.
1 2 1 2 1 2
知识点六、两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就
是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
知识点七、三种距离公式
(1)两点间的距离公式：点P(x ，y)，P(x ，y)两点间的距离为|PP|＝ . 特别地，原点
1 1 1 2 2 2 1 2
O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离为|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式：点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0 0
(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线l ：Ax＋By＋C ＝0与l ：Ax＋By＋C ＝0(C ≠C )
1 1 2 2 1 2
间的距离d＝.
【常用结论与知识拓展】
1．过点P(x，y)，P(x，y)的特殊直线方程
1 1 1 2 2 2
(1)若x＝x，且y≠y 时，直线垂直于x轴，方程为x＝x；
1 2 1 2 1
(2)若x≠x，且y＝y 时，直线垂直于y轴，方程为y＝y；
1 2 1 2 1(3)若x＝x＝0，且y≠y 时，直线即为y轴，方程为x＝0；
1 2 1 2
(4)若x≠x，且y＝y＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0.
1 2 1 2
2．过定点(x，y)的直线系方程
0 0
过定点(x ，y)的直线系方程：y－y ＝k(x－x)和x＝x ，也可以表示为λ(y－y)＋μ(x－x)＝
0 0 0 0 0 0 0
0(λ，μ为参数).
3．两条直线平行、垂直的充要条件
设直线l 与l 的方程分别为Ax＋By＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，Ax＋By＋C ＝0(A ，B
1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
不同时为0)，则
(1)l∥l⇔
1 2
(2)l⊥l⇔AA＋BB＝0.
1 2 1 2 1 2
4．常见直线系方程
(1)过定点(x，y)的直线系方程：y－y＝k(x－x)和x＝x.
1 1 1 1 1
(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(4)过两条已知直线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程：Ax＋By＋
1 1 1 2 2 2 1 1
C ＋λ(Ax＋By＋C )＝0(不包括直线Ax＋By＋C ＝0)和Ax＋By＋C ＝0.
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
5．对称常用结论
(1)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).
(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y).(3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y).
例题精讲
题型一：直线倾斜角、斜率大小判断
【要点讲解】直接由斜率的定义判断大小即可．
【例1】图中的直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，则有
A． B． C． D．
【解答】解：由图象可得， ．
故选： ．
【变式训练1】如图，已知直线 、 、 的斜率分别为 、 、 ，则 、 、
的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：根据函数的图象得： ， ，，
故选： ．
【变式训练2】已知直线 ， ， 的斜率分别是 ， ， ，如图所示，则
A． B． C． D．
【解答】解：设直线 ， ， 的倾斜角分别为： ， ， ．
则 ，
，即 ．
故选： ．
题型二：直线的倾斜角和斜率关系
【要点讲解】①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在，直线倾斜角的范围是[0，
π)，斜率的取值范围是R，同时要知道正切函数在[0，π)上不单调；②求直线的倾斜角主要
根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
【例2】直线 的倾斜角为
A． B． C． D．
【解答】解：由直线的方程可得直线的斜率 ，设直线的倾斜角为 ，且 ，，
所以 ，
所以 ，即 ．
故选： ．
【变式训练1】已知直线经过点 ， ，该直线的倾斜角为
A． B． C． D．
【解答】解：设直线的倾斜角为 ，
则 ，又 ， ，
所以 ，
故选： ．
【变式训练2】已知直线 的倾斜角的余弦值为 ，则实数 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知直线 的斜率一定存在，
设直线倾斜角为 ，则斜率为 ，
由 ，得 ，因此 ．
故选： ．
【变式训练3】直线 的倾斜角的取值范围是
A． ， ， B． ， ，C． ， ， D．
【解答】解：由于直线 ，即 ，故它的斜率为 ， ．
设它的倾斜角为 ，则 ， ．
或 ．
故选： ．
【变式训练4】直线 的倾斜角的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：由直线 的方程可得斜率 ，
可得 ， ，设直线的倾斜角为 ， ， ，
即 ， ，所以 ， ， ．
故选： ．
【变式训练5】已知直线的方程为 ， ，则该直线的倾斜角 的取值
范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由直线的方程可得直线的斜率 ， ，设直线的倾斜角为 ，且
， ，
所以 ， ，
当 ， 时，则 ， ，所以 ， ，则 ， ，
所以 ， ， ．
故选： ．
题型三：线段公共点
【例3】已知 ， ，过点 的直线 与线段 有公共点，则直线
的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， ， ，
所以 ，即直线 的倾斜角为0，
，即直线 的倾斜角为 ，
若直线 与线段 有公共点，则直线斜率的范围为 ， ，
所以直线 倾斜角的范围为 ， ．
故选： ．
【变式训练1】已知点 ， ，若直线 与线段 （含端
点）有公共点，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【解答】解：直线 ，即 ，
则直线 过定点 ，， ， ，
， ，
直线 与线段 （含端点）有公共点，
或 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围为 ．
故选： ．
【变式训练2】已知两点 ， ，过点 的直线 与线段 有公共点，则直
线 的斜率 的取值范围是
A． B． ， ，
C． ， D． ， ，
【解答】解： 点 ， ，过点 的直线 与线段 有公共点，
直线 的斜率 或 ，
的斜率为 ， 的斜率为 ，
直线 的斜率 或 ，
故选： ．【变式训练3】已知两点 ， ，过点 的直线 与线段 有公共点，则直
线 的斜率 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， ， D． ，
【解答】解： 点 ， ， ，
的斜率为 ， 的斜率为 ，
过点 的直线 与线段 有公共点，
直线 的斜率 或 ，
直线 的斜率 或 ．
故选： ．【变式训练4】已知两点 ， ，直线 与线段 有公共点，
则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，即 ，经过定点 ，
， ．
直线 与线段 有公共点，
或 ．
则实数 的取值范围 ， ， ．
故选： ．
题型四：选择合适的形式确定直线方程
【要点讲解】根据题目特征，恰当选择合适的直线方程的形式确定直线方程时，要注意每
一种直线方程形式的“局限性”，以免得出不全面的结果．
【例4】求满足下列条件的直线的点斜式方程：（1）过点 ，倾斜角为 ；
（2）过两点 ， ．
【解答】解：（1）直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 ，
所以直线的点斜式方程为 ；
（2）直线的斜率为 ，
所以直线的点斜式方程为 ．
【变式训练1】求满足下列条件的直线方程．
（1）过点 ， ；
（2）在 轴、 轴上的截距分别为4， ；
（3）过点 ，且在两坐标轴上的截距相等．
【解答】解：（1）由两点式得 ，化简得 ．
（2）由直线方程的截距式得 ，化简得 ．
（3）当直线过原点时，所求直线方程为 ；
当直线不过原点时，设所求直线方程 为 ．
因为直线过点 ，
所以 ，解得 ，
所以所求直线方程为 ，即 ．
所以所求直线方程为 或 ．【变式训练2】已知直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的5倍，分别求满足下列
条件的直线 的方程：
（1）过点 ；
（2）在 轴上的截距为 ；
（3）在 轴上的截距为3．
【解答】解：直线 的斜率为 ，其倾斜角为 ，
则直线 的倾斜角为 ，即直线 的斜率为 ，
（1）直线 的斜率为 ，过点 ，
则直线 的方程为 ，即 ．
（2）直线 的斜率为 ，在 轴上的截距为 ，
则直线 的方程为 ，即 ．
（3）直线 的斜率为 ，在 轴上的截距为3，
则直线 的方程为 ．
题型五：两条直线的平行与垂直
【要点讲解】1．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y的系数不能
同时为零这一隐含条件．
2在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
【例5】若 ，2， ， ， ， ， ， ， 三点共线，则
A． B． C． D．2
【解答】解：因为 ，2， ， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
因为 ， ， 三点共线，所以向量 共线，即 ，解得 ，
，所以 ．
故选： ．
【变式训练1】已知直线 ， ，若 ，则 的值为
A． B．6 C．4 D．
【解答】解：因为 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练2】已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是
A． B． C． D．
【解答】解：因为直线 与直线 平行，
所以 ，解得 ，
直线 可变形为 ，所以两平行线之间的距离 ．
故选： ．
【变式训练3】已知直线 与 互相平行，则它们之间的距离
为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ，且 ，解得 ，
此时直线 ，即 ，
直线 ，
所以它们之间的距离 ．
故选： ．
【变式训练4】已知直线 ， ， ，若
且 ，则 值为
A． B．10 C． D．2
【解答】解： 且 ，
， ，
解得 ， ．
经过验证满足条件，
则 ．
故选： ．
【变式训练5】已知直线 ， ， ，若 ，且 ，则 的值为
A．4 B． C．2 D．0
【解答】解：直线 ， ， ，
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ；
所以 ．
故选： ．
【变式训练6】已知直线 过点 ，且与直线 垂直，则直线 的一般式方
程为
A． B． C． D．
【解答】解：直线 与直线 垂直，
则可设直线 为 ，
直线 过点 ，
，解得 ，
．
故选： ．
题型六：两条直线相交
【要点讲解】求两条直线的交点坐标，一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组，
以方程组的解为坐标的点即为交点．同时，亦可以采用过两条已知直线Ax＋By＋C ＝0与
1 1 1
Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程：Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋C )＝0(不包括直线Ax
2 2 2 1 1 1 2 2 2 2
＋By＋C ＝0)和Ax＋By＋C ＝0，通过待定系数法确定．
2 2 2 2 2【例6】设直线 与直线 的交点为 ，则 到直线
的距离为
A． B． C． D．
【解答】解：联立 ，解得 ， ．可得 ，
直线 ，化为： ，
因此 到直线 的距离 ．
故选： ．
【变式训练1】已知直线 与直线 相
交于点 ，则 到直线 的距离 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：直线 过定点 ，直线 过定点 ，且 ， 互相垂
直，
则点 的轨迹是以 ， 为半径的圆 ，圆心为 ，半径为
，
圆心到直线 的距离为： ，
故 ，即 ．
故选： ．【变式训练2】已知两条直线 和 的交点为 ，则过点 且与
直线 垂直的直线 的方程为
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 设 所 求 直 线 的 方 程 为 ， 即
，
因为直线 与 垂直，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
故选： ．
题型七：距离问题
【要点讲解】特别注意的是两点间距离公式的“几何特征”，从而将问题化为几何最值问
题，所以必须能够在复杂的题目情境中识别出来，并将问题转化，体现数形结合的数学思
想. 平面上的两点P(x ，y)，P(x ，y)间的距离|PP|＝，若给两点坐标我们用此公式很容
1 1 1 2 2 2 1 2
易得到两点间的距离，若给了能够联想到两点间距离公式，这里就提醒我们要掌握知识的
“直用”也要会“逆用”．
点到直线的距离，可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一
般式．两平行线间的距离，利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意
一点到另一条直线的距离；或利用两平行线间的距离公式d＝.
【例7】若点 到直线 的距离不大于3，则 的取值范围是
A． B． ， C． ， D．
【解答】解：直线 可化为 ，点 到直线 的距离不大于3，
，解得 ，
故 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【变式训练1】若实数 ， ， ， 满足 ， ，则 的
最小值为 ．
【解答】解： ， ，
令 ， ，
转化为两个函数 与 的点之间的距离的最小值，
，设与直线 平行且与曲线 相切的切点为 ， ，
则 ， ，解得 ，可得切点 ，
切点 到直线 的距离 ．
的最小值为 ．
故答案为： ．
【变式训练2】已知实数 、 、 、 满足 ， ，其中 是自然对数的底
数，则 的最小值为
A．2 B． C． D．8【解答】解： 看作直线上的点与函数的图象的点的距离，转化为平行线
之间的距离．
的斜率是 ，
由 ，可得 ，解得 ．当 时， ，
的最小值为： 看作直线 ，
与 之间的距离： ．
故选： ．
【变式训练3】设点 在直线 上，点 在曲线 上，线段 的中点
为 ， 为坐标原点，则 的最小值为 ．
【解答】解：由题可设 ， ， ， ，
则 ，则 ，
即 ，
即 的最小值为 ， 到 ， 距离平方的最小值，
其中点 在曲线 上， 在直线 上，
的最小值为在曲线 上与直线 平行的切线的切点到直线
的距离，
设切点为 ， ，因为曲线导数 ，
则 ，解得 ，所以切点为 ，所以 ，所以 ．
故答案为： ．
【变式训练4】直线 与直线 平行，那么该两平行线之间
距离是
A．0 B． C． D．
【解答】解： 且 ，解得 ，
两直线方程为 与直线 ，
即 与 ，
故两平行线之间的距离为 ．
故选： ．
【变式训练5】已知直线 与直线 平行，则 与
之间的距离为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：直线 与直线 平行，
可得 ，直线 化为 ，即 ，
所以 与 之间的距离： ．
故选： ．【变式训练6】已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离为
A． B． C． D．
【解答】解： 直线 与直线 平行，
，求得 ，
故两条平行直线 与直线 ，
则它们之间的距离为 ，
故选： ．
【变式训练7】若平面内两条平行线 与 间的距离为
，则实数
A． B．2 C． 或2 D． 或
【解答】解：当 时，可得 ， ，由 ，则此时不符合题
意；
当 时，可得直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
由 ，整理可得 ，则 ，解得 或 ，
当 时，可得 ， ，整理 的方程可得 ，
由两平行直线之间的距离 ，所以此时符合题意．
当 时，可得 ， ，整理 的方程可得 ，由两平行直线之间的距离 ，所以此时不符合题意；
综上可得 ．
故选： ．
题型八：对称问题
【要点讲解】关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x ，y)及N(x，y)关于P(a，b)对称，
1 1
则由中点坐标公式得②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取
两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程
或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须
存在.
【例8】已 知 直 线 过 定 点 ， 则 点 关 于 直 线
对称的点的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：直线 过定点 ，
即： ，解得 ，
故 ；
由于点 关于 对称，
故对称点的坐标为 ．
故选： ．
【变式训练1】已知直线 ，直线 关于直线 对称的直线为 ，
则 必过点A． B． C． D．
【解答】解：直线 ，整理得 ，故 ，解得
，即直线 恒过点 ；
设点 关于直线 的对称点的坐标为 ，
故 ，解得 ，即直线 必过点 ．
故选： ．
【变式训练2】不论实数 取何值时，直线 都过定点 ，则直线
关于点 的对称直线方程为
A． B． C． D．
【解答】解：由 可得： ，
令 ，解得： ， ，所以定点 的坐标为 ，
设直线 关于点 的对称直线方程为 ，其中 ，
因为 到直线 与 的距离相等，
所以 ，解得 ，即 （舍去）或 ，
故直线 关于点 的对称直线方程为 ．
故选： ．【变式训练3】已知直线 与直线 关于点 对称，则实数 的
值为
A．2 B．6 C． D．
【解答】解：设直线 关于点 对称，设点 关于点 的对称点
的坐标为 ，
所以 ，解得 ，故所求的直线方程为 ，整理得
；
即 与直线 是同一条直线，
故 ， ．
故选： ．
【变式训练4】已知点 ， ，点 关于直线 的对称点为点 ，在
中， ，则 面积的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：设 的坐标为 ， ，则 ，则 的坐标为
，
设 ， ，
即 ．所以 ．
故选： ．
【变式训练5】已知直线： 与 关于直线 对称， 与 平行，
则
A． B． C． D．2
【解答】解：直线 关于直线 对称的直线，即是交换 ， 位置所得，
即 ， ， 相互平行， 的斜率为 ，
，
故 ．
故选： ．
题型九：直线方程的综合应用
【例9】已知 的顶点 ， ， ．
（1）求 边上的高所在直线的方程；
（2）求 的外接圆的方程．
【解答】解：（1） ， ，
直线 的斜率 ，边上的高所在直线的斜率为2，
边上的高所在直线过点 ，
边上的高所在直线的方程为 ，即 ．
（2） ，
，
即 为以角 为直角的直角三角形，
故 的外接圆以 中点 为圆心， 为半径，
的外接圆的方程为 ．
【变式训练1】在菱形 中，对角线 与 轴平行， ， ，点 是线段
的中点．
（1）求点 的坐标；
（2）求过点 且与直线 垂直的直线．
【解答】解：（1） 四边形 为菱形， 轴， 轴， 可设 ，
， ，
解得： （舍 或 ， ．
， 中点坐标为 ，
由于 ，且 是 ， 中点， 点坐标为 ，
（2） ， ，由中点坐标公式得 ，
又 ， ，
则过点 且与直线 垂直的直线斜率为：6，
所求直线方程为： ，即 ．【变式训练2】已知 的顶点 ，边 上的中线 所在的直线方程为
，边 上的高 所在的直线方程为 ．求：
（1）直线 的一般式方程；
（2）求 的边 的长．
【解答】解：（1）边 上的高 所在的直线方程为 ，斜率 ，故
，
直线 方程为 ，即 ；
（2）设 ， ，则 的中点坐标为 ，
则 ，解得 ，即 ，
故 ．
【变式训练3】直线 经过点 ，直线 ．
（1）若 ，求 的直线方程；
（2）若 ，求 的直线方程．
【解答】解：（1）设与直线 平行的直线为 ，
因为直线 经过点 ，则 ， ．
所求直线方程为 ．
（2）设与直线 垂直的直线为 ，
因为直线 经过点 ，则 ，解得 ．所求直线方程为 ．
【变式训练4】已知 的三个顶点是 ， ， ．
（1）求边 上的中线所在直线的方程；
（2）求 的面积．
【解答】解：（1） ， ，
中点为 ，
所以中线斜率为 ，
所以边 上的中线所在直线的方程为 即 ．
（2） ，
边 所在的直线方程为 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ．
