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专题 13 不等式选讲
1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：
(1)a+b+2c≤3；
1 1
(2)若b=2c，则 + ≥3．
a c
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c) 2，利用柯西不等式即可得证；
1 1
(2)由(1)结合已知可得00，b>0，c>0，由(1)得a+b+2c=a+4c≤3，
1 1
即00，b>0，c>0，则 a2>0 ， b2>0 ， c2>0 ，
3 3 3
a2+b2+c2 √3 3 3 3
所以
≥
a2⋅b2⋅c2，
3
1 1 1 3 3 3 √1
即(abc)2≤
3
，所以abc≤
9
，当且仅当 a2=b2=c2，即a=b=c=3
9
时取等号．
(2)
证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以b+c≥2√bc，a+c≥2√ac，a+b≥2√ab，
3 3 3
a a a2 b b b2 c c c2
所以 ≤ = ， ≤ = ， ≤ =
b+c 2√bc 2√abc a+c 2√ac 2√abc a+b 2√ab 2√abc
3 3 3 3 3 3
a b c a2 b2 c2 a2+b2+c2 1
+ + ≤ + + = =
b+c a+c a+b 2√abc 2√abc 2√abc 2√abc 2√abc
当且仅当a=b=c时取等号．
1．(2022·吉林长春·模拟预测(文))设函数 ．
(1)求不等式 的解集；(2)设a，b是两个正实数，若函数 的最小值为m，且 ．证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)先去掉绝对值，变为分段函数，再求解不等式的解集；
(2)利用第一问的分段函数得到函数图象，求出函数 的最小值，也就是 的值，再用柯
西不等式进行证明．
(1)
解：由已知得： ，
又 ，所以 或 或 ，
解得 或 或
综上，不等式 的解集为 ；
(2)
解：由(1)可知 ，所以 的函数图象如下所示：所以当 时 取值最小值 ，所以 ，
即 ，又 、 ，
由柯西不等式： ，
所以 ，当且仅当 时取等号．
2．(2022·云南昆明·模拟预测(理))设a，b，c均为正数，且 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)依题意可得 ，则 ，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
(2)利用柯西不等式证明即可；
(1)
解： ， ， 都是正数，且 ， ，当且仅当 即 时等号，
即 的最小值为 ；
(2)
证明：由柯西不等式得
即 ，
故不等式 成立，
当且仅当 时等号成立；
3．(2022·安徽淮南·二模(文))已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)设函数 在 上的最小值为m，正数a，b满足 ，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)讨论 和 分别求解；
(2)当 时，易知函数 的最小值为 ，可得 ，代入整理得
，再利用基本不等式．
(1)
原不等式可化为① ；② ．
解①得 ；
解②得 ，
所以原不等式的解集为 ．
(2)
当 时， 在 上单调递增
所以函数 的最小值为 ，于是 即
，
当且仅当 时等号成立
即
4．(2022·贵州贵阳·二模(理))已知
(1)证明： ；
(2)已知 ， ，求 的最小值，以及取得最小值时的 ， 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为 ， 或
【解析】
【分析】
(1)利用作差法证明不等式；
(2)令 代入(1)中不等式可得最小值及取得最小值是 值．
(1)因为
，
所以 ，当且仅当 时取等号．
(2)
由(1)可得 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时取等号．
由 ，解得 或 ．
综上， 的最小值为 ，此时 ， 的值为 或 ．
5．(2022·四川·宜宾市教科所三模(理))已知函数 ．
(1)解关于 的不等式 ；
(2)设 ， 的最小值为 ，若 ， ， ，
求 的最小值．
【答案】(1)
(2)4
【解析】
【分析】
(1)分段讨论去掉绝对值符号，解不等式组可得答案；(2)根据绝对值三角不等式性质求得 ，可得 ， ，利用
，可得到 ，解得答案.
(1)
由已知得 ，可化为
或 ，即 或 ，
∴ 解集为 ；
(2)
，
当 时，取“=”，∴ 的最小值为
∵ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
当 时取“=”，∴a的最小值为4．
6．(2022·新疆·三模(文))已知 .
(1)设 的最小值为m，求m的值：
(2)若a， 且 ，求证： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)化简函数解析式，结合函数的单调性求其最小值即可；(2)化简不等式的左边的代数式，
利用基本不等式完成证明.
(1)
当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
所以函数 的最小值为2，故 .
(2)
由(1) ，
(当且仅当 时等号成立)，
所以
7．(2022·甘肃·武威第六中学模拟预测(理))设函数
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)已知不等式 的解集为 ， ， ， ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意，分 ， ， 三种情况讨论求解即可；
(2)由题知 的解集为 ，进而得 ，再根据基本不等式求解即可.
(1)
解：当 时， ，
所以，当 时， ，解得该不等式无解；
当 时， ，解得；
当 时， ，解得 .
综上，不等式 的解集为
(2)
解：因为不等式 的解集为 ，
所以， 的解集为 ，即 的解集为
如图，要使 的解集为 ，则 ，解得 或
因为 ， ，即 .
因为 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
8．(2022·河南·模拟预测(文))设不等式 的解集为 ．
(1)求 ；
(2)若 、 ，且 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)分 、 、 三种情况解不等式 ，综合可得出集合 ；
(2)计算可得 ，利用基本不等式可求得 的最小值.
(1)
解：当 时，则有 ，无解；
当 时，则有 ，解得 ，此时 ；当 时，则有 ，该不等式恒成立，此时 .
综上所述， .
(2)
解：由已知可得 ， ，
，
当且仅当 时，上述不等式中的等号同时成立，
故 的最小值为 .
9．(2022·河南·模拟预测(文))已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)当 时，求得函数 的解析式，分段讨论，即可求解；(2)当 时，化简函数
的解析式，利用单调性，可得 ，结合题意列出不等式，即可求解.
(1)当 时，函数 ，
当 时，由 ，可得 ，解得 ；
当 时，由 ，可得 ，解得 ；
当 时，由 ，可得 ，此时解集为空集.
综上所述：不等式 的解集为： .
(2)
因为 ，所以函数 ，根据一次函数单调性可知，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
由 恒成立，得 ，即 ，
解得 ，所以实数 的取值范围为： .
10．(2022·黑龙江·哈尔滨三中三模(理))函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为k，且实数a，b，c满足 .求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用零点分段讨论法即可求解；
(2)由绝对值三角不等式可得 的最小值 ，进而有 ，又
，从而利用柯西不等式
即可证明.
(1)
解：当 时， ，所以原不等式即为 ，解得 ；
当 时， ，原不等式即为 ，解得 ；
当 时， ，原不等式即为 ，解得 .
综上，原不等式的解集为 .
(2)
解：因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
由柯西不等式可知
，
所以 (当 ， ， 时等号).
11．(2022·江西赣州·二模(理))不等式 对于 恒成立．
(1)求证： ；
(2)求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】【分析】
(1)利用绝对值三角不等式可得出 ，再利用基本不等式可证得结论成立；
(2)利用基本不等式可得出 ， ，
，再结合不等式的基本性质可证得结论成立.
(1)
证明：因为 对于 恒成立，
又因为 ，所以 ，
由基本不等式可得 ， ， ，
所以， ，
所以 ，所以 .
(2)
证明：因为 ，所以 ，所以 ，
同理可得： ， ，
所以 ，
所以 .
12．(2022·甘肃兰州·一模(理))已知函数 ．
(1)当 时，解关于 的不等式 ；
(2)当 时， 的最小值为 ，且正数 满足 ．求 的最小值．【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)分别在 、 和 的情况下，去掉绝对值符号，解不等式可得结果；
(2)利用绝对值三角不等式可求得 ，化简所求式子，利用基本不等式可得结果.
(1)
当 时， ；
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解集为 ；
当 时， ，解得： ；
综上所述：不等式 的解集为 .
(2)
当 时， (当且仅当 时取等
号)， ，即 ；
(当且仅当 时取等号)，
即 的最小值为 .
13．(2022·全国·模拟预测(理))已知函数 的最小值为2.
(1)求a的取值范围；
(2)若 ，求a的取值范围.【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据绝对值的三角不等式求解即可；
(2)根据公式法解绝对值不等式即可.
(1)
因为 ，所以 ，
又因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以a的取值范围是 .
(2)
， ，
由 及 得 ，
即 ，即 或 ，
解得 ，又因为 ，所以a的取值范围是 .
14．(2022·安徽·南陵中学模拟预测(理))已知函数
(1)求不等式 的解集；
(2)若 .不等式 恒成立，求实数k的取值范围
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用零点分段讨论去掉绝对值符号即可解不等式；
(2)作出函数 的大致图象，不等式 恒成立转化为函数 的图象要
在直线 的上方，即需直线 的斜率大于等于直线 的斜率，且小于
等于直线 的斜率，即可求出答案.
(1)
，
当 时，由 得 ；
当 时，由 得 ；
当 时， 恒成立.
因此不等式 的解集为
(2)
作出函数 的大致图象，如图所示.
根据题意，函数 的图象要在直线 的上方，即需直线 的斜率大于等于直线 的斜率，且小于等于直线 的斜率
又 ，
所以k的取值范围是 .
15．(2022·河南·西平县高级中学模拟预测(理))已知 ， ．
(1)当a＝2时，求不等式 的解集；
(2)若函数 的最小值为4，求实数a的值．
【答案】(1)
(2) 或
【解析】
【分析】
(1)分别在 ， ， 条件下化简不等式，求其解集；(2)利用绝对值三角不
等式求出函数 的最小值的表达式，列方程求a的值．
(1)
当a＝2时， ，
当 时， ，此时解 ，得 ；
当 时， ，此时解 ，得 ；
当 时， ，此时解 ，得 ．
综上，不等式 的解集为 ．
(2)
，当且仅当 时等号成立．
由 ，得 或 ．
