文档内容
专题6.1 反比例（知识解读1）
【直击考点】
【学习目标】
1. 理解反比例函数的概念和意义；
2.掌握反比例的图像和性质，并能解决相关问题
【知识点梳理】
考点1 反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成
反比例.即 ，或表示为 ，其中 是不等于零的常数.
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量，
是函数，自变量 的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变量
的取值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函数图象与 轴、 轴无交点.
（2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是－1，在解决
有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.
（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数 ，从而得到反比例函数的解析式.
考点2 反比例的图像和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第
二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠
近两坐标轴.
注意：
（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点( )也在此图象上，所以反比
例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数 ( 为常数， ) 中，由于 ，所以两个分支都
无限接近但永远不能达到 轴和 轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的
值，填写 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小
到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐
标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由 的符号决定的：当 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，
值随 值的增大而减小；
（2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，
值随 值的增大而增大；
注意：
（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比
例函数的增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数
的增减性，也可以推断出 的符号.
（2）反比例的图像关于原点的对称
【典例分析】
【考点1 反比例的定义】
【典例1】 写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.
（1）当圆锥的体积是150cm³时，它的高 （cm）与底面积 （cm²）的函数关系式；
（2）功是常数 时，力 与物体在力的方向上通过的距离 的函数关系式；
（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数 与该班同学
每天制作的数量 之间的函数关系式；
【变式1-1】写出下列函数关系式，判断其是否是反比例函数，如果是，指出比例系数．
(1)功是50J时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系；
(2)如果密铺地面使用面积为xcm2的长方形地砖，铺得的面积为acm2(a＞0)，那么所
需的地砖块数y与x之间的函数关系．【变式1-2】一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之
增加y平方厘米，那么y与x之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
【变式 1-3】（2022 春•满洲里市期末）下列函数中，变量 y 是 x 的反比例函数的是
（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝3x
【典例2】（2021春•蓬莱市期末）如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【变式2-1】（2021•南岗区校级开学）下面每个选项中的两种量成反比例的是（ ）
A．A和B互为倒数
B．圆柱的高一定，体积和底面积
C．被减数一定，减数和差
D．除数一定，商和被除数
【变式2-2】（2021秋•寿光市校级月考）已知函数 是反比例函数，则n
的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2
【变式2-3】（2020秋•合肥期末）已知y与x成反比例函数，且x＝2时，y＝3，则该函数
表达式是（ ）
A．y＝6x B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣
【考点2 反比例的图像和性质】
【典例3】（2022•香坊区校级三模）对于反比例函数 y＝﹣ ，下列说法不正确的是（
）
A．它的图象在第二、四象限
B．点（1，﹣3）在它的图象上
C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减少
【变式3-1】（2022•阿城区模拟）已知反比例函数y＝﹣ 的图象，当x＞0时，这个函数
图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式3-2】（2022春•昆山市校级期末）已知反比例函数y＝﹣ ，下列说法不正确的是
（ ）
A．图像经过点（2，﹣4）
B．图像分别在二、四象限
C．y≤1时，x≥﹣8
D．在每个象限内y随x增大而增大
【典例4】（2021秋•高新区校级期末）若反比例函数y＝ 的图象在其所在的每一象限
内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＜6 B．k＞﹣6 C．k＞6 D．k＜﹣6
【变式4-1】（2021秋•老河口市期末）如果反比例函数 （a是常数）的图象所在的
每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
【变式4-2】（2022春•东海县期末）反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则a
的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a≥﹣3
【变式4-3】（2022•青山区模拟）已知反比例函数 ，当x＜0时，y随x增大而减小，
则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例5】（2022•广东）点（1，y ），（2，y ），（3，y ），（4，y ）在反比例函数y
1 2 3 4
＝ 图象上，则y ，y ，y ，y 中最小的是（ ）
1 2 3 4
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4
【变式5-1】（2020秋•东莞市校级期末）已知点（3，y ），（﹣2，y ），（2，y ）都在
1 2 3反比例函数 的图象上，那么y ，y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 1 2 3 2 1 1 2 3 1 3 2
【变式5-2】（2021秋•福清市期末）已知点A（x ，y ），B（x ，y ）都在反比例函数y＝
1 1 2 2
﹣ 的图象上，若0＜x ＜x ，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A．y ＜y ＜0 B．0＜y ＜y C．y ＜y ＜0 D．0＜y ＜y
1 2 1 2 2 1 2 1
【变式5-3】（2022•河池模拟）已知反比例函数y＝ ，当﹣2＜x＜﹣1，则下列结论正
确的是（ ）
A．﹣3＜y＜0 B．﹣2＜y＜﹣1 C．﹣10＜y＜﹣5 D．y＞﹣10
【典例6】正比例函数y＝2x和反比例函数 的一个交点为（1，2），则另一个交点为
（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
【变式6-1】如图，双曲线y＝ 与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣
3），则A点坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【变式6-2】如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝ 的图象交于A、B、C、D四点，
已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（ ）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【变式6-3】（2022•荆州一模）平面直角坐标系中，下列函数的图象关于原点对称的是（
）
A．y＝x2 B． C．y＝2x﹣4 D．y＝﹣x（x＞0）
专题6.1 反比例（知识解读1）
【直击考点】
【学习目标】
2. 理解反比例函数的概念和意义；
2.掌握反比例的图像和性质，并能解决相关问题
【知识点梳理】
考点1 反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成
反比例.即 ，或表示为 ，其中 是不等于零的常数.一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量，
是函数，自变量 的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变量
的取值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函数图象与 轴、 轴无交点.
（2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是－1，在解决
有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.
（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例
系数 ，从而得到反比例函数的解析式.
考点2 反比例的图像和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第
二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠
近两坐标轴.
注意：
（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点( )也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数 ( 为常数， ) 中，由于 ，所以两个分支都
无限接近但永远不能达到 轴和 轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的
值，填写 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小
到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐
标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由 的符号决定的：当 时，两支曲线分别位于第一、
三象限内，当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，
值随 值的增大而减小；
（2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，
值随 值的增大而增大；
注意：
（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比
例函数的增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数
的增减性，也可以推断出 的符号.
（2）反比例的图像关于原点的对称
【典例分析】
【考点1 反比例的定义】
【典例1】 写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.
（1）当圆锥的体积是150cm³时，它的高 （cm）与底面积 （cm²）的函数关系式；
（2）功是常数 时，力 与物体在力的方向上通过的距离 的函数关系式；
（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数 与该班同学每天制作的数量 之间的函数关系式；
【解答】
（1）∵hS=450，∴ ，∴比例系数为450.
（2）∵Fs=W，∴ ，∴比例系数为 .
（3）∵xy=1000，∴ ，∴比例系数为1000.
【变式1-1】写出下列函数关系式，判断其是否是反比例函数，如果是，指出比例系数．
(1)功是50J时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系；
(2)如果密铺地面使用面积为xcm2的长方形地砖，铺得的面积为acm2(a＞0)，那么所
需的地砖块数y与x之间的函数关系．
【解答】(1)∵Fs＝50，
∴F＝ ，是反比例函数，比例系数为50；
(2)∵xy＝a，
∴y＝ ，是反比例函数，比例系数为a.
【变式1-2】一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之
增加y平方厘米，那么y与x之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
【答案】D
【解答】解：根据题意得：y＝（x+2）2﹣22＝x2+4x，
即y与x之间满足的函数关系是二次函数，
故选：D．
【变式 1-3】（2022 春•满洲里市期末）下列函数中，变量 y 是 x 的反比例函数的是
（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝3x
【答案】C
【解答】解：A、为正比例函数，不符合题意；
B、y与x+1成反比例，不符合题意；
C、符合反比例函数的定义，符合题意；D、为正比例函数，不符合题意；
故选：C．
【典例2】（2021春•蓬莱市期末）如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【答案】B
【解答】解：∵y＝x2m﹣1是反比例函数，
∴2m﹣1＝﹣1，
解之得：m＝0．
故选：B．
【变式2-1】（2021•南岗区校级开学）下面每个选项中的两种量成反比例的是（ ）
A．A和B互为倒数
B．圆柱的高一定，体积和底面积
C．被减数一定，减数和差
D．除数一定，商和被除数
【答案】A
【解答】解：A．因为A和B互为倒数，所以A×B＝1，符合题意；
B．圆柱的体积÷底面积＝高，不是乘积，不符合题意；
C．减数+差＝被减数，不是乘积，不符合题意；
D．被除数÷商＝除数，不是乘积，不符合题意．
故选：A．
【变式2-2】（2021秋•寿光市校级月考）已知函数 是反比例函数，则n
的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2
【答案】A
【解答】解：∵函数 是反比例函数，
∴n2﹣2＝﹣1，且n+1≠0，
解得n＝1，
故选：A．
【变式2-3】（2020秋•合肥期末）已知y与x成反比例函数，且x＝2时，y＝3，则该函数表达式是（ ）
A．y＝6x B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣
【答案】C
【解答】解：把x＝2，y＝3代入 得k＝6，
所以该函数表达式是y＝ ．
故选：C．
【考点2 反比例的图像和性质】
【典例3】（2022•香坊区校级三模）对于反比例函数 y＝﹣ ，下列说法不正确的是（
）
A．它的图象在第二、四象限
B．点（1，﹣3）在它的图象上
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减少
【答案】D
【解答】解：A、k＝﹣3＜0，
∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
B、∵x＝1时，y＝﹣ ＝﹣3，
∴点（1，﹣，3）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
C、k＝﹣3＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意；
D、k＝﹣3＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【变式3-1】（2022•阿城区模拟）已知反比例函数y＝﹣ 的图象，当x＞0时，这个函数
图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴比例函数y＝﹣ 的图象，当x＞0时，位于第四象限．
故选：D．
【变式3-2】（2022春•昆山市校级期末）已知反比例函数y＝﹣ ，下列说法不正确的是
（ ）
A．图像经过点（2，﹣4）
B．图像分别在二、四象限
C．y≤1时，x≥﹣8
D．在每个象限内y随x增大而增大
【答案】C
【解答】解：A、当x＝2时，y＝﹣4，即反比例函数y＝﹣ 的图像经过点（2，﹣
4），说法正确；
B、因为反比例函数y＝﹣ 中的k＝﹣8，所以图像分别在二、四象限，说法正确；
C、y≤1时，x≤﹣8或x＞0，故C说法不正确；
D、因为反比例函数y＝﹣ 中的k＝﹣8，所以在每个象限内y随x增大而增大，说法正
确；
故选：C
【典例4】（2021秋•高新区校级期末）若反比例函数y＝ 的图象在其所在的每一象限
内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＜6 B．k＞﹣6 C．k＞6 D．k＜﹣6
【答案】C
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，
∴6﹣k＜0，
解得：k＞6，
故选：C．
【变式4-1】（2021秋•老河口市期末）如果反比例函数 （a是常数）的图象所在的
每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（ ）A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
【答案】D
【解答】解：∵反比例函数 （a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增
大而减小，
∴a﹣2＞0，
解得：a＞2，
故选：D．
【变式4-2】（2022春•东海县期末）反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则a
的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a≥﹣3
【答案】A
【解答】解：∵反比例函数 的图象分布在第二、四象限，
∴a+3＜0，
解得：a＜﹣3．
故选：A．
【变式4-3】（2022•青山区模拟）已知反比例函数 ，当x＜0时，y随x增大而减小，
则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：∵反比例函数 ，当x＜0时，y随x增大而减小，
∴2﹣a＞0，
解得：a＜2，
故a的值可能是1．
故选：A．
【典例5】（2022•广东）点（1，y ），（2，y ），（3，y ），（4，y ）在反比例函数y
1 2 3 4
＝ 图象上，则y ，y ，y ，y 中最小的是（ ）
1 2 3 4
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4【答案】D
【解答】解：∵k＝4＞0，
∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵（1，y ），（2，y ），（3，y ），（4，y ）在反比例函数y＝ 图象上，且1＜2＜
1 2 3 4
3＜4，
∴y 最小．
4
故选：D．
【变式5-1】（2020秋•东莞市校级期末）已知点（3，y ），（﹣2，y ），（2，y ）都在
1 2 3
反比例函数 的图象上，那么y ，y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 1 2 3 2 1 1 2 3 1 3 2
【答案】A
【解答】解：∵k＝﹣6＜0，
∴图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∴y ＞0，y ＜y ＜0，
2 3 1
∴y ＜y ＜y ，
3 1 2
故选：A．
【变式5-2】（2021秋•福清市期末）已知点A（x ，y ），B（x ，y ）都在反比例函数y＝
1 1 2 2
﹣ 的图象上，若0＜x ＜x ，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A．y ＜y ＜0 B．0＜y ＜y C．y ＜y ＜0 D．0＜y ＜y
1 2 1 2 2 1 2 1
【答案】A
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣ 中k＝﹣2＜0，
∴在同一个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（x ，y ）与点B（x ，y ）都在反比例函数y＝﹣ 的图象上，且0＜x ＜x ，
1 1 2 2 1 2
∴y ＜y ＜0，
1 2
故选：A．
【变式5-3】（2022•河池模拟）已知反比例函数y＝ ，当﹣2＜x＜﹣1，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣3＜y＜0 B．﹣2＜y＜﹣1 C．﹣10＜y＜﹣5 D．y＞﹣10
【答案】C
【解答】解：∵k＝10，且﹣2＜x＜﹣1，
∴在第三象限内，y随x的增大而减小，
当x＝﹣2时，y＝﹣5，
当x＝﹣1时，y＝﹣10，
∴﹣10＜y＜﹣5，
故选：C．
【典例6】正比例函数y＝2x和反比例函数 的一个交点为（1，2），则另一个交点为
（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
【答案】A
【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数 的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
【变式6-1】如图，双曲线y＝ 与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣
3），则A点坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【答案】B
【解答】解：∵点A与B关于原点对称，
∴A点的坐标为（2，3）．
故选：B．【变式6-2】如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝ 的图象交于A、B、C、D四点，
已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：把x＝1代入y＝ ，得y＝3，故A点坐标为（1，3）；
∵A、B关于y＝x对称，则B点坐标为（3，1）；
又∵B和C关于原点对称，
∴C点坐标为（﹣3，﹣1），
∴点C的横坐标为﹣3．
故选：B．
【变式6-3】（2022•荆州一模）平面直角坐标系中，下列函数的图象关于原点对称的是（
）
A．y＝x2 B． C．y＝2x﹣4 D．y＝﹣x（x＞0）
【答案】B
【解答】解：A、y＝x2，关于y轴对称，此选项不符合题意；
B、 ，两个分支处在一、三象限，关于原点对称，此选项符合题意；
C、y＝2x﹣4，过一、三、四象限，此选项不符合题意；
D、y＝﹣x（x＞0），第四象限的角平分线，此选项不符合题意．
故选：B．
