专题6.1反比例函数中的面积问题（强化）（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题 6.1 反比例函数中的面积问题 【例题精讲】 【例1】如图，点 是反比例函数 的图象上任意一点，过点 作 轴， 垂足为 ，若 的面积等于3，则 的值等于 A． B．6 C． D．3 【解答】解： 的面积等于3， ， 而图象在第二象限， ， ， 故选： ． 【例2】如图，点 在反比例函数 的图象上，过点 作 轴于点 ，交 反比例函数 的图象于点 ，连接 ， ，则 面积为 A．4 B．5 C．10 D．20【解答】解： 点 在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数 的图象上， 轴， ， ， ， 的面积为：5， 故选： ． 【例3】如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，与 轴相交于 点． （1）求一次函数的表达式； （2）求 的面积； （3）在直线 上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出 点的坐标，若不存 在，请说明理由． 【解答】解：（1） 点 在反比例函数 上， ，解得 ， 点 的坐标为 ， 又 点 也在反比例函数 上，，解得 ， 点 的坐标为 ， 又 点 、 在 的图象上， ， 解得 ， 一次函数的解析式为 ． （2）直线 与 轴的交点为 ， 点 的坐标为 ， ； （3）令 ，得 ， 解得 ， ， ， 设 ， ， ， 解得 或6， 或 ．【题组训练】 2．如图所示，若反比例函数 的图象经过点 ， 轴于 ，且 的面 积为6，则 的值为 A．6 B．12 C． D． 【解答】解： ， ， ， 反比例函数的图象在第二象限， ， ， 故选： ． 4．两个反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，设点 在 上， 轴于点 ，交 于点 ， 轴于点 ，交 于点 ，则四边形 的面 积为 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解： 轴， 轴，， ， 四边形 的面积 ． 故选： ． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的面积为6，点 ， 分别在 轴， 轴上， 点 在第三象限，对角线 ， 交于点 ，若反比例函数 的图象经过点 ， 则 的值为 A． B． C． D．3 【解答】解：过点 作 于点 ，如图所示： 则 ， 在矩形 中， ， ， ， ， ， ， ，矩形 的面积为6， 的面积为3， 的面积为 ， ， 点 在第三象限， ， 故选： ． 6．如图，点 在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数 的图 象上，且 轴， ，垂足为点 ，交 轴于点 ，则 的面积为 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：设点 的坐标为 ， 点 在反比例函数 的图像上，且 轴， ，垂足为点 ，交 轴于点 ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ， ， 的面积为： ， 故选： ．7．如图，双曲线 经过 斜边 的中点 ，与直角边 交于点 ， 过点 作 于点 ，连接 ，若 的面积是6，则 的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解： 中， ， ， 为 斜边 的中点 ， 为 的中位线， ， ． ， ， 由 ，得 ， 解得 ． 故选： ． 8．如图，反比例函数 的图象与矩形 的边分别交于点 、 ，且 ，点 、 分别在 、 轴上，若 的面积为3，则 的值为A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：连接 ． 、 是反比例函数 的图象上的点， 轴于 ， 轴于 ， ． ， ， ， ， 是 的中点． ， 解得 ． 故选： ． 9．如图，在平面直角坐标系 中，点 是函数 图象上的一个动点，过点 作 轴轴交函数 的图象于点 ，点 、 在 轴上 在 的左侧， 且 ，连接 、 ．这关于四边形 的面积的结论正确的是A．8 B．12 C．24 D．四边形 的面积无法确定 【解答】解：利用 、 ， 点 是函数 图象上的一个动点，过点 作 轴，交函数 的图象于点 ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 轴， ， ， ， ， 故选： ．10．如图，矩形 与反比例函数 是非零常数， 的图象交于点 ， ， 与反比例函数 是非零常数， 的图象交于点 ，连接 ， ．若四边形 的面积为3，则 A．3 B． C． D． 【解答】解： 点 、 均在反比例函数 是非零常数， 的图象上， ， 矩形 的顶点 在反比例函数 是非零常数， 的图象上， ， ， ，， 故选： ． 11．如图，点 在双曲线 上，点 在双曲线 上， 轴，则 的面积等 于 A．1.5 B．2 C．3 D．6.5 【解答】解：延长 交 轴于点 ． ， ， 则 ． 故选： ． 12．如图，反比例函数 的图象上有一点 ， 轴于点 ，点 在 轴上， 的面积为6，则 的值为A． B．12 C．6 D． 【解答】解：设 的坐标是 ，则 ， ， 中， 边上的高是 ， 的面积为6，即 ， ． 故选： ． 13．如图，在平面直角坐标系中， 是反比例函数 图象上第三象限上的点，连结 并延长交该函数第一象限的图象于点 ，过点 作 轴交函数 的图象于 点 ，连结 ．若 的面积为3，则 的值为 A．3 B． C．4 D．7 【解答】解：连接 ，延长 ，交 轴于点 ， 是反比例函数 图象上第三象限上的点，连结 并延长交该函数第一象限的图象 于点 ，、 关于原点 成中心对称， ， 的面积为3， ， 轴， 轴， ， ， ， ， 故选： ． 14．如图，在函数 的图象上任取一点 ，过点 作 轴的垂线交函数 的图象于点 ，连接 ， ，则 的面积是 A．3 B．5 C．6 D．10 【解答】解： 点 在函数 的图象上，， 又 点 在反比例函数 的图象上， ， ， 故选： ． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图象交于 ， 两点，过点 作 轴的平行线，交函数 的图象于点 ，连接 ，则 的面积为 A．2.5 B．5 C．6 D．10 【解答】解：由 解得 或 ，， ， ， ， 轴，函数 的图象过点 ， 点的横坐标为： ，纵坐标为 ， 的面积为： ， 故选： ． 16．如图，已知点 是线段 的中点，点 在反比例函数 的图象上，点 在反比 例函数 的图象上，则 的面积为 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， 点 在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数 的图象上， ， ， 轴， 轴， 轴，， 点 是线段 的中点， ， 设点 坐标为 ，则 ， ， 故选： ． 17．如图，点 ， 、 ， 都在反比例函数 上，且 ， ．分别过点 、 向 轴、 轴作垂线段，垂足分别为 、 、 、 ， 与 相交于点 ．如果四边形 的面积为2，五边形 的面积为14，那么 的 值为 A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解： ， ， ， ， ， ，四边形 的面积为2，， 即 ， ． 故选： ． 18．如图， ， 分别是反比例函数 与 的图象上的点，且 轴，过点 作 的垂线交 轴于点 ，连接 ，则 的面积为 A．2 B．3 C．4 D．8 【解答】解：设点 的坐标为 ， ， 轴， 设点 的坐标为 ， ， 则 ， 故选： ． 19．如图，菱形 的顶点分别在反比例函数 和 图象上，且边长为 ， 则菱形 的面积为A． B． C． D． 【解答】解：连接 、 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， 如图所示： 则有 ， ， 在菱形 中， ， 菱形 的顶点分别在反比例函数 和 图象上， 与 、 与 关于原点对称， 、 经过点 ， ， ， ， ， ， ， 分别在反比例函数 和 图象上，， ， 设 ， ， 菱形边长为 ， 根据勾股定理，得 ， 解得 ， ， ， ， ， 菱形 的面积为 ， 故选： ． 20．如图， ， 分别是 轴的负半轴和正半轴上的动点， ， 分别是反比例函数 和 图象上的动点，且四边形 是矩形，则矩形 的面 积可表示为 A． B． C． D． 【解答】解：记 与 轴的交点为点 ， 四边形 是矩形， 四边形 和四边形 为矩形， 点 和点 分别在反比例函数 和 图象上，， ， ， 故选： ． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于点 ， ，点 在 轴上，连接 ，交 轴于点 ，若 的面积为10，则 的值为 A． B． C．12 D．15 【解答】解： 点 在 轴上， ， 的面积为10， 点 的横坐标为4， 把 代入 得， ， ， 点 在双曲线 上，， 故选 ． 22．如图，直线 和双曲线 交于 、 两点， 是线段 上的点（不与 、 重 合），过点 、 、 分别向 轴作垂线，垂足分别为 、 、 ，连接 、 、 设 的面积为 、 的面积为 、 的面积为 ，比较 、 、 的大小 关系是 A． B． C． D． 【解答】解：如图，设 与双曲线的交点为 ，连接 ， 由于点 、点 、点 在反比例函数 图象上， 所以 ，而 ， 即 ， 故选： ． 23．如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，平行四边形 的顶点 在反比例函数 的图象上，顶点 在反比例函数 的图象上，顶点 在 轴的负半轴上．若 平行四边形 的面积是5，则 的值是 A．2 B．1 C． D． 【解答】解：设 ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形 的面积是5， ， 解得 ， 故选： ． 24．如图， ， 是反比例函数 图象上的两点，过点 作 轴，交 于点 ， 垂足为 ．若 为 的中点，则 的面积为A．1.5 B．2 C．3 D．4 【解答】解：如图，过点 作 轴于点 ， 点 、 是反比例函数 图象上的两点，且 轴于 ， 轴于点 ， ， 为 的中点， ， 又 ， ， ， 即 ， ， ， 故选： ． 25．两个反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点 在 的图象上， 轴于点 ，交 的图象于点 ， 轴于点 ，交 的图象于点 ，当点 在 的图象上运动时，以下结论不正确的是 A． 与 的面积相等 B． 与 始终相等 C．四边形 的面积不会发生变化 D．当点 是 的中点时，点 一定是 的中点 【解答】解：由反比例函数系数 的几何意义判断各结论： ． 与 的面积相等；正确，由于 、 在同一反比例函数图象上，则两三角 形面积相等，都为 ，不符合题意； ． 与 始终相等；错误，不一定，只有当四边形 为正方形时满足 ， 符合题意； ．四边形 的面积不会发生变化；正确，由于矩形 是 、而三角形 、三 角形 为定值，则四边形 的面积只与 有关，不符合题意； ．连接 ，点 是 的中点， 则 和 的面积相等， 的面积 的面积 ， 与 的面积相等， 与 的面积相等， 和 面积相等， 点 一定是 的中点，不符合题； 故选： ．26．如图，点 、 在函数 的图象上，直线 分别与 轴、 轴交于点 、 ，且 ，则 的面积是为 A． B． C．3 D．6 【解答】解：设点 ， ， 的坐标为 ， 过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，则 ， ， ， 点 和点 在反比例函数图象上， ， ， ， ，， 故选： ． 27．如图 ， 的顶点 ， 在函数 的图象上，点 ， 在 轴正半轴上， ， ， ，设 ， 的面积分别为 ， ， 若 ，则 的值为 A．2 B． C． D．3 【解答】解：如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， ， ， ， ， ， 设 ， ，则点 ，点 ， 点 、 在反比例函数 的图象上， ，即 ，， ， ， ， ， 故选： ． 28．如图，过 轴上任意一点 作 轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图 象交于 点和 点，若 为 轴上任意一点，连接 、 ，则 的面积为 A．3 B．4 C．5 D．8 【解答】解：连接 、 ， 轴， ， 点和 点分别在反比例函数 和 的图象上，， ， ， ， 故选： ． 29．如图，在反比例函数 的图象上有点 ， ， ，它们的横坐标依次为1， 3，6，分别过这些点作 轴与 轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为 ， ．若 则 的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解： ， ， ， ， ，． 故选： ． 30．如图， 中， ， ，它的面积为 6， 与 轴的夹角为 ，双曲线 经过点 ，则 的值为 A． B． C． D． 【解答】解：在 中， ， ， 设 ，则 ， 如图，过点 作 轴于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为6， 的面积为 ．， ． 故选： ． 二．解答题（共10小题） 31．如图，在矩形 中， ， 两点分别在 轴的负半轴和 轴的正半轴上．反比例 函数 的图象经过点 ，一次函数 的图象与反比例函数的 图象交于 ， 两点，已知点 的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求 的面积． 【解答】解：（1） 反比例函数 的图象经过点 ， ， 反比例函数为 ， 点 在反比例函数的图象上，点 的横坐标为2， ，把 、 的坐标代入 得 ，解得 ， 一次函数的表达式为 ； （2） ． 32．如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ，与 反比例函数 的图象交于点 ．以 为对角线作矩形 ，使顶点 、 落 在 轴上（点 在点 的右边）． （1）求一次函数的解析式； （2）求点 的坐标以及反比例函数的解析式． （3）求矩形 的面积． 【解答】解：（1） 一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ，解得 ， 一次函数的解析式为 ； （2）作 轴于 ， ， 点坐标 ， ，， ， 四边形 是矩形， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 点 在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数的解析式 ； （3） ， 点坐标 ， ， ， ， 四边形 是矩形 ， ， 矩形 的面积为10． 33．如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，连接 ， ，延长 交反比例函数图象于点 ． （1）求一次函数 的表达式与反比例函数 的表达式； （2）当 ，时，直接写出自变量 的取值范围为 或 ； （3）点 是 轴上一点，当 时，请直接写出点 的坐标为 ． 【解答】解：（1）将 ， 代入 得 ， 解得 ， 一次函数为 ， 将 代入 得 ，解得 ， 反比例函数的解析式为 ； （2）由图象可知，当 时，自变量 的取值范围为： 或 ， 故答案为 或 ； （3）由题意可知 ， ，把 代入 得， ，解得 ， ， ， ， ， ，即 ， ， 或 ， 故答案为 或 ． 34．如图，一次函数 的图象与反比例函数 在第一象限的图象交于 和 两点，与 轴交于点 ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求出另一个交点 的坐标，并直接写出当 时，不等式 的解集； （3）若点 在 轴上，且 的面积为5，求点 的坐标．【解答】解：（1）把点 代入 ，得 ， 把 代入反比例函数 ， ； 反比例函数的表达式为 ； （2）解 得 或 ， ， 由图象可知，当 时，不等式 的解集 或 ； （3）在直线 中，令 ，则 ， ， 设 ， ， 的面积为5， ， ， 或 ，或 ． 35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，一次函数 的图象与 轴交于点 ． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式 的解集； （3）点 是 轴上一点，且 的面积等于 面积的2倍，求点 的坐标． 【解答】解：（1） 反比例函数 的图象经过点 ， ， ， ， 解得 ， ， ， ， 把 、 的坐标代入 得 ， 解得 ， 一次函数的解析式为 ． （2）观察图象，不等式 的解集为： 或 ．（3）连接 ， ，由题意 ， ， 设 ， 由题意 ， 解得 ， 或 ． 36．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ， ． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图像直接写出不等式 的解集； （3）若点 为 轴上一点， 的面积为10，直接写出点 的坐标． 【解答】解：（1） 反比例函数 的图象经过 ， ．反比例函数的解析式为 ． 在 上，所以 ． 的坐标是 ． 把 、 代入 ．得 ， 解得 ， 一次函数的解析式为 ． （2）由图象可知：不等式 的解集是 或 ； （3）把 代入 得： ， ， 的坐标是 ， 为 轴上一点，且 的面积为10， ， ， ， ， 当 在负半轴上时， 的坐标是 ； 当 在正半轴上时， 的坐标是 ， 即 的坐标是 或 ． 37．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，过点 作 轴于点 ，一次函数的图象分别交 轴、 轴于点 ， ，连接 ， ， ， ．（1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求点 的坐标； （3）若点 在 轴上，且 的面积与 的面积相等，求点 的坐标． 【解答】解：（1）在 中，令 ，则 ， ， ， ， ， 轴于点 ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 把 点的坐标分别代入 和 得， ， ，解得 ， ， 一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为 ； （2）解 得 或 ， ； （3） 的面积与 的面积相等， ，即 ， ， 或 ． 38．如图，直线 分别与 轴， 轴相交于 ， ，与反比例函数 的图象相交于点 ，作 轴于 ，已知 的面积为9． （1）请分别求出直线 与反比例函数 的表达式； （2）将直线 向下平移，平移后的直线与 轴相交于点 ，与反比例函数 的 图象交于点 ，作 轴于 ，如果 的面积是 的面积的2倍，求点 的坐 标． 【解答】解：（1） 点 在反比例函数 的图象上， ， ， ，反比例函数的表达式为 ， 的面积为9， ， ， ， 点 的坐标为 ， 把点 ， 代入 得 ， 解得： ， 一次函数的表达式为 ； （2）设平移后的直线的表达式为 ，点 的纵坐标为 ， 由题意可知， ， 的面积是 的面积的2倍， ， ， 代入 得 ， ， ， 代入 得， ，， ， 令 ，得 ， 点 的坐标为 ， ． 39．如图，直线 与双曲线 相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ， 的面积为 ． （1）求反比例函数的解析式； （2）若将直线 向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线 的交点情 况； （3） 为坐标轴上的一点，若 的面积等于 面积的一半，请直接写出符合条件 的点 坐标． 【解答】（1）解：令直线 与 轴的交点为点 ，过点 作 轴于点 ， 如图所示．令直线 中 ，则 ， 解得 ， 即 ． 的面积是 ， ， 解得 ． 结合题意可知点 的纵坐标为1， 当 时，有 ， 解得 ， 点 的坐标为 ， ， 即反比例函数的解析式为 ； （ 2 ） 证 明 ： 将 直 线 向 下 平 移 1 个 单 位 得 到 的 直 线 的 解 析 式 为 ， 将 代入到 中，得： ， 整理得： ，△ ， 平移后的直线与双曲线 只有一个交点； （3）解：联立方程组 ， 解得 ， ， ， 设直线 与 轴交于点 ，则 ， 当点 在 轴上时，设 ， 的面积等于 面积的一半， ， 即 ， 解得 或 ， 或 ； 当点 在 轴上时，设 ，令 ，得 ， 解得 ， ， 的面积等于 面积的一半， ， 即 ， 解得 或 ， ， 或 ， ； 综上， ， 或 ， 或 或 ．