文档内容
第 13 讲 机械能守恒定律
目录
考点一 机械能守恒的判断...........................................................................................................1
考点二 机械能守恒定律的应用...................................................................................................1
考点三 多物体机械能守恒问题...................................................................................................3
练出高分...........................................................................................................................................6
考点一 机械能守恒的判断
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但机械能的总量保持不
变．
2．条件
只有重力或弹力做功．
3．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势
能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变
化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做
功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式
的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如
有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．
[例题1] （多选）如图所示，不考虑空气阻力的情况下，下列关于机械能是否守
恒的判断正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，物体B在大小等于摩擦力大小、方向沿斜面向下的拉力作用下，沿斜面下
滑时，B机械能守恒
C．丙图中，A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，系在轻绳一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
[例题2] （多选）如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半
径为R的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动。
设开始时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为 v，对圆
环恰好没有压力。下列分析中正确的是（ ）
v2
A．小球过B点时，弹簧的弹力为mg+m
R
v2
B．小球过B点时，弹簧的弹力为mg+m
2R
C．从A到B的过程中，小球的机械能守恒
D．从A到B的过程中，小球的机械能减少
[例题3] （多选）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，外
圆光滑，内圆粗糙。一质量为m的小球从轨道的最低点以初速度v 向右运动，球的直
0
径略小于两圆间距，球运动的轨道半径为R，不计空气阻力。设小球过最低点时重力
势能为零，下列说法正确的是（ ）
A．若小球运动到最高点时速度为0，则小球机械能一定不守恒
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】3
B．若经过足够长时间，小球最终的机械能可能为 mgR
2
C．若使小球始终做完整的圆周运动，则v 一定不小于√5gR
0
D．若小球第一次运动到最高点时速度大小为0，则v =√4gR
0
考点二 机械能守恒定律的应用
机械能守恒的三种表达式
1．守恒观点
(1)表达式：E ＋E ＝E ＋ E 或E＝E.
k1 p1 k2 p2 1 2
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔE＝ － Δ E .
k p
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔE ＝ Δ E
A增 B 减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量
等于B部分机械能的减少量．
[例题4] （2023•西湖区校级模拟）如图所示是某科技小组制作的投石机的模型，
轻杆AB可绕固定转轴OO′在竖直面内自由转动，A端凹槽内放置一小石块，B端固
定配重，某次试验中，调整杆与竖直方向的夹角为 后，由静止释放，杆在配重重力
作用下转到竖直方向时，石块被水平抛出，打到正前方靶心上方6环处，不计所有阻
θ
力，若要正中靶心，可以采取的措施有（ ）
A．减小石块的质量 B．增大角
C．增大配重的质量 D．增大投石机到靶的距离
θ
[例题5] （2023•重庆模拟）如图所示，半径为R的光滑半圆柱体固定在水平地
面上，一可看作质点的小球从半圆柱面上由静止释放，释放点距地面的高度为 H（H
＜R），小球与半圆柱体分离时距地面的高度为h，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】A．小球下降过程中加速度大小不变
B．小球落地时的最大速度为√gR
C．小球释放点与分离点满足2H＝3h
π
D．小球沿柱面滑行的最大弧长为 R
3
[例题6] 如图所示，长度为 l的轻杆上端连着一质量为 m的小球A（可视为质
点），杆的下端用铰链固接于水平面上的O点．置于同一水平面上的立方体B恰与A
接触，立方体B的质量为M．今有微小扰动，使杆向右倾倒，各处摩擦均不计，而A
与B刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰为30°，重力加速度为g，则下列说法正确的
是（ ）
A．A落地时速率为√2gl
B．A、B质量之比为1：2
√gl
C．A与B刚脱离接触的瞬间，B的速率为
8
D．A与B刚脱离接触的瞬间，A、B速率之比为1：2
[例题7] （2023•浙江模拟）2022年2月15日，苏翊鸣在北京冬奥会单板滑雪男
子大跳台比赛中夺得冠军，成为首位赢得冬奥会单板滑雪金牌的中国运动员。大跳台
主要由助滑道，起跳台和着陆坡组成，如图所示，运动员在助滑道下滑后在起跳台起
跳，在空中做抛体运动后落在着陆坡上。某次比赛苏翊鸣在距离起跳点 34m高处从静
止下滑，在空中最高点时距起跳点12.8m，在空中飞跃的总时间为4s，已知起跳台斜
面倾角为37°，苏翊鸣的质量为70kg，不考虑空气阻力，g取10m/s2，以下说法正确
的是（ ）
A．起跳速度为16m/s
B．在最高点速度为0
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】C．下滑过程机械能守恒
D．从下滑到着陆重力做功35000J
[例题8] （多选）（2023•潍坊一模）如图所示，一光滑斜面体固定在水平面上，
其矩形斜面abcd与水平面的夹角为 ，ab边长为L。将质量为m的小球从斜面上的点
a以某一速度沿斜面斜向上抛出，速度方向与ab夹角为 ，小球运动到斜面的c点并
θ
沿dc方向飞出，一段时间后落地，已知重力加速度大小为 g，不计空气阻力，则（
α
）
√ Lsinα
A．小球从a到c的运动时间为
gsinθcosα
1
B．小球从a到c重力势能增加 mgLsinαcosαsinθ
2
√ gLsinθ
C．小球触地时速度大小为
sinαcosα
√ gLsinθ
D．小球触地时重力的瞬时功率为mg
sinαcosα
[例题9] （2023•海淀区一模）图1中过山车可抽象为图2所示模型：弧形轨道下
端与半径为R的竖直圆轨道平滑相接，B点和C点分别为圆轨道的最低点和最高点。
质量为m的小球（可视为质点）从弧形轨道上距B点高4R的A点静止释放，先后经
过B点和C点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，已知重力加速度g。
（1）求小球通过B点时的速度大小v 。
B
（2）求小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小F和方向。
（3）请分析比较小球通过B点和C点时加速度的大小关系。
[例题10]（2023•南昌一模）早期航母使用重力型阻拦索使飞机在短距离内停下，
如图甲所示，阻拦索通过固定于航母甲板两侧的滑轮分别挂有质量为 m＝500kg的沙
袋。在无风环境下，一螺旋桨式飞机以v 的速度降落到该静止的航母上，尾钩立即钩
0
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】到阻拦索的中间位置，滑行一段距离后速度减为零，这一过程沙袋被提起的高度 h ＝
1
20m。螺旋桨式舰载机（含飞行员）质量M＝500kg，忽略飞机所受甲板摩擦力以及空
气阻力，重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）螺旋桨式飞机降落到航母上的速度v 的大小？
0
（2）如图乙所示，阻拦索在甲板上的长度为l＝15m，当 ＝30°时，舰载机的速度大小？
θ
考点三 多物体机械能守恒问题
[例题11] （2023•湖南模拟）如图所示，一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地
面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，设
小球的球心与O点的连线与竖直方向的夹角为 ，则地面对小车的静摩擦力的最大值
为（ ）
θ
3 5 1 3
A． mg B． mg C． mg D． mg
2 4 2 4
[例题12]如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球a和b，用手托
住球b，当绳刚好被拉紧时，球b离地面的高度为h，球a静止于地面。已知球a的质
量为m，球b的质量为3m，重力加速度为g，定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计。
若无初速度释放球b，则下列判断正确的是（ ）
5
A．在球b下落过程中，绳子的拉力大小为 mg
2
B．在球b下落过程中，球b的机械能减小3mgh
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】3
C．在球b下落过程中，球a的机械能增加 mgℎ
2
D．在球b下落过程中，绳对球a拉力冲量大小为3mg√ℎ
[例题13]（2022•唐山二模）如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细
绳与光滑水平面上的物体B相连接，A、B质量相同。现将A从与B等高处由静止释
放，不计一切摩擦，重力加速度取g，当细绳与竖直杆间的夹角为 ＝60°时，A下落
的高度为h，此时物体B的速度为（ ）
θ
√2 √4 √gℎ
A． gℎ B． gℎ C． D．√gℎ
5 5 2
[例题14]（2022•卢氏县模拟）一长为L、质量可不计的刚性的硬杆，左端通过铰
链固定于O点，中点及右端分别固定质量为m和质量为2m的小球，两球与杆可在竖
直平面内绕O点无摩擦地转动。开始时使杆处于水平状态并由静止释放，如图所示。
当杆下落到竖直位置时，在杆中点的球的速率为（ ）
√5 √3 √5
A． gL B． gL C． gL D．√2gL
9 5 3
[例题15]如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光
滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平
地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，同时保证滑轮左侧细线
竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度
为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿
斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，在此过程中，求：
（1）斜面的倾角 ；
（2）弹簧恢复原长时，细线中的拉力大小F ；
α 0
（3）A沿斜面下滑的速度最大值v 。
m
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分7 百】[例题16]（2022•海淀区校级三模）在一次表演中某同学用他的拳头向下打断了一
块木板。如图，拳头的质量为m ，木板的质量为m 。木板向下偏离距离d时木板将
1 2
折断。木板向下弯曲至木板折断时，其弹性可视为劲度系数为k的弹簧。为了简化问
题的研究，假设碰撞是指包括拳头和木板的瞬间作用，碰撞后拳头随木板的弯曲一起
向下运动，直到木板折断。碰撞后拳头、木板、地球组成的系统，机械能是守恒的。
（1）画出木板折断前，弹力F的大小随木板向下偏离距离x的图像，并据此证明，折
1
断前木板的弹性势能：E = kx2 。
p 2
（2）拳头和木板向下运动所对应的重力势能变化可忽略不计。
求，①使木板折断所需要拳头的最小速率v。
②若将图中的木板换为水泥板，并用①的速率对其打击，水泥板向下偏移的距离为
1
d时将会折断，水泥板的弹性对应的劲度系数以及水泥板的质量均为木板的10倍，
10
此种情况下是否能让水泥板折断，试说明理由。
[例题17]（2022•虹口区模拟）如图所示，轻质细绳的一端系一质量为m＝0.05kg
的小球A，另一端套在光滑水平轴O上，O到小球的距离l＝0.1m，小球与水平面接触
但恰好无作用力，在球的两侧距球等远处，分别固定一个光滑斜面和挡板，水平面的
L L
长度L＝2m。水平面左边 光滑，右边 粗糙，B与粗糙水平面间的动摩擦因数 ＝
2 2
0.25。现有一滑块B，质量也为m，从斜面上滑下，滑块与小球A碰撞并进行速度μ交
换，与挡板碰撞时不损失机械能，不计空气阻力，滑块和小球都可视为质点。现在要
使小球恰好完成一次完整的圆周运动。g取10m/s2。求：
（1）小球在最低点需要获得多大速度；
（2）滑块B要从斜面多高处滑下；
（3）分析简述B与A碰撞后的运动过程。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分8 百】练出高分
一．选择题（共10小题）
1．（2023•通州区一模）为了节省能源，某商场安装了智能化的电动扶梯。无人乘行时，
扶梯运转得很慢；有人站上扶梯时，它会先慢慢加速，再匀速运转。一顾客乘扶梯上楼，
恰好经历了这两个过程，如图所示。下列说法中正确的是（ ）
A．顾客仅在加速过程受摩擦力的作用
B．顾客所受的摩擦力大小与扶梯的加速度大小无关
C．乘扶梯匀速上楼的过程中，顾客的机械能保持不变
D．扶梯对顾客作用力的方向先与速度方向相同，再竖直向上
2．（2022•虹口区二模）小明乘坐摩天轮，由最低点A匀速转动到最高点B的过程中（
）
A．动能转化为势能，机械能增大
B．动能转化为势能，机械能不变
C．动能不变，势能增大，机械能增大
D．动能、势能、机械能均保持不变
3．如图所示，A、B、C三个一样的滑块从粗糙斜面上的同一高度同时开始运动，A由静
止释放，B的初速度方向沿斜面向下，大小为v ，C的初速度方向沿斜面水平，大小也
0
为v ．下列说法中正确的是（ ）
0
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分9 百】A．A和C将同时滑到斜面底端
B．滑到斜面底端时，B的机械能减少最多
C．滑到斜面底端时，B的动能最大
D．C的重力势能减少最多
4．从1970年4月24日发射第一颗人造地球卫星“东方红一号”到今天，我国的航天事业
取得了举世瞩目的伟大成就。“东方红一号”至今仍运行在近地点 430km、远地点
2075km的椭圆轨道上，而目前运行在距地面高度约 400km的圆轨道上的“天宫空间
站”预计今年建成。关于“东方红一号”和“天宫空间站”，下列说法正确的是
（ ）
A．“东方红一号”由远地点向近地点运行的过程中，机械能逐渐增大
B．“天宫空间站”中的航天员不受地球的引力作用
C．“天宫空间站”运行的加速度小于“东方红一号”在近地点的加速度
D．绕地球一周，“东方红一号”比“天宫空间站”所用时间长
5．（2023•怀仁市模拟）如图所示，可绕固定转轴O在竖直平面内无摩擦转动的刚性轻质
支架两端分别固定质量为5m、6m的小球A、B，支架两条边的长度均为L，用手将B
球托起至与转轴O等高，此时连接A球的细杆与竖直方向的夹角为 ，sin ＝0.6，重力
加速度大小为g，现突然松手，两小球在摆动的过程中，下列说法正确的是（ ）
θ θ
3
A．A球与转轴O等高时的动能为 mgL
11
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分10百】B．B球下降的最大高度为L
6
C．A球的最大动能为 mgL
11
6
D．B球的最大动能为 mgL
11
6．（2023•浙江模拟）姚明是NBA中我国优秀的篮球运动员。在某次比赛罚球中，第一次
出手，篮球的初速度方向与竖直方向的夹角 ＝60°；第二次出手，篮球的初速度方向与
竖直方向的夹角 ＝30°；两次出手的位置在同一竖直线上，结果两次篮球正好垂直撞击
α
到篮板同一位置C点。不计空气阻力，则从篮球出手到运动到点C的过程中，下列说法
β
正确的是（ ）
A．两球的初动能相等
B．前后两次上升的最大高度的比值为1：9
C．在C点时，两球的机械能相等
D．前后两次运动时间的比值为√3：1
7．（2023•金山区二模）如图为小球和轻弹簧组成的系统，系统沿光滑斜面由静止开始下
滑瞬间的势能为E ，弹簧刚接触到斜面底端挡板时系统势能为E ，小球运动到最低点
p1 p2
时系统势能为E 。则（ ）
p3
A．E ＝E ，小球在最低点时系统势能最大
p1 p3
B．E ＝E ，小球在最低点时系统势能最大
p2 p3
C．E ＝E ，小球加速度为零时系统势能最大
p1 p3
D．E ＝E ，小球加速度为零时系统势能最大
p2 p3
8．（2023•临泉县校级三模）一款儿童棒球发球机向上发射棒球供初学者练习。假设发球
机（高度不计）在地面上以初速度v 竖直向上发射一棒球（可视为质点），棒球途经A
0
点时速度方向向上、速度大小为v，不计空气阻力，取地面为重力势能的零势能面。当
棒球的发射速度变为2v 时，以下说法正确的是（ ）
0
A．棒球上升的最大高度变为原来的2倍
B．棒球在最高点的机械能变为原来的2倍
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分11百】C．棒球上升过程的时间变为原来的2倍
D．棒球经过A点的速度大小变为2v
9．（2023•吉林模拟）如图所示，半径可以改变的光滑半圆形轨道竖直固定放置，小球自
轨道端点P由静止开始滑下，经过最低点Q。若轨道半径越大，则（ ）
A．小球经过最低点Q时的速率保持不变
B．小球经过最低点Q时的向心加速度保持不变
C．小球经过最低点Q时受到轨道的支持力越大
D．小球经过最低点Q时重力的瞬时功率越大
10．（2022•林州市模拟）如图所示，从高为h的斜面体ABC的顶点A抛出一个质量为m
的小球（视为质点），落在底端B点，已知接触B点前的瞬间小球的动能为E ，取BC
k
所在水平面为零势能参考平面，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球被抛出时的速
度大小为（ ）
√2(E −mgℎ) √E −mgℎ
A． k B． k
m 2m
√2(E +mgℎ) √E +mgℎ
C． k D． k
m 2m
二．计算题（共3小题）
11．（2022•天津模拟）简谐运动是一种常见且重要的运动形式。它是质量为m的物体在
受到形如F＝﹣kx的回复力作用下，物体的位移x与时间t遵循x＝Asin t变化规律的
运动，其中角频率 = 2π = √ k （k为常数，A为振幅，T为周期）。弹 ω 簧振子的运动
T m
ω
就是其典型代表。
如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端
与一质量为m的小球A相连，小球A静止时所在位置为O，另一质量也为m的小球B
从距A为H的P点由静止开始下落，与A发生瞬间碰撞后一起开始向下做简谐运动。
两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹
1 3mg
性势能为E = kx2，已知H= ，重力加速度为g。求：
p 2 k
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分12百】（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度；
（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离。
（3）小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间。
12．（2022•龙沙区校级一模）如图所示，厚度可不计的圆环 B套在粗细均匀，足够长的
圆柱棒A的上端，圆环和圆柱棒质量均为m，圆环可在棒上滑动，它们之间滑动摩擦力
与最大静摩擦力相等，大小均为f＝2mg，开始时棒A的下端距地面的高度为H，圆环B
套在A的最上端，由静止释放后棒A能沿光滑的竖直细杆MN上下滑动，设棒与地相碰
时无机械能的损失且碰撞时间极短，求：
（1）棒A第一次与地面相碰后向上运动时，棒A和圆环B的加速度分别为多大？
（2）从释放到棒A第一次到达最高点时，圆环B相对A滑动的距离x；
（3）若棒A的长度为L＝2.5H，求最终圆环B离地的高度h。
13．（2022•上海）如图所示，AB为平直导轨，长为L，物块与导轨间动摩擦因数为 ，
BC为光滑曲面。A与地面间高度差为h ，BC间高度差为h ，一个质量为m的物块在水
1 2 μ
平恒力作用下，从A点由静止开始向右运动，到达B点时撤去恒力，物块经过C点后落
地，已知重力加速度为g。
（1）若物块落地时动能为E ，求其经过B点时的动能E ；
1 kB
（2）若要物块落地时动能小于E ，求恒力必须满足的条件。
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分13百】资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分14百】
